Slični trouglovi

Dva trougla su slična ako imaju isti oblik: uglovi jednog trougla jednaki su uglovima drugog, a stranice jednog trougla proporcionalne su odgovarajućim stranicama drugog.

Od dva slična trougla jedan je uvećana ili umanjena kopija drugog, koja može biti i pomerena, rotirana ili preslikana kao u ogledalu. Fotografija i njeno uvećanje, karta i stvarni teren, dva predmeta i njihove senke u istom trenutku – svi oni daju slične trouglove.

Definicija i oznake

Trouglovi $ABC$ i $A_1B_1C_1$ su slični ako je

Pišemo ${\triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1}$ i čitamo „trougao $ABC$ je sličan trouglu $A_1B_1C_1$“. Broj $k$ je koeficijent sličnosti. Uz uobičajene oznake stranica važi ${a_1=ka},$ ${b_1=kb}$ i ${c_1=kc}.$

• Redosled slova je važan. On pokazuje koja su temena odgovarajuća: temenu $A$ odgovara teme $A_1,$ temenu $B$ teme $B_1,$ a temenu $C$ teme $C_1.$ Odgovarajuće stranice spajaju odgovarajuća temena i leže naspram jednakih uglova.
• Ako je ${k\gt 1},$ drugi trougao je uvećana kopija prvog; ako je ${k\lt 1},$ on je umanjena kopija. Na slici iznad je ${k=1{,}55}.$
• Ako je ${k=1},$ trouglovi su podudarni. Dakle, podudarni trouglovi su slični, ali slični trouglovi uglavnom nisu podudarni.
• Ako je ${\triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1}$ sa koeficijentom sličnosti $k,$ onda je ${\triangle A_1B_1C_1\sim\triangle ABC}$ sa koeficijentom sličnosti $\frac1k.$ Dva trougla koja su slična trećem trouglu slična su i međusobno.

Kada su poznate samo dužine stranica, odgovarajuće stranice određujemo po veličini: najkraća stranica odgovara najkraćoj, srednja srednjoj, a najduža najdužoj.

Na ovoj stranici: Stavovi · Pravougli i jednakokraki trouglovi · Prava paralelna sa stranicom · Obimi i površine · U pravouglom trouglu · Menelaj · Čeva · Rešeni zadaci · Zadaci iz života · Vežbanje

Stavovi sličnosti

Da bismo dokazali da su dva trougla slična, nisu nam potrebna sva tri ugla i sva tri odnosa stranica. Dovoljan je bilo koji od sledećih stavova. U stavovima je ${k\gt 0}$ bilo koji broj.

Stav UU (ugao-ugao)

Ako su dva ugla jednog trougla jednaka dvama uglovima drugog trougla, trouglovi su slični.

Tada su jednaki i treći uglovi, jer je svaki od njih jednak razlici $180^\circ$ i zbira druga dva ugla. Ovaj stav se najčešće koristi: paralelne prave, unakrsni uglovi, zajednički ugao i pravi uglovi daju jednake uglove.

Stav SUS (stranica-ugao-stranica)

Ako su dve stranice jednog trougla proporcionalne dvema stranicama drugog trougla i ako su uglovi između tih stranica jednaki, trouglovi su slični.

Ako je ${A_1B_1=k\cdot AB},$ ${A_1C_1=k\cdot AC}$ i ${\sphericalangle A=\sphericalangle A_1},$ onda je ${\triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1}.$ Jednak ugao mora biti ugao između te dve stranice.

Stav SSS (stranica-stranica-stranica)

Ako su tri stranice jednog trougla proporcionalne trima stranicama drugog trougla, trouglovi su slični.

Da biste to proverili, poređajte stranice oba trougla od najkraće do najduže i podelite odgovarajuće stranice: sva tri količnika moraju biti jednaka.

Stav SSU: dve stranice i ugao naspram veće od njih

Ako su dve stranice jednog trougla proporcionalne dvema stranicama drugog trougla i ako su uglovi naspram veće od tih stranica jednaki, trouglovi su slični.

Ako jednaki uglovi leže naspram manjih stranica, trouglovi ne moraju biti slični. Na primer, posmatrajmo trougao sa stranicama 6, 8 i 10 i trougao sa stranicama 6, 8 i 2,8. Oba imaju stranice 6 i 8 i isti ugao naspram stranice 6, ali je prvi pravougli, a drugi tupougli.

Zašto stavovi važe

Koristimo teoremu iz odeljka Prava paralelna sa stranicom: takva prava odseca trougao sličan datom. Neka je ${A_1B_1=k\cdot AB}$ i ${k\gt 1}$ (ako je ${k\lt 1},$ zamenimo uloge trouglova; ako je ${k=1},$ stavovi sličnosti su upravo stavovi podudarnosti). Na stranici $A_1B_1$ označimo tačku $D$ tako da je ${A_1D=AB}$ i povucimo ${DE\parallel B_1C_1},$ gde je $E$ na $A_1C_1.$ Tada je ${\triangle A_1DE\sim\triangle A_1B_1C_1}$ sa koeficijentom sličnosti $\frac1k,$ pa je ${A_1E=\frac{A_1C_1}{k}},$ ${DE=\frac{B_1C_1}{k}}$ i ${\sphericalangle A_1DE=\sphericalangle B_1}.$

• UU. ${A_1D=AB},$ ${\sphericalangle A_1=\sphericalangle A}$ i ${\sphericalangle A_1DE=\sphericalangle B_1=\sphericalangle B},$ pa je ${\triangle A_1DE\cong\triangle ABC}$ (USU).
• SUS. ${A_1E=\frac{A_1C_1}{k}=AC},$ pa je ${\triangle A_1DE\cong\triangle ABC}$ (SUS).
• SSS. ${A_1E=\frac{A_1C_1}{k}=AC}$ i ${DE=\frac{B_1C_1}{k}=BC},$ pa je ${\triangle A_1DE\cong\triangle ABC}$ (SSS).
• Stav SSU dokazuje se na isti način, pomoću stava podudarnosti SSU „dve stranice i ugao naspram veće od njih“: obeležimo trouglove tako da je ${AB\ge AC}$ i ${\sphericalangle C=\sphericalangle C_1};$ tada je ${A_1E=AC}$ i ${\sphericalangle A_1ED=\sphericalangle C_1=\sphericalangle C}.$

U svakom od ovih slučajeva trougao $ABC$ podudaran je trouglu $A_1DE,$ koji je sličan trouglu $A_1B_1C_1,$ pa je ${\triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1}.$

Pravougli, jednakokraki i jednakostranični trouglovi

Za ove trouglove stavovi sličnosti su jednostavniji.

• Dva pravougla trougla su slična ako je oštar ugao jednog jednak oštrom uglu drugog (UU), ako su im katete proporcionalne (SUS sa pravim uglom) ili ako su kateta i hipotenuza jednog proporcionalne kateti i hipotenuzi drugog (hipotenuza je veća od te dve stranice i leži naspram pravog ugla).
• Dva jednakokraka trougla su slična ako su im jednaki uglovi pri vrhu, ako su im jednaki uglovi na osnovici ili ako su osnovica i krak jednog proporcionalni osnovici i kraku drugog.
• Svaka dva jednakostranična trougla su slična: svi njihovi uglovi su po $60^\circ.$

Prava paralelna sa stranicom

Zašto? Ugao $A$ je zajednički, a ${\sphericalangle ADE=\sphericalangle ABC}$ kao saglasni uglovi kod paralelnih pravih $DE$ i $BC$ (isto tako je i ${\sphericalangle AED=\sphericalangle ACB}$). Dakle, ova dva trougla imaju jednake uglove. Jednakost ${\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}}$ sledi iz Talesove teoreme. Za treći odnos povucimo kroz $E$ pravu paralelnu sa $AB;$ ona seče $BC$ u tački $F.$ Tada je $DBFE$ paralelogram, pa je ${DE=BF},$ a po Talesovoj teoremi za ugao $C$ dobijamo ${\frac{BF}{BC}=\frac{AE}{AC}}.$

Odnos paralelnih stranica je ${\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}},$ sa celom stranicom $AB$ u imeniocu. Odnos ${\frac{AD}{DB}}$ jednak je odnosu ${\frac{AE}{EC}},$ ali nije jednak odnosu ${\frac{DE}{BC}}.$

Isto važi i kada prava seče produžetke stranica preko temena $A\text{:}$ trouglovi $ADE$ i $ABC$ obrazuju „peščani sat“ i slični su po stavu UU (unakrsni uglovi kod $A$ i naizmenični uglovi kod paralelnih pravih).

Važi i obrnuto: ako $D$ leži na $AB,$ $E$ leži na $AC$ i ${\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}},$ onda je ${DE\parallel BC}.$ Zaista, trouglovi $ADE$ i $ABC$ su slični po stavu SUS, pa je ${\sphericalangle ADE=\sphericalangle ABC},$ a to su saglasni uglovi.

Visine, obimi i površine sličnih trouglova

Dokaz

Visine. Trouglovi $ACH$ i $A_1C_1H_1$ imaju prave uglove kod $H$ i $H_1$ i jednake uglove kod $A$ i $A_1$ (možemo uzeti da je $\sphericalangle A$ oštar, jer trougao ima najviše jedan ugao koji nije oštar; tada je ${\sphericalangle CAH=\sphericalangle A}$ čak i kada $H$ leži iza tačke $B$). Oni su slični po stavu UU, pa je ${\frac{C_1H_1}{CH}=\frac{A_1C_1}{AC}=k}.$

Težišne duži. Ako su $M$ i $M_1$ središta stranica $AB$ i $A_1B_1,$ onda je ${A_1M_1=k\cdot AM},$ ${A_1C_1=k\cdot AC}$ i ${\sphericalangle A_1=\sphericalangle A},$ pa je ${\triangle AMC\sim\triangle A_1M_1C_1}$ po stavu SUS i ${C_1M_1=k\cdot CM}.$ Za simetrale uglova $CL$ i $C_1L_1$ posmatramo trouglove $ACL$ i $A_1C_1L_1:$ oni su slični po stavu UU, jer je ${\sphericalangle A=\sphericalangle A_1}$ i ${\sphericalangle ACL}={\frac12\sphericalangle C}={\frac12\sphericalangle C_1}={\sphericalangle A_1C_1L_1},$ pa je ${C_1L_1=k\cdot CL}.$

Obimi. ${O_1}={a_1+b_1+c_1}={ka+kb+kc}={kO}.$

Površine. ${P_1}={\frac12c_1h_{c_1}}={\frac12\cdot kc\cdot kh_c}={k^2\cdot\frac12ch_c}={k^2P}.$

Poluprečnici. Ako je $s$ poluobim, onda je ${r=\frac{P}{s}}$ i ${R=\frac{abc}{4P}}$ (videti zadatak 10). Površina se množi sa $k^2,$ a $s$ sa $k,$ pa se $r$ množi sa $k;$ proizvod $abc$ se množi sa $k^3,$ pa se i $R$ množi sa $k.$

Na primer, ako se svaka stranica udvostruči, obim se udvostruči, ali površina postaje četiri puta veća. Na karti u razmeri ${1:5000}$ dužine su umanjene 5000 puta, a površine ${5000^2=25\,000\,000}$ puta.

Slični trouglovi u pravouglom trouglu

Neka je ${\sphericalangle C=90^\circ}$ i neka je $CH$ visina na hipotenuzu. Ona deli hipotenuzu $c$ na odsečke ${AH=q}$ i ${HB=p},$ projekcije kateta $b$ i $a$ na hipotenuzu.

Visina na hipotenuzu deli pravougli trougao na dva trougla koja su slična njemu i međusobno: ${\triangle ACH\sim\triangle ABC\sim\triangle CBH}.$

Svaki od dva manja trougla ima prav ugao i jedan oštar ugao zajednički sa datim trouglom ($\sphericalangle A$ odnosno $\sphericalangle B$), pa važi stav UU. Kada napišemo proporcije odgovarajućih stranica, dobijamo

Na primer, iz ${\triangle ACH\sim\triangle CBH}$ dobijamo ${\frac{AH}{CH}=\frac{CH}{HB}},$ tj. ${h^2=pq}.$ Sabiranjem poslednje dve jednakosti dobijamo ${a^2+b^2=c(p+q)=c^2}:$ to je jedan od dokaza Pitagorine teoreme. Više o ovim obrascima pročitajte na stranici Visina trougla.

Poznate teoreme: Menelajeva, Čevina i Morlijeva

Menelajeva teorema

Proizvod „obilazi“ trougao: od $A$ do tačke na $AC,$ zatim do $C,$ do tačke na $CB,$ do $B,$ do tačke na pravoj $AB$ i nazad do $A.$ Teorema važi i kada prava seče produžetke sve tri stranice.

Dokaz

Povucimo kroz $C$ pravu paralelnu sa $AB;$ ona seče pravu $MN$ u tački $Q.$ Trouglovi $MCQ$ i $MAP$ imaju jednake unakrsne uglove kod $M$ i jednake naizmenične uglove kod $C$ i $A,$ pa su slični i ${\frac{AM}{MC}=\frac{AP}{CQ}}.$ Na isti način je ${\triangle NCQ\sim\triangle NBP},$ pa je ${\frac{CN}{NB}=\frac{CQ}{BP}}.$ Tada je

$$\frac{AM}{MC}\cdot\frac{CN}{NB}\cdot\frac{BP}{PA}=\frac{AP}{CQ}\cdot\frac{CQ}{BP}\cdot\frac{BP}{PA}=1.$$

Važi i obrnuto: ako $M$ i $N$ leže na stranicama $AC$ i $BC,$ $P$ leži na produžetku stranice $AB$ i proizvod je jednak 1, onda $M,$ $N$ i $P$ leže na jednoj pravoj. Zato se Menelajeva teorema koristi kada treba dokazati da tri tačke leže na jednoj pravoj.

Čevina teorema

Dokaz

Povucimo kroz $A$ pravu paralelnu sa $BC.$ Produžeci duži $BB_1$ i $CC_1$ seku je u tačkama $X$ i $Y.$ Unakrsni uglovi i naizmenični uglovi kod paralelnih pravih daju četiri para sličnih trouglova:

• ${\triangle AC_1Y\sim\triangle BC_1C},$ pa je ${\frac{AC_1}{C_1B}=\frac{AY}{BC}};$
• ${\triangle CB_1B\sim\triangle AB_1X},$ pa je ${\frac{CB_1}{B_1A}=\frac{BC}{AX}};$
• ${\triangle OA_1B\sim\triangle OAX}$ i ${\triangle OA_1C\sim\triangle OAY},$ pa je ${\frac{BA_1}{AX}=\frac{OA_1}{OA}=\frac{A_1C}{AY}},$ tj. ${\frac{BA_1}{A_1C}=\frac{AX}{AY}}.$

Množenjem dobijamo ${\frac{AY}{BC}\cdot\frac{AX}{AY}\cdot\frac{BC}{AX}=1}.$

Važi i obrnuto tvrđenje. Za težišne duži je svaki od odnosa jednak 1, pa je i proizvod jednak 1, a obrnuto tvrđenje pokazuje da se tri težišne duži seku u jednoj tački.

Morlijeva teorema

Podelimo svaki ugao trougla na tri jednaka ugla (to se zove trisekcija ugla, a prave koje ga dele zovu se trisektrise). Za svaku stranicu, dve trisektrise najbliže toj stranici seku se u jednoj tački, a tri tako dobijene tačke uvek su temena jednakostraničnog trougla. Ovu iznenađujuću teoremu otkrio je Frenk Morli 1899. godine; njen dokaz je teži i ne zasniva se samo na sličnim trouglovima.

Rešeni zadaci

Zadatak 1. Da li su trouglovi $ABC$ i $PQR$ na slici slični?

Rešenje. Poznato je svih šest stranica, pa koristimo stav SSS. Poređane po veličini, stranice su 2, 4, 5 i 6, 12, 15:

$$\frac{PQ}{AB}=\frac{6}{2}=3,\qquad \frac{QR}{BC}=\frac{12}{4}=3,\qquad \frac{PR}{AC}=\frac{15}{5}=3.$$

Sva tri odnosa su jednaka, pa je ${\triangle ABC\sim\triangle PQR}$ sa koeficijentom sličnosti 3.

Zadatak 2. U trouglovima $ABC$ i $PQR$ je ${\sphericalangle A=\sphericalangle P},$ ${\sphericalangle B=\sphericalangle Q},$ ${AB=4},$ ${BC=6},$ ${AC=7}$ i ${QR=12}.$ Odredite $PQ$ i $PR.$

Rešenje. Po stavu UU je ${\triangle ABC\sim\triangle PQR}.$ Trougao $PQR$ je nacrtan kao odraz u ogledalu, ali jednaki uglovi pokazuju koja su temena odgovarajuća: $A$ odgovara $P,$ $B$ odgovara $Q,$ a $C$ odgovara $R.$ Dakle, stranici $BC$ odgovara stranica $QR$ i ${k=\frac{QR}{BC}=\frac{12}{6}=2}.$ Tada je ${PQ=2\cdot AB=8}$ i ${PR=2\cdot AC=14}.$

Zadatak 3. Tačke $B$ i $C$ leže na stranicama $AD$ i $AE$ trougla $ADE,$ ${BC\parallel DE},$ ${BC=3},$ ${DE=6}$ i ${BD=4}.$ Odredite $AB.$

Rešenje. Prava $BC$ je paralelna sa stranicom $DE,$ pa je ${\triangle ABC\sim\triangle ADE}$ i ${\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac36=\frac12}.$ Kako je ${AD=AB+4},$ dobijamo ${2AB=AB+4},$ pa je ${AB=4}.$

Zadatak 4. Dijagonale trapeza $ABCD$ ${(AB\parallel CD)}$ seku se u tački $O$ i važi ${AO:OC=3:2}.$ Srednja linija trapeza je 5 cm. Odredite osnovice.

Rešenje. U trouglovima $AOB$ i $COD$ uglovi kod $O$ su unakrsni, a ${\sphericalangle OAB=\sphericalangle OCD}$ kao naizmenični uglovi kod paralelnih pravih $AB$ i $CD.$ Zato je ${\triangle AOB\sim\triangle COD}$ i ${\frac{AB}{CD}=\frac{AO}{OC}=\frac32}.$ Srednja linija jednaka je polovini zbira osnovica, pa je ${AB+CD=10}.$ Tada je ${AB=6}$ cm i ${CD=4}$ cm.

Zadatak 5. Stranice trougla odnose se kao ${2:3:4}.$ Obim njemu sličnog trougla je 84,6 cm. Odredite stranice tog trougla.

Rešenje. Stranice sličnog trougla su u istom odnosu, pa su one $2t,$ $3t$ i $4t.$ Tada je ${9t=84{,}6},$ ${t=9{,}4},$ a stranice su 18,8 cm, 28,2 cm i 37,6 cm.

Zadatak 6. Prava paralelna sa stranicom $BC$ trougla $ABC$ deli trougao na dva dela jednakih površina. U kom odnosu ona deli stranicu $AB?$

Rešenje. Neka prava seče $AB$ u tački $D$ i $AC$ u tački $E.$ Tada je ${\triangle ADE\sim\triangle ABC}$ sa koeficijentom sličnosti ${k=\frac{AD}{AB}},$ a površina trougla $ADE$ jednaka je polovini površine trougla $ABC.$ Zato je ${k^2=\frac12},$ ${k=\frac{1}{\sqrt2}}$ i

$$\frac{AD}{DB}=\frac{AD}{AB-AD}=\frac{1}{\sqrt2-1}=\sqrt2+1\approx 2{,}41.$$

Prava ne prolazi kroz središte stranice $AB\text{:}$ srednja linija odseca trougao čija je površina samo četvrtina površine datog trougla.

Zadatak 7. U trouglu $ABC$ duž $AD$ je simetrala ugla, a prava kroz $D$ paralelna sa $AB$ seče $AC$ u tački $E.$ Odredite $AB$ ako je ${AE=6}$ cm i ${EC=4}$ cm.

Rešenje. ${\sphericalangle ADE=\sphericalangle DAB}$ kao naizmenični uglovi kod paralelnih pravih $DE$ i $AB,$ a ${\sphericalangle DAB=\sphericalangle DAE}$ jer je $AD$ simetrala ugla. Zato je trougao $ADE$ jednakokraki i ${DE=AE=6}.$ Prava $DE$ je paralelna sa stranicom $AB,$ pa je ${\triangle EDC\sim\triangle ABC}$ i ${\frac{DE}{AB}=\frac{EC}{AC}=\frac{4}{10}}.$ Tada je ${AB=\frac{6\cdot 10}{4}=15}$ cm.

Zadatak 8. Kvadrat je upisan u trougao $ABC$ tako da mu jedna stranica leži na stranici ${AB=a},$ a druga dva temena na $AC$ i $BC.$ Odredite stranicu $x$ kvadrata ako je ${a=15}$ cm, a visina iz temena $C$ je ${h=10}$ cm.

Rešenje. Gornja stranica kvadrata je paralelna sa $AB,$ pa odseca trougao sličan trouglu $ABC.$ Njegova osnovica je $x,$ a visina ${h-x}.$ Visine su u istom odnosu kao osnovice:

$$\frac{x}{a}=\frac{h-x}{h}\quad\Rightarrow\quad x=\frac{ah}{a+h}=\frac{15\cdot 10}{25}=6\ \text{cm}.$$

Zadatak 9. Tetive $AB$ i $CD$ kruga seku se u tački $P.$ Dokažite da je ${PA\cdot PB=PC\cdot PD}$ i odredite $PD$ ako je ${PA=4},$ ${PB=6}$ i ${PC=3}.$

Rešenje. Periferijski uglovi $CAB$ i $CDB$ su nad istim lukom $CB,$ pa su jednaki. Uglovi $APC$ i $DPB$ su unakrsni. Po stavu UU je ${\triangle APC\sim\triangle DPB},$ pa je ${\frac{PA}{PD}=\frac{PC}{PB}}$ i ${PA\cdot PB=PC\cdot PD}.$ Tada je ${PD=\frac{4\cdot 6}{3}=8}.$

Teži zadaci

Zadatak 10. Dokažite da je proizvod dve stranice trougla jednak proizvodu visine na treću stranicu i prečnika opisanog kruga: ${ab=2R\cdot h_c}.$

Rešenje. Trougao ima najviše jedan ugao koji nije oštar, pa možemo pretpostaviti da je ugao $B$ oštar (inače zamenimo oznake $A$ i $B$). Neka je $CH$ visina, a $CD$ prečnik opisanog kruga; $H$ leži na polupravoj $BA.$ Ugao $CAD$ je periferijski ugao nad prečnikom, pa je ${\sphericalangle CAD=90^\circ=\sphericalangle CHB}.$ Tačke $B$ i $D$ leže na istom luku $CA\text{:}$ inače bi ugao ${\sphericalangle CDA=180^\circ-\sphericalangle B}$ bio tup, a on je oštar ugao pravouglog trougla $CAD.$ Dakle, periferijski uglovi $CBA$ i $CDA$ su nad istim lukom i jednaki su. Po stavu UU je ${\triangle CHB\sim\triangle CAD},$ pa je ${\frac{CH}{CA}=\frac{CB}{CD}},$ tj. ${CA\cdot CB=CD\cdot CH},$ odnosno ${ab=2R\cdot h_c}.$

Kako je ${h_c=\frac{2P}{c}},$ odavde dobijamo poznati obrazac ${P=\frac{abc}{4R}}.$

Zadatak 11. U oštrouglom trouglu $ABC$ povučene su visine $CD$ i $AE.$ Dokažite da duž $DE$ odseca trougao sličan trouglu $ABC.$

Rešenje. Pravougli trouglovi $ABE$ i $CBD$ imaju zajednički ugao $B,$ pa su slični i ${\frac{BE}{BD}=\frac{AB}{CB}},$ odnosno ${\frac{BD}{BC}=\frac{BE}{BA}}.$ Trouglovi $BDE$ i $BCA$ imaju zajednički ugao $B$ i ove proporcionalne stranice, pa je po stavu SUS ${\triangle BDE\sim\triangle BCA}$ sa koeficijentom sličnosti ${\frac{BD}{BC}=\cos B}.$ Obratite pažnju na to koja su temena odgovarajuća: $D$ odgovara temenu $C,$ a $E$ temenu $A,$ pa $DE$ u opštem slučaju nije paralelna sa $AC$ (paralelna je samo kada je ${AB=BC}$).

Zadatak 12 (Ojlerova prava). Neka je $O$ centar opisanog kruga, $T$ težište, a $H$ ortocentar (presečna tačka visina) oštrouglog trougla $ABC.$ Dokažite da $O,$ $T$ i $H$ leže na jednoj pravoj i da je ${TH=2\,TO}.$

Rešenje. U jednakostraničnom trouglu ove tri tačke se poklapaju, pa pretpostavimo da trougao nije jednakostraničan i da su mu temena obeležena tako da je ${AB\ne AC};$ tada ni $H$ ni $O$ ne leže na težišnoj duži iz temena $A.$ Neka su $M$ i $N$ središta stranica $BC$ i $CA.$ Prave $OM$ i $AH$ su obe normalne na $BC,$ pa su paralelne; na isti način je ${ON\parallel BH},$ a ${MN\parallel AB}$ kao srednja linija. Trouglovi $OMN$ i $HAB$ imaju paralelne stranice, pa su im uglovi jednaki i slični su sa koeficijentom sličnosti ${\frac{MN}{AB}=\frac12}.$ Zato je ${AH=2\,OM}.$

Težište leži na težišnoj duži $AM$ i ${AT=2\,TM}.$ Trougao je oštrougli, pa su $H$ i $O$ u njegovoj unutrašnjosti: poluprava $AH$ ide ka $BC,$ a poluprava $MO$ se udaljava od $BC.$ Zato $H$ i $O$ leže sa različitih strana prave $AM,$ a u trouglovima $ATH$ i $MTO$ uglovi $HAT$ i $OMT$ su jednaki kao naizmenični uglovi kod paralelnih pravih $AH$ i $OM,$ i ${\frac{AH}{MO}=\frac{AT}{TM}=2}.$ Po stavu SUS je ${\triangle ATH\sim\triangle MTO},$ pa je ${\sphericalangle ATH=\sphericalangle MTO}.$ Ovi uglovi leže sa različitih strana prave $AM,$ pa $H,$ $T$ i $O$ leže na jednoj pravoj i ${TH=2\,TO}.$

Isto važi i u svakom trouglu koji nije jednakostraničan; ta prava se zove Ojlerova prava.

Zadaci iz svakodnevnog života

Zadatak 13 (visina na osnovu senke). U istom trenutku čovek visok 1,8 m baca senku dugu 2,7 m, a drvo baca senku dugu 15 m. Koliko je visoko drvo?

Rešenje. Neka je $AB$ drvo, a $BC$ njegova senka, $A_1B_1$ čovek, a $B_1C_1$ čovekova senka. Sunčevi zraci su paralelni, pa sa tlom zaklapaju jednake uglove: ${\sphericalangle C=\sphericalangle C_1}.$ Drvo i čovek stoje vertikalno, pa je ${\sphericalangle B=\sphericalangle B_1=90^\circ}.$ Po stavu UU je ${\triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1}$ i

$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}\quad\Rightarrow\quad AB=\frac{1{,}8\cdot 15}{2{,}7}=10\ \text{m}.$$

Zadatak 14 (viziranje preko vrha drveta). Milica želi da odredi visinu zgrade. Drvo visoko 2,8 m nalazi se 30 m ispred zgrade. Milica se udaljava od drveta sve dok ne vidi vrh drveta i vrh zgrade na istoj pravoj; tada stoji 5 m od drveta. Njene oči su 1,6 m iznad tla. Koliko je visoka zgrada?

Rešenje. Neka je $T$ vrh drveta, a $D$ vrh zgrade. Povucimo horizontalnu pravu kroz Miličino oko $E;$ ona seče drvo u tački $K,$ a zgradu u tački $L.$ Pravougli trouglovi $EKT$ i $ELD$ imaju zajednički ugao kod $E,$ pa su slični. Ovde je ${EK=5},$ ${EL=5+30=35}$ i ${KT=2{,}8-1{,}6=1{,}2}$ m, pa je

$$\frac{LD}{KT}=\frac{EL}{EK}\quad\Rightarrow\quad LD=\frac{1{,}2\cdot 35}{5}=8{,}4\ \text{m}.$$

Visina zgrade je ${8{,}4+1{,}6=10}$ m.

Zadatak 15 (širina reke). Da bismo odredili rastojanje od tačke $A$ do tačke $X$ na drugoj obali, idemo od $A$ duž obale normalno na $AX$ i označimo tačku $B$ tako da je ${AB=200}$ m. Na $AB$ označimo tačku $M$ tako da je ${MB=30}$ m, krenemo od $M$ paralelno sa $AX$ i zaustavimo se u tački $N$ koja leži na pravoj $BX.$ Merenjem dobijamo ${MN=15}$ m. Odredite $AX.$

Rešenje. ${MN\parallel AX},$ pa je ${\triangle BMN\sim\triangle BAX}$ i

$$\frac{AX}{MN}=\frac{AB}{MB}\quad\Rightarrow\quad AX=\frac{15\cdot 200}{30}=100\ \text{m}.$$

Zadatak 16 (pokretna traka). Kosa pokretna traka počinje u tački $A$ na podu i oslanja se na stub visok 3 m koji je udaljen 8 m od $A.$ Traku treba produžiti pod istim nagibom do novog stuba visokog 9 m. Koliko je novi stub udaljen od prvog i za koliko se traka produžava?

Rešenje. Neka su $D$ i $E$ podnožje i vrh prvog stuba, $B$ i $C$ podnožje i vrh novog stuba, a ${x=DB}.$ Pravougli trouglovi $ADE$ i $ABC$ imaju zajednički ugao $A,$ pa su slični sa koeficijentom sličnosti ${k=\frac{BC}{DE}=\frac93=3}.$ Tada je ${AB=3\cdot 8=24}$ m i ${x=24-8=16}$ m. Stara traka je duga ${AE}={\sqrt{8^2+3^2}}={\sqrt{73}}\approx{8{,}54}$ m. Nova je ${AC=3\cdot AE},$ pa se traka produžava za ${EC=2\sqrt{73}\approx 17{,}09}$ m.

Zadatak 17 (površina na karti). Na karti u razmeri ${1:5000}$ trouglasta njiva ima površinu 12 cm². Kolika je njena stvarna površina?

Rešenje. Njiva i njena slika na karti su slične sa koeficijentom sličnosti ${k=5000},$ pa je stvarna površina ${12\cdot 5000^2}={300\,000\,000}$ cm² ${=30\,000}$ m², tj. 3 hektara.

Zadaci za vežbu

Pokušajte da ih rešite sami, pa tek onda otvorite rešenje.

1. Stranice trougla su 26 cm, 38 cm i 46 cm. Najkraća stranica njemu sličnog trougla je 13 cm. Odredite ostale stranice tog trougla.

${k=\frac{13}{26}=\frac12},$ pa su ostale stranice 19 cm i 23 cm.

2. Dve odgovarajuće stranice sličnih trouglova su 15 cm i 6 cm, a visina na stranicu od 15 cm je 8 cm. Odredite odgovarajuću visinu na stranicu od 6 cm.

${8\cdot\frac{6}{15}=3{,}2}$ cm.

3. Koeficijent sličnosti dva slična trougla je 1,75, a zbir dve odgovarajuće visine je 121 mm. Odredite te visine.

${h+1{,}75h=121},$ pa je ${h=44}$ mm i ${1{,}75h=77}$ mm.

4. Odnos dve odgovarajuće visine sličnih trouglova je 0,6, a dve odgovarajuće simetrale uglova razlikuju se za 1,4 cm. Odredite te simetrale.

Simetrale su u istom odnosu: ${l-0{,}6l=1{,}4},$ pa je ${l=3{,}5}$ cm i ${0{,}6l=2{,}1}$ cm.

5. Površine dva slična trougla su 18 cm² i 50 cm², a jedna stranica manjeg trougla je 6 cm. Odredite odgovarajuću stranicu većeg trougla.

${k^2=\frac{50}{18}=\frac{25}{9}},$ ${k=\frac53},$ pa je tražena stranica 10 cm.

6. Ugao pri vrhu jednog jednakokrakog trougla je $\alpha,$ a ugao na osnovici drugog jednakokrakog trougla je ${90^\circ-\frac{\alpha}{2}}.$ Krak prvog trougla i obim drugog su po 80 cm, a osnovica drugog je 20 cm. Odredite osnovicu prvog trougla.

Ugao pri vrhu drugog trougla je ${180^\circ-2\left(90^\circ-\frac{\alpha}{2}\right)=\alpha},$ pa su trouglovi slični. Kraci drugog trougla su po 30 cm, pa je osnovica prvog ${80\cdot\frac{20}{30}=53\frac13}$ cm.

7. Osnovica jednakokrakog trougla je 3 cm, a krak 6 cm. Prava paralelna sa osnovicom seče krakove, a njen deo između krakova jednak je delu kraka između te prave i osnovice. Odredite dužinu tog dela prave.

Ako je ta dužina $x,$ odsečeni trougao ima krak ${6-x}$ i osnovicu $x,$ pa je ${\frac{x}{3}=\frac{6-x}{6}}$ i ${x=2}$ cm.

8. U trouglu $ABC$ je ${AB=9},$ ${BC=12}$ i ${AC=6}.$ Tačka $D$ leži na $AB$ i ${AD=4}.$ Odredite $CD.$

${\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}=\frac23}$ i ugao $A$ je zajednički, pa je ${\triangle ADC\sim\triangle ACB}$ (SUS) i ${CD=\frac23\cdot BC=8}.$

9. Paralelogram $AKMP$ upisan je u trougao $ABC$ tako da im je ugao $A$ zajednički ($K$ na $AC,$ $M$ na $BC,$ $P$ na $AB$). Odredite stranice paralelograma ako je ${AC=24},$ ${AB=36}$ i ${KM:MP=3:1}.$

Neka je ${MP=AK=t},$ ${KM=3t}.$ Kako je ${KM\parallel AB},$ važi ${\frac{3t}{36}=\frac{24-t}{24}},$ odakle je ${t=8}.$ Stranice su 8 i 24.

10. Kraci trapeza su 12 cm i 8 cm, a veća osnovica je 27 cm. Dijagonala deli trapez na dva slična trougla. Odredite tu dijagonalu i manju osnovicu.

Neka je ${AB=27},$ a $AC$ dijagonala. ${\sphericalangle DCA=\sphericalangle CAB}$ kao naizmenični uglovi. Kada bi bilo i ${\sphericalangle D=\sphericalangle B},$ onda bi bilo ${\sphericalangle DAC=\sphericalangle ACB},$ pa bi važilo ${AD\parallel BC}$ i $ABCD$ bi bio paralelogram. Zato je ${\sphericalangle D=\sphericalangle ACB},$ ${\triangle DCA\sim\triangle CAB}$ i ${\frac{DC}{CA}=\frac{CA}{AB}=\frac{AD}{BC}}.$ Kvadrat ovog odnosa je ${\frac{DC}{CA}\cdot\frac{CA}{AB}=\frac{DC}{AB}\lt 1},$ pa je ${AD=8},$ ${BC=12},$ a odnos je $\frac23.$ Tada je ${CA=\frac23\cdot 27=18}$ cm i ${DC=\frac23\cdot 18=12}$ cm.

11. U pravougaoniku $ABCD$ je ${AB=10}$ i ${AD=4}.$ Iz tačke $M$ na $CD$ stranica $AB$ se vidi pod pravim uglom. Odredite $DM$ i $MC.$

${\triangle ADM\sim\triangle MCB}$ (pravi uglovi kod $D$ i $C,$ i ${\sphericalangle DAM}={\sphericalangle CMB}={90^\circ-\sphericalangle DMA}$), pa je ${DM\cdot MC=4\cdot 4=16}$ i ${DM+MC=10}.$ Dakle, ${DM=2},$ ${MC=8}$ ili ${DM=8},$ ${MC=2}.$

12. Pravougli trougao sa katetom 8 cm upisan je u krug poluprečnika 5 cm. Odredite projekciju te katete na hipotenuzu.

Hipotenuza je prečnik kruga, dakle 10 cm. Iz ${b^2=c\cdot q}$ dobijamo ${q=\frac{64}{10}=6{,}4}$ cm.

13. Osnovica jednakokrakog trougla je 6 cm, a krak 9 cm. Odredite rastojanje između tačaka u kojima upisani krug dodiruje krake.

Odsečak tangente od temena naspram osnovice do dodirne tačke je ${9-3=6}$ cm. Tražena duž je paralelna sa osnovicom, pa je jednaka ${6\cdot\frac69=4}$ cm.

14. Osnovica jednakokrakog trougla je 12 cm, a krak 9 cm. Povučena je tangenta upisanog kruga paralelna sa osnovicom. Odredite deo te tangente između krakova.

${h=\sqrt{81-36}=3\sqrt5},$ ${r=\frac{P}{s}=\frac{18\sqrt5}{15}=1{,}2\sqrt5}.$ Odsečeni trougao ima visinu ${h-2r=0{,}6\sqrt5=\frac{h}{5}},$ pa je traženi deo tangente ${\frac{12}{5}=2{,}4}$ cm.

15. Krugovi poluprečnika 36 cm i 24 cm leže jedan izvan drugog. Njihova zajednička unutrašnja tangenta deli duž između centara na delove koji se razlikuju za 16 cm. Odredite rastojanje između centara.

Dva pravougla trougla koja obrazuju poluprečnici povučeni do dodirnih tačaka su slična, pa su delovi u odnosu ${36:24=3:2}.$ Tada su delovi 48 cm i 32 cm, a rastojanje je 80 cm.

16. Dva kruga poluprečnika 3 cm i 2 cm dodiruju se spolja. Njihove zajedničke spoljašnje tangente seku se u tački $M.$ Odredite rastojanje od centra manjeg kruga do tačke $M.$

Ako je to rastojanje $d,$ onda je ${\frac{d}{d+5}=\frac23}$ (slični pravougli trouglovi sa poluprečnicima povučenim do iste tangente), pa je ${d=10}$ cm.

17. Osnovice $AB$ i $CD$ trapeza $ABCD$ odnose se kao ${5:1},$ a ${AC=22}$ cm. Na koje delove prava kroz $B$ i središte kraka $AD$ deli dijagonalu $AC?$

Ta prava seče produžetak osnovice $CD$ u tački $K$ tako da je ${DK=AB}$ (trouglovi sa temenom u središtu kraka $AD$ su podudarni). Ako prava seče $AC$ u tački $O,$ onda je ${\triangle AOB\sim\triangle COK}$ i ${\frac{AB}{CK}=\frac{5}{6}}.$ Zato je ${AO=10}$ cm i ${OC=12}$ cm.

18. Težišna duž $BM$ trougla $ABC$ zaklapa sa stranicom $AB$ ugao jednak uglu $C.$ Dokažite da je ${AC^2=2AB^2}.$

${\triangle ABM\sim\triangle ACB}$ (UU: ugao $A$ je zajednički i ${\sphericalangle ABM=\sphericalangle C}$). Zato je ${\frac{AB}{AC}=\frac{AM}{AB}},$ ${AB^2=AC\cdot\frac{AC}{2}}$ i ${AC^2=2AB^2}.$

19. Iz tačke $P$ van kruga povučene su tangenta $PB$ i prava koja seče krug u tačkama $C$ i $A$ (tim redom). Dokažite da je ${PB^2=PC\cdot PA}.$

Ugao između tangente i tetive $BC$ jednak je periferijskom uglu $BAC,$ pa je ${\sphericalangle PBC=\sphericalangle PAB}.$ Ugao $P$ je zajednički, pa je ${\triangle PBC\sim\triangle PAB}$ i ${\frac{PB}{PA}=\frac{PC}{PB}},$ tj. ${PB^2=PC\cdot PA}.$

20. Visine $BD$ i $CE$ oštrouglog trougla $ABC$ seku se u tački $H.$ Dokažite da je ${EH\cdot HC=DH\cdot HB}.$

Pravougli trouglovi $EHB$ i $DHC$ imaju jednake unakrsne uglove kod $H,$ pa su slični i ${\frac{EH}{DH}=\frac{HB}{HC}}.$

Još o trouglovima: Trouglovi · Podudarnost trouglova · Visina · Težišna duž · Zadaci sa Talesovom teoremom