Prava i definicija nagiba u geometriji

      Nagib prave (strmina)
Zamisli da se tačka kreće duž nevertiklanog segmenta prave od tačke p1(x1,y1) do tačke p2(x2,y2). Vertikalna promena y2 – y1 se naziva uspon, a horizontalna promena x2 – x1 korak.


      DEFINICIJA
Ako su P(x1, y1) i P(x2, y2) tačke na nevertiklanoj pravi, tada je koeficijent pravca (nagib) k prave definisan sa:


Nije značajno koja tačka je označena sa P1 a koja sa P2
      Nagib od  P1P2

= (y2 - y1)/(x2 - x1)

= -(y1 - y2)/[-(x1 - x2)]

= (y1 - y2)/(x1 - x2) = Nagib od P1P2


Bilo koje dve različite tačke na nevertiklanoj pravi mogu biti korišćene pri računanju nagiba prave. Da bismo izmerili nagib, uglavnom se krećemo s leva na desno kada merimo udaljenost horizontalno.
Zbog toga ponekad koncept pada zamenjuje uspon!


      Primer
U svakom delu pronađi koeficijent pravca prave kroz
          (A)     (6, 2) i (9, 8)
          (B)     (2, 9) i (4, 3)
          (C)    (-2, 7) i (5, 7)


Rešenje:
Znamo da je koeficijent pravca prave kroz dve tačke P1(x1, y1) i P2(x2, y2) , dat sa
k= (y2 - y1)/(x2 - x1)
Stoga je
    a) k=(8 - 2)/(9 - 6) = 6/3 = 2
U koordinatnom sistemu xy


Slično
    b) k=(3 - 9)/(4 - 2) = -6/2 = -3
U koordinatnom sistemu xy


Takođe
    c) k= (7 - 7)/[5 - (-2)] = 0/7 = 0
U koordinatnom sistemu xy


      Definicija (Ugla nagiba)
Za pravu L koja nije paralelna sa x osom, ugao nagiba je najmanji ugao φ meren u suprotnom smeru od kazaljke na satu iz pravca pozitivnog dela x ose do L.
Za pravu paralelnu sa x osom, uzimamo da je φ = 0
Kao što je prikazano na sledećim figurama.
       


Ako je k koeficijent pravca prave, onda je,
k = uspon/korak
    = Stopa promene y u odnosu na promenu x


      TEOREMA
Za nevertiklanu pravu,koeficijent pravca k i ugao nagiba φ su povezani sa
            k = tan φ


      Primer:
Nađi ugao nagiba za pravu nagiba k = 1 i ugao nagiba za pravu nagiba k = -1


      Rešenje:
  Ako je k=1 tan φ = 1, tako da φ = π/4 = 45°

  Ako je k=-1 tan φ = -1 pošto je, 0 < φ < π φ = 3π/4 = 135°


      TEOREMA Neka su L1 i L2 prave sa koeficijentima pravca k1 i k2, respektivno
  (a)   Prave su paralelne ako i samo ako je      k1 = k2
  (b)   Prave su normalne ako i samo ako je      k1k2 = -1


      Dokaz: (a)
Ako su L1 i L2 nevertiklane prave, tada su njihovi uglovi nagiba φ1 i φ2 jednaki.
            φ12
Stoga
    k1 = tanφ1 = tanφ2 = k2

Suprotno ako su koeficijenti pravca dve prave jednaki, tj.
        M1 = M2
⇒     tan(φ1) = tan(φ2)
⇒         φ1 = φ2
Znači da su linije paralelne.


(b) Pretpostavimo da φ1 < φ2
Tada posmatrajući figuru
k1 = tanφ1 = c/h

k2 = tanφ2 = -h/c


Dokaz za suprotan slučaj je ostavljen za vežbu.


      TEOREMA
Vertikalna prava koja prolazi kroz (a, 0) i horizontalna prava kroz tačke (0, b) su predstavljene, respektivno pomoću jednačine
x = a i y = b
      TEOREMA
Prava koja prolazi kroz P1(x1, y1) i ima nagib k je predstavljena jednačinom
            y - y1 = k(x - x1)

      TEOREMA
Prava određena odsečkom n na y osi i koeficijentom pravca k je predstavljena jednačinom
            y = kx + n
Ovaj oblik se naziva eksplicitna jednačina prave.

Kontakt imejl:

Copyright © 2005 - 2018