Parametarska linearna jednačina - veoma teški zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Da bi jednačina imala sve [tex]x \in R[/tex] kao rešenja, mora biti u obliku [tex]0x=0[/tex]. Što znači da
[tex]\begin{array}{|l}a^2-7a+10=0 \\ a^2-8a+15=0\end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l}a^2-5a-2a+10=0 \\ a^2-5a-3a+15=0 \end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l}(a-5)(a-2)=0 \\ (a-5)(a-3)=0\end{array}[/tex]
Zajedničko rešenje za obe jednačine je [tex]a=5[/tex], što je takođe i rešenje problema.

Rešenje:
Pre nego što govorimo o slučajevima, moramo jednačinu svesti na oblik [tex]mx=b[/tex]. Množimo obe strane sa [tex]4[/tex]:
[tex](ax-3)-2(x-a)=4[/tex]
[tex]ax-3-2x+2a=4[/tex]
Članove sa [tex]x[/tex] ostavljamo levo, a ostale prebacujemo desno:
[tex](a-2)x=7-2a[/tex]
Sada je ispitivanje uobičajeno. Koeficijent je nula za [tex]a=2[/tex], a tada je desna strana [tex]7-4=3[/tex], što nije nula. Jednačina postaje [tex]0x=3[/tex] i nema rešenje.
(Za [tex]a\neq 2[/tex] postoji tačno jedno rešenje, [tex]x=\frac{7-2a}{a-2}[/tex].)
Odgovor: [tex]a=2[/tex]

Rešenje:
Oslobodimo se zagrada sa obe strane:
[tex]ax-a=2ax+6-x[/tex]
Prebacujemo sve članove sa [tex]x[/tex] levo, a ostale desno:
[tex]ax-2ax+x=a+6[/tex]
[tex](1-a)x=a+6[/tex]
Pazite na znak — koeficijent je [tex]1-a[/tex], a ne [tex]a-1[/tex].
On je nula za [tex]a=1[/tex], a tada je desna strana [tex]1+6=7[/tex], što nije nula. Jednačina postaje [tex]0x=7[/tex] i nema rešenje.
Odgovor: [tex]a=1[/tex]

Rešenje:
Rastavimo obe strane na činioce:
[tex](a-1)(a+1)x=a(a+1)[/tex]
Koeficijent je nula za dve vrednosti, [tex]a=1[/tex] i [tex]a=-1[/tex], a one se ponašaju različito, pa su nam potrebna tri slučaja.
Slučaj 1: [tex]a\neq 1[/tex] i [tex]a\neq -1[/tex]. Skratimo [tex]a+1[/tex] pa podelimo sa [tex]a-1[/tex]: [tex]x=\frac{a}{a-1}[/tex].
Slučaj 2: [tex]a=-1[/tex]. Obe strane se anuliraju, jednačina je [tex]0x=0[/tex] i svaki realan broj je rešenje.
Slučaj 3: [tex]a=1[/tex]. Leva strana je nula, a desna je [tex]1+1=2[/tex], pa je jednačina [tex]0x=2[/tex] i nema rešenje.
U tome je i poenta zadatka: dva korena koeficijenta ne daju isti odgovor i bez zamene se ne može pogoditi koji je koji.

Rešenje:
Rastavimo obe strane na činioce:
[tex]a(a-2)(a+2)x=a(a-2)[/tex]
Koeficijent je nula za tri vrednosti: [tex]a=0[/tex], [tex]a=2[/tex] i [tex]a=-2[/tex]. Svaku treba posebno proveriti u desnoj strani.
[tex]a=0[/tex]: desna strana je [tex]0[/tex], jednačina je [tex]0x=0[/tex] — beskonačno mnogo rešenja.
[tex]a=2[/tex]: desna strana je [tex]4-4=0[/tex], jednačina je [tex]0x=0[/tex] — beskonačno mnogo rešenja.
[tex]a=-2[/tex]: desna strana je [tex]4+4=8[/tex], jednačina je [tex]0x=8[/tex] — nema rešenja, pa ta vrednost ne pripada skupu [tex]A[/tex].
Dakle [tex]A=\{0, 2\}[/tex] i zbir njegovih elemenata je [tex]0+2=2[/tex].
Odgovor: [tex]2[/tex]

Rešenje:
Hajde da prvo razmotrimo skup [tex]A[/tex]. Ako je jedan od članova nula, onda je proizvod svih njegovih članova nula, pošto bilo koji broj, pomnožen sa nula, je nula. Proveravamo da li [tex]a=0[/tex] pripada tom skupu. Ubacivanjem tog člana u jednačinu, dobijamo [tex]0x=10[/tex], što nema rešenja. Stoga, [tex]a=0[/tex] pripada skupu [tex]A[/tex] i proizvod njegovih članova je nula.

Rešenje:
Prvo ćemo odrediti skup [tex]A[/tex].
[tex]3<2a<15[/tex] je jednako
[tex]\begin{array}{|l}2a>3 \\ 2a<15\end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l}a>\frac{3}{2}=1\frac{1}{2} \\ a < \frac{15}{2}=7\frac{1}{2} \end{array}[/tex]
Dakle, brojevi [tex]a_1,a_2,\dots,a_n[/tex] su svi celi brojevi (svaki od njih je prirodan broj) između [tex]1\frac{1}{2}[/tex] i [tex]7 \frac{1}{2}[/tex]. Ovi brojevi su [tex]2,3,4,5,6,7[/tex] i [tex]a_1=2,a_2=3,a_3=4,a_4=5,a_5=6,a_6=7[/tex].
Takođe ćemo naći eksplicitnu formulu za rešenje jednačine.
[tex](a-1)(a+1)x=(a+1)^2[/tex]. Očigledno [tex]a \ne -1[/tex], delimo sa [tex]a+1[/tex] i dobijamo
[tex](a-1)x=a+1[/tex]. Pošto svaki [tex]a \ge 2[/tex], [tex]a-1 \ne 0[/tex] i rešenja su
[tex]x=\frac{a+1}{a-1}[/tex]. Zamenjujemo sa svakim [tex]a[/tex]: [tex]x_1=\frac{a_1+1}{a_1-1}=\frac{2+1}{2-1}=3[/tex]
[tex]x_2=\frac{a_2+1}{a_2-1}=\frac{3+1}{3-1}=\frac{4}{2}=2[/tex]
[tex]x_3=\frac{a_3+1}{a_3-1}=\frac{4+1}{4-1}=\frac{5}{3}[/tex]
[tex]x_4=\frac{a_4+1}{a_4-1}=\frac{5+1}{5-1}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}[/tex]
[tex]x_5=\frac{a_5+1}{a_5-1}=\frac{6+1}{6-1}=\frac{7}{5}[/tex]
[tex]x_6=\frac{a_6+1}{a_6-1}=\frac{7+1}{7-1}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}[/tex]. Množimo ih:
[tex]x_1x_2x_3x_4x_5x_6=3\cdot2\cdot\frac{5}{3}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{7}{5}\cdot\frac{4}{3}=\frac{3\cdot2\cdot5\cdot3\cdot7\cdot4}{3\cdot2\cdot5\cdot3}=7\cdot4=28[/tex]

Rešenje:
Koeficijent uz [tex]x[/tex] je [tex]3[/tex] i nikada nije nula, pa jednačina uvek ima tačno jedno rešenje:
[tex]x=\frac{a+6}{3}[/tex]
Umesto da tražimo vrednosti [tex]a[/tex] direktno, lakše je obrnuti zadatak: prvo izaberemo rešenje. Uslov kaže da [tex]x[/tex] može biti bilo koje od [tex]1, 2, 3, \ldots, 10[/tex].
Iz [tex]3x=a+6[/tex] izražavamo parametar: [tex]a=3x-6[/tex]. Svaki od deset izbora za [tex]x[/tex] daje tačno jednu vrednost [tex]a[/tex], a različita [tex]x[/tex] daju različita [tex]a[/tex]:
[tex]x=1\Rightarrow a=-3,\quad x=2\Rightarrow a=0,\quad \ldots,\quad x=10\Rightarrow a=24[/tex]
Dakle, postoji tačno deset takvih vrednosti parametra.
Odgovor: [tex]10[/tex]

Rešenje:
[tex]x^2-4=0 \Rightarrow x=2[/tex] ili [tex]x=-2[/tex]
[tex]m^2x-m^2=4mx-8m+16 \Rightarrow (m^2-4m)x=m^2-8m+16=(m-4)^2[/tex]
Linearna jednačina sa dva različita rešenja ima beskonačno mnogo rešenja, pa mora glasiti [tex]0\cdot x=0[/tex]:
[tex]m(m-4)=0[/tex] i [tex](m-4)^2=0 \Rightarrow m=4[/tex]
Odgovor: [tex]m=4[/tex]

Rešenje:
[tex]2x+3=5-2x \Rightarrow 4x=2 \Rightarrow x=\frac{1}{2}[/tex]
[tex]2x+3=-(5-2x)=2x-5 \Rightarrow 3=-5[/tex] – nemoguće.
Dakle, jednačina [tex]|2x+3|=|5-2x|[/tex] ima jedinstveno rešenje [tex]x=\frac{1}{2}[/tex].
[tex](a^2-25)x=-5-a \Rightarrow (a-5)(a+5)x=-(a+5)[/tex]
[tex]a=-5[/tex]: [tex]0\cdot x=0[/tex] – svako [tex]x[/tex] je rešenje, nisu ekvivalentne.
[tex]a=5[/tex]: [tex]0\cdot x=-10[/tex] – nema rešenja, nisu ekvivalentne.
[tex]a\neq\pm 5[/tex]: [tex]x=-\frac{1}{a-5}[/tex], i mora biti [tex]-\frac{1}{a-5}=\frac{1}{2}[/tex]:
[tex]a-5=-2 \Rightarrow a=3[/tex]

Rešenje:
[tex]a=1[/tex]: obe jednačine glase [tex]0\cdot x=0[/tex] – svako [tex]x[/tex] je rešenje obe, pa su ekvivalentne.
[tex]a=-1[/tex]: prva je [tex]0\cdot x=2[/tex] (nema rešenja), druga je [tex]2x=0[/tex] ([tex]x=0[/tex]) – nisu ekvivalentne.
[tex]a\neq\pm 1[/tex]: rešenja su [tex]x=\frac{1-a}{(1-a)(1+a)}=\frac{1}{1+a}[/tex] i [tex]x=\frac{(1-a)(1+a)}{1-a}=1+a[/tex]. Ona moraju biti jednaka:
[tex]\frac{1}{1+a}=1+a \Rightarrow (1+a)^2=1[/tex]
[tex]1+a=1 \Rightarrow a=0[/tex]; [tex]1+a=-1 \Rightarrow a=-2[/tex]
Odgovor: [tex]a\in\{-2; 0; 1\}[/tex]

Rešenje:
Prva jednačina: [tex]4x^2-9-4x^2-16x-16=7 \Rightarrow -16x=32 \Rightarrow x=-2[/tex]
Druga jednačina: [tex]|5+2a|(x+3)=1[/tex]
Ako je [tex]|5+2a|=0[/tex], dobijamo [tex]0=1[/tex] – nema rešenja. Inače je [tex]x=\frac{1}{|5+2a|}-3[/tex] i mora biti:
[tex]\frac{1}{|5+2a|}-3=-2 \Rightarrow |5+2a|=1[/tex]
[tex]5+2a=1 \Rightarrow a=-2[/tex]; [tex]5+2a=-1 \Rightarrow a=-3[/tex]
Odgovor: [tex]a\in\{-3; -2\}[/tex]

Rešenje:
[tex]a^2x-4x+8a=4a-8 \Rightarrow (a^2-4)x=-4a-8 \Rightarrow (a-2)(a+2)x=-4(a+2)[/tex]
[tex]a=-2[/tex]: [tex]0\cdot x=0[/tex], svako [tex]x[/tex] je rešenje – uključujući negativne cele brojeve (npr. [tex]x=-1[/tex]).
[tex]a=2[/tex]: [tex]0\cdot x=-16[/tex] – nema rešenja.
[tex]a\neq\pm 2[/tex]: [tex]x=-\frac{4}{a-2}[/tex]. To je negativan ceo broj kada je [tex]a-2[/tex] pozitivan delilac broja [tex]4[/tex]:
[tex]a-2\in\{1; 2; 4\} \Rightarrow a\in\{3; 4; 6\}[/tex]
Odgovor: [tex]a\in\{-2; 3; 4; 6\}[/tex]