Merenje uglova

Ugao obrazuju dve poluprave sa zajedničkom početnom tačkom. Ta tačka je teme ugla, a poluprave su njegovi kraci. Mera ugla pokazuje za koliko jedan krak treba zaokrenuti oko temena da bi se poklopio sa drugim krakom.

Uglovi se mere u stepenima ili u radijanima. U ovoj lekciji objašnjene su obe jedinice i pretvaranje jedne u drugu, a pokazano je i šta znače uglovi veći od $360^\circ$ i negativni uglovi. Svoje rezultate možete da proverite pomoću kalkulatora na vrhu stranice.

Na ovoj stranici: Stepeni · Minuti i sekundi · Uglovi veći od 360° · Pozitivni i negativni uglovi · Radijani · Stepeni i radijani · Dužina luka i površina isečka · Uglovi van opsega od 0 do 2π · Zadaci

Stepeni

Pun obrt se deli na 360 jednakih delova. Svaki takav deo je jedan stepen, u oznaci $1^\circ.$ Dakle, $1^\circ$ je $\frac{1}{360}$ punog obrta, a pun obrt (pun ugao) ima $360^\circ.$

Četvrtina obrta je $90^\circ,$ polovina obrta $180^\circ,$ a tri četvrtine obrta $270^\circ.$ Prema svojoj meri, ugao je:

• oštar ako mu je mera između $0^\circ$ i $90^\circ;$
• prav ako mu je mera tačno $90^\circ;$
• tup ako mu je mera između $90^\circ$ i $180^\circ;$
• opružen ako mu je mera tačno $180^\circ;$
• nekonveksan ako mu je mera između $180^\circ$ i $360^\circ.$

Više o vrstama uglova: Klasifikacija uglova.

Merenje ugla uglomerom

1. Postavite centar uglomera na teme ugla.
2. Okrenite uglomer tako da se njegova nulta linija poklopi sa jednim krakom ugla.
3. Očitajte broj na mestu gde drugi krak seče skalu. Uglomer ima dve skale: koristite onu na kojoj je prvi krak na nuli.

Na slici ugao ima $50^\circ,$ a ne $130^\circ\text{:}$ prvi krak prolazi kroz nulu spoljašnje skale, pa ugao očitavamo na spoljašnjoj skali. Pomaže i brza provera: ugao je oštar, pa mu mera mora biti manja od $90^\circ.$

Minuti i sekundi

Delovi stepena zapisuju se decimalnim brojem, na primer $37{,}5^\circ,$ ili pomoću manjih jedinica, koje se zovu minut i sekund.

Jedan stepen ima 60 minuta, a jedan minut 60 sekundi: ${1^\circ=60'},$ ${1'=60''},$ pa je ${1^\circ=3600''}.$

Primer 1. Zapišite $37{,}42^\circ$ u stepenima, minutima i sekundima.

Rešenje. Ceo deo je $37^\circ.$ Ostatak je ${0{,}42^\circ}={0{,}42\cdot60'}={25{,}2'},$ to jest $25'$ i još $0{,}2'.$ Dalje je ${0{,}2'}={0{,}2\cdot60''}={12''}.$ Dakle, ${37{,}42^\circ=37^\circ25'12''}.$

Primer 2. Zapišite $12^\circ45'36''$ u stepenima, decimalnim brojem.

Rešenje. ${12^\circ45'36''}={12^\circ+\frac{45^\circ}{60}+\frac{36^\circ}{3600}}$ $={12^\circ+0{,}75^\circ+0{,}01^\circ}={12{,}76^\circ}.$

Primer 3. Izračunajte ${48^\circ35'+27^\circ50'}$ i ${90^\circ-34^\circ27'}.$

Rešenje. Sabiramo stepene sa stepenima, a minute sa minutima: ${48^\circ35'+27^\circ50'}={75^\circ85'}.$ Pošto je ${85'=1^\circ25'},$ zbir je $76^\circ25'.$ Da bismo oduzeli, najpre $90^\circ$ zapisujemo kao $89^\circ60'$ i dobijamo ${89^\circ60'-34^\circ27'}={55^\circ33'}.$

Uglovi veći od 360°

Uglom se može opisati i obrtanje (rotacija). Točak, kazaljka na satu ili klizačica na ledu mogu da naprave i više od jednog punog obrta, i tada je ugao obrtanja veći od $360^\circ.$ Na primer, točak koji napravi dva puna obrta obrne se za ${2\cdot360^\circ=720^\circ}.$

Primer 4. Koliko obrta napravi telo kada se obrne za a) $380^\circ;$ b) $770^\circ;$ c) $1000^\circ?$

Rešenje.

a) ${380^\circ=1\cdot360^\circ+20^\circ}\text{:}$ jedan pun obrt i još $20^\circ.$ Pošto je $20^\circ$ isto što i ${\frac{20}{360}=\frac{1}{18}}$ obrta, telo napravi $1\frac{1}{18}$ obrta.

b) ${770^\circ=2\cdot360^\circ+50^\circ}\text{:}$ dva puna obrta i još $50^\circ,$ kao na slici iznad, to jest ${2\frac{50}{360}=2\frac{5}{36}}$ obrta.

c) ${{1000^\circ=2\cdot360^\circ+280^\circ}\text{:}}$ dva puna obrta i još $280^\circ,$ to jest ${2\frac{280}{360}=2\frac{7}{9}}$ obrta.

Pozitivni i negativni uglovi

Obrtanje ima smer. Krak od kog obrtanje polazi naziva se početni krak ugla, a krak na kom se zaustavlja završni krak.

Obrtanje suprotno od smera kazaljke na satu meri se pozitivnim uglom, a obrtanje u smeru kazaljke na satu negativnim uglom.

U koordinatnom sistemu ugao se obično crta u standardnom položaju: teme je u koordinatnom početku, a početni krak je na pozitivnom delu $x$-ose. Tada je završni krak ugla od $90^\circ$ usmeren naviše, završni krak ugla od $180^\circ$ ulevo, a završni krak ugla od $270^\circ$ naniže. Naniže je usmeren i završni krak ugla od $-90^\circ.$

Uglovi sa zajedničkim završnim krakom

Uglovi $270^\circ$ i $-90^\circ$ opisuju različita obrtanja, ali polaze od istog početnog kraka i zaustavljaju se na istom mestu: završni kraci im se poklapaju. Takvi uglovi su uglovi sa zajedničkim završnim krakom (koterminalni uglovi). Pun obrt vraća završni krak tamo gde je bio, pa važi:

Kada uglu dodamo ili od njega oduzmemo $360^\circ$ proizvoljan broj puta, dobijamo ugao sa istim završnim krakom, i svaki takav ugao može se dobiti na taj način: uglovi koji imaju zajednički završni krak sa uglom $\alpha$ jesu uglovi ${\alpha+k\cdot360^\circ},$ gde je $k$ ceo broj.

• Da bismo za negativan ugao našli pozitivan ugao sa istim završnim krakom, dodajemo $360^\circ$ sve dok rezultat ne postane pozitivan.
• Da bismo za pozitivan ugao našli negativan ugao sa istim završnim krakom, oduzimamo $360^\circ$ sve dok rezultat ne postane negativan.
• Svaki ugao ima zajednički završni krak sa tačno jednim uglom koji nije manji od $0^\circ,$ a manji je od $360^\circ.$ Za pozitivan ugao to je ostatak pri deljenju sa $360^\circ.$

Primer 5. Odredite najmanji pozitivan ugao koji ima zajednički završni krak sa uglom a) $-35^\circ;$ b) $-60^\circ;$ c) $-180^\circ;$ d) $-670^\circ.$

Rešenje. Dodajemo $360^\circ$ sve dok ugao ne postane pozitivan.

a) ${-35^\circ+360^\circ=325^\circ}$

b) ${-60^\circ+360^\circ=300^\circ}$

c) ${-180^\circ+360^\circ=180^\circ}$

d) Ugao ${-670^\circ+360^\circ=-310^\circ}$ je i dalje negativan, pa dodajemo $360^\circ$ još jednom: ${-310^\circ+360^\circ=50^\circ}.$ U jednom koraku: ${-670^\circ+2\cdot360^\circ=50^\circ}.$

Primer 6. Odredite negativan ugao najbliži nuli koji ima zajednički završni krak sa uglom a) $80^\circ;$ b) $167^\circ;$ c) $330^\circ;$ d) $1300^\circ.$

Rešenje. Oduzimamo $360^\circ$ sve dok ugao ne postane negativan.

a) ${80^\circ-360^\circ=-280^\circ}$

b) ${167^\circ-360^\circ=-193^\circ}$

c) ${330^\circ-360^\circ=-30^\circ}$

d) ${1300^\circ-360^\circ=940^\circ},$ ${940^\circ-360^\circ=580^\circ},$ ${580^\circ-360^\circ=220^\circ},$ ${220^\circ-360^\circ=-140^\circ}.$ U jednom koraku: ${1300^\circ-4\cdot360^\circ}={-140^\circ}.$ Iz trećeg oduzimanja vidi se i da je ${{1300^\circ=3\cdot360^\circ+220^\circ}\text{:}}$ tri puna obrta i još $220^\circ.$

Zajednički završni krak ne znači da su uglovi jednaki. Uglovi $1300^\circ$ i $-140^\circ$ opisuju različita obrtanja: više od tri i po obrta u jednom smeru i manje od pola obrta u drugom. Isti im je samo krajnji položaj, pa je pogrešno pisati ${1300^\circ=-140^\circ}.$ Ipak, trigonometrijske funkcije imaju iste vrednosti za oba ugla, na primer ${\sin1300^\circ=\sin(-140^\circ)}.$

Radijani

Stepen je praktična jedinica, ali je broj 360 stvar dogovora. Radijan proizlazi iz same kružnice.

Jedan radijan (1 rad) je centralni ugao nad lukom čija je dužina jednaka poluprečniku kružnice. (Centralni ugao je ugao čije je teme u centru kružnice.)

Na slici je luk $AB$ dug koliko i poluprečnik $r,$ pa je ${\sphericalangle AOB=1\text{ rad}}.$ Dvaput dužem luku odgovara ugao od 2 rad, i tako dalje. Uopšte, centralni ugao kome u kružnici poluprečnika $r$ odgovara luk dužine $l$ ima radijansku meru

$$\alpha=\frac{l}{r}.$$

Pri tome $l$ i $r$ moraju biti izraženi istom jedinicom dužine. Jedinice se tada skrate, pa je radijanska mera samo broj.

Cela kružnica je luk dužine $2\pi r,$ pa pun obrt ima ${\frac{2\pi r}{r}=2\pi}$ radijana.

Pun obrt ima $2\pi$ radijana, a pola obrta $\pi$ radijana: ${360^\circ=2\pi\text{ rad}},$ ${180^\circ=\pi\text{ rad}}.$

Odavde je ${1\text{ rad}=\frac{180^\circ}{\pi}\approx57{,}3^\circ}$ i ${1^\circ}={\frac{\pi}{180}\text{ rad}}\approx{0{,}01745\text{ rad}}.$

Uglovi u radijanima obično se zapisuju pomoću broja $\pi,$ jer su tako zapisi najčešćih uglova tačni i kratki: $\frac{\pi}{2}$ umesto $1{,}570796\ldots$ Oznaka „rad” obično se izostavlja. Ugao zapisan bez jedinice, na primer $\frac{\pi}{3}$ ili $2,$ izražen je u radijanima; uz ugao u stepenima uvek se piše oznaka za stepen.

Pretvaranje stepena u radijane i obrnuto

Dovoljno je zapamtiti da je $\pi$ radijana isto što i $180^\circ.$ Kada je ugao zapisan pomoću broja $\pi,$ jednostavno zamenimo $\pi$ sa $180^\circ\text{:}$ na primer, ${\frac{\pi}{6}=\frac{180^\circ}{6}=30^\circ}.$

Stepeni	Radijani	Stepeni	Radijani
$30^\circ$	$\frac{\pi}{6}$	$210^\circ$	$\frac{7\pi}{6}$
$45^\circ$	$\frac{\pi}{4}$	$225^\circ$	$\frac{5\pi}{4}$
$60^\circ$	$\frac{\pi}{3}$	$240^\circ$	$\frac{4\pi}{3}$
$90^\circ$	$\frac{\pi}{2}$	$270^\circ$	$\frac{3\pi}{2}$
$120^\circ$	$\frac{2\pi}{3}$	$300^\circ$	$\frac{5\pi}{3}$
$135^\circ$	$\frac{3\pi}{4}$	$315^\circ$	$\frac{7\pi}{4}$
$150^\circ$	$\frac{5\pi}{6}$	$330^\circ$	$\frac{11\pi}{6}$
$180^\circ$	$\pi$	$360^\circ$	$2\pi$

Primer 7. Pretvorite u radijane uglove $240^\circ,$ $45^\circ,$ $270^\circ,$ $750^\circ$ i $390^\circ.$

Rešenje. Svaki ugao množimo sa $\frac{\pi}{180^\circ}$ i skraćujemo razlomak.

${240^\circ}={240^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}}={\frac{4\pi}{3}}$

${45^\circ=45^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}=\frac{\pi}{4}}$

${270^\circ}={270^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}}={\frac{3\pi}{2}}$

${750^\circ}={750^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}}={\frac{25\pi}{6}}$

${390^\circ}={390^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}}={\frac{13\pi}{6}}$

Primer 8. Pretvorite u stepene: a) $\frac{5\pi}{4};$ b) $3{,}12\pi;$ c) $2{,}4\text{ rad}.$

Rešenje.

a) ${\frac{5\pi}{4}=\frac{5\cdot180^\circ}{4}=225^\circ}$

b) ${3{,}12\pi}={3{,}12\cdot180^\circ}={561{,}6^\circ}$

c) U zapisu ovog ugla nema broja $\pi,$ pa množimo sa $\frac{180^\circ}{\pi}$ i dobijamo ${2{,}4\cdot\frac{180^\circ}{\pi}}={\frac{432^\circ}{\pi}}\approx{137{,}5^\circ}.$

Dužina luka i površina kružnog isečka

Sa radijanima formule za kružnicu i krug postaju kratke. Iz ${\alpha=\frac{l}{r}}$ sledi da je dužina luka jednaka proizvodu poluprečnika i ugla. Kružni isečak sa centralnim uglom $\alpha$ čini $\frac{\alpha}{2\pi}$ kruga, pa je njegova površina ${\frac{\alpha}{2\pi}\cdot\pi r^2=\frac{1}{2}r^2\alpha}.$

Za centralni ugao od $n^\circ$ iste formule glase ${l=\frac{\pi rn}{180}}$ i ${P=\frac{\pi r^2n}{360}}.$

Primer 9. Poluprečnik kruga je $6\text{ cm}.$ Izračunajte dužinu luka i površinu kružnog isečka koji odgovaraju centralnom uglu od $120^\circ.$

Rešenje. U radijanima je ${120^\circ=\frac{2\pi}{3}}.$ Tada je ${l}={6\cdot\frac{2\pi}{3}}={4\pi}\approx{12{,}57\text{ cm}}$ i ${P}={\frac{1}{2}\cdot6^2\cdot\frac{2\pi}{3}}={12\pi}\approx{37{,}70\text{ cm}^2}.$

Negativni uglovi i uglovi veći od $2\pi$ radijana

Sve što je rečeno o obrtima i o uglovima sa zajedničkim završnim krakom važi i u radijanima, samo umesto $360^\circ$ stoji $2\pi.$ Pun obrt je $2\pi,$ uglovi $\alpha$ i ${\alpha+2\pi k}$ imaju zajednički završni krak za svaki ceo broj $k,$ a pri obrtanju za ugao $\alpha$ napravi se $\frac{\alpha}{2\pi}$ obrta.

Primer 10. Odredite najmanji pozitivan ugao koji ima zajednički završni krak sa uglom a) $-\frac{3\pi}{4};$ b) $-\frac{5\pi}{7}.$

Rešenje. Svakom uglu dodajemo $2\pi.$

a) ${-\frac{3\pi}{4}+2\pi}={-\frac{3\pi}{4}+\frac{8\pi}{4}}={\frac{5\pi}{4}}$

b) ${-\frac{5\pi}{7}+2\pi}={-\frac{5\pi}{7}+\frac{14\pi}{7}}={\frac{9\pi}{7}}$

Primer 11. Koliko obrta i u kom smeru napravi telo kada se obrne za a) $-10\pi;$ b) $9\pi;$ c) $\frac{7\pi}{2}?$

Rešenje. Svaki ugao delimo sa $2\pi.$

a) ${\frac{-10\pi}{2\pi}=-5}\text{:}$ pet punih obrta u smeru kazaljke na satu.

b) ${\frac{9\pi}{2\pi}=4{,}5}\text{:}$ četiri i po obrta suprotno od smera kazaljke na satu, jer je ${9\pi=4\cdot2\pi+\pi}.$

c) ${\frac{7\pi}{2}\cdot\frac{1}{2\pi}=\frac{7}{4}=1\frac{3}{4}}\text{:}$ jedan i tri četvrtine obrta suprotno od smera kazaljke na satu, jer je ${\frac{7\pi}{2}=2\pi+\frac{3\pi}{2}}.$

Primer 12. Odredite ugao $\alpha$ za koji je ${0\le\alpha\lt2\pi}$ i koji ima zajednički završni krak sa uglom a) $\frac{25\pi}{6};$ b) $-\frac{8\pi}{3}.$

Rešenje.

a) ${\frac{25\pi}{6}}={\frac{24\pi}{6}+\frac{\pi}{6}}={2\cdot2\pi+\frac{\pi}{6}},$ pa je traženi ugao $\frac{\pi}{6}.$

b) ${-\frac{8\pi}{3}+2\cdot2\pi}={-\frac{8\pi}{3}+\frac{12\pi}{3}}={\frac{4\pi}{3}}.$

Zadaci za vežbu

1. Pretvorite u radijane: $15^\circ,$ $72^\circ,$ $150^\circ,$ $315^\circ,$ $540^\circ.$

Rešenje

$\frac{\pi}{12},$ $\frac{2\pi}{5},$ $\frac{5\pi}{6},$ $\frac{7\pi}{4},$ $3\pi.$

2. Pretvorite u stepene: $\frac{\pi}{5},$ $\frac{7\pi}{6},$ $\frac{11\pi}{12},$ $3\text{ rad}.$

Rešenje

$36^\circ,$ $210^\circ,$ $165^\circ,$ ${\frac{540^\circ}{\pi}\approx171{,}9^\circ}.$

3. a) Zapišite $25{,}3^\circ$ u stepenima i minutima. b) Zapišite $48^\circ21'36''$ u stepenima, decimalnim brojem.

Rešenje

a) ${0{,}3\cdot60'=18'},$ pa je ${25{,}3^\circ=25^\circ18'}.$

b) ${48^\circ+\frac{21^\circ}{60}+\frac{36^\circ}{3600}}={48^\circ+0{,}35^\circ+0{,}01^\circ}={48{,}36^\circ}.$

4. Izračunajte ${37^\circ48'+25^\circ35'}.$ Zatim odredite ugao koji treba dodati uglu $37^\circ48'$ da bi se dobio prav ugao.

Rešenje

${37^\circ48'+25^\circ35'}={62^\circ83'}={63^\circ23'}.$

${90^\circ-37^\circ48'}={89^\circ60'-37^\circ48'}={52^\circ12'}.$

5. Točak se obrne za $1500^\circ.$ Koliko punih obrta napravi i koliki ugao preostane?

Rešenje

${{1500^\circ=4\cdot360^\circ+60^\circ}\text{:}}$ četiri puna obrta i još $60^\circ,$ to jest $4\frac{1}{6}$ obrta.

6. Odredite ugao $\beta$ za koji je ${0^\circ\le\beta\lt360^\circ}$ i koji ima zajednički završni krak sa uglom a) $-1000^\circ;$ b) $2024^\circ.$

Rešenje

a) ${-1000^\circ+3\cdot360^\circ=80^\circ}.$

b) ${2024^\circ-5\cdot360^\circ=224^\circ}.$

7. Odredite ugao $\alpha$ za koji je ${0\le\alpha\lt2\pi}$ i koji ima zajednički završni krak sa uglom a) $\frac{17\pi}{4};$ b) $-\frac{11\pi}{3}.$

Rešenje

a) ${\frac{17\pi}{4}-2\cdot2\pi}={\frac{17\pi}{4}-\frac{16\pi}{4}}={\frac{\pi}{4}}.$

b) ${-\frac{11\pi}{3}+2\cdot2\pi}={-\frac{11\pi}{3}+\frac{12\pi}{3}}={\frac{\pi}{3}}.$

8. Za koliki ugao se obrne minutna kazaljka sata tokom 25 minuta? Odgovor zapišite sa znakom, u stepenima i u radijanima.

Rešenje

Minutna kazaljka napravi pun obrt za 60 minuta, pa se za 25 minuta obrne za ${\frac{25}{60}\cdot360^\circ=150^\circ}.$ Ona se obrće u smeru kazaljke na satu, pa je ugao ${-150^\circ=-\frac{5\pi}{6}}.$

9. Točak napravi $2{,}5$ obrta suprotno od smera kazaljke na satu. Odredite ugao obrtanja u stepenima i u radijanima.

Rešenje

${2{,}5\cdot360^\circ=900^\circ},$ što je ${2{,}5\cdot2\pi=5\pi}$ radijana.

10. Zemlja se jednom obrne oko svoje ose za približno 24 sata. Za koliki ugao se obrne tokom jednog sata? Odgovor zapišite u stepenima i u radijanima.

Rešenje

${\frac{360^\circ}{24}=15^\circ},$ što je $\frac{\pi}{12}$ radijana.

11. Poluprečnik kruga je $10\text{ cm}.$ Izračunajte dužinu luka i površinu kružnog isečka koji odgovaraju centralnom uglu od $54^\circ.$

Rešenje

U radijanima je ${54^\circ=\frac{54\pi}{180}=\frac{3\pi}{10}}.$ Tada je ${l}={10\cdot\frac{3\pi}{10}}={3\pi}\approx{9{,}42\text{ cm}}$ i ${P}={\frac{1}{2}\cdot10^2\cdot\frac{3\pi}{10}}={15\pi}\approx{47{,}12\text{ cm}^2}.$

12. Luk kružnice poluprečnika $8\text{ cm}$ dug je $20\text{ cm}.$ Odredite odgovarajući centralni ugao u radijanima i u stepenima.

Rešenje

${\alpha=\frac{l}{r}=\frac{20}{8}=2{,}5\text{ rad}},$ što je ${2{,}5\cdot\frac{180^\circ}{\pi}\approx143{,}2^\circ}.$

Pogledajte i: Klasifikacija uglova · Uglovi na paralelnim pravama · Kružnica · Trigonometrija