Parametarska linearna jednačina - teški zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Jednačina tipa [tex]mx=b[/tex] nema rešenja samo ako je [tex]m=0[/tex]. U našem slučaju, to je [tex]a-2=0[/tex], ili [tex]a=2[/tex]. Zamenom [tex]a=2[/tex] u jednačini, dobijamo [tex]0x=5[/tex], što nema rešenje.

Rešenje:
Da jednačina ne bi imala rešenja, koeficijent koji stoji uz [tex]x[/tex] mora biti nula. To znači da je [tex]a=5[/tex] ili [tex]a=1[/tex]. Uključujući [tex]a=5[/tex], dobijamo [tex]0x=5^2-2\cdot 5+1=25-10+1[/tex], ili [tex]0x=16[/tex], što nema rešenja. Ukljućujući [tex]a=1[/tex], dobijamo [tex]0x=1-2+1[/tex], ili [tex]0x=0[/tex], što ima bilo koji [tex]x[/tex] kao rešenje. Stoga jedina vrednost [tex]a[/tex] za koju jednačina nema rešenja je [tex]a=5[/tex].

Rešenje:
Koeficijent mora biti nula: [tex]a^2-9=0[/tex], dakle [tex]a=3[/tex] ili [tex]a=-3[/tex]. Obe vrednosti treba proveriti u desnoj strani.
Za [tex]a=3[/tex]: [tex]9-6-3=0[/tex], pa je jednačina [tex]0x=0[/tex] — svako [tex]x[/tex] je rešenje.
Za [tex]a=-3[/tex]: [tex]9+6-3=12[/tex], pa je jednačina [tex]0x=12[/tex] — nema rešenja uopšte.
Samo jedan od dva korena daje beskonačno mnogo rešenja.
Odgovor: [tex]a=3[/tex]

Rešenje:
Dok je koeficijent različit od nule, možemo njime da podelimo i dobijemo tačno jedno rešenje. Zato jednačina nema tačno jedno rešenje upravo kada je koeficijent nula:
[tex]a^2-5a+6=0[/tex]
[tex](a-2)(a-3)=0[/tex]
dakle [tex]a=2[/tex] ili [tex]a=3[/tex].
Primetimo da se ne pita koji slučaj nastupa — oba su prihvatljiva. Ipak je poučno pogledati: za [tex]a=2[/tex] dobijamo [tex]0x=0[/tex] (beskonačno mnogo rešenja), a za [tex]a=3[/tex] dobijamo [tex]0x=1[/tex] (nema rešenja). Nijedno nije „tačno jedno“.
Traženi zbir je [tex]2+3=5[/tex].

Rešenje:
Parametar se nalazi u imeniocu, pa je najpre [tex]a\neq 0[/tex]. Pomnožimo obe strane sa [tex]2a[/tex]:
[tex]a(x-a)+2(x-2)=4a[/tex]
[tex]ax-a^2+2x-4=4a[/tex]
Sabiramo članove sa [tex]x[/tex] levo, a ostale desno:
[tex](a+2)x=a^2+4a+4[/tex]
[tex](a+2)x=(a+2)^2[/tex]
Jednačina ima beskonačno mnogo rešenja kada dobije oblik [tex]0x=0[/tex], to jest kada je [tex]a+2=0[/tex], odnosno [tex]a=-2[/tex]. Ta vrednost je dozvoljena jer je [tex]-2\neq 0[/tex].
(Za svako drugo [tex]a\neq 0[/tex] jednačina ima jedinstveno rešenje [tex]x=a+2[/tex].)
Odgovor: [tex]a=-2[/tex].

Rešenje:
Najpre grupišemo članove sa [tex]x[/tex] levo, a ostale desno:
[tex]ax-3x=a-2[/tex]
[tex](a-3)x=a-2[/tex]
Prvi slučaj: [tex]a\neq 3[/tex]. Delimo sa [tex]a-3[/tex] i dobijamo jedinstveno rešenje [tex]x=\frac{a-2}{a-3}[/tex].
Drugi slučaj: [tex]a=3[/tex]. Jednačina postaje [tex]0x=1[/tex], što nije tačno ni za jedno [tex]x[/tex], pa nema rešenja.

Rešenje:
Rastavimo levu stranu na činioce:
[tex]a(a^2+a+1)x=186(a^2+a+1)[/tex]
Izraz [tex]a^2+a+1[/tex] nikada nije nula za realno [tex]a[/tex] — njegova diskriminanta [tex]1-4=-3[/tex] je negativna — pa možemo podeliti obe strane njime:
[tex]ax=186[/tex]
Sada sve zavisi od [tex]a[/tex].
Ako je [tex]a\neq 0[/tex], delimo sa [tex]a[/tex] i dobijamo jedinstveno rešenje [tex]x=\frac{186}{a}[/tex].
Ako je [tex]a=0[/tex], jednačina postaje [tex]0x=186[/tex] i nema rešenje.

Rešenje:
Primamljivo je odmah skratiti jedno [tex]a[/tex] sa obe strane, ali to je dozvoljeno samo kada je [tex]a\neq 0[/tex] — a slučaj [tex]a=0[/tex] je upravo zanimljiv.
Prvi slučaj: [tex]a\neq 0[/tex]. Tada je [tex]a^2\neq 0[/tex] pa delimo: [tex]x=\frac{a}{a^2}=\frac{1}{a}[/tex].
Drugi slučaj: [tex]a=0[/tex]. Jednačina postaje [tex]0x=0[/tex], što je tačno za svako [tex]x[/tex], pa je svaki realan broj rešenje.
Uočite razliku u odnosu na [tex]ax=1[/tex]: ovde se desna strana anulira zajedno sa koeficijentom, pa dobijamo beskonačno mnogo rešenja umesto nijednog.

Rešenje:
Za [tex]a=0[/tex] jednačina je [tex]0x=12[/tex] i uopšte nema rešenje, pa se [tex]a=0[/tex] ne broji.
Za [tex]a\neq 0[/tex] rešenje je [tex]x=\frac{12}{a}[/tex], i ono je celo tačno kada je [tex]a[/tex] delilac broja [tex]12[/tex].
Pozitivni delioci broja [tex]12[/tex] su [tex]1, 2, 3, 4, 6, 12[/tex] — njih šest. Ne zaboravite negativne: [tex]-1, -2, -3, -4, -6, -12[/tex] takođe odgovaraju, jer deljenje negativnim brojem opet daje ceo broj.
Ukupno [tex]6+6=12[/tex] vrednosti.
Odgovor: [tex]12[/tex]

Rešenje:
Prva jednačina: [tex]7x-17=3x-15 \Rightarrow 4x=2 \Rightarrow x=\frac{1}{2}[/tex]
Druga jednačina: [tex]bx-2b=3x+3b-2b+1 \Rightarrow (b-3)x=3b+1[/tex]
Ona mora imati jedinstveno rešenje [tex]x=\frac{1}{2}[/tex] (pa je [tex]b\neq 3[/tex]):
[tex]\frac{b-3}{2}=3b+1 \Rightarrow b-3=6b+2 \Rightarrow b=-1[/tex]

Rešenje:
[tex]ax-bx=a^2-b^2 \Rightarrow (a-b)x=(a-b)(a+b)[/tex]
Ako je [tex]a\neq b[/tex], delimo sa [tex]a-b[/tex]: [tex]x=a+b[/tex].
Ako je [tex]a=b[/tex], jednačina postaje [tex]0\cdot x=0[/tex] i svako [tex]x[/tex] je rešenje.

Rešenje:
[tex]x^2-ax-2ax-a=x^2+ax-x-a-5[/tex]
[tex]-3ax-ax+x=-5 \Rightarrow (1-4a)x=-5[/tex]
Za [tex]a=\frac{1}{4}[/tex] jednačina nema rešenje. Za [tex]a\neq\frac{1}{4}[/tex]:
[tex]x=\frac{-5}{1-4a}=\frac{5}{4a-1}>0 \Rightarrow 4a-1>0 \Rightarrow a>\frac{1}{4}[/tex]

Rešenje:
[tex]x-m+2=3[/tex] ili [tex]x-m+2=-3[/tex]
[tex]x_1=m+1[/tex], [tex]x_2=m-5[/tex]
[tex]x_1+x_2=2m-4\ge 0 \Rightarrow m\ge 2[/tex]

Rešenje:
[tex]m^2x^2-4mx+4-2(m-1)x-9x^2+6=0[/tex]
[tex](m^2-9)x^2+(2-6m)x+10=0[/tex]
Jednačina je prvog stepena kada je koeficijent uz [tex]x^2[/tex] jednak [tex]0[/tex], a koeficijent uz [tex]x[/tex] različit od [tex]0[/tex]:
[tex]m^2-9=0 \Rightarrow m=\pm 3[/tex]
[tex]m=3[/tex]: [tex]2-6m=-16\neq 0[/tex]; [tex]m=-3[/tex]: [tex]2-6m=20\neq 0[/tex]

Rešenje:
[tex]x=1[/tex]: [tex]|2+a|=|2-a|[/tex]
Dva broja imaju jednake apsolutne vrednosti ako su jednaka ili suprotna:
[tex]2+a=2-a \Rightarrow a=0[/tex]
[tex]2+a=-(2-a)=a-2 \Rightarrow 2=-2[/tex] – nemoguće.
[tex]a=0[/tex]: [tex]|2x|=|3x-1|[/tex]
[tex]2x=3x-1 \Rightarrow x=1[/tex]
[tex]2x=-(3x-1) \Rightarrow 5x=1 \Rightarrow x=\frac{1}{5}[/tex]