Paralelogram

Paralelogram je četvorougao čije su po dve naspramne stranice paralelne: ${AB\parallel DC}$ i ${AD\parallel BC}.$

Stranice obično označavamo sa ${a=AB}$ i ${b=AD},$ uglove kod temena $A$ i $B$ sa $\alpha$ i $\beta,$ dijagonale sa ${d_1=AC}$ i ${d_2=BD},$ a visine na stranice $a$ i $b$ sa ${h_a=DE}$ i ${h_b=DF}$ (${DE\perp AB},$ ${DF\perp BC}$).

Na ovoj stranici: Osobine · Kada je četvorougao paralelogram · Formule · Pravougaonik, romb, kvadrat · Rešeni zadaci · Zadaci za vežbu

Osobine paralelograma

U svakom paralelogramu $ABCD\text{:}$

naspramne stranice su jednake: ${AB=DC},$ ${AD=BC};$
naspramni uglovi su jednaki: ${\sphericalangle A=\sphericalangle C},$ ${\sphericalangle B=\sphericalangle D};$
zbir dva susedna ugla je $180^\circ\text{:}$ ${\alpha+\beta=180^\circ};$
dijagonale se polove: ako se seku u tački $O,$ onda je ${AO=OC}$ i ${BO=OD}.$

Dokaz

Povucimo dijagonalu $AC.$ U trouglovima $ABC$ i $CDA$ stranica $AC$ je zajednička, ${\sphericalangle BAC=\sphericalangle DCA}$ (naizmenični uglovi, ${AB\parallel DC},$ transverzala $AC$) i ${\sphericalangle BCA=\sphericalangle DAC}$ (naizmenični uglovi, ${AD\parallel BC}$). Po stavu USU je ${\triangle ABC\cong\triangle CDA},$ pa je ${AB=CD},$ ${BC=DA}$ i ${\sphericalangle B=\sphericalangle D}.$ Na isti način dijagonala $BD$ daje ${\sphericalangle A=\sphericalangle C}.$

Uglovi $A$ i $B$ su suprotni uglovi (${AD\parallel BC},$ transverzala $AB$), pa je ${\alpha+\beta=180^\circ}.$

U trouglovima $AOB$ i $COD$ je ${AB=CD},$ a jednaki su i naizmenični uglovi:${\sphericalangle OAB=\sphericalangle OCD}$ i ${\sphericalangle OBA=\sphericalangle ODC}.$ Po stavu USU je ${\triangle AOB\cong\triangle COD},$ pa je ${AO=OC}$ i ${BO=OD}.$

Svaka dijagonala deli paralelogram na dva podudarna trougla, a dve dijagonale ga dele na četiri trougla jednakih površina: na primer, trouglovi $AOB$ i $BOC$ imaju jednake osnovice ${AO=OC}$ i istu visinu iz temena $B.$

Kada je četvorougao paralelogram

Četvorougao je paralelogram ako važi bilo koji od sledećih uslova:

po dve naspramne stranice su paralelne (definicija);
po dve naspramne stranice su jednake;
dve naspramne stranice su i paralelne i jednake;
dijagonale se polove;
po dva naspramna ugla su jednaka.

Zašto ovi uslovi važe

Naspramne stranice su jednake. Ako je ${AB=CD}$ i ${BC=DA},$ onda su trouglovi $ABC$ i $CDA$ podudarni po stavu SSS. Tada je ${\sphericalangle BAC=\sphericalangle DCA},$ a to su naizmenični uglovi, pa je ${AB\parallel DC};$ na isti način je ${AD\parallel BC}.$

Dve naspramne stranice su paralelne i jednake. Ako je ${AB\parallel DC}$ i ${AB=DC},$ onda su trouglovi $ABC$ i $CDA$ podudarni po stavu SUS (${\sphericalangle BAC=\sphericalangle DCA}$ kao naizmenični uglovi). Tada je ${\sphericalangle BCA=\sphericalangle DAC},$ pa je ${AD\parallel BC}.$

Dijagonale se polove. Ako je ${AO=OC}$ i ${BO=OD},$ onda su trouglovi $AOB$ i $COD$ podudarni po stavu SUS (unakrsni uglovi kod $O$), pa je ${AB=CD}$ i ${\sphericalangle OAB=\sphericalangle OCD},$ odakle sledi ${AB\parallel DC}.$ Sada su dve naspramne stranice paralelne i jednake.

Naspramni uglovi su jednaki. Ako je ${\sphericalangle A=\sphericalangle C=\alpha}$ i ${\sphericalangle B=\sphericalangle D=\beta},$ onda je ${2\alpha+2\beta=360^\circ},$ pa je ${\alpha+\beta=180^\circ}.$ Zbir suprotnih uglova $A$ i $B$ je $180^\circ,$ pa je ${AD\parallel BC};$ na isti način je ${AB\parallel DC}.$

Ako su dve naspramne stranice paralelne, a druge dve jednake, to nije dovoljno: jednakokraki trapez ima tu osobinu, a nije paralelogram.

Formule za paralelogram

Veličina	Formula
Obim	${O=2(a+b)}$
Površina pomoću stranice i odgovarajuće visine	${P=a\cdot h_a=b\cdot h_b}$
Površina pomoću dve stranice i ugla između njih	${P=ab\sin\alpha}$
Površina pomoću dijagonala	${P=\frac12d_1d_2\sin\varphi},$ $\varphi$ – ugao između dijagonala
Visine	${h_a=b\sin\alpha},$ ${h_b=a\sin\alpha}$
Dijagonale i stranice	${d_1^2+d_2^2=2(a^2+b^2)}$
Dužine dijagonala	${d_1^2=a^2+b^2+2ab\cos\alpha},$ ${d_2^2=a^2+b^2-2ab\cos\alpha}$

Kako se dobijaju ove formule

Odsecimo pravougli trougao $AED$ i premestimo ga uz stranicu $BC\text{:}$ paralelogram postaje pravougaonik sa stranicama $a$ i $h_a,$ pa je ${P=a\cdot h_a}.$ Visina $h_a$ je kateta naspram ugla $\alpha$ u pravouglom trouglu $AED$ sa hipotenuzom ${AD=b},$ pa je ${h_a=b\sin\alpha}$ i ${P=ab\sin\alpha}.$ Na isti način je $h_b$ kateta naspram ugla ${\sphericalangle C=\alpha}$ u pravouglom trouglu $DFC$ sa hipotenuzom ${DC=a},$ pa je ${h_b=a\sin\alpha}.$

Dijagonala ${d_2=BD}$ leži naspram ugla $\alpha$ u trouglu $ABD,$ a ${d_1=AC}$ leži naspram ugla ${\beta=180^\circ-\alpha}$ u trouglu $ABC.$ Kosinusna teorema daje obe dužine, jer je ${\cos\beta=-\cos\alpha}.$ Sabiranjem dobijamo ${d_1^2+d_2^2=2(a^2+b^2)}.$

Dijagonale dele paralelogram na četiri trougla sa stranicama $\frac{d_1}{2}$ i $\frac{d_2}{2}$ koje zaklapaju ugao $\varphi$ ili ${180^\circ-\varphi}.$ Površina svakog od njih je ${\frac12\cdot\frac{d_1}{2}\cdot\frac{d_2}{2}\sin\varphi},$ jer je ${\sin(180^\circ-\varphi)=\sin\varphi},$ pa četiri takva trougla daju ${P=\frac12d_1d_2\sin\varphi}.$

Pravougaonik, romb i kvadrat

Pravougaonik je paralelogram kome je jedan ugao prav; tada su sva četiri ugla prava. Dijagonale pravougaonika su jednake, i obrnuto, paralelogram sa jednakim dijagonalama je pravougaonik.
Romb je paralelogram kome su dve susedne stranice jednake; tada su sve četiri stranice jednake. Dijagonale romba su međusobno normalne i simetrale su njegovih uglova, i obrnuto, paralelogram sa normalnim dijagonalama je romb.
Kvadrat je pravougaonik kome su susedne stranice jednake, ili romb kome je jedan ugao prav, pa ima sve osobine i pravougaonika i romba.

Figura	Formule
Pravougaonik sa stranicama $a$ i $b$	${P=ab},$ ${O=2(a+b)},$ ${d=\sqrt{a^2+b^2}}$
Romb sa stranicom $a,$ visinom $h,$ uglom $\alpha$ i dijagonalama $d_1,$ $d_2$	${P=a\cdot h=a^2\sin\alpha=\frac{d_1d_2}{2}},$ ${O=4a},$ ${d_1^2+d_2^2=4a^2}$
Kvadrat sa stranicom $a$	${P=a^2=\frac{d^2}{2}},$ ${O=4a},$ ${d=a\sqrt2}$

Rešeni zadaci

Zadatak 1. Jedan ugao paralelograma je ${65^\circ}.$ Odredite ostale uglove.

Rešenje. Naspramni ugao je takođe ${65^\circ},$ a svaki od preostala dva je ${180^\circ-65^\circ=115^\circ}.$

Zadatak 2. Obim paralelograma je 48 cm, a jedna stranica je dva puta duža od druge. Odredite stranice.

Rešenje. ${2(a+b)=48},$ pa je ${a+b=24}.$ Iz ${a=2b}$ dobijamo ${3b=24},$ ${b=8}$ cm i ${a=16}$ cm.

Zadatak 3. Stranice paralelograma su 8 cm i 5 cm, a ugao između njih je ${30^\circ}.$ Odredite površinu i visine.

Rešenje. ${P}={8\cdot 5\cdot\sin 30^\circ}={40\cdot\frac12}={20}$ cm². Visina na stranicu od 8 cm je ${\frac{20}{8}=2{,}5}$ cm, a visina na stranicu od 5 cm je ${\frac{20}{5}=4}$ cm.

Zadatak 4. Stranice paralelograma su 7 cm i 9 cm, a jedna dijagonala je 8 cm. Odredite drugu dijagonalu.

Rešenje. Neka je data dijagonala ${d_1=8}.$ Tada je ${d_1^2+d_2^2}={2(7^2+9^2)}={260},$ pa je ${d_2^2=260-64=196}$ i ${d_2=14}$ cm.

Zadatak 5. Dijagonale romba su 10 cm i 24 cm. Odredite njegovu stranicu i površinu.

Rešenje. Dijagonale su normalne i polove se, pa polovine dijagonala i stranica obrazuju pravougli trougao sa katetama 5 i 12. Stranica je ${\sqrt{25+144}=13}$ cm, a površina je ${\frac{10\cdot 24}{2}=120}$ cm².

Zadatak 6. Simetrala ugla $A$ paralelograma $ABCD$ seče stranicu $BC$ u tački $K.$ Odredite $BK$ i $KC$ ako je ${AB=6}$ cm i ${AD=10}$ cm.

Rešenje. ${\sphericalangle BKA=\sphericalangle KAD}$ kao naizmenični uglovi (${BC\parallel AD},$ transverzala $AK$), a ${\sphericalangle KAD=\sphericalangle BAK}$ jer je $AK$ simetrala ugla. Zato je trougao $ABK$ jednakokraki, ${BK=AB=6}$ cm i ${KC=10-6=4}$ cm.

Zadatak 7. Dokažite da su simetrale dva susedna ugla paralelograma međusobno normalne.

Dokaz. Simetrale zaklapaju sa zajedničkom stranicom uglove $\frac{\alpha}{2}$ i $\frac{\beta}{2}.$ U trouglu koji obrazuju ta stranica i dve simetrale treći ugao je ${180^\circ-\frac{\alpha+\beta}{2}}={180^\circ-90^\circ}={90^\circ},$ jer je ${\alpha+\beta=180^\circ}.$

Zadaci za vežbu

Rešite ih sami, pa otvorite rešenje.

1. Jedan ugao paralelograma je za ${40^\circ}$ veći od drugog. Odredite uglove.

Naspramni uglovi su jednaki, pa su ta dva ugla susedna: ${x+(x+40^\circ)=180^\circ},$ ${x=70^\circ}.$ Uglovi su $70^\circ,$ $110^\circ,$ $70^\circ$ i $110^\circ.$

2. Obim paralelograma $ABCD$ je 30 cm, a ${AB=9}$ cm. Odredite $AD.$

${AB+AD=15},$ pa je ${AD=6}$ cm.

3. Stranice paralelograma su 10 cm i 6 cm, a jedan njegov ugao je ${150^\circ}.$ Odredite površinu.

${P}={10\cdot 6\cdot\sin 150^\circ}={60\cdot\frac12}={30}$ cm² (${\sin 150^\circ=\sin 30^\circ=\frac12}$).

4. Površina paralelograma je 48 cm², a njegove stranice su 8 cm i 12 cm. Odredite njegove visine.

${\frac{48}{8}=6}$ cm na stranicu od 8 cm i ${\frac{48}{12}=4}$ cm na stranicu od 12 cm.

5. Dijagonale paralelograma su 6 cm i 8 cm, a ugao između njih je ${30^\circ}.$ Odredite površinu.

${P=\frac12\cdot 6\cdot 8\cdot\sin 30^\circ=12}$ cm².

6. Stranice paralelograma su 5 cm i 7 cm, a jedna dijagonala je 6 cm. Odredite drugu dijagonalu.

${d^2}={2(25+49)-36}={112},$ pa je ${d=\sqrt{112}=4\sqrt7\approx 10{,}58}$ cm.

7. Stranica romba je 10 cm, a jedna dijagonala je 12 cm. Odredite drugu dijagonalu i površinu.

Polovina druge dijagonale je ${\sqrt{100-36}=8},$ pa je ta dijagonala 16 cm, a površina je ${\frac{12\cdot 16}{2}=96}$ cm².

8. Stranice pravougaonika su 6 cm i 8 cm. Odredite njegovu dijagonalu i rastojanje presečne tačke dijagonala od temena.

${d=\sqrt{36+64}=10}$ cm; dijagonale se polove, pa je rastojanje 5 cm.

9. Dijagonala kvadrata je 8 cm. Odredite njegovu stranicu i površinu.

${a=\frac{8}{\sqrt2}=4\sqrt2}$ cm i ${P=\frac{8^2}{2}=32}$ cm².

10. U paralelogramu $ABCD$ je ${AB=12}$ cm i ${AD=8}$ cm. Simetrala ugla $A$ seče $CD$ u tački $M.$ Odredite $CM.$

${\sphericalangle DMA=\sphericalangle MAB}$ (naizmenični uglovi, ${AB\parallel DC}$) i ${\sphericalangle MAB=\sphericalangle DAM}$ ($AM$ je simetrala ugla), pa je trougao $ADM$ jednakokraki, ${DM=AD=8}$ cm i ${CM}={CD-DM}={12-8}={4}$ cm.

Pogledajte i: Površina · Srednja linija trapeza · Podudarnost trouglova · Trouglovi