Sličnost trouglova

Definicija

Dva slična trougla

Uopšteno, za dva trougla kažemo da su slična ako imaju isti oblik, čak i ako su različite veličine, zarotirani ili obrnuti.

Ako su dva trougla A1B1C1 i A2B2C2 slična, kao na slici iznad, zapisujemo:

ΔA1B1C1 ~ ΔA2B2C2

Dva trougla su slična ako je:

1. Svaki ugao jednog trougla podudaran (jednak) sa odgovarajućim uglom drugog trougla. Na primer:
∠A1 = ∠A2, ∠B1 = ∠B2∠C1 = ∠C2

2. Odnos dužina odgovarajućih stranica jednog i drugog trougla isti. Na primer:
$\frac{A_1B_1}{A_2B_2}=\frac{A_1C_1}{A_2C_2}=\frac{B_1C_1}{B_2C_2}$

3. Odnos dužina dve stranice jednog trougla jednak odnosu dužina odgovarajućih stranica drugog trougla i
imaju jednake uglove između tih stranica. Na primer:
$\frac{B_1A_1}{B_2A_2}=\frac{A_1C_1}{A_2C_2}$ i $\angle A_1 = \angle A_2$
ili
$\frac{A_1B_1}{A_2B_2}=\frac{B_1C_1}{B_2C_2}$ i $\angle B_1 = \angle B_2$
ili
$\frac{B_1C_1}{B_2C_2}=\frac{C_1A_1}{C_2A_2}$ i $\angle C_1 = \angle C_2$

Budite oprezni da ne biste pomešali slične trouglove sa podudarnim trouglovima. Podudarni trouglovi imaju jednake dužine odgovarajućih stranica. Iz čega sledi, za podudarne trouglove:

$\frac{A_1B_1}{A_2B_2}=\frac{A_1C_1}{A_2C_2}=\frac{B_1C_1}{B_2C_2}=1$

To znači da su svi podudarni trouglovi slični. Suprotno tvrđenje ne važi. Ako su trouglovi slični to ne znači i da su podudarni.

Iako je gore navedeno da je potrebno da znamo mere sva tri ugla ili dužine svih stranica trouglova kako bismo utvrdili da li su trouglovi slični, bilo bi dovoljno da znamo samo tri od pomenutih mera za svaki od trouglova. Ove mere mogu biti neka od sledećih kombinacija:

1) tri ugla svakog trougla (bez potrebe da znamo dužine njihovih stranica).

Ili najmanje 2 ugla jednog trougla koji su jednaki sa 2 ugla drugog trougla.
Treći ugao trougla možemo izračunati po formuli: 180 - ugao1 - ugao2, pa iz toga sledi da ako su dva ugla trouglova jednaki onda je jednak i treći.

2) dužine stranica svakog trougla (bez potrebe da znamo mere njihovih uglova);

3) dužine dve stranice svakog trougla i mere jednog ugla između tih stranica.

U nastavku ćemo pokazati rešenja nekoliko zadataka u vezi sa sličnosti trouglova. Počećemo sa primerima koji mogu biti rešeni direktnom primenom navedenih pravila, a nakon toga ćemo diskutovati o nekim praktičnim problemima za čije rešavanje je potrebno koristiti principe sličnosti trouglova.

Direktna primena na probleme u vezi sa sličnosti trouglova

Primer 1: Pokaži da su trouglovi sa sledeće slike slični.
2 slična trougla sa datim dužinama stranica

Rešenje:
Pošto su dužine stranica oba trougla poznate, možemo iskoristiti drugo pravilo:

$\frac{PQ}{AB}=\frac{6}{2}=3$ $\frac{QR}{CB}=\frac{12}{4}=3$ $\frac{PR}{AC}=\frac{15}{5}=3$

Primer 2: Dokaži da su trouglovi na sledećoj slici slični i izračunaj dužine stranica PQ i PR.

Rešenje:
∠A = ∠P i ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R (zato što je ∠C = 180 - ∠A - ∠B i ∠R = 180 - ∠P - ∠Q)

Što znači da su trouglovi ΔABC i ΔPQR slični. Zbog toga je:
$\frac{AB}{PQ}=\frac{BC}{QR}=\frac{AC}{PR}$

$\frac{BC}{QR}=\frac{6}{12}=\frac{AB}{PQ}=\frac{4}{PQ} \Rightarrow PQ=\frac{4\times12}{6} = 8$ i
$\frac{BC}{QR}=\frac{6}{12}=\frac{AC}{PR}=\frac{7}{PR} \Rightarrow PR=\frac{7\times12}{6} = 14$

Primer 3: Nađi dužinu stranice AB u trouglu ispod.

Rešenje:

∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AED i ∠A je zajdnički => trouglovi ΔABC i ΔADE su slični.

$\frac{BC}{DE} = \frac{3}{6} = \frac{AB}{AD} = \frac{AB}{AB + BD} = \frac{AB}{AB + 4} = \frac{1}{2} \Rightarrow 2\times AB = AB + 4 \Rightarrow AB = 4$

Primer 4: Nađi dužinu duži AD (x) na datom crtežu.

Trouglovi ΔABC i ΔCDE su slični zbog toga što je AB || DE i imaju zajedničko teme C.
To znači da je jedan trougao srazmeran drugom. Ipak, potrebno je ovo da dokažemo matematički.

AB || DE, CD || AC i BC || EC
∠BAC = ∠EDC i ∠ABC = ∠DEC

Uzimajući prethodno u obzir i zajednički ugao C, možemo zaključiti da su trouglovi Delta;ABC i ΔCDE slični.

Iz toga sledi:
$\frac{DE}{AB} = \frac{7}{11} = \frac{CD}{CA} = \frac{15}{CA} \Rightarrow CA = \frac{15 \times 11}{7} = 23,57$
x = AC - DC = 23,57 - 15 = 8,57

Praktični primeri

Primer 5: Neka fabrika koristi elevator (nakošenu pokretnu traku) za transport proizvoda sa nivoa 1 na nivo 2 koji je 3m iznad nivoa 1 kao što je prikazano na slici ispod. Horizontalno rastojanje nivoa 1 i nivoa 2 je 8m.

Fabrika želi da produži elevator da dostigne nivo 3 koji je 9m iznad nivoa 1 zadržavajući nagibni ugao elevatora.

Nađi horizontalnu udaljenost tačke nivoa 3 do koje stiže elevator od tačke na nivou 2. Takođe, izračunaj dodatnu udaljenost koju će proizvodi prelaziti na putu do novog nivoa.

Rešenje:

Prvo, uvedimo oznake za sve tačke preseka koje su prikazane crvenom bojom na crtežu iznad.

Sledeći isto objašnjenje prikazano u prethodnom primeru možemo dokazati da su trouglovi ΔABC i ΔADE slični. Zbog toga je

$\frac{DE}{BC} = \frac{3}{9} = \frac{AD}{AB} = \frac{8}{AB} \Rightarrow AB = \frac{8 \times 9}{3} = 24m$
x = AB - 8 = 24 - 8 = 16m

Stoga, nova tačka treba da bude postavljena na rastojanju 16m od postojeće tačke.

Pošto konstrukcija formira pravougli trougao možemo izračunati udaljenost koju će proizvodi prelaziti na sledeći način:

$AE = \sqrt{AD^2 + DE^2} = \sqrt{8^2 + 3^2} = 8,54m$

Slično, $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{24^2 + 9^2} = 25,63m$
je udaljenost koju proizvodi prelaze da dostignu postojeći nivo.

y = AC - AE = 25,63 - 8,54 = 17,09m
je dodatna udaljenost koju će proizvod prelaziti u dostizanju novog nivoa.

Primer 6: Steva želi da poseti prijatelja koji se nedavno preselio. Mapa puta između Stevine kuće i kuće njegovog prijatelja kao i razdaljine poznate Stevi su prikazane na crtežu. Pokaži Stevi koji je najkraći put do kuće njegovog prijatelja.

Rešenje:

Mapa puta se može geometrijski predstaviti pomoću sledećeg crteža.

Može se primetiti da su trouglovi ΔABC i ΔCDE slični, pa je:
$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{CD} = \frac{AC}{CE}$

Iz opisa problema imamo:

AB = 15km, AC = 13,13km, CD = 4,41km i DE = 5km

Iz toga možemo da izračunamo tražene udaljenosti:

$BC = \frac{AB \times CD}{DE} = \frac{15 \times 4,41}{5} = 13,23km$
$CE = \frac{AC \times CD}{BC} = \frac{13,13 \times 4,41}{13,23} = 4,38km$

Kako bi stigao do prijatelja Steva može da koristi sledeće putanje:

A -> B -> C -> E -> G ukupne dužine 7,5+13,23+4,38+2,5=27,61km

F -> B -> C -> D -> G ukupne dužine 7,5+13,23+4,41+2,5=27,64km

F -> A -> C -> E -> G ukupne dužine 7,5+13,13+4,38+2,5=27,51km

F -> A -> C -> D -> G ukupne dužine 7,5+13,13+4,41+2,5=27,54km

Znači, treća putanja je najkraća.

Primer 7:
Marica želi da izmeri visinu zgrade ali nema odgovarajući alat za to. Primetila je drvo koje se nalazi ispred zgrade pa je odlučila da iskoristi svoju pamet i geometriju koju je naučila u školi kako bi odredila visinu zgrade. Izmerila je da udaljenost između zgrade i drveta iznosi 30m. Stala je ispred drveta i kretala se unazad dok nije uspela da vidi sam vrh zgrade iza vrha drveta. Označila je mesto na kom je stajala i izmerila udaljenost te tačke od drveta. Iznosila je 5m.

Znajući da je visina drveta 2,8m i da su Maricine oči na visini 1,6m, pomozi Marici da izračuna visinu zgrade.

Rešenje:

Ovaj problem se može geometrijski predstaviti pomoću crteža ispod.

Prvo, iskoristimo sličnost trouglova ΔABC i ΔADE.

$\frac{BC}{DE} = \frac{1,6}{2,8} = \frac{AC}{AE} = \frac{AC}{5 + AC} \Rightarrow 2,8 \times AC = 1,6 \times (5 + AC) = 8 + 1,6 \times AC$

$(2,8 - 1,6) \times AC = 8 \Rightarrow AC = \frac{8}{1,2} = 6,67$

Možemo iskoristiti sličnost trouglova ΔACB i ΔAFG, ili trouglova ΔADE i ΔAFG. Uzećemo prvu varijantu.

$\frac{BC}{FG} = \frac{1,6}{H} = \frac{AC}{AG} = \frac{6,67}{6,67 + 5 + 30} = 0,16 \Rightarrow H = \frac{1,6}{0,16} = 10m$


Kontakt imejl:

Copyright © 2005 - 2018