Visina trougla

Visina trougla je duž iz temena trougla normalna na pravu na kojoj leži naspramna stranica. Tačka u kojoj ona seče tu pravu je podnožje visine.

Na slici je $CC_1$ visina iz temena $C.$ Ona je normalna na $AB,$ a $C_1$ je njeno podnožje. Njena dužina se označava sa $h_c$ – visina na stranicu $c.$ Na isti način su $h_a$ i $h_b$ visine na stranice $a$ i $b.$ Svaki trougao ima tri visine.

Visina je rastojanje temena od prave naspramne stranice: ona je najkraća od svih duži koje spajaju teme sa tačkama te prave. Zato se pojavljuje u obrascu za površinu

${P=\frac12\,a\,h_a=\frac12\,b\,h_b=\frac12\,c\,h_c}.$

U oštrouglom trouglu podnožja sve tri visine leže na stranicama. U tupouglom trouglu podnožja dve visine leže na produžecima stranica. Zato se u definiciji govori o pravoj na kojoj leži stranica.

Na ovoj stranici: Ortocentar · Oštrougli trougao · Pravougli trougao · Tupougli trougao · Obrasci · Rešeni zadaci · Zadaci za vežbu

Gde se seku visine? Ortocentar

Tri visine trougla, ili prave na kojima leže, seku se u jednoj tački. Ta tačka je ortocentar trougla i obično se označava sa $H.$

Gde leži ortocentar, zavisi od vrste trougla.

Visine oštrouglog trougla

Sve tri visine leže unutar trougla, a ortocentar $H$ je unutrašnja tačka. Dve korisne činjenice o uglovima:

• ${\sphericalangle BAA_1=90^\circ-\beta},$ jer trougao $ABA_1$ ima prav ugao kod $A_1.$ Na isti način ${\sphericalangle CAA_1=90^\circ-\gamma},$ ${\sphericalangle ABB_1=90^\circ-\alpha}$ itd.
• ${\sphericalangle AHB=180^\circ-\gamma},$ ${\sphericalangle BHC=180^\circ-\alpha}$ i ${\sphericalangle CHA=180^\circ-\beta}.$ Zaista, četvorougao $CB_1HA_1$ ima prave uglove kod $A_1$ i $B_1,$ pa je ${\sphericalangle A_1HB_1}={360^\circ-90^\circ-90^\circ-\gamma}={180^\circ-\gamma},$ a ${\sphericalangle AHB=\sphericalangle A_1HB_1}$ kao unakrsni uglovi.

Visine pravouglog trougla

Neka je ${\gamma=90^\circ}.$ Katete su normalne, pa je visina iz $A$ kateta $AC,$ a visina iz $B$ kateta $BC.$ Obe prolaze kroz $C,$ pa je ortocentar teme pravog ugla: ${H=C}.$ Treba konstruisati samo treću visinu, $CC_1$ na hipotenuzu. Njena dužina je ${h_c=\frac{ab}{c}}.$

Visine tupouglog trougla

Neka je ugao kod $C$ tup. Visina iz $C$ leži unutar trougla, ali visine iz $A$ i $B$ leže izvan njega: njihova podnožja $A_1$ i $B_1$ leže na produžecima stranica $BC$ i $AC$ preko temena $C.$ Same visine se ne seku. Seku se prave na kojima leže – u ortocentru $H,$ koji je izvan trougla, iza temena tupog ugla.

Zanimljiva činjenica: na ovoj slici $C$ je ortocentar trougla $ABH.$ Od četiri tačke $A,$ $B,$ $C$ i $H$ svaka je ortocentar trougla koji obrazuju ostale tri.

Obrasci za visine

Koristimo standardne oznake: stranice $a,$ $b,$ $c,$ uglovi $\alpha,$ $\beta,$ $\gamma,$ površina $P,$ poluobim ${s=\frac{a+b+c}{2}},$ poluprečnik $R$ opisanog i poluprečnik $r$ upisanog kruga.

Poznato	Obrazac	Odakle
Površina i stranica	${h_a=\frac{2P}{a}}$	${P=\frac12\,a\,h_a}$
Tri stranice	${h_a}={\frac{2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{a}}$	Heronov obrazac za površinu
Stranica i ugao	${h_a=b\sin\gamma=c\sin\beta}$	pravougli trouglovi $AA_1C$ i $AA_1B$
Dve stranice i $R$	${h_a=\frac{bc}{2R}}$	${P=\frac{abc}{4R}}$

Obrasci za $h_b$ i $h_c$ dobijaju se zamenom slova, na primer ${h_c}={\frac{2P}{c}}={a\sin\beta}={b\sin\alpha}={\frac{ab}{2R}}.$

Visine i stranice

Još jedna jednakost povezuje visine sa poluprečnikom upisanog kruga:

${\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}=\frac1r}.$

Zaista, ${\frac{1}{h_a}=\frac{a}{2P}},$ pa je zbir ${\frac{a+b+c}{2P}=\frac{2s}{2P}=\frac{s}{P}=\frac1r},$ jer je ${P=s\,r}.$

Visine posebnih trouglova

• Jednakostranični trougao sa stranicom $a.$ Sve tri visine su jednake, ${h=\frac{a\sqrt3}{2}}.$
• Jednakokraki trougao sa kracima $b$ i osnovicom $c.$ Visina na osnovicu je ${h_c=\sqrt{b^2-\frac{c^2}{4}}};$ ona je ujedno težišna duž i simetrala ugla. Visine na krake su jednake.
• Pravougli trougao sa katetama $a,$ $b$ i hipotenuzom $c.$ Dve visine su katete, a visina na hipotenuzu je ${h_c=\frac{ab}{c}}.$ Ona deli hipotenuzu na odsečke ${q=AC_1}$ i ${p=C_1B},$ a ${h_c^2=p\cdot q}$ (na stranici Trouglovi podnožje $C_1$ je označeno sa $H$).

Rešeni zadaci

Zadatak 1. Odredite tri visine trougla sa stranicama 13, 14 i 15.

Rešenje. ${s=21}$ i po Heronovom obrascu ${P=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=84}.$ Tada je

${h_{13}=\frac{168}{13}\approx 12{,}92},$ ${h_{14}=\frac{168}{14}=12},$ ${h_{15}=\frac{168}{15}=11{,}2}.$

Kao što se i očekuje, najveća visina je na najmanju stranicu.

Zadatak 2. Katete pravouglog trougla su 6 cm i 8 cm. Odredite visinu na hipotenuzu.

Rešenje. ${c=\sqrt{36+64}=10}$ cm, pa je ${h_c=\frac{6\cdot 8}{10}=4{,}8}$ cm.

Zadatak 3. Kraci jednakokrakog trougla su 10 cm, a osnovica 12 cm. Odredite visinu na osnovicu i visinu na krak.

Rešenje. Visina na osnovicu je ${\sqrt{10^2-6^2}=8}$ cm, pa je površina ${\frac12\cdot 12\cdot 8=48}$ cm². Visina na krak je ${\frac{2P}{10}=\frac{96}{10}=9{,}6}$ cm.

Zadatak 4. U oštrouglom trouglu je ${\alpha=70^\circ}$ i ${\beta=60^\circ}.$ Visine $AA_1$ i $BB_1$ seku se u tački $H.$ Odredite ${\sphericalangle AHB}$ i ${\sphericalangle BAA_1}.$

Rešenje. ${\gamma}={180^\circ-70^\circ-60^\circ}={50^\circ},$ pa je ${\sphericalangle AHB}={180^\circ-50^\circ}={130^\circ}.$ Iz pravouglog trougla $ABA_1$ dobijamo ${\sphericalangle BAA_1=90^\circ-60^\circ=30^\circ}.$

Zadatak 5. Dve stranice trougla su 8 cm i 12 cm, a visina na stranicu od 8 cm je 6 cm. Odredite visinu na stranicu od 12 cm.

Rešenje. ${2P=8\cdot 6=48},$ pa je visina na stranicu od 12 cm jednaka ${\frac{48}{12}=4}$ cm.

Zadatak 6. U trouglu $ABC$ je stranica ${b=10}$ cm i ${\gamma=30^\circ}.$ Odredite visinu $h_a.$

Rešenje. ${h_a=b\sin\gamma=10\cdot\frac12=5}$ cm.

Zadatak 7. Stranice trougla odnose se kao ${3:4:6}.$ Odredite odnos njegovih visina.

Rešenje. ${h_a:h_b:h_c=\frac13:\frac14:\frac16}.$ Množenjem sa 12 dobijamo ${4:3:2}.$

Zadaci za vežbu

Rešite ih sami, pa otvorite rešenje.

1. Stranica trougla je 10 cm, a visina na nju 7 cm. Odredite površinu.

${P=\frac12\cdot 10\cdot 7=35}$ cm²

2. Površina trougla je 24 cm², a jedna stranica 8 cm. Odredite visinu na tu stranicu.

${h=\frac{2\cdot 24}{8}=6}$ cm

3. Odredite visinu jednakostraničnog trougla sa stranicom 4 cm.

${h=\frac{4\sqrt3}{2}=2\sqrt3\approx 3{,}46}$ cm

4. Katete pravouglog trougla su 5 i 12. Odredite visinu na hipotenuzu.

${c=13},$ pa je ${h=\frac{5\cdot 12}{13}=\frac{60}{13}\approx 4{,}62}.$

5. Kraci jednakokrakog trougla su 5 cm, a osnovica 8 cm. Odredite visinu na osnovicu i visinu na krak.

Visina na osnovicu je ${\sqrt{25-16}=3}$ cm, a ${P=\frac12\cdot 8\cdot 3=12}$ cm². Visina na krak je ${\frac{2\cdot 12}{5}=4{,}8}$ cm.

6. Gde leži ortocentar tupouglog trougla?

Izvan trougla, iza temena tupog ugla.

7. U oštrouglom trouglu je ${\sphericalangle AHB=110^\circ},$ gde je $H$ ortocentar. Odredite ugao $\gamma.$

${\sphericalangle AHB=180^\circ-\gamma},$ pa je ${\gamma=70^\circ}.$

8. Dve stranice trougla su 6 i 8, a visina na stranicu 6 je 4. Odredite visinu na stranicu 8.

${2P=6\cdot 4=24},$ pa je visina ${\frac{24}{8}=3}.$

9. Odredite najmanju visinu trougla sa stranicama 7, 8 i 9.

${s=12}$ i ${P}={\sqrt{12\cdot 5\cdot 4\cdot 3}}={12\sqrt5}.$ Najmanja visina je na najveću stranicu: ${h=\frac{24\sqrt5}{9}=\frac{8\sqrt5}{3}\approx 5{,}96}.$

10. Visina na hipotenuzu deli je na odsečke 4 i 9. Odredite visinu.

${h^2=4\cdot 9=36},$ pa je ${h=6}.$

Još o trouglovima: Trouglovi · Vrste · Težišne duži · Površina