Prava i definicija nagiba u geometriji

Koeficijent pravca (nagib) prave je broj koji pokazuje koliko je prava strma i da li se, kad se krećemo sleva nadesno, penje ili spušta. Pomoću koeficijenta pravca zapisujemo jednačinu prave, utvrđujemo da li su dve prave paralelne ili normalne i opisujemo koliko se brzo jedna veličina menja kada se menja druga.

Na ovoj stranici: Promene koordinata · Definicija · Znak koeficijenta pravca · Nagibni ugao · Paralelne i normalne prave · Jednačine prave · Nagib u svakodnevnom životu · Zadaci za vežbu

Nagib prave (strmina)

Zamislimo da se tačka kreće po pravoj koja nije vertikalna, od tačke $P_1(x_1, y_1)$ do tačke $P_2(x_2, y_2).$ Njena koordinata $y$ se pri tome promeni za ${y_2-y_1},$ a koordinata $x$ za ${x_2-x_1}.$ Razlika ${y_2-y_1}$ je promena $y$ (vertikalna promena), a razlika ${x_2-x_1}$ je promena $x$ (horizontalna promena).

Što je prava strmija, to je za istu promenu $x$ veća promena $y.$ Zato se strmina meri odnosom promene $y$ i promene $x.$ Na primer, ako se prava popne za $3$ jedinice dok se pomerimo za $6$ jedinica udesno, taj odnos je ${\frac{3}{6}=\frac{1}{2}}\text{:}$ prava se penje za pola jedinice na svaku jedinicu za koju se pomerimo udesno.

Definicija

Rečima: koeficijent pravca je količnik promene $y$ i promene $x.$ Formula ima smisla samo kada je ${x_1\ne x_2}.$ Na vertikalnoj pravoj sve tačke imaju istu apscisu, pa je promena $x$ jednaka $0,$ a deljenje nulom nije moguće. Zato koeficijent pravca vertikalne prave nije definisan. (Kaže se i da vertikalna prava nema koeficijent pravca. To ne znači da je on jednak $0.$)

Redosled tačaka

Nije važno koju tačku označimo sa $P_1,$ a koju sa $P_2.$ Ako im zamenimo mesta, i brojilac i imenilac menjaju znak, a razlomak ostaje isti:

$$\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{-(y_2-y_1)}{-(x_2-x_1)}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.$$

Redosled mora biti isti u brojiocu i u imeniocu. Ako brojilac počinje sa $y_2,$ i imenilac mora da počne sa $x_2.$

Bilo koje dve tačke daju isti koeficijent pravca

Koeficijent pravca je svojstvo cele prave, a ne jednog para tačaka. Na slici tačke $A,$ $B,$ $C$ i $D$ pripadaju istoj pravoj. Svaki od dva osenčena pravougla trougla ima jednu horizontalnu i jednu vertikalnu katetu, a njihove hipotenuze $AB$ i $CD$ leže na toj pravoj. Horizontalne katete su paralelne, pa su uglovi kod temena $A$ i $C$ jednaki (to su saglasni uglovi). Oba trougla imaju i prav ugao, pa su slični. Kod sličnih trouglova odnosi odgovarajućih stranica su jednaki. Kod manjeg trougla promena $y$ je $1,$ a promena $x$ je $2;$ kod većeg je promena $y$ jednaka $2,$ a promena $x$ jednaka $4\text{:}$

$$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}.$$

Koje god dve tačke ove prave da uzmemo, koeficijent pravca je $\frac{1}{2}.$

Koeficijent pravca kao brzina promene

Promene koordinata često se zapisuju pomoću grčkog slova $\Delta$ (delta): ${\Delta x=x_2-x_1}$ i ${\Delta y=y_2-y_1}.$ Tada je

$$k=\frac{\Delta y}{\Delta x},\qquad \Delta y=k\cdot\Delta x.$$

Ako se $x$ poveća za $1,$ onda se $y$ promeni za $k.$ Koeficijent pravca je, dakle, brzina promene veličine $y$ u odnosu na $x\text{:}$ pokazuje za koliko se jedinica promeni $y$ kada se $x$ poveća za jednu jedinicu. Kod prave je ta brzina svuda ista.

Koeficijent pravca: pozitivan, negativan, nula, nedefinisan

Pravu posmatramo sleva nadesno, u smeru u kojem $x$ raste.

Koeficijent pravca	Prava	Obrazloženje
Pozitivan, ${k\gt0}$	raste sleva nadesno	kad $x$ raste, raste i $y\text{:}$ promena $y$ je pozitivna
Negativan, ${k\lt0}$	opada sleva nadesno	kad $x$ raste, $y$ opada: promena $y$ je negativna (tada govorimo o padu)
Nula, ${k=0}$	horizontalna je	sve tačke imaju istu ordinatu: promena $y$ je $0$
Nije definisan	vertikalna je	sve tačke imaju istu apscisu: promena $x$ je $0$

Apsolutna vrednost koeficijenta pravca pokazuje strminu: što je $|k|$ veće, prava je strmija. Prava sa koeficijentom pravca $4$ strmija je od prave sa koeficijentom $\frac{1}{2},$ a prava sa koeficijentom $-2$ strmija je od prave sa koeficijentom $1,$ iako je ${-2\lt1}.$

Primer 1. Odredite koeficijent pravca prave kroz tačke: a) $(6, 2)$ i $(9, 8);$ b) $(2, 9)$ i $(4, 3);$ c) $(-2, 7)$ i $(5, 7);$ d) $(3, 1)$ i $(3, 5).$

Rešenje. Primenjujemo formulu ${k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}.$

a) $k=\frac{8-2}{9-6}=\frac{6}{3}=2.$ Prava se penje za $2$ jedinice na svaku jedinicu udesno.

b) $k=\frac{3-9}{4-2}=\frac{-6}{2}=-3.$ Prava se spušta za $3$ jedinice na svaku jedinicu udesno.

c) $k=\frac{7-7}{5-(-2)}=\frac{0}{7}=0.$ Prava je horizontalna.

d) Za obe tačke je ${x=3},$ pa je promena $x$ jednaka ${3-3=0}$ i koeficijent pravca nije definisan. Prava je vertikalna.

Primer 2. Prava kroz tačke $(1, 2)$ i $(4, y)$ ima koeficijent pravca $3.$ Odredite $y.$

Rešenje. Iz formule za koeficijent pravca dobijamo ${\frac{y-2}{4-1}=3}.$ Odatle je ${y-2=9},$ pa je ${y=11}.$

Primer 3. Da li tačke $A(-1, 1),$ $B(1, 5)$ i $C(4, 11)$ pripadaju jednoj pravoj?

Rešenje. Koeficijent pravca prave $AB$ je ${\frac{5-1}{1-(-1)}=\frac{4}{2}=2},$ a prave $BC$ je ${\frac{11-5}{4-1}=\frac{6}{3}=2}.$ Prave $AB$ i $BC$ imaju isti koeficijent pravca i zajedničku tačku $B.$ Kroz datu tačku prolazi samo jedna prava sa datim koeficijentom pravca, pa su $AB$ i $BC$ jedna te ista prava. Tri tačke pripadaju jednoj pravoj (kolinearne su).

Nagibni ugao

Nagibni ugao prave koja seče $x$-osu je ugao $\alpha$ koji ta prava gradi sa pozitivnim smerom $x$-ose: najmanji ugao meren od pozitivnog smera $x$-ose do prave, u smeru suprotnom od kretanja kazaljke na satu. Za horizontalnu pravu uzimamo ${\alpha=0^\circ}.$

Dakle, ${0^\circ\le\alpha\lt180^\circ}.$ Ako prava raste, ugao $\alpha$ je oštar; ako prava opada, $\alpha$ je tup; za vertikalnu pravu je ${\alpha=90^\circ}.$

Teorema. Ako prava nije vertikalna, njen koeficijent pravca $k$ i nagibni ugao $\alpha$ povezani su jednakošću ${k=\operatorname{tg}\alpha}.$

Tangens tupog ugla je negativan: ${\operatorname{tg}\alpha=-\operatorname{tg}(180^\circ-\alpha)}.$ Na primer, ${\operatorname{tg}135^\circ}={-\operatorname{tg}45^\circ}={-1}.$

Dokaz

Uzmimo na pravoj dve tačke $P_1$ i $P_2,$ tako da je $P_2$ desno od $P_1,$ i nacrtajmo pravougli trougao čije katete odgovaraju promeni $x$ i promeni $y.$

Ako prava raste, ugao trougla kod temena $P_1$ jednak je $\alpha\text{:}$ horizontalna kateta je paralelna $x$-osi, pa su to saglasni uglovi. U pravouglom trouglu tangens oštrog ugla jednak je količniku naspramne i nalegle katete, pa je ${\operatorname{tg}\alpha=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=k}.$

Ako prava opada, ugao $\alpha$ je tup, a oštar ugao između prave i $x$-ose je ${180^\circ-\alpha}.$ Njemu je jednak ugao trougla kod temena $P_1$ (to su opet saglasni uglovi). Tangens tog ugla jednak je količniku dužine vertikalne i dužine horizontalne katete: ${\operatorname{tg}(180^\circ-\alpha)}={\frac{y_1-y_2}{x_2-x_1}}={-k}.$ Pošto je ${\operatorname{tg}(180^\circ-\alpha)=-\operatorname{tg}\alpha},$ dobijamo ${-\operatorname{tg}\alpha=-k},$ pa je opet ${k=\operatorname{tg}\alpha}.$

Za horizontalnu pravu je ${k=0}$ i ${\operatorname{tg}0^\circ=0}.$

Ugao $\alpha$	${k=\operatorname{tg}\alpha}$	Prava
$0^\circ$	$0$	horizontalna je
$30^\circ$	$\frac{\sqrt{3}}{3}\approx0{,}58$	raste
$45^\circ$	$1$	raste
$60^\circ$	$\sqrt{3}\approx1{,}73$	raste
$90^\circ$	nije definisan	vertikalna je
$120^\circ$	$-\sqrt{3}\approx-1{,}73$	opada
$135^\circ$	$-1$	opada
$150^\circ$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}\approx-0{,}58$	opada

Tangens ugla od $90^\circ$ nije definisan, a to se slaže sa činjenicom da ni koeficijent pravca vertikalne prave nije definisan.

Primer 4. Odredite nagibni ugao prave čiji je koeficijent pravca a) ${k=1};$ b) ${k=-1}.$

Rešenje.

a) ${\operatorname{tg}\alpha=1},$ pa je ${\alpha=45^\circ}$ (u radijanima $\frac{\pi}{4}$).

b) ${\operatorname{tg}\alpha=-1}.$ Pošto je ${0^\circ\le\alpha\lt180^\circ},$ ugao je ${\alpha=135^\circ}$ (u radijanima $\frac{3\pi}{4}$).

Primer 5. Odredite, sa tačnošću do jednog stepena, nagibni ugao prave kroz tačke a) $(1, 1)$ i $(4, 3);$ b) $(0, 5)$ i $(2, 1).$

Rešenje.

a) ${k=\frac{3-1}{4-1}=\frac{2}{3}}.$ Taster $\tan^{-1}$ (arkus tangens) na kalkulatoru podešenom na stepene daje ${\alpha=\operatorname{arctg}\frac{2}{3}\approx34^\circ}.$

b) ${k=\frac{1-5}{2-0}=\frac{-4}{2}=-2}.$ Kalkulator daje ${\operatorname{arctg}(-2)\approx-63^\circ},$ ali nagibni ugao ne može biti negativan. Tangens se ne menja kada se uglu doda $180^\circ,$ pa dodajemo $180^\circ$ i dobijamo ${\alpha\approx-63^\circ+180^\circ=117^\circ}.$

Za negativan koeficijent pravca kalkulator daje negativan ugao. Da biste dobili nagibni ugao, dodajte mu $180^\circ.$

Paralelne i normalne prave

Drugi uslov možemo zapisati i kao ${k_2=-\frac{1}{k_1}}\text{:}$ koeficijenti pravca normalnih pravih su recipročni i suprotnog znaka. Na primer, prave sa koeficijentima pravca $2$ i $-\frac{1}{2}$ su normalne, a isto važi i za prave sa koeficijentima pravca $-\frac{3}{4}$ i $\frac{4}{3}.$

Koeficijent pravca vertikalne prave nije definisan, pa teorema o vertikalnim pravama ne govori ništa. Svake dve različite vertikalne prave su paralelne. Vertikalna prava je normalna na svaku horizontalnu pravu i ni na jednu drugu.

Dokaz za paralelne prave

Pretpostavimo najpre da nijedna od pravih nije horizontalna. Tada svaka od njih seče $x$-osu; neka su $\alpha_1$ i $\alpha_2$ njihovi nagibni uglovi.

Ako su prave paralelne, one seku $x$-osu u dve različite tačke, a $\alpha_1$ i $\alpha_2$ su saglasni uglovi: $x$-osa je transverzala. Saglasni uglovi kod paralelnih pravih su jednaki, ${\alpha_1=\alpha_2},$ pa je ${k_1=\operatorname{tg}\alpha_1=\operatorname{tg}\alpha_2=k_2}.$

Obrnuto, neka je ${k_1=k_2},$ to jest ${\operatorname{tg}\alpha_1=\operatorname{tg}\alpha_2}.$ Dva različita ugla između $0^\circ$ i $180^\circ$ ne mogu imati isti tangens, pa je ${\alpha_1=\alpha_2}.$ Prave ne mogu seći $x$-osu u istoj tački: dve prave koje prolaze kroz istu tačku ose i imaju isti nagibni ugao poklapaju se, a naše prave su različite. Dakle, one seku osu u dve različite tačke, saglasni uglovi $\alpha_1$ i $\alpha_2$ su jednaki, pa su prave paralelne.

Ako je jedna od pravih horizontalna, njen koeficijent pravca je $0.$ Druga prava joj je paralelna tačno onda kada je i sama horizontalna, to jest kada je i njen koeficijent pravca $0.$

Dokaz za normalne prave

U oba dela dokaza prave se seku. Normalne prave se uvek seku. A ako je ${k_1k_2=-1},$ onda je ${k_1\ne k_2}$ (iz jednakih koeficijenata pravca dobili bismo ${k_1^2=-1},$ što je nemoguće), pa po prvom delu teoreme prave nisu paralelne. Neka je $A$ tačka u kojoj se prave seku. Ako obe prave pomerimo naviše za isto rastojanje, njihovi koeficijenti pravca i ugao između njih se ne menjaju, pa možemo pretpostaviti da je tačka $A$ iznad $x$-ose.

Ako su prave normalne, onda je ${k_1k_2=-1}.$ Nijedna od pravih nije vertikalna, pa nijedna nije ni horizontalna (prava normalna na horizontalnu pravu je vertikalna). Zato obe prave seku $x$-osu: $p_1$ u tački $B,$ a $p_2$ u tački $C.$ Označimo prave tako da je $B$ levo od $C.$ Trougao $ABC$ ima prav ugao kod temena $A,$ pa su njegovi uglovi kod temena $B$ i $C$ oštri. Zato $p_1$ raste, $p_2$ opada, a podnožje $H$ visine $AH$ leži između tačaka $B$ i $C.$ Neka je ${AH=h}$ i ${HC=c}.$

Ugao trougla kod temena $B$ je $\alpha_1.$ I ugao $HAC$ jednak je $\alpha_1,$ jer svaki od njih dopunjuje ugao kod temena $C$ do $90^\circ$ (u pravouglim trouglovima $ABC$ i $AHC$). Iz pravouglog trougla $AHC$ dobijamo ${\operatorname{tg}\alpha_1=\frac{c}{h}},$ a tangens ugla kod temena $C$ je $\frac{h}{c}.$ Nagibni ugao prave $p_2$ je $\alpha_2,$ a ugao kod temena $C$ je ${180^\circ-\alpha_2},$ pa je ${\operatorname{tg}\alpha_2=-\frac{h}{c}}.$ Prema tome,

$$k_1k_2=\frac{c}{h}\cdot\left(-\frac{h}{c}\right)=-1.$$

Ako je ${k_1k_2=-1},$ onda su prave normalne. Koeficijenti pravca su suprotnog znaka; neka je ${k_1\gt0}$ i ${k_2\lt0}.$ Tada $p_1$ raste, a $p_2$ opada. Kada se iz tačke $A$ spuštamo po pravoj $p_1,$ krećemo se ulevo, a po pravoj $p_2$ udesno, pa $p_1$ seče $x$-osu u tački $B$ levo od tačke $A,$ a $p_2$ u tački $C$ desno od tačke $A.$ Zato podnožje $H$ visine $AH$ trougla $ABC$ leži između tačaka $B$ i $C.$ Neka je ${AH=h},$ ${BH=d}$ i ${HC=c}.$ Iz pravouglih trouglova $ABH$ i $AHC$ dobijamo ${k_1=\frac{h}{d}}$ i ${k_2=-\frac{h}{c}}.$ Jednakost ${k_1k_2=-1}$ postaje ${\frac{h}{d}\cdot\frac{h}{c}=1},$ to jest ${\frac{h}{d}=\frac{c}{h}}.$

Ovde je $\frac{h}{d}$ tangens ugla $ABH,$ a $\frac{c}{h}$ tangens ugla $HAC.$ Dva oštra ugla sa jednakim tangensima su jednaka, pa je ${\sphericalangle HAC=\sphericalangle ABH}.$ U pravouglom trouglu $ABH$ je ${\sphericalangle BAH=90^\circ-\sphericalangle ABH}.$ Prema tome, ${\sphericalangle BAC}={\sphericalangle BAH+\sphericalangle HAC}={90^\circ\text{:}}$ prave su normalne.

Jednačine prave

Jednačina prave je jednačina sa promenljivima $x$ i $y$ koju zadovoljavaju koordinate svake tačke te prave, a ne zadovoljavaju koordinate nijedne druge tačke. Pomoću koeficijenta pravca takve jednačine se lako zapisuju.

Vertikalne i horizontalne prave

Teorema. Vertikalna prava kroz tačku $(a, 0)$ ima jednačinu ${x=a}.$ Horizontalna prava kroz tačku $(0, n)$ ima jednačinu ${y=n}.$

Na vertikalnoj pravoj svaka tačka ima apscisu $a,$ bez obzira na to kolika joj je ordinata. Na horizontalnoj pravoj svaka tačka ima ordinatu $n.$ Na primer, ${x=3}$ je vertikalna prava kroz tačku $(3, 0),$ a ${y=-2}$ je horizontalna prava kroz tačku $(0, -2).$ Prava ${y=0}$ je $x$-osa, a prava ${x=0}$ je $y$-osa.

Jednačina prave kroz datu tačku sa datim koeficijentom pravca

Teorema. Prava koja prolazi kroz tačku $P_1(x_1, y_1)$ i ima koeficijent pravca $k$ zadata je jednačinom ${y-y_1=k(x-x_1)}.$ To je jednačina prave kroz datu tačku sa datim koeficijentom pravca.

Dokaz

Neka je $P(x, y)$ tačka različita od $P_1.$

Ako je ${x\ne x_1},$ tačka $P$ pripada pravoj tačno onda kada je koeficijent pravca prave $P_1P$ jednak $k\text{:}$

$$\frac{y-y_1}{x-x_1}=k.$$

Kada obe strane pomnožimo sa ${x-x_1},$ dobijamo ekvivalentnu jednačinu ${y-y_1=k(x-x_1)}.$

Ako je ${x=x_1},$ onda je ${y\ne y_1}.$ Takva tačka ne pripada pravoj, jer prava nije vertikalna, a njene koordinate ne zadovoljavaju jednačinu: leva strana ${y-y_1}$ nije $0,$ a desna strana je $0.$

Koordinate same tačke $P_1$ zadovoljavaju jednačinu: obe strane postaju $0.$

Primer 6. Napišite jednačinu prave koja prolazi kroz tačku $(2, 3)$ i ima koeficijent pravca $4.$

Rešenje. ${y-3=4(x-2)}.$ Oslobađamo se zagrada: ${y-3=4x-8},$ pa je ${y=4x-5}.$

Primer 7. Napišite jednačinu prave kroz tačke $(1, 5)$ i $(3, 1).$

Rešenje. Najpre nalazimo koeficijent pravca: ${k=\frac{1-5}{3-1}=\frac{-4}{2}=-2}.$ Zatim koristimo jednačinu prave kroz datu tačku, i to kroz tačku $(1, 5)\text{:}$ ${y-5=-2(x-1)},$ pa je ${y=-2x+7}.$ Provera pomoću druge tačke: ${-2\cdot3+7=1}.$

Eksplicitni oblik jednačine prave

Odsečak na $y$-osi je ordinata tačke u kojoj prava seče $y$-osu. Ako je odsečak na $y$-osi jednak $n,$ prava prolazi kroz tačku $(0, n).$

Teorema. Prava sa koeficijentom pravca $k$ i odsečkom $n$ na $y$-osi zadata je jednačinom ${y=kx+n}.$ To je eksplicitni oblik jednačine prave.

Zaista, jednačina prave kroz datu tačku, napisana za tačku $(0, n),$ glasi ${y-n=k(x-0)},$ to jest ${y=kx+n}.$ Iz ovog oblika oba broja čitamo odmah: koeficijent uz $x$ je koeficijent pravca, a slobodan član je odsečak na $y$-osi. Na primer, prava ${y=3x-2}$ ima koeficijent pravca $3$ i seče $y$-osu u tački $(0, -2).$

Primer 8. Odredite koeficijent pravca i odsečak na $y$-osi prave ${3x+2y-6=0}.$

Rešenje. Jednačinu rešavamo po $y\text{:}$ ${2y=-3x+6},$ pa je ${y=-\frac{3}{2}x+3}.$ Koeficijent pravca je $-\frac{3}{2},$ a odsečak na $y$-osi je $3.$

U opštem slučaju, ako je ${B\ne0},$ prava ${Ax+By+C=0}$ ima koeficijent pravca ${k=-\frac{A}{B}}$ i odsečak $-\frac{C}{B}$ na $y$-osi. Ako je ${B=0}$ (tada je ${A\ne0}$), jednačina postaje ${x=-\frac{C}{A}}\text{:}$ prava je vertikalna. Jednačina ${Ax+By+C=0}$ je opšti (implicitni) oblik jednačine prave.

Dve jednačine mogu opisivati istu pravu: ${y=2x+1}$ i ${2y=4x+2}$ imaju isti koeficijent pravca $2$ i isti odsečak $1$ na $y$-osi. Jednačine sa istim koeficijentom pravca zadaju dve različite paralelne prave samo ako su im odsečci na $y$-osi različiti.

Primer 9. Nacrtajte pravu ${y=-\frac{2}{3}x+4}.$

Rešenje. Odsečak na $y$-osi je $4,$ pa prava prolazi kroz tačku $(0, 4).$ Koeficijent pravca je ${-\frac{2}{3}=\frac{-2}{3}}\text{:}$ na svake $3$ jedinice udesno prava se spušta za $2$ jedinice. Od tačke $(0, 4)$ pomerimo se za $3$ jedinice udesno i za $2$ jedinice naniže i dobijamo tačku $(3, 2);$ još jedan takav korak daje tačku $(6, 0).$ Kroz te tačke crtamo pravu.

Primer 10. Data je prava ${y=2x-3}.$ Napišite jednačinu prave koja prolazi kroz tačku $(4, 1)$ i a) paralelna je datoj pravoj; b) normalna je na datu pravu.

Rešenje. Data prava ima koeficijent pravca $2.$

a) Paralelna prava ima isti koeficijent pravca $2\text{:}$ ${y-1=2(x-4)},$ pa je ${y=2x-7}.$

b) Normalna prava ima koeficijent pravca $-\frac{1}{2},$ jer je ${2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-1}.$ Njena jednačina je ${y-1=-\frac{1}{2}(x-4)},$ pa je ${y=-\frac{1}{2}x+3}.$

Nagib u svakodnevnom životu

Putevi. Saobraćajni znak na kojem piše $8\%$ znači da se put penje (ili spušta) $8$ metara na svakih $100$ metara horizontalnog rastojanja. Nagib (uspon) puta je njegov koeficijent pravca zapisan u procentima: ${\frac{8}{100}=0{,}08=8\%}.$ Nagibni ugao takvog puta je mali: ${\operatorname{arctg}0{,}08\approx4{,}6^\circ}.$

Nagib od $100\%$ nije vertikalan zid: to je koeficijent pravca $1,$ to jest ugao od $45^\circ.$

Brzina. Ako grafički prikažemo zavisnost pređenog puta od vremena, nagib grafika predstavlja brzinu. Za automobil koji se kreće stalnom brzinom i za $3$ sata pređe $150$ kilometara grafik je prava kroz tačke $(0, 0)$ i $(3, 150).$ Njen koeficijent pravca je ${\frac{150-0}{3-0}=50}\text{:}$ brzina je $50$ km/h.

Zadaci za vežbu

1. Odredite koeficijent pravca prave kroz tačke: a) $(1, 2)$ i $(5, 10);$ b) $(-3, 4)$ i $(1, -4);$ c) $(0, -5)$ i $(6, -5);$ d) $(2, -1)$ i $(2, 7).$

Odgovor

a) $k=\frac{10-2}{5-1}=\frac{8}{4}=2.$

b) ${k}={\frac{-4-4}{1-(-3)}}={\frac{-8}{4}}={-2.}$

c) $k=\frac{-5-(-5)}{6-0}=\frac{0}{6}=0.$

d) Koeficijent pravca nije definisan: to je vertikalna prava ${x=2}.$

2. Prava sa koeficijentom pravca $\frac{3}{4}$ prolazi kroz tačku $(2, 1).$ Odredite ordinatu $y$ tačke te prave za koju je ${x=10}.$

Odgovor

Promena $x$ je ${10-2=8},$ pa je promena $y$ jednaka ${\frac{3}{4}\cdot8=6}$ i ${y=1+6=7}.$

3. Da li date tri tačke pripadaju jednoj pravoj? a) $(0, -1),$ $(2, 3)$ i $(5, 9);$ b) $(1, 1),$ $(3, 4)$ i $(7, 9).$

Odgovor

a) Da: ${\frac{3-(-1)}{2-0}=\frac{4}{2}=2}$ i ${\frac{9-3}{5-2}=\frac{6}{3}=2}.$

b) Ne: ${\frac{4-1}{3-1}=\frac{3}{2}},$ a ${\frac{9-4}{7-3}=\frac{5}{4}}.$

4. Odredite nagibni ugao prave čiji je koeficijent pravca a) $\sqrt{3};$ b) $-\frac{\sqrt{3}}{3};$ c) $0.$

Odgovor

a) $60^\circ;$ b) $150^\circ;$ c) $0^\circ.$

5. Prava prolazi kroz tačku $(0, 2),$ a njen nagibni ugao je $135^\circ.$ Napišite njenu jednačinu.

Odgovor

${k=\operatorname{tg}135^\circ=-1},$ a odsečak na $y$-osi je $2,$ pa je ${y=-x+2}.$

6. Napišite u eksplicitnom obliku jednačinu prave koja prolazi kroz tačku $(-1, 4)$ i ima koeficijent pravca $-3.$

Odgovor

${y-4=-3(x+1)},$ pa je ${y=-3x+1}.$

7. Napišite jednačinu prave kroz tačke $(2, -1)$ i $(6, 7).$

Odgovor

${k=\frac{7-(-1)}{6-2}=\frac{8}{4}=2}.$ Odatle je ${y+1=2(x-2)},$ pa je ${y=2x-5}.$

8. Odredite koeficijent pravca i odsečak na $y$-osi prave ${4x-2y+10=0}.$

Odgovor

${2y=4x+10},$ pa je ${y=2x+5}.$ Koeficijent pravca je $2,$ a odsečak na $y$-osi je $5.$

9. Da li su date prave paralelne, normalne ili ni jedno ni drugo? a) ${y=3x-1}$ i ${6x-2y+5=0};$ b) ${y=\frac{2}{5}x+1}$ i ${5x+2y=4};$ c) ${y=2x}$ i ${y=-2x+3}.$

Odgovor

a) Paralelne su: druga prava je ${y=3x+\frac{5}{2}}.$ Oba koeficijenta pravca su $3,$ a odsečci $-1$ i $\frac{5}{2}$ na $y$-osi su različiti, pa su to dve različite prave.

b) Normalne su: druga prava je ${y=-\frac{5}{2}x+2},$ a ${\frac{2}{5}\cdot\left(-\frac{5}{2}\right)=-1}.$

c) Ni jedno ni drugo: koeficijenti pravca $2$ i $-2$ nisu jednaki, a njihov proizvod je ${2\cdot(-2)=-4}.$

10. Napišite jednačinu prave koja prolazi kroz tačku $(3, -2)$ i normalna je na pravu ${y=\frac{3}{4}x+1}.$

Odgovor

Koeficijent pravca tražene prave je $-\frac{4}{3}.$ Odatle je ${y+2=-\frac{4}{3}(x-3)},$ pa je ${y=-\frac{4}{3}x+2}.$

11. Pokažite da je trougao sa temenima $A(1, 1),$ $B(5, 3)$ i $C(3, 7)$ pravougli.

Odgovor

Koeficijent pravca prave $AB$ je ${\frac{3-1}{5-1}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}},$ a prave $BC$ je ${\frac{7-3}{3-5}=\frac{4}{-2}=-2}.$ Pošto je ${\frac{1}{2}\cdot(-2)=-1},$ stranice $AB$ i $BC$ su normalne: ugao kod temena $B$ je prav.

12. Rampa za invalidska kolica penje se $1$ metar na svakih $12$ metara horizontalnog rastojanja. Zapišite njen nagib u procentima i odredite nagibni ugao. Oba rezultata zaokružite na jednu decimalu.

Odgovor

Nagib je ${\frac{1}{12}\approx0{,}083=8{,}3\%}.$ Nagibni ugao je ${\operatorname{arctg}\frac{1}{12}\approx4{,}8^\circ}.$

Pogledajte i: Analitička geometrija · Parovi uglova · Trigonometrija