Merenje uglova

Ugao:   =
Pretvoriti u:

Dve prave koje se seku dele ravan na četiri dela u odnosu na tačku preseka.
Te delove ravni nazivamo uglovima.


Slika pokazuje 4 različita ugla formirana presekom dve prave AB i CD

Uglovi se uobičajeno mere stepenima što obeležavamo sa °. Kada se neka tačka kreće duž čitave kružnice, što znači od tačke D kroz tačke B, C A, i vrati se u tačku D onda kažemo da je opisala ugao od 360 stepeni (360°). Stoga je stepen jednak 360-tom delu kružnice.
360-ti deo kružnice

Uglovi veći od 360 stepeni

Rekli smo da kada tačka obiđe čitavu kružnicu ona opiše 360°, stoga, kada tačka obiđe više od jedne kružnice onda ona opiše ugao veći od 360 stepeni. Ovo je uobičajena pojava u svakodnevnom životu. Točkovi načine mnogo obrtaja tokom kretanja vozila; oni opišu ugao veći od 360°.

Da bismo odredili broj krugova koji načini neka tačka tokom rotacije treba da izbrojimo koliko puta treba broj 360 sabrati da bi se dobio broj manji ili jednak datom uglu. Dakle, treba da nađemo broj sa kojim treba pomnožiti 360 da bismo dobili broj koji je manji ili jednak datom uglu.

Primer 2
1. Odredi broj obrtaja koji načini neki objekat koji je opisao ugao od
a) 380°
b) 770°
c) 1000°
Rešenje
a) 380 = (1 × 360) + 20
Ovaj objekat je napravio jedan obrtaj i 20°
Dakle $20^{\circ} = \frac{20}{360} = \frac{1}{18}$ obrtaja
Objekat je napravio $1\frac{1}{18}$ obrtaja.

b) 2 × 360 = 720
770 = (2 × 360) + 50
Ovaj objekat je npravio dva obrtaja i 50°
$50^{\circ} = \frac{50}{360} = \frac{5}{36}$ obrtaja
On je napravio $2\frac{5}{36}$ obrtaja
c)2 × 360 = 720
1000 = (2 × 360) + 280
$280^{\circ} = \frac{260}{360} = \frac{7}{9}$ obrtaja
Objekat je napravio $2\frac{7}{9}$ obrtaja

Pozitivni i negativni uglovi

Kada objekat rotira u smeru suprotnom od smera kazaljke na satu on opisuje negativan ugao, a kada rotira u smeru kazaljke na satu opisuje pozitivan ugao. Dakle, do sada smo pričali samo o pozitivnim uglovima.

Na diagramu, negativan ugao se predstavlja kao na slici ispod.

Sledeća slika pokazuje znak ugla koji se meri od uobičajene prave koja označava 0 stepeni
pozitivni i negativni uglovi

Iz ovoga sledi da za dati negativni ugao možemo odrediti odgovarajući pozitivni ugao.
Donji deo vertikalne linije je pod uglom 270°. Kada merimo u negativnom smeru ugao je -90°. Jednostavno oduzmemo 270 od 360. Datom negativnom uglu dodaćemo 360 kako bismo dobili odgovarajući pozitivni ugao.
Ako je neki ugao -360°, znači da je neki objekat opisao više od jednog obrtaja u smeru kazaljke na satu.

Primer 3
1. Nađi odgovarajući pozitivan ugao uglu
a) -35°
b) -60°
c) -180°
d) - 670°

2. Nađi odgovarajući negativan ugao uglovima 80°, 167°, 330°i 1300°.
Rešenje
1. Dodaćemo 360 uglu kako bismo dobili odgovarajući pozitivan ugao.
a) -35°= 360 + (-35) = 360 - 35 = 325°
b) -60°= 360 + (-60) = 360 - 60 = 300°
c) -180°= 360 + (-180) = 360 - 180 = 180°
d) -670°= 360 + (-670) = -310
Ovo je jedan obrtaj u smeru kazaljke na satu (360)
360 + (-310) = 50°
Ugao je 360 + 50 = 410°

2. Oduzećemo 360 od ugla kako bismo dobili odgovarajući negativan ugao.
80° = 80 - 360 = - 280°
167° = 167 - 360 = -193°
330° = 330 - 360 = -30°
1300° = 1300 - 360 = 940 (prvi obrtaj)
940 - 360 = 580 (drugi obrtaj)
580 - 360 = 220 (treći obrtaj)
220 - 360 = -140°
Ovaj ugao je -360 - 360 - 360 - 140 = -1220°
Pa je 1300° = -1220°

Radian

Radian je ugao sa temenom u centru kružnice čiji je kružni luk jedan poluprečniku te kružnice. To je takođe merna jedinica koja se koristi za merenje uglova. Ovaj ugao je približno jednak 57,3°.
Najčešće oznaka je rad.
Dakle $1 rad \approx 57,3^{\circ}$
jedan radian
Poluprečnik = r = OA = OB = AB
Ugao BOA ima meru 1 radian

Pošto je obim jednak $2\pi r$, odnosno $2\pi$ radius, znači da ceo krug ima $2\pi$ radiana.

Radiani se uobičajeno izražavaju u zavisnosti od $\pi$ da se izbegne korišćenje decimalnih brojeva u računanju. U mnogim knjigama oznaka rad se ne zapisuje, ali čitalac lako zaključi da je ugao dat u radianima jer je predstavljen u zavisnosti od $\pi$.

Neki osnovni uglovi u radianima:

$360^{\circ} = 2\pi\ rad$
$180^{\circ} = \pi\ rad$
$90^{\circ} = \frac{\pi}{2} rad$

$30^{\circ} = \frac{30}{180}\pi = \frac{\pi}{6} rad$

$45^{\circ} = \frac{45}{180}\pi = \frac{\pi}{4} rad$

$60^{\circ} = \frac{60}{180}\pi = \frac{\pi}{3} rad$

$270^{\circ} = \frac{270}{180}\pi = \frac{27}{18}\pi = 1\frac{1}{2}\pi\ rad$

Primer 4
1. Pretvori 240°, 45°, 270°, 750° and 390° u radiane i rezultat zapiši u zavisnosti od $\pi$.
Rešenje
Pomnožićemo ugao sa $\frac{\pi}{180}$.

$240^{\circ} = 240 \times \frac{\pi}{180} = \frac{4}{3}\pi=1\frac{1}{3}\pi$

$120^{\circ} = 120 \times \frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{3}$

$270^{\circ} = 270 \times \frac{1}{180}\pi = \frac{3}{2}\pi=1\frac{1}{2}\pi$

$750^{\circ} = 750 \times \frac{1}{180}\pi = \frac{25}{6}\pi=4\frac{1}{6}\pi$

$390^{\circ} = 390 \times \frac{1}{180}\pi = \frac{13}{6}\pi=2\frac{1}{6}\pi$

2. Izrazi sledeće uglove u stepenima.
a) $\frac{5}{4}\pi$
b) $3,12\pi$
c) 2,4 radiana
Rešenje
$180^{\circ} = \pi$
a) $\frac{5}{4} \pi = \frac{5}{4} \times 180 = 225^{\circ}$
b) $3,12\pi = 3,12 \times 180 = 561,6^{\circ}$
c) 1 rad = 57,3°
$2,4 = \frac{2.4 \times 57.3}{1} = 137.52$

Negativni uglovi i uglovi veći od $2\pi$ radiana

Da bismo pretvorili negativan uglao u pozitivan dodaćemo mu $2\pi$.
Da bismo pretvorili pozitivan uglao u negativan, oduzećemo $2\pi$.

Primer 5
1. Pretvori $-\frac{3}{4}\pi$ i $-\frac{5}{7}\pi$ u pozitivne uglove izražene u radianima.

Rešenje
Uglovima ćemo dodati $2\pi$
$-\frac{3}{4}\pi = -\frac{3}{4}\pi + 2\pi = \frac{5}{4}\pi = 1\frac{1}{4}\pi$
$-\frac{5}{7}\pi = -\frac{5}{7}\pi + 2\pi = \frac{9}{7}\pi = 1\frac{2}{7}\pi$

Kada se neki objekat zarotira za ugao veći od $2\pi$; on je zapravo napravio više od jednog obrtaja.
Kako bismo odredili broj krugova u nekom uglu odredićemo broj koji pomnožen sa $2\pi$ daje rezultat jednak ili manji ali najbliži datoj vrednosti mere ugla.

Primer 6
1. Odredi broj obrtaja koji načini objekat kada se zarotira za ugao
a) $-10\pi$
b) $9\pi$
c) $\frac{7}{2}\pi$

Rešenje
a) $-10\pi = 5(-2\pi)$; pošto $-2\pi$ predstavlja jedan obrtaj u smeru kazaljke na satu, znači da
je objekat napravio 5 obrtaja u smeru kazaljke na satu.

b) $9\pi = 4(2\pi) + \pi$, $\pi =$ pola obrtaja
objekat je napravio četiri i po obrtaja u smeru suprotnom od smera kazaljke na satu

c) $\frac{7}{2}\pi=3.5\pi=2\pi+1.5\pi$, $1.5\pi$ je tri četvrtine kruga $(\frac{1.5\pi}{2\pi}=\frac{3}{4})$
objekat je napravio jedan ceo i tri četvrtine obrtaja u smeru suprotnom od smera kazaljke na satu


Kontakt imejl:

Copyright © 2005 - 2019