Slični trouglovi - teški zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Uglovi [tex]\angle DCA=\angle CAB[/tex] su naizmenični i u sličnosti si odgovaraju, pa je [tex]\frac{DC}{CA}=\frac{CA}{AB}=\frac{DA}{CB}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}[/tex].
Prema tome, [tex]CA=\frac{2}{3} \cdot 27=18[/tex] i [tex]DC=\frac{2}{3} \cdot 18=12[/tex].

Rešenje:
Iz pravouglih [tex]\triangle BHC[/tex] i [tex]\triangle BDA[/tex]: [tex]BH=BC\cos B[/tex] i [tex]BD=BA\cos B[/tex], pa je [tex]\frac{BH}{BC}=\frac{BD}{BA}=\cos B[/tex].
Trouglovi imaju zajednički [tex]\angle B[/tex] i stranice uz njega su proporcionalne, pa po stavu SUS [tex]\triangle DBH \sim \triangle ABC[/tex].

Rešenje:
[tex]CD=16[/tex], a [tex]AD=BD[/tex] jer je trougao jednakokraki. Oba ugla u [tex]\angle HAD=\angle BCD[/tex] dopunjuju ugao kod [tex]B[/tex] do pravog, pa je [tex]\triangle AHD \sim \triangle CBD[/tex] i [tex]\frac{HD}{AD}=\frac{BD}{CD}[/tex].
Dakle, [tex]AD^2=HD \cdot CD=9 \cdot 16=144[/tex], pa je [tex]AD=12;\ AB=24[/tex] i [tex]AC=\sqrt{12^2+16^2}=20[/tex].

Rešenje:
[tex]AM=11[/tex]. Oba ugla u [tex]\angle HBM=\angle CAM[/tex] dopunjuju ugao kod [tex]C[/tex] do pravog, pa za pravougle trouglove važi [tex]\triangle BHM \sim \triangle ACM[/tex].
Dakle, [tex]\frac{HM}{BM}=\frac{CM}{AM}[/tex], pa je [tex]CM=\frac{6 \cdot 11}{8}=\frac{33}{4}[/tex] i [tex]BC=8+\frac{33}{4}=\frac{65}{4}[/tex].

Rešenje:
U [tex]\triangle BCH[/tex] duž [tex]BD[/tex] je simetrala ugla kod [tex]B[/tex], pa je [tex]\frac{CD}{DH}=\frac{BC}{BH}=\frac{5}{3}[/tex]. Neka je [tex]BC=5k;\ BH=3k[/tex]; tada je [tex]CH=\sqrt{BC^2-BH^2}=4k=24[/tex], pa je [tex]k=6[/tex] i [tex]BC=30;\ BH=18[/tex].
Iz [tex]\triangle ABC \sim \triangle CBH[/tex]: [tex]AB=\frac{BC^2}{BH}=\frac{900}{18}=50[/tex].

Rešenje:
Neka je [tex]K[/tex] tačka [tex]BC[/tex] za koju je [tex]C_1K \parallel AN[/tex]. U [tex]\triangle ABN[/tex] tačka [tex]C_1[/tex] je središte [tex]AB[/tex] i [tex]C_1K \parallel AN[/tex], pa je [tex]BK=KN[/tex]. U [tex]\triangle CC_1K[/tex] je [tex]MN \parallel C_1K[/tex], pa je [tex]\frac{CN}{NK}=\frac{CM}{MC_1}=\frac{1}{3}[/tex].
Neka je [tex]CN=x;\ NK=3x;\ BK=3x[/tex]; tada je [tex]BN=6x[/tex] i [tex]BN:NC=6:1[/tex].

Rešenje:
Kako je [tex]AB \parallel CD[/tex], [tex]\triangle AOB \sim \triangle COD[/tex] (unakrsni i naizmenični uglovi), pa je [tex]\frac{AB}{CD}=\frac{AO}{OC}=3[/tex] i [tex]AB=9[/tex].
Srednja linija je [tex]\frac{AB+CD}{2}=\frac{9+3}{2}=6[/tex].

Rešenje:
Neka je [tex]BC=a[/tex]. Po svojstvu simetrale ugla [tex]\frac{BL}{LC}=\frac{AB}{AC}=\frac{20}{32}[/tex], pa je [tex]BL=\frac{20a}{52}=\frac{5a}{13}[/tex]; takođe [tex]BM=\frac{a}{2}[/tex].
Kako je [tex]AB \lt AC[/tex], tačka [tex]L[/tex] je između [tex]B[/tex] i [tex]M[/tex], pa je [tex]LM=\frac{a}{2}-\frac{5a}{13}=\frac{3a}{26}[/tex] i [tex]a=26[/tex].

Rešenje:
Naspramne stranice romba su paralelne: [tex]DE \parallel BC[/tex], pa je [tex]\triangle ADE \sim \triangle ABC[/tex] i [tex]\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}[/tex], tj. [tex]\frac{x}{10}=\frac{15-x}{15}[/tex]. Prema tome, [tex]x=6[/tex].

Rešenje:
Po svojstvu simetrale ugla [tex]\frac{AB}{AC}=\frac{BL}{LC}=\frac{4}{6}[/tex], pa je [tex]AB=8[/tex] i [tex]BC=10[/tex]. Tada je [tex]\frac{AK}{KC}=\frac{AB}{BC}=\frac{8}{10}[/tex], pa je [tex]AK=\frac{8}{18} \cdot 12=\frac{16}{3}[/tex].
U [tex]\triangle ABK[/tex] duž [tex]AO[/tex] je simetrala ugla kod [tex]A[/tex], pa je [tex]\frac{BO}{OK}=\frac{AB}{AK}=8:\frac{16}{3}=\frac{3}{2}[/tex].

Rešenje:
Po svojstvu simetrale ugla [tex]\frac{CM}{MB}=\frac{AC}{AB}=\frac{8}{6}[/tex], pa je [tex]CM=\frac{4}{7} \cdot 8=\frac{32}{7}[/tex]. Zbog simetrije [tex]CP=CM[/tex], pa je [tex]MP \parallel AB[/tex] i [tex]\frac{MP}{AB}=\frac{CM}{CB}=\frac{4}{7}[/tex].
Prema tome, [tex]MP=\frac{24}{7}[/tex].

Rešenje:
Po svojstvu simetrale ugla u [tex]\triangle AMB[/tex]: [tex]\frac{AD}{DB}=\frac{AM}{MB}[/tex], a u [tex]\triangle AMC[/tex]: [tex]\frac{AP}{PC}=\frac{AM}{MC}[/tex]. Kako je [tex]MB=MC[/tex], [tex]\frac{AD}{DB}=\frac{AP}{PC}[/tex], pa po obratu Talesove teoreme [tex]DP \parallel BC[/tex].

Rešenje:
Po svojstvu simetrale ugla [tex]\frac{AQ}{QB}=\frac{CA}{CB}=\frac{2}{3}[/tex] i [tex]\frac{BP}{PC}=\frac{AB}{AC}=\frac{5}{4}[/tex]. Neka je [tex]CA=4k;\ CB=6k;\ AB=5k[/tex].
Dakle, [tex]BC:CA:AB=6:4:5[/tex].

Rešenje:
Trouglovi imaju zajednički ugao kod [tex]C[/tex] i [tex]\angle DBC=\angle CAB[/tex], pa je [tex]\triangle CBD \sim \triangle CAB[/tex]: [tex]\frac{CB}{CA}=\frac{CD}{CB}=\frac{BD}{AB}[/tex].
Dakle, [tex]CB^2=CD \cdot CA=2 \cdot 18=36[/tex], pa je [tex]CB=6[/tex] i [tex]AB=BD \cdot \frac{CA}{CB}=5 \cdot 3=15[/tex].

Rešenje:
[tex]\frac{AD}{AC}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}[/tex] i [tex]\frac{AC}{AB}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}[/tex], a trouglovi imaju zajednički ugao kod [tex]A[/tex], pa po stavu SUS [tex]\triangle ADC \sim \triangle ACB[/tex].
Dakle, [tex]\frac{CD}{BC}=\frac{2}{3}[/tex] i [tex]CD=\frac{2}{3} \cdot 12=8[/tex].

Rešenje:
Oba ugla u [tex]\angle DAM=\angle ABD[/tex] dopunjuju [tex]\angle ADB[/tex] do pravog, a oba trougla su pravougla, pa je [tex]\triangle ADM \sim \triangle BAD[/tex].
Dakle, [tex]\frac{DM}{AD}=\frac{AD}{AB}[/tex] i [tex]DM=\frac{36}{9}=4[/tex].

Rešenje:
Kako je [tex]AB \parallel CD[/tex], [tex]\frac{AO}{OC}=\frac{AB}{CD}=2[/tex]. Iz [tex]\triangle AOM \sim \triangle ACD[/tex]: [tex]\frac{OM}{CD}=\frac{AO}{AC}[/tex], pa je [tex]OM=\frac{2}{3} \cdot 5=\frac{10}{3}[/tex]; analogno [tex]ON=\frac{10}{3}[/tex], pa je [tex]MN=\frac{20}{3}[/tex].

Rešenje:
Simetrala spoljašnjeg ugla deli naspramnu stranicu spolja u odnosu naleglih stranica: [tex]\frac{PB}{PC}=\frac{AB}{AC}=\frac{10}{4}[/tex]. Zato je [tex]PB=\frac{5}{2} \cdot 6=15[/tex] i [tex]BC=PB-PC=15-6=9[/tex].

Rešenje:
[tex]AC=6;\ BC=8[/tex] i [tex]AH=\frac{AC^2}{AB}=\frac{36}{10}=\frac{18}{5}[/tex]. Neka je [tex]K[/tex] projekcija [tex]G[/tex] na [tex]AB[/tex]. Težište je aritmetička sredina temena, pa je njegova projekcija aritmetička sredina projekcija temena, koje su na rastojanjima [tex]0;\ AB;\ AH[/tex] od [tex]A[/tex]: [tex]AK=\frac{0+10+\frac{18}{5}}{3}=\frac{68}{15}[/tex].
Kako je [tex]CH[/tex] normalna na [tex]AB[/tex], rastojanje [tex]G[/tex] od nje je [tex]GK=HK=\frac{68}{15}-\frac{18}{5}=\frac{14}{15}[/tex].

Rešenje:
Pravougli trouglovi imaju jednake oštre uglove, pa je [tex]\triangle ACD \sim \triangle CBD[/tex] uz odgovaranje [tex]A \leftrightarrow C;\ C \leftrightarrow B;\ D \leftrightarrow D[/tex] i koeficijent [tex]\frac{AC}{CB}=\frac{b}{a}[/tex]. Stranica [tex]CD[/tex] prvog trougla odgovara stranici [tex]BD[/tex] drugog, pa su i težišne duži [tex]AM[/tex] i [tex]CN[/tex] na njih odgovarajuće.
Odgovarajuće težišne duži sličnih trouglova odnose se kao koeficijent sličnosti, dakle [tex]AM:CN=b:a[/tex].

Rešenje:
[tex]\triangle CMN \sim \triangle CAB[/tex] i [tex]\triangle AMP \sim \triangle ACB[/tex], pa je [tex]S_{CMN}=\left(\frac{1}{3}\right)^2S=\frac{S}{9}[/tex] i [tex]S_{AMP}=\left(\frac{2}{3}\right)^2S=\frac{4S}{9}[/tex].
[tex]MNBP[/tex] je paralelogram ([tex]MN \parallel AB[/tex], [tex]MP \parallel BC[/tex]), pa je [tex]S_{MNBP}=S-\frac{S}{9}-\frac{4S}{9}=\frac{4S}{9}[/tex], a dijagonala [tex]NP[/tex] ga polovi: [tex]S_{MNP}=\frac{1}{2}S_{MNBP}=\frac{2S}{9}[/tex].

Rešenje:
Kako je [tex]AM \parallel CD[/tex], [tex]\triangle APM \sim \triangle CPD[/tex], pa je [tex]\frac{AP}{PC}=\frac{PM}{PD}=\frac{2}{3}[/tex].
[tex]S_{ACD}=\frac{15}{2}[/tex]. Trouglovi sa zajedničkim temenom i osnovicama na jednoj pravoj imaju površine proporcionalne osnovicama, pa je [tex]S_{APD}=\frac{2}{5}S_{ACD}=3[/tex] i [tex]S_{AMP}=\frac{2}{3}S_{APD}=2[/tex].

Rešenje:
Trouglovi imaju zajednički ugao kod [tex]A[/tex] i [tex]\angle ABM=\angle ACB[/tex], pa je [tex]\triangle ABM \sim \triangle ACB[/tex] i [tex]\frac{AB}{AC}=\frac{AM}{AB}[/tex].
Dakle, [tex]AB^2=AC \cdot AM=AC \cdot \frac{AC}{2}[/tex], tj. [tex]AC^2=2AB^2[/tex].

Rešenje:
Neka je [tex]CD[/tex] prečnik opisanog kruga kroz [tex]C[/tex]. Tada je [tex]\angle CBD=90^\circ[/tex], jer je upisan u polukrug, i [tex]\angle CAH=\angle CDB[/tex] (periferijski uglovi nad lukom [tex]CB[/tex]), pa je [tex]\triangle CAH \sim \triangle CDB[/tex] i [tex]\frac{CA}{CD}=\frac{CH}{CB}[/tex].
Dakle, [tex]CD=\frac{CA \cdot CB}{CH}=\frac{12 \cdot 15}{10}=18[/tex], pa je [tex]R=9[/tex].

Rešenje:
[tex]BD=8[/tex]. Neka je [tex]AD=x[/tex]; postavimo [tex]D(0;0),\ B(0;8),\ A(-x;0),\ C(21-x;0)[/tex], tada je [tex]M\left(\frac{21-x}{2};4\right)[/tex]. Prava [tex]AM[/tex] seče [tex]BD[/tex] na visini [tex]\frac{8x}{21+x}[/tex], pa je [tex]\frac{8x}{21+x}=\frac{10}{3}[/tex], odakle [tex]x=15[/tex] i [tex]DC=21-x=6[/tex].
Dakle, [tex]AB=\sqrt{15^2+8^2}=17;\ BC=\sqrt{6^2+8^2}=10[/tex].

Rešenje:
U [tex]\triangle AMC[/tex] duž [tex]AO[/tex] je simetrala ugla kod [tex]A[/tex], a [tex]AM=\frac{AB}{2}[/tex]. Po svojstvu simetrale ugla [tex]\frac{CO}{OM}=\frac{AC}{AM}=\frac{AC}{\frac{1}{2}AB}=\frac{3}{1}[/tex].