Trouglovi

Uzmimo tri tačke koje ne leže na jednoj pravoj i spojimo ih dužima. Dobijena figura je trougao. Te tri tačke su njegova temena, tri duži su njegove stranice, a tri ugla kod temena su njegovi uglovi.

Standardne oznake. U trouglu $ABC$ svaka stranica se označava malim slovom naspramnog temena:

$$a=BC,\qquad b=CA,\qquad c=AB.$$

Uglovi kod temena $A,$ $B$ i $C$ su $\alpha,$ $\beta$ i $\gamma.$ Tako stranica $a$ leži naspram ugla $\alpha,$ stranica $b$ naspram ugla $\beta,$ a stranica $c$ naspram ugla $\gamma.$

Na ovoj stranici: Zbir uglova · Nejednakost trougla · Vrste · Jednakostranični · Jednakokraki · Pravougli · Obim i površina · Značajne duži · Rešeni zadaci · Česte greške · Zadaci za vežbu

Zbir uglova trougla

U svakom trouglu zbir tri ugla je ${180^\circ}.$

$$\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$$

Zašto? Kroz teme $C$ povucimo pravu $p$ paralelnu sa $AB.$ Ugao između $p$ i $CA$ jednak je $\alpha,$ jer su to naizmenični uglovi kod paralelnih pravih $p$ i $AB$ i transverzale $AC.$ Na isti način ugao između $p$ i $CB$ jednak je $\beta.$ Zajedno sa $\gamma$ ova dva ugla čine opruženi ugao kod temena $C,$ pa je ${\alpha+\beta+\gamma=180^\circ}.$

Posledice:

Trougao ima najviše jedan prav ili tup ugao. Najmanje dva njegova ugla su oštra.
Ako su poznata dva ugla, treći je ${180^\circ}$ minus njihov zbir. Za ${\alpha=50^\circ}$ i ${\beta=65^\circ}$ dobijamo ${\gamma=180^\circ-115^\circ=65^\circ}.$
U pravouglom trouglu zbir dva oštra ugla je ${90^\circ}.$
Svaki ugao jednakostraničnog trougla je ${60^\circ}.$

Spoljašnji ugao

Produžimo stranicu $AC$ preko temena $C$ do tačke $D.$ Ugao ${\delta=\sphericalangle BCD}$ između stranice $CB$ i tog produžetka je spoljašnji ugao trougla kod temena $C.$ On je uporedan sa unutrašnjim uglom $\gamma,$ pa je ${\delta+\gamma=180^\circ}.$

Spoljašnji ugao trougla jednak je zbiru dva nesusedna unutrašnja ugla: ${\delta=\alpha+\beta}.$

Zaista, ${\delta=180^\circ-\gamma}$ i ${\alpha+\beta=180^\circ-\gamma}.$ Zato je spoljašnji ugao veći od svakog od dva nesusedna unutrašnja ugla.

Nejednakost trougla

Duž je najkraći put između dve tačke. Put od $B$ direktno do $C$ kraći je od puta preko $A,$ pa je ${a\lt b+c}.$ Isto važi za svaku stranicu.

Svaka stranica trougla manja je od zbira druge dve stranice i veća od njihove razlike:

$$|b-c|\lt a\lt b+c.$$

Da li postoji trougao sa datim stranicama? Uporedimo najveću od tri dužine sa zbirom druge dve.

$5,$ $7$ i $11.$ Pošto je ${11\lt 5+7=12},$ takav trougao postoji.
$3,$ $4$ i $8.$ Pošto je ${8\gt 3+4=7},$ takav trougao ne postoji: dve kraće duži ne mogu da se sastave.
$2,$ $3$ i $5.$ Pošto je ${5=2+3},$ tri tačke bi ležale na jednoj pravoj, pa ni to nije trougao.

Naspram veće stranice leži veći ugao

U svakom trouglu naspram veće od dve stranice leži veći ugao, a naspram većeg od dva ugla leži veća stranica. Naspram jednakih stranica leže jednaki uglovi.

Na primer, ako je ${\alpha=40^\circ},$ ${\beta=60^\circ}$ i ${\gamma=80^\circ},$ onda je ${a\lt b\lt c}.$ U pravouglom trouglu hipotenuza je najveća stranica, jer leži naspram pravog ugla, najvećeg ugla trougla.

Vrste trouglova

Prema stranicama trougao je raznostraničan ako su mu sve stranice različite dužine, jednakokrak ako su mu dve stranice jednake i jednakostraničan ako su mu sve tri stranice jednake. Jednake stranice se obeležavaju istim brojem crtica.

Prema uglovima trougao je oštrougli ako su mu svi uglovi oštri, pravougli ako mu je jedan ugao ${90^\circ}$ i tupougli ako mu je jedan ugao veći od ${90^\circ}.$ Prav ugao se obeležava malim kvadratićem.

Puni naziv sadrži obe podele: trougao sa uglovima ${45^\circ},$ ${45^\circ}$ i ${90^\circ}$ je jednakokraki pravougli trougao. Kako se vrsta određuje prema uglovima ili prema dužinama stranica, objašnjeno je korak po korak na stranici Vrste trouglova.

Jednakostranični trougao

Trougao čije su sve tri stranice jednake zove se jednakostranični trougao. Neka mu je stranica $a.$

Njegova tri ugla su jednaka, pa je svaki od njih ${180^\circ:3=60^\circ}.$
Svaka visina je ujedno i težišna duž i simetrala ugla. Na primer, visina $CD$ pada u središte $D$ stranice $AB$ i polovi ugao kod $C.$
Sve tri visine su jednake. Po Pitagorinoj teoremi za pravougli trougao $ADC$ dobijamo ${h^2=a^2-\left(\frac a2\right)^2=\frac{3a^2}{4}}.$
Ortocentar, težište, centar upisanog i centar opisanog kruga se poklapaju (o tim tačkama vidi niže). Ta tačka $O$ je centar trougla.

Za jednakostranični trougao sa stranicom $a$

$$h=\frac{a\sqrt3}{2},\qquad P=\frac{a^2\sqrt3}{4},\qquad R=\frac{a\sqrt3}{3},\qquad r=\frac{a\sqrt3}{6},$$

gde je $P$ površina, $R$ poluprečnik opisanog kruga, a $r$ poluprečnik upisanog kruga. Primetimo da je ${R=\frac23 h}$ i ${r=\frac13 h}.$

Primer. Za stranicu od 6 cm visina je ${h=\frac{6\sqrt3}{2}=3\sqrt3\approx 5{,}20}$ cm, a površina ${P}={\frac{36\sqrt3}{4}}={9\sqrt3}\approx{15{,}59}$ cm².

Jednakokraki trougao

Trougao kome su dve stranice jednake zove se jednakokraki trougao. Jednake stranice su kraci, a treća stranica je osnovica. Uglovi uz osnovicu su uglovi na osnovici, a ugao između krakova je ugao pri vrhu. Na slici je ${AC=BC},$ a osnovica je $AB.$

Osobine jednakokrakog trougla

Uglovi na osnovici su jednaki: ${\sphericalangle A=\sphericalangle B}.$ Obrnuto, trougao sa dva jednaka ugla je jednakokraki.
Visina na osnovicu je ujedno težišna duž na osnovicu i simetrala ugla pri vrhu. Prava na kojoj leži je osa simetrije trougla.

Ove osobine su dokazane pomoću podudarnih trouglova na stranicama Zadaci: stav SUS i Zadaci: stavovi USU i SSS. Visine na krake su međusobno jednake; jednake su i težišne duži na krake i simetrale uglova na osnovici. Ali visina na krak nije težišna duž (osim ako je trougao jednakostraničan).

Ako su kraci $b,$ a osnovica $c,$ visina $CD$ polovi osnovicu, pa po Pitagorinoj teoremi za trougao $ADC$ dobijamo

${h_c=\sqrt{b^2-\frac{c^2}{4}}}.$

Primer. Kraci su 13 cm, a osnovica 10 cm. Tada je ${h_c}={\sqrt{169-25}}={\sqrt{144}}={12}$ cm, a površina ${\frac12\cdot 10\cdot 12=60}$ cm². Ako je ugao pri vrhu jednakokrakog trougla ${40^\circ},$ svaki ugao na osnovici je ${(180^\circ-40^\circ):2=70^\circ}.$

Pravougli trougao

Trougao sa pravim uglom zove se pravougli trougao. Stranica naspram pravog ugla je hipotenuza i ona je najveća stranica. Stranice koje obrazuju prav ugao su katete.

Na slici je ${\gamma=90^\circ},$ katete su ${a=BC}$ i ${b=CA},$ hipotenuza je ${c=AB},$ a ${CH=h}$ je visina na hipotenuzu. Ona deli hipotenuzu na odsečke ${AH=q}$ i ${HB=p}$ – projekcije kateta $b$ i $a$ na hipotenuzu.

$$\alpha+\beta=90^\circ,\qquad c^2=a^2+b^2\quad\text{(Pitagorina teorema)},$$ $$P=\frac{ab}{2}=\frac{ch}{2},\qquad h=\frac{ab}{c},$$ $$a^2=c\cdot p,\qquad b^2=c\cdot q,\qquad h^2=p\cdot q\quad\text{(Euklidov stav)}.$$

Dokaz za ${a^2=c\cdot p},$ ${b^2=c\cdot q}$ i ${h^2=p\cdot q}$

Trouglovi $ABC$ i $CBH$ su slični: svaki ima prav ugao, a ugao $\beta$ im je zajednički. Zato je ${\frac{c}{a}=\frac{a}{p}},$ tj. ${a^2=c\cdot p}.$ Na isti način trouglovi $ABC$ i $ACH$ imaju zajednički ugao $\alpha,$ pa je ${\frac{c}{b}=\frac{b}{q}}$ i ${b^2=c\cdot q}.$

Slični su i trouglovi $ACH$ i $CBH,$ jer je ${\sphericalangle ACH=90^\circ-\alpha=\beta}.$ Zato je ${\frac{h}{q}=\frac{p}{h}},$ tj. ${h^2=p\cdot q}.$ Sabiranjem prve dve jednakosti dobijamo Pitagorinu teoremu: ${a^2+b^2=c\,(p+q)=c^2}.$ Najzad, površina izračunata preko kateta i preko hipotenuze je ista: ${\frac{ab}{2}=\frac{ch}{2}},$ odakle je ${h=\frac{ab}{c}}.$

Trigonometrijske funkcije. Za oštar ugao $\alpha$

${{\sin\alpha=\frac{a}{c}},\quad{\cos\alpha=\frac{b}{c}},\quad{\tg\alpha=\frac{a}{b}},}$

pa je ${a=c\sin\alpha=c\cos\beta}$ i ${b=c\sin\beta=c\cos\alpha}.$ Više na stranici Trigonometrija pravouglog trougla.

Središte hipotenuze jednako je udaljeno od sva tri temena. Ono je centar opisanog kruga, pa je ${R=\frac{c}{2}},$ a težišna duž na hipotenuzu jednaka je polovini hipotenuze: ${t_c=\frac{c}{2}}.$
Poluprečnik upisanog kruga je ${r=\frac{a+b-c}{2}}.$
U trouglu sa uglovima ${30^\circ},$ ${60^\circ}$ i ${90^\circ}$ kateta naspram ugla od ${30^\circ}$ jednaka je polovini hipotenuze. U jednakokrakom pravouglom trouglu (${45^\circ},$ ${45^\circ},$ ${90^\circ}$) hipotenuza je ${c=a\sqrt2}.$
Obrnuta Pitagorina teorema: ako je ${c^2=a^2+b^2},$ ugao naspram stranice $c$ je prav.

Primer. Katete su ${a=15}$ i ${b=20}.$ Tada je ${c=\sqrt{225+400}=25},$ ${h=\frac{15\cdot 20}{25}=12},$ ${p=\frac{a^2}{c}=\frac{225}{25}=9}$ i ${q=\frac{b^2}{c}=\frac{400}{25}=16}.$ Provera: ${p+q=25=c}$ i ${p\cdot q=144=h^2}.$ Poluprečnik opisanog kruga je ${R=12{,}5},$ a upisanog ${r=\frac{15+20-25}{2}=5}.$ Još zadataka: Pitagorina teorema – zadaci.

Obim i površina

Obim je zbir stranica, ${O=a+b+c},$ a njegova polovina je poluobim ${s=\frac{a+b+c}{2}}.$ Površina $P$ može da se izračuna na više načina; obrazac biramo prema poznatim podacima.

Poznato	Obrazac	Primer
Stranica i visina na nju	${P=\frac12\,a\,h_a}$	${a=10}$ i ${h_a=6}$ daju ${P=30}$
Dve stranice i ugao između njih	${P=\frac12\,ab\sin\gamma}$	${a=8},$ ${b=5},$ ${\gamma=30^\circ}$ daju ${P=\frac12\cdot 8\cdot 5\cdot\frac12=10}$
Tri stranice (Heronov obrazac)	${P}={\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}$	Za $13,$ $14,$ $15$ poluobim je ${s=21}$ i ${P=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=84}$
Poluprečnik $r$ upisanog kruga	${P=s\,r}$	Za $13,$ $14,$ $15$ dobijamo ${r=\frac{84}{21}=4}$
Poluprečnik $R$ opisanog kruga	${P=\frac{abc}{4R}}$	Za $13,$ $14,$ $15$ dobijamo ${R}={\frac{13\cdot 14\cdot 15}{4\cdot 84}}={8{,}125}$

Još obrazaca, i za druge figure: Površina.

Visina, težišna duž, simetrala ugla i simetrala stranice

Visina je duž iz temena normalna na pravu na kojoj leži naspramna stranica. Tri visine (ili prave na kojima leže) seku se u ortocentru. Vidi Visina trougla.
Težišna duž spaja teme sa središtem naspramne stranice. Tri težišne duži seku se u težištu, koje svaku od njih deli u razmeri ${2:1}$ računajući od temena. Vidi Težišne duži trougla.
Simetrala ugla trougla je duž koja polovi ugao kod nekog temena i spaja to teme sa naspramnom stranicom. Tri simetrale uglova seku se u centru upisanog kruga.
Simetrala stranice je prava normalna na stranicu kroz njeno središte. Tri simetrale stranica seku se u centru opisanog kruga.
Srednja linija spaja središta dve stranice. Ona je paralelna trećoj stranici i jednaka njenoj polovini. Vidi Srednja linija.

Podudarni i slični trouglovi

Dva trougla su podudarna ako se jedan može pomeriti na drugi tako da se poklope; tada su im sve odgovarajuće stranice i uglovi jednaki. Da bismo to dokazali, dovoljne su tri dobro izabrane jednakosti: vidi Podudarnost trouglova i rešene zadatke za stav SUS i za stavove USU i SSS. Trouglovi istog oblika, ali možda različite veličine, su slični: uglovi su im jednaki, a stranice proporcionalne. Vidi Sličnost trouglova.

Rešeni zadaci

Zadatak 1. Uglovi trougla odnose se kao ${2:3:4}.$ Odredite ih.

Rešenje. Neka su uglovi $2k,$ $3k$ i $4k.$ Tada je ${2k+3k+4k=180^\circ},$ tj. ${9k=180^\circ}$ i ${k=20^\circ}.$ Uglovi su ${40^\circ},$ ${60^\circ}$ i ${80^\circ}.$

Zadatak 2. Da li postoji trougao sa stranicama 4 cm, 7 cm i 12 cm?

Rešenje. Ne. Najveća stranica je predugačka: ${12\gt 4+7=11}.$

Zadatak 3. Dve stranice trougla su 5 cm i 9 cm. Kolika može biti treća stranica? Kolika je ona ako je trougao jednakokraki?

Rešenje. Po nejednakosti trougla ${9-5\lt x\lt 9+5},$ tj. ${4\lt x\lt 14}.$ Ako je trougao jednakokraki, treća stranica je jednaka jednoj od druge dve, tj. 5 cm ili 9 cm. Oba broja su između 4 i 14, pa su moguća oba slučaja.

Zadatak 4. Spoljašnji ugao kod temena $C$ je ${130^\circ},$ a ${\alpha=55^\circ}.$ Odredite $\beta$ i $\gamma.$

Rešenje. ${\gamma=180^\circ-130^\circ=50^\circ}.$ Spoljašnji ugao je jednak ${\alpha+\beta},$ pa je ${\beta=130^\circ-55^\circ=75^\circ}.$ Provera: ${55^\circ+75^\circ+50^\circ=180^\circ}.$

Zadatak 5. Jedan ugao jednakokrakog trougla je ${100^\circ}.$ Odredite druga dva ugla.

Rešenje. Ugao od ${100^\circ}$ ne može biti ugao na osnovici: dva jednaka ugla na osnovici dala bi ${200^\circ}.$ Dakle, to je ugao pri vrhu, a svaki ugao na osnovici je ${(180^\circ-100^\circ):2=40^\circ}.$

Zadatak 6. Obim jednakostraničnog trougla je 18 cm. Odredite njegovu visinu i površinu.

Rešenje. Stranica je ${a=18:3=6}$ cm. Tada je ${h=\frac{6\sqrt3}{2}=3\sqrt3\approx 5{,}20}$ cm i ${P}={\frac{36\sqrt3}{4}}={9\sqrt3}\approx{15{,}59}$ cm².

Zadatak 7. Katete pravouglog trougla su 6 cm i 8 cm. Odredite hipotenuzu, visinu na hipotenuzu i odsečke na koje ta visina deli hipotenuzu.

Rešenje. ${c=\sqrt{36+64}=10}$ cm i ${h=\frac{6\cdot 8}{10}=4{,}8}$ cm. Projekcija katete 6 je ${\frac{36}{10}=3{,}6}$ cm, a projekcija katete 8 je ${\frac{64}{10}=6{,}4}$ cm. Provera: ${3{,}6+6{,}4=10}$ i ${3{,}6\cdot 6{,}4}={23{,}04}={4{,}8^2}.$

Zadatak 8. Odredite površinu trougla sa stranicama 13 cm, 14 cm i 15 cm i visinu na stranicu od 14 cm.

Rešenje. ${s=\frac{13+14+15}{2}=21},$ pa po Heronovom obrascu ${P}={\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}}={\sqrt{7056}}={84}$ cm². Visina je ${h=\frac{2P}{14}=\frac{168}{14}=12}$ cm.

Česte greške

Greška	Pogrešno	Tačno
Nejednakost trougla proverena samo za jednu stranicu	$2,$ $3,$ $6$ su stranice trougla, jer je ${2+6\gt 3}$	Proverava se najveća stranica: ${6\gt 2+3},$ pa takav trougao ne postoji
Za hipotenuzu uzeta pogrešna stranica	Hipotenuza je 13, a kateta 5, pa je druga kateta ${\sqrt{13^2+5^2}}$	${\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12}$
${P=\frac12 ab}$ za bilo koje dve stranice	Dve stranice su 5 i 8, pa je ${P=20}$	${P=\frac12\,ab\sin\gamma};$ površina je $20$ samo ako je ${\gamma=90^\circ}$
Heronov obrazac sa obimom	Za stranice $3,$ $4,$ $5$ piše se ${P=\sqrt{12\cdot 9\cdot 8\cdot 7}}$	${s=6},$ pa je ${P=\sqrt{6\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=6}$
Dva tupa ugla	Jednakokraki trougao sa uglovima na osnovici od ${100^\circ}$	Nemoguće: ${100^\circ+100^\circ\gt 180^\circ}.$ Tup može biti samo ugao pri vrhu
Svaka visina jednakokrakog trougla uzeta za težišnu duž	Ako je ${AC=BC},$ visina iz $A$ pada u središte $BC$	Samo visina na osnovicu $AB$ je ujedno i težišna duž (osim ako je trougao jednakostraničan)

Zadaci za vežbu

Rešite ih sami, pa otvorite rešenje.

1. Dva ugla trougla su ${47^\circ}$ i ${68^\circ}.$ Odredite treći ugao.

${180^\circ-47^\circ-68^\circ=65^\circ}$

2. Da li postoji trougao sa stranicama 6, 10 i 15? Ako postoji, da li je oštrougli, pravougli ili tupougli?

Postoji, jer je ${15\lt 6+10=16}.$ Pošto je ${15^2}={225}\gt{6^2+10^2}={136},$ ugao naspram stranice 15 je tup: trougao je tupougli. (To pravilo je objašnjeno na stranici Vrste trouglova.)

3. Jedan ugao jednakokrakog trougla je ${110^\circ}.$ Odredite druga dva ugla.

${110^\circ}$ mora biti ugao pri vrhu, pa je svaki ugao na osnovici ${(180^\circ-110^\circ):2=35^\circ}.$

4. Spoljašnji ugao kod temena $B$ je ${100^\circ},$ a ${\alpha=30^\circ}.$ Odredite $\beta$ i $\gamma.$

${\beta=180^\circ-100^\circ=80^\circ}$ i ${\gamma=100^\circ-30^\circ=70^\circ}.$

5. Odredite visinu i površinu jednakostraničnog trougla sa stranicom 10 cm.

${h=\frac{10\sqrt3}{2}=5\sqrt3\approx 8{,}66}$ cm i ${P}={\frac{100\sqrt3}{4}}={25\sqrt3}\approx{43{,}30}$ cm².

6. Katete pravouglog trougla su 9 i 12. Odredite hipotenuzu, površinu i visinu na hipotenuzu.

${c=\sqrt{81+144}=15},$ ${P=\frac{9\cdot 12}{2}=54}$ i ${h=\frac{9\cdot 12}{15}=7{,}2}.$

7. Hipotenuza pravouglog trougla je 26, a jedna kateta 10. Odredite drugu katetu i površinu.

${b}={\sqrt{676-100}}={\sqrt{576}}={24}$ i ${P=\frac{10\cdot 24}{2}=120}.$

8. Jednakokraki trougao ima obim 32 cm i osnovicu 12 cm. Odredite krake, visinu na osnovicu i površinu.

Svaki krak je ${(32-12):2=10}$ cm. Visina je ${\sqrt{10^2-6^2}=8}$ cm, a površina ${\frac12\cdot 12\cdot 8=48}$ cm².

9. Odredite površinu trougla sa stranicama 7, 8 i 9.

${s=12},$ pa je ${P}={\sqrt{12\cdot 5\cdot 4\cdot 3}}={\sqrt{720}}={12\sqrt5}\approx{26{,}83}.$

10. Visina na hipotenuzu deli je na odsečke 4 i 9. Odredite visinu i katete.

${h=\sqrt{4\cdot 9}=6}.$ Hipotenuza je ${c=13},$ pa su katete ${\sqrt{13\cdot 4}=2\sqrt{13}\approx 7{,}21}$ i ${\sqrt{13\cdot 9}=3\sqrt{13}\approx 10{,}82}.$

Još o trouglovima: Vrste · Visina · Težišne duži · Podudarnost · Sličnost trouglova