MeniTežišne duži trougla
Težišna duž (težišna linija) trougla je duž koja spaja teme trougla sa središtem naspramne stranice.
Na slici je $A_1$ središte stranice $BC$ (${BA_1=A_1C}$), a $AA_1$ je težišna duž iz temena $A.$ Njena dužina se označava sa $t_a$ – težišna duž na stranicu $a.$ Svaki trougao ima tri težišne duži, $AA_1,$ $BB_1$ i $CC_1,$ sa dužinama $t_a,$ $t_b$ i $t_c.$ Za razliku od visina, težišne duži uvek leže unutar trougla.
Na ovoj stranici: Težište · Težišne duži i površina · Dužina težišne duži · Posebni trouglovi · Rešeni zadaci · Zadaci za vežbu
Težište
Tri težišne duži trougla seku se u jednoj tački $T,$ koja se zove težište. Težište deli svaku težišnu duž u odnosu ${2:1},$ računajući od temena:
$$\frac{AT}{TA_1}=\frac{BT}{TB_1}=\frac{CT}{TC_1}=\frac{2}{1}.$$Drugim rečima, težište se nalazi na dve trećine puta od svakog temena do središta naspramne stranice:
${AT=\frac23\,t_a},\qquad{TA_1=\frac13\,t_a}.$
Ako trougao isečemo iz kartona, on će biti u ravnoteži na vrhu olovke postavljenom u težište. Odatle i naziv: težište je centar mase trougla.
Zašto se težišne duži seku u jednoj tački i zašto je odnos ${2:1}?$
Neka se težišne duži $BB_1$ i $CC_1$ seku u tački $T.$ Duž $B_1C_1$ spaja središta stranica $AC$ i $AB,$ pa je to srednja linija: ${B_1C_1\parallel BC}$ i ${B_1C_1=\frac12\,BC}.$
Trouglovi $TB_1C_1$ i $TBC$ imaju jednake uglove (naizmenični uglovi kod paralelnih pravih $B_1C_1$ i $BC$ i unakrsni uglovi kod $T$), pa su slični sa koeficijentom ${\frac{B_1C_1}{BC}=\frac12}.$ Zato je ${TB_1=\frac12\,TB}$ i ${TC_1=\frac12\,TC}:$ tačka $T$ deli svaku od težišnih duži $BB_1$ i $CC_1$ u odnosu ${2:1}.$
Isto razmatranje za težišne duži $AA_1$ i $BB_1$ pokazuje da se one seku u tački duži $BB_1$ koja je deli u odnosu ${2:1}$ računajući od $B.$ To je ista tačka $T,$ pa sve tri težišne duži prolaze kroz $T.$
Težište u koordinatama. Ako su temena ${A(x_1;\ y_1)},$ ${B(x_2;\ y_2)}$ i ${C(x_3;\ y_3)},$ težište je tačka
${T\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3};\ \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)}.$
Težišne duži i površina
Težišna duž deli trougao na dva trougla jednakih površina.
Trouglovi $ABA_1$ i $AA_1C$ imaju jednake osnovice, ${BA_1=A_1C},$ i zajedničku visinu iz $A,$ pa su im površine jednake.
Tri težišne duži dele trougao na šest malih trouglova jednakih površina. Svaki od njih ima ${\frac16}$ površine trougla $ABC,$ a, na primer, ${P_{ABT}=\frac13\,P_{ABC}}.$
Zašto je svih šest površina jednako?
Trouglovi $TBA_1$ i $TA_1C$ imaju jednake osnovice i zajedničku visinu iz $T,$ pa su im površine jednake; neka je ta površina $x.$ Težišna duž $AA_1$ deli $ABC$ na dva dela jednakih površina, pa je ${P_{ABT}}={\frac12\,P_{ABC}-x}={P_{ACT}}.$ Na isti način ${P_{ABT}=P_{BCT}}.$ Dakle, trouglovi $ABT,$ $BCT$ i $CAT$ imaju jednake površine, svaki po ${\frac13\,P_{ABC}},$ a svakog od njih težišna duž deli na dva jednaka dela po ${\frac16\,P_{ABC}}.$
Obrazac za dužinu težišne duži
U svakom obrascu stranica na koju je povučena težišna duž ima znak minus.
Dokaz pomoću paralelograma
Produžimo težišnu duž $AA_1$ preko tačke $A_1$ za njenu dužinu do tačke $D,$ tako da je ${A_1D=AA_1=t_a}.$ Dijagonale $AD$ i $BC$ četvorougla $ABDC$ polove se u tački $A_1,$ pa je $ABDC$ paralelogram sa stranicama $b$ i $c$ i dijagonalama ${AD=2t_a}$ i ${BC=a}.$
U svakom paralelogramu zbir kvadrata dijagonala jednak je zbiru kvadrata sve četiri stranice:
${(2t_a)^2+a^2=2b^2+2c^2}.$
Zato je ${4t_a^2=2b^2+2c^2-a^2},$ što je traženi obrazac. A pravilo za paralelogram sledi iz kosinusne teoreme primenjene na obe dijagonale.
Stranice preko težišnih duži. Ako su poznate sve tri težišne duži, stranice su
Kad saberemo kvadrate sve tri težišne duži, dobijamo još jednu lepu vezu:
${t_a^2+t_b^2+t_c^2}={\frac34\left(a^2+b^2+c^2\right)}.$
Težišne duži posebnih trouglova
- Jednakokraki trougao. Težišna duž na osnovicu je ujedno visina na osnovicu i simetrala ugla pri vrhu. Težišne duži na krake su jednake.
- Jednakostranični trougao. Težišne duži su jednake visinama, ${t=\frac{a\sqrt3}{2}},$ a težište je centar trougla.
- Pravougli trougao. Težišna duž na hipotenuzu jednaka je polovini hipotenuze: ${t_c=\frac{c}{2}}.$ Središte hipotenuze jednako je udaljeno od sva tri temena, tj. ono je centar opisanog kruga.
Obrnuto, ako je težišna duž jednaka polovini stranice na koju je povučena, onda je ugao naspram te stranice prav.
Zašto?
Neka je ${CC_1=\frac12\,AB}.$ Tada je ${C_1A=C_1C=C_1B},$ pa su trouglovi $AC_1C$ i $BC_1C$ jednakokraki i ${\sphericalangle C_1CA=\alpha},$ ${\sphericalangle C_1CB=\beta}.$ Zato je ${\gamma=\alpha+\beta},$ a iz ${\alpha+\beta+\gamma=180^\circ}$ dobijamo ${\gamma=90^\circ}.$
Rešeni zadaci
Zadatak 1. U trouglu $ABC$ stranice su ${a=10}$ i ${b=c=13}.$ Odredite težišne duži $t_a$ i $t_b.$
Rešenje.
${t_a}={\frac12\sqrt{2\cdot 169+2\cdot 169-100}}={\frac12\sqrt{576}}={12},$
${t_b}={\frac12\sqrt{2\cdot 100+2\cdot 169-169}}={\frac12\sqrt{369}}={\frac{3\sqrt{41}}{2}}\approx{9{,}60}.$
Proverimo $t_a$ i na drugi način: trougao je jednakokraki sa osnovicom $a,$ pa je $t_a$ i visina na osnovicu, ${\sqrt{13^2-5^2}=12}.$
Zadatak 2. Katete pravouglog trougla su ${a=6}$ i ${b=8}.$ Odredite težišnu duž na hipotenuzu i težišnu duž na katetu $a.$
Rešenje. Hipotenuza je ${c=10},$ pa je ${t_c=5}.$ Težišna duž na katetu $a$ spaja $A$ sa središtem $BC.$ Ona je hipotenuza pravouglog trougla sa katetama $b$ i ${\frac a2},$ pa je
${t_a}={\sqrt{b^2+\left(\frac a2\right)^2}}={\sqrt{64+9}}={\sqrt{73}}\approx{8{,}54}.$
Obrazac daje isto: ${\frac12\sqrt{2\cdot 64+2\cdot 100-36}}={\frac12\sqrt{292}}={\sqrt{73}}.$
Zadatak 3. Težišna duž $AA_1$ je 15 cm. Odredite $AT$ i $TA_1.$
Rešenje. ${AT=\frac23\cdot 15=10}$ cm i ${TA_1=\frac13\cdot 15=5}$ cm.
Zadatak 4. Odredite težište trougla sa temenima ${A(1;\ 2)},$ ${B(5;\ 0)}$ i ${C(3;\ 7)}.$
Rešenje. ${T\left(\frac{1+5+3}{3};\ \frac{2+0+7}{3}\right)}={T(3;\ 3)}.$
Zadatak 5. Površina trougla $ABC$ je 36 cm². Odredite površine trouglova $ABA_1,$ $ABT$ i $TBA_1.$
Rešenje. ${P_{ABA_1}=\frac12\cdot 36=18},$ ${P_{ABT}=\frac13\cdot 36=12}$ i ${P_{TBA_1}=\frac16\cdot 36=6}$ (u cm²).
Zadatak 6. Težišne duži trougla su ${t_a=9},$ ${t_b=12}$ i ${t_c=15}.$ Odredite njegove stranice.
Rešenje.
${a}={\frac23\sqrt{2\cdot 144+2\cdot 225-81}}={\frac23\sqrt{657}}={2\sqrt{73}}\approx{17{,}09},$
${b}={\frac23\sqrt{2\cdot 81+2\cdot 225-144}}={\frac23\sqrt{468}}={4\sqrt{13}}\approx{14{,}42},$
${c}={\frac23\sqrt{2\cdot 81+2\cdot 144-225}}={\frac23\sqrt{225}}={10}.$
Zadatak 7. Dokažite da je trougao sa dve jednake težišne duži jednakokraki.
Rešenje. Ako je ${t_a=t_b},$ onda je ${2b^2+2c^2-a^2}={2a^2+2c^2-b^2},$ odakle je ${3b^2=3a^2}$ i ${a=b}.$
Zadaci za vežbu
Rešite ih sami, pa otvorite rešenje.
1. Težišna duž $AA_1$ je 12. Odredite $AT$ i $TA_1.$
${AT=8}$ i ${TA_1=4}.$
2. ${TA_1=3}.$ Odredite težišnu duž $AA_1.$
${AA_1=3\cdot 3=9}$
3. Hipotenuza pravouglog trougla je 17. Odredite težišnu duž na hipotenuzu.
${\frac{17}{2}=8{,}5}$
4. Stranice trougla su ${a=8}$ i ${b=c=5}.$ Odredite $t_a.$
${t_a}={\frac12\sqrt{50+50-64}}={\frac12\cdot 6}={3}.$ To je i visina na osnovicu: ${\sqrt{25-16}=3}.$
5. Stranice trougla su 5, 6 i 7. Odredite težišnu duž na stranicu 6.
${\frac12\sqrt{2\cdot 25+2\cdot 49-36}}={\frac12\sqrt{112}}={2\sqrt7}\approx{5{,}29}$
6. Odredite težište trougla sa temenima ${(0;\ 0)},$ ${(6;\ 0)}$ i ${(3;\ 9)}.$
${T(3;\ 3)}$
7. Površina trougla je 30. Odredite površinu svakog od šest malih trouglova na koje ga dele težišne duži.
${30:6=5}$
8. Odredite težišnu duž jednakostraničnog trougla sa stranicom 6 i rastojanje težišta od temena.
${t=\frac{6\sqrt3}{2}=3\sqrt3\approx 5{,}20}$ i ${AT}={\frac23\cdot 3\sqrt3}={2\sqrt3}\approx{3{,}46}.$
9. Stranice trougla su 4, 5 i 6. Odredite ${t_a^2+t_b^2+t_c^2}.$
${\frac34\,(16+25+36)}={\frac34\cdot 77}={57{,}75}$
10. U trouglu $ABC$ je težišna duž ${t_c=5},$ stranica ${c=10},$ a stranica ${a=6}.$ Odredite stranicu $b.$
${t_c=\frac c2},$ pa je ${\gamma=90^\circ}$ i ${b=\sqrt{10^2-6^2}=8}.$
Još o trouglovima: Trouglovi · Visina · Srednja linija · Podudarnost
