Vektorske operacije

Uzmimo da je vektor v čija je početna tačka u koordinatnom početku koordinatnog sistema xy a čija je krajnja tačka . Kažemo da je takav vektor u standardnom položaju i govorimo o njemu kao o vektoru položaja. Imajte na umu da uređeni par definiše jedinstveni vektor. Stoga ga možemo koristiti da označimo vektor. Kako bismo naglasili da mislimo na vektor i izbegli zabunu sa načinom na koji obeležavamo uređeni par i oznaku za interval, najčešće pišemo
v = < a, b >.


Koordinata a je skalarna horizontalna komponenta vektora, a koordinata b je skalarna vertikalna komponenta vektora. Pod skalarom podrazumevamo brojnu vrednost, a ne vektorsku veličinu. Otuda se smatra da je ona komponenta vektora v. Imajte na umu da a i b NISU vektori i ne bi ih trebalo pomešati sa definicijom vektorske komponente.

Označimo sada sa A = (x1, y1) i C = (x2, y2). Pokušajmo pronaći vektor položaja ekvivalentan sa . Kao što možemo videti na slici ispod, početna tačka A je premeštena u koordinatni početak (0, 0). Koordinate P ćemo naći tako što ćemo oduzeti koordinate A od koordinata C. Otuda je P = (x2 - x1, y2 - y1) a vektor položaja je .

To se može prikazati i imaju isti intenzitet i pravac i smer, iz čega sledi da su ekvivalentni. Otuda je = = < x2 - x1, y2 - y1 >.

Komponentna forma vektora sa A = (x1, y1) i C = (x2, y2) je
= < x2 - x1, y2 - y1 >.

Primer 1: Nađi komponentnu formu vektora ako je C = (- 4, - 3) i F = (1, 5).

Rešenje: Imamo
= < 1 - (- 4), 5 - (- 3) > = < 5, 8 >.

Obratite pažnju da je vektor ekvivalentan vektoru položaja kao što je prikazano na slici iznad.

Sada kada znamo kako da zapišemo vektor u komponentnoj formi, utvrdimo neke definicije.
Dužinu vektora v je lako odrediti kada su poznate komponente vektora. Za v = < v1, v2 > imamo
|v|2 = v21 + v22          Koristeći Pitagorinu teoremu
|v| = √v21 + v22.

Dužina ili intenzitet vektora v = < v1, v2 > je data sa |v| = √v21 + v22.

Dva vektora su ekvivalentna ako imaju isti intenzitet i pravac i smer.

Neka je u = < u1, u2 > i v = < v1, v2 >. Tada je
< u1, u2 > = < v1, v2 >          ako i samo ako je u1 = v1 i u2 = v2.

Operacije sa vektorima

Kako bismo pomnožili vektor v pozitivnim realnim brojem, množimo njgovu dužinu tim brojem. Njegov pravac i smer ostaje isti. Kada je vektor v pomnožen sa 2, na primer, njegova dužina se duplira, a pravac i smer se ne menja. Kada vektor pomnožimo sa 1.6, njegova dužina se povećava za 60% a pravac i smer ostaje isti. Da bismo pomnožili vektor v negativnim realnim brojem, množimo njegovu dužinu datim brojem a smer se obrne. Kada pomnožimo vektor sa brojem -2, njegova dužina se duplira, a smer se obrće. Pošto realni brojevi funkcionišu kao faktori skaliranja prilikom množenja vektora, zovemo ih skalarima a proizvod kv nazivamo proizvod vektora i skalara

Za realan broj k i vektor v = < v1, v2 >, skalarni proizvod broja k i vektora v je
kv = k.< v1, v2 > = < kv1, kv2 >.
Vektor kv je proizvod skalara vektora v.

Primer 2 Neka je u = < - 5, 4 > i w = < 1, - 1 >. Nađi - 7w, 3u, i - 1w.

Rešenje
- 7w = - 7.< 1, - 1 > = < - 7, 7 >,
3u = 3.< - 5, 4 > = < -15, 12 >,
- 1w = - 1.< 1, - 1 > = < - 1, 1 >.

Sada možemo sabrati dva vektora koristeći komponente. Da bismo sabrali dva vektora u komponentnoj formi, sabraćemo odgovarajuće komponente. Neka je u = < u1, u2 > i v = < v1, v2 >. Onda je
u + v = < u = < u1 + v1, u2 + v2 >

Na primer, ako je v = < - 3, 2 > i w = < 5, - 9 >, onda je
v + w = < - 3 + 5, 2 + (- 9) > = < 2, - 7 >

Ako je u = < u1, u2 > i v = < v1, v2 >, onda je
u + v = < u1 + v1, u2 + v2 >.

Pre nego što definišemo oduzimanje vektora, potrebno je definisati - v. Suprotno od v = < v1, v2 >, prikazano dole, je
- v = (- 1).v = (- 1)< v1, v2 > = < - v1, - v2 >

Oduzimanje vektora, na primer u - v podrazumeva oduzimanje odgovarajućih komponenti. Ovo ćemo prikazati tako što ćemo drugačije zapisati u - v kao u + (- v). Ako je u = < u1, u2 > i v = < v1, v2 >, onda je
u - v = u + (- v) = < u1, u2 > + < - v1, - v2 > = < u1 + (- v1), u2 + (- v2) > = < u1 - v1, u2 - v2 >

Možemo ilustrovati oduzimanje vektora metodom paralelograma, baš kao što smo to radili prilikom sabiranja vektora.

Oduzimanje vektora

Ako je u = < u1, u2 > i v = < v1, v2 >, onda je
u - v = < u1 - v1, u2 - v2 >.

Interesantno je uporediti zbir dva vektora sa razlikom ista dva vektora u istom paralelogramu. Vektori u + v i u - v su dijagonale paralelograma.

Primer 3 Izračunajte u = < 7, 2 > i v = < - 3, 5 >.
a) u + v
b) u - 6v
c)3u + 4v
d)|5v - 2u|

Rešenje
a) u + v = < 7, 2 > + < - 3, 5 > = < 7 + (- 3), 2 + 5 > = < 4, 7 >;
b)u - 6v = < 7, 2 > - 6.< - 3, 5 > = < 7, 2 > - < - 18, 30 > = < 25, - 28 >;
c) 3u + 4v = 3.< 7, 2> + 4.< - 3, 5 > = < 21, 6 > + < - 12, 20 > = < 9, 26 >;
d) |5v - 2u| = |5.< - 3, 5 > - 2.< 7, 2 >| = |< - 15, 25 > - < 14, 4 >| = |< - 29, 21 >| = √(- 29)2 + 212 = √1282 ≈ 35,8

Pre nego što navedemo osobine sabiranja vektora i množenje vektora skalarom, potrebno je da definišemo drugi posebni vektor — nula vektor. Vektor čije se početna i krajnja tačka poklapaju, je nula vektor, označavamo ga sa O, ili < 0, 0 > . Njegov intenzitet je 0. Prilikom sabiranja vektora, nula vektor je neutralni element:
v + O = v.          < v1, v2 > + < 0, 0 > = < v1, v2 >
Operacije sa vektorima dele mnoge osobine operacija sa realnim brojevima.

Osobine sabiranja vektora i množenja vektora skalarom

Za sve vektore u, v, i w, i za sve skalare b i c važi:
1. u + v = v + u.
2. u + (v + w) = (u + v) + w.
3. v + O = v.
4 1.v = v;          0.v = O.
5. v + (- v) = O.
6. b(cv) = (bc)v.
7. (b + c)v = bv + cv.
8. b(u + v) = bu + bv.

Jedinični vektori

Vektor intenziteta ili dužine 1 zovemo jediničnim vektorom. Vektor v = < - 3/5, 4/5 > je jedinični vektor zato što
|v| = |< - 3/5, 4/5 >| = √(- 3/5)2 + (4/5)2 = √9/25 + 16/25 = √25/25 = √1 = 1.

Primer 4 Pronađi jedinični vektor koji ima isti pravac i smer kao vektor w = < - 3, 5 >.

Rešenje Prvo ćemo naći dužinu vektora w:
|w| = √(- 3)2 + 52 = √34. Otuda želimo da nađemo vektor čija je dužina 1/√34 vektora w i čiji su pravac i smer isti kao kod vektora w. Taj vektor je
u = w/√34 = < - 3, 5 >/√34 = < - 3/√34, 5/√34 >.
Vektor u je jedinični vektor zato što
|u| = |w/√34| = = √34/34 = √1 = 1.

Ako je v vektor i v ≠ O, onda je
(1/|v|)• v,          ili          v/|v|,
je jedinični vektor u smeru vektora v.

Iako jedinični vektori mogu imati bilo kakav smer, jedinični vektori paralelni sa x - i y - osama su naročito korisni. Definišemo ih kao
i = < 1, 0 >          and          j = < 0, 1 >.

Bilo koji vektor može biti definisan kao linearna kombinacija jediničnih vektora i i j. Na primer, neka je v = < v1, v2 >. Onda je
v = < v1, v2 > = < v1, 0 > + < 0, v2 > = v1< 1, 0 > + v2 < 0, 1 > = v1i + v2j.

Primer 5 Izrazi vektor r = < 2, - 6 > kao linearnu kombinaciju i i j.

Rešenje
r = < 2, - 6 > = 2i + (- 6)j = 2i - 6j.

Primer 6 Napiši vektor q = - i + 7j u komponentnoj formi.

Rešenjeq = - i + 7j = -1i + 7j = < - 1, 7 >

Vektorske operacije se takođe mogu obaviti kada su vektori zapisani kao linearne kombinacije vektora i i j.

Primer 7 Ako je a = 5i - 2j i b = -i + 8j, nađi 3a - b.

Rešenje
3a - b = 3(5i - 2j) - (- i + 8j) = 15i - 6j + i - 8j = 16i - 14j.

Nagibni ugao

Krajnja tačka P jediničnog vektora u standardnom položaju je tačka na jediničnoj kružnici označena (cosθ, sinθ). Otuda, jedinični vektor možemo izraziti u komponentnoj formi,
u = < cosθ, sinθ >,
ili kao linearnu kombinaciju jediničnih vektora i i j,
u = (cosθ)i + (sinθ)j,
gde su komponente vektora u funkcije nagibnog ugla θ merenog suprotno od smera kazaljke na satu od x - ose do vektora. Kako ugao θ varira od 0 do 2π, tačka P prati kružnicu x2 + y2 = 1. Ovo pokriva sve moguće pravce i smerove za jedinične vektore te jednačina u = (cosθ)i + (sinθ)j opisuje svaki mogući jedinični vektor u ravni.

Primer 8 Izračunaj i skiciraj jedinični vektor u = (cosθ)i + (sinθ)j za θ = 2π/3. Uključi i jediničnu kružnicu u svoju skicu.

Rešenje
u = (cos(2π/3))i + (sin(2π/3))j = (- 1/2)i + (√3/2)j

Neka je v = < v1, v2 > sa nagibnim uglom θ. Koristeći definiciju tangentne funkcije možemo odrediti nagibni ugao od komponenata vektora v:

Primer 9 Odredi nagibni ugao θ vektora w = - 4i - 3j.

Rešenje Znamo da je
w = - 4i - 3j = < - 4, - 3 >.
Otuda imamo
tanθ = (- 3)/(- 4) = 3/4          and θ = tan- 1(3/4).
Pošto je vektor w u trećem kvadrantu, znamo da je θ ugao trećeg kvadranta. Referentni ugao je
tan- 1(3/4) ≈ 37°,          i          θ ≈ 180° + 37°, or 217°.

Zgodno je za rad sa primenjenim problemima i narednim kursevima, kao što je analiza, imati način predstavljanja vektora tako da i njegov intenzitet i pravac i smer budu određeni, ili pročitani lako. Neka je v vektor. Tada je v/|v| jedinični vektor istog smera kao v. Iz toga sledi da je
v/|v| = (cosθ)i + (sinθ)j
v = |v|[(cosθ)i + (sinθ)j]              Množenjem sa |v|
v = |v|(cosθ)i + |v|(sinθ)j.

Primer 10 Brzina i smer aviona. Avion putuje brzinom od 190km/h pod uglom od 100°, vetar duva brzinom od 48 km/h pod uglom od 220°. Nađi brzinu aviona u odnosu na zemlju i smer njegove putanje, ili kurs, iznad zemlje.

Rešenje Za početak nacrtajmo crtež. Vetar je predstavljen kao a vektor brzine aviona kao . v je rezultantni vektor brzine, zbir dva vektora:
v = + .

Pravac i smer (meren od severa) vektora brzine aviona je 100°. Njegov nagibni ugao (meren suprotno od smera kazaljke od pozitivne x - ose) je 350°. Pravac i smer (meren od severa) vektora brzine vetra je 220°. Njegov nagibni ugao (meren suprotno od smera kazaljke na satu od pozitivne x - ose) je 50°. Intenziteti i su 190 i 48, respektivno. Imamo
= 190(cos350°)i + 190(sin350°)j, i
= 48(cos50°)i + 48(sin50°)j.
Otuda je
v = +
     = [190(cos350°)i + 190(sin350°)j] + [48(cos50°)i + 48(sin50°)j]
     = [190(cos350°)i + 48(cos50°)i] + [190(sin350°)j + 48(sin50°)j]
     ≈ 217,97i + 3,78j.
Iz ove forme možemo da odredimo brzinu u odnosu na zemlju i kurs:
Brzina u odnosu na zemlju ≈ √(217,97)2 + (3,78)2 ≈ 218 km/h.
Recimo da je α nagibni ugao vektora v. Tada je
tanα = 3,78/217,97
α = tan- 13,78/217,97 ≈ 1°.
Iz toga sledi da je kurs aviona (smer od severa) 90° - 1°, or 89°.

Ugao između vektora

Kada pomnožimo vektor sa skalarom, rezultat je vektor. Kada sabiramo dva vektora, rezultat je takođe vektor. Otuda možemo očekivati da proizvod dva vektora bude takođe vektor; međutim to nije slučaj. Skalarni proizvod dva vektora je realni broj ili skalar. Ovaj proizvod je koristan kod nalaženja ugla između dva vektora, kao i prilikom određivanja da li su dva vektora uzajamno normalna.

Skalarni proizvod dva vektora u = < u1, u2 > i v = < v1, v2 > je
u • v = u1.v1 + u2.v2
(Imajte na umu da je u1v1 + u2v2 skalar, a ne vektor.)

Primer 11 Pronađi traženi skalarni proizvod kada je
u = < 2, - 5 >, v = < 0, 4 > and w = < - 3, 1 >.
a)u • w
b)w • v

Rešenje
a) u • w = 2(- 3) + (- 5)1 = - 6 - 5 = - 11;
b) w • v = (- 3)0 + 1(4) = 0 + 4 = 4.

Možemo koristiti skalarni proizvod kako bismo našli ugao između dva vektora. Ugao između dva vektora je najmanji pozitivni ugao formiran od dve usmerene duži. Otuda je ugao θ između vektora u i v isti ugao kao i između vektora v i u, i 0 ≤ θ ≤ π.

Ako je θ ugao između dva vektora različita od nule u i v, onda je
cosθ = (u • v)/|u||v|.

Primer 12 Pronađi ugao između vektora u = < 3, 7 > i v = < - 4, 2 >.

Rešenje Počnimo tako što ćemo naći u • v, |u|, i |v|:
u • v = 3(- 4) + 7(2) = 2,
|u| = √32 + 72 = √58, and
|v| = √(- 4)2 + 22 = √20.
Onda je
cosα = (u • v)/|u||v| = 2/√58.√20
α = cos- 1(2/√58.√20)
α ≈ 86,6°.

Sile u ravnoteži

Kada više sila deluje na istu tačku tela, zbir njihovih vektora mora biti O kako bi došlo do ravnoteže. Kad dođe do ravnoteže, telo je ili stanju mirovanja ili se kreće ravnomerno pravolinijski (bez ubrzanja). Činjenica da zbir vektora mora biti O kako bi došlo do ravnoteže i obrnuto omogućava nam da rešimo mnoge primenjene probleme, uključujući sile.

Primer 13 Obešeno telo. Telo težine 350 N obešeno je pomoću dva užeta, kao što je prikazano na slici levo. Tri sile deluju u tački A: W, sila teže tela koje vuče na dole, i R i S, sile zatezanja užadi koje vuku ka gore i ka spolja. Odredi sile zatezanja u oba užeta.

Rešenje Nacrtajmo dijagram sila sa početnim tačkama svakog vektora u koordinatnom početku. Kako bi došlo do ravnoteže, zbir vektora mora biti vektor O:

R + S + W = O.
Svaki od vektora možemo izraziti u zavisnosti od njegovog intenziteta i nagibnog ugla:
R = |R|[(cos125°)i + (sin125°)j],
S = |S|[(cos37°)i + (sin37°)j], i
W = |W|[(cos270°)i + (sin270°)j]
= 350(cos270°)i + 350(sin270°)j
= -350j          cos270° = 0; sin270° = - 1.
Ako zamenimo R, S, i W sa R + S + W + O, imamo
[|R|(cos125°) + |S|(cos37°)]i + [|R|(sin125°) + |S|(sin37°) - 350]j = 0i + 0j.
Ovo nam daje sistem jednačina:
|R|(cos125°) + |S|(cos37°) = 0,
|R|(sin125°) + |S|(sin37°) - 350 = 0.
Rešavanjem ovog sistema dobićemo
|R| ≈ 280 i |S| ≈ 201.
Sile zatezanja u užadima su 280 N i 201 N.


Kontakt imejl:

Copyright © 2005 - 2019