Tekstualni zadaci sa jednačinama

Tekstualni zadatak opisuje neku situaciju rečima i pita za neki broj: cenu, godine, rastojanje. Algebra ga rešava u dva koraka. Prvo tekst zadatka prevedemo u jednačinu, a zatim jednačinu rešimo. Kako se rešavaju jednačine, objašnjeno je u lekciji Linearne jednačine. Ova stranica govori o prevođenju teksta u jednačinu, jer su tu obično najveće teškoće.

Osnovna ideja algebre je jednostavna: broj koji tražimo dobija ime, obično $x$, i zapišemo sve što zadatak kaže o njemu kao da nam je već poznat. Ostalo uradi jednačina.

Na ovoj stranici: Kako se rešava tekstualni zadatak · Prevod na jezik algebre · Zadaci sa brojevima · Delovi celine · Godine · Podela i poređenje · Razmere · Kretanje · Negativni odgovori · Česte greške

Kako se rešava tekstualni zadatak

1. Izaberite nepoznatu. Odlučite šta tražite i označite to slovom: „Neka je $x$ cena sata u dinarima.” Zapišite tu rečenicu.
2. Izrazite ostale veličine pomoću $x$. Svaka veličina u zadatku treba da bude broj ili izraz sa $x$.
3. Postavite jednačinu. Nađite dva izraza za koje zadatak kaže da su jednaka i stavite znak jednakosti između njih.
4. Rešite jednačinu.
5. Proverite i odgovorite. Proverite odgovor prema tekstu zadatka, a ne samo prema svojoj jednačini, i odgovorite na postavljeno pitanje, sa jedinicama mere.

Primer. Jednog čoveka su pitali koliko je platio sat. Odgovorio je: „Ako cenu pomnožite sa 4, dodate 7000, pa oduzmete 5000, dobićete 22.000 dinara.” Koliko je koštao sat?

Rešenje: Neka je cena $x$ dinara. Prevedimo odgovor deo po deo:

Reči	Algebra
cena	$x$
cenu pomnožite sa 4	${4x}$
dodate 7000	${4x+7000}$
pa oduzmete 5000	${4x+7000-5000}$
dobićete 22.000	${4x+7000-5000=22.000}$

Sada rešimo jednačinu:

${{4x+2000}={22.000}}$, pa je ${4x=20.000}$ i ${x=5000}$

Provera prema tekstu: ${4\cdot 5000=20.000}$, zatim ${20.000+7000=27.000}$, zatim ${27.000-5000=22.000}$ ✓

Odgovor: sat je koštao 5000 dinara.

Prevod teksta na jezik algebre

Ovi izrazi se stalno ponavljaju. Ovde je $x$ nepoznati broj.

Reči	Algebra
za 7 veći od broja, broj uvećan za 7	${x+7}$
za 7 manji od broja, broj umanjen za 7	${x-7}$
7 minus broj	${7-x}$
dvostruki broj, dva puta veći broj	${2x}$
broj pomnožen sa 3, plus 10	${3x+10}$
zbir broja i 10 pomnožen sa 3	${3(x+10)}$
polovina broja	${\frac{x}{2}}$
dve trećine broja	${\frac{2x}{3}}$
broj podeljen sa 12	${\frac{x}{12}}$
je, jednako je, dobija se, biće, iznosi	$=$
$A$ je za 20 veće od $B$, $A$ premašuje $B$ za 20	${A=B+20}$
tri uzastopna prirodna broja	$x$, ${x+1}$, ${x+2}$

„Za 7 manji od broja” je ${x-7}$, a ne ${7-x}$: uzmete broj i od njega oduzmete 7. Kod oduzimanja i deljenja redosled je važan, zato pažljivo čitajte ove izraze.

Više veličina, jedno slovo

U mnogim zadacima govori se o dve ili više nepoznatih veličina. Ako znamo kako su povezane, sve ih možemo zapisati pomoću istog slova:

Zadatak kaže	Veličine zapisujemo kao
zbir dva broja je 48	$x$ i ${48-x}$
dva broja se razlikuju za 40	$x$ i ${x+40}$
Boris ima tri puta više od Ane	$x$ za Anu i ${3x}$ za Borisa
dve veličine su u razmeri ${9:7}$	${9x}$ i ${7x}$

Slovom označite onu veličinu pomoću koje su opisane ostale; obično je to najmanja. Tako izbegavate razlomke: ako Ana ima $x$, Boris ima ${3x}$, a ako $x$ označava ono što ima Boris, Ana bi imala ${\frac{x}{3}}$.

Zadaci sa brojevima

U ovim zadacima nepoznata je samo broj, a tekst kaže šta se sa njim radi.

Primer 1. Ako nekom broju dodamo njegovu polovinu i od zbira oduzmemo 20, dobićemo četvrtinu tog broja. Nađite broj.

Rešenje: Neka je broj $x$. Njegova polovina je ${\frac{x}{2}}$, a četvrtina ${\frac{x}{4}}$, pa je

${{x+\frac{x}{2}-20}={\frac{x}{4}}}$

Pomnožimo obe strane sa 4 da se oslobodimo razlomaka:

${{4x+2x-80}={x}}$, pa je ${5x=80}$ i ${x=16}$

Provera: ${16+8-20=4}$, a četvrtina od 16 je 4 ✓

Primer 2. Podelite 48 na dva dela tako da manji deo podeljen sa 4, plus veći deo podeljen sa 6, bude jednako 9.

Rešenje: Neka je manji deo $x$. Zbir delova je 48, pa je veći deo ${48-x}$:

${{\frac{x}{4}+\frac{48-x}{6}}={9}}$

Pomnožimo sa 12:

${{3x+2(48-x)}={108}}$

${{3x+96-2x}={108}}$, pa je ${x=12}$

Delovi su 12 i 36. Provera: ${{\frac{12}{4}+\frac{36}{6}}={3+6}={9}}$ ✓

Rešite sami. Otvorite zadatak da vidite rešenje.

1. Ako se neki broj podeli sa 12, količnik, sam broj i 12 imaju zbir 64. Nađite broj.

Neka je broj $x$: ${{\frac{x}{12}+x+12}={64}}$. Pomnožimo sa 12: ${{x+12x+144}={768}}$, pa je ${13x=624}$ i ${x=48}$.

Provera: ${4+48+12=64}$ ✓

2. Neki broj je za onoliko manji od 500 za koliko je njegova petina veća od 40. Nađite broj.

Neka je broj $x$. On je za ${500-x}$ manji od 500, a njegova petina je za ${\frac{x}{5}-40}$ veća od 40, pa je

${{500-x}={\frac{x}{5}-40}}$

Pomnožimo sa 5: ${{2500-5x}={x-200}}$, pa je ${2700=6x}$ i ${x=450}$.

Provera: ${500-450=50}$ i ${90-40=50}$ ✓

3. Šestina nekog broja je za 20 veća od njegove osmine. Nađite broj.

${{\frac{x}{6}-\frac{x}{8}}={20}}$. Pomnožimo sa 24: ${4x-3x=480}$, pa je ${x=480}$.

Provera: ${80-60=20}$ ✓

4. Četvrtina nekog broja je za 96 veća od njegove petine. Nađite broj.

${{\frac{x}{4}-\frac{x}{5}}={96}}$. Pomnožimo sa 20: ${5x-4x=1920}$, pa je ${x=1920}$.

Provera: ${480-384=96}$ ✓

5. Trećina, četvrtina i dve sedmine nekog broja imaju zbir 73. Nađite broj.

${{\frac{x}{3}+\frac{x}{4}+\frac{2x}{7}}={73}}$. Pomnožimo sa 84: ${28x+21x+24x}={73\cdot 84}$, pa je ${73x=73\cdot 84}$ i ${x=84}$.

Provera: ${28+21+24=73}$ ✓

6. Ako nekom broju dodamo 10, tri petine zbira iznose 66. Nađite broj.

${{\frac{3}{5}(x+10)}={66}}$. Pomnožimo sa 5 i podelimo sa 3: ${x+10=110}$, pa je ${x=100}$.

Provera: ${\frac{3}{5}\cdot 110=66}$ ✓

7. Ako nekom broju dodamo 720 i zbir podelimo sa 125, dobićemo isto što i kada 7392 podelimo sa 462. Nađite broj.

Prvo izračunajmo poznatu stranu: ${{7392:462}={16}}$. Tada je ${{\frac{x+720}{125}}={16}}$, pa je ${x+720=2000}$ i ${x=1280}$.

Provera: ${\frac{2000}{125}=16}$ ✓

8. Podelite 68 na dva dela tako da razlika broja 84 i većeg dela bude tri puta veća od razlike broja 40 i manjeg dela.

Neka je veći deo $x$; manji je ${68-x}$:

${84-x}={3\left(40-(68-x)\right)}$

${{84-x}={3x-84}}$, pa je ${168=4x}$ i ${x=42}$

Delovi su 42 i 26. Provera: ${84-42=42}$ i ${3(40-26)=42}$ ✓

9. Podelite 36 na tri dela tako da polovina prvog dela, trećina drugog i četvrtina trećeg budu jednake.

Označimo tu zajedničku vrednost sa $x$. Tada su delovi ${2x}$, ${3x}$ i ${4x}$, pa je ${2x+3x+4x=36}$, ${9x=36}$ i ${x=4}$.

Delovi su 8, 12 i 16. Provera: polovina od 8, trećina od 12 i četvrtina od 16 iznose 4 ✓

Delovi celine

Kada zadatak govori o delovima neke celine, sa $x$ označite celinu. Delovi izraženi pomoću $x$ u zbiru daju $x$.

Primer. Tri naslednika dele nasledstvo. Prvi dobija 100.000 dinara manje od polovine, drugi 80.000 dinara manje od trećine, a treći 60.000 dinara manje od četvrtine nasledstva. Koliko iznosi nasledstvo?

Rešenje: Neka je nasledstvo $x$ dinara. Tri dela su

${\frac{x}{2}-100.000}$, ${\frac{x}{3}-80.000}$ i ${\frac{x}{4}-60.000}$

i zajedno čine celo nasledstvo:

${\frac{x}{2}-100.000}+{\frac{x}{3}-80.000}+{\frac{x}{4}-60.000}={x}$

Pomnožimo sa 12:

${6x-1.200.000}+{4x-960.000}+{3x-720.000}={12x}$

${13x-2.880.000}={12x}$, pa je ${x=2.880.000}$

Nasledstvo iznosi 2.880.000 dinara, a delovi su 1.340.000, 880.000 i 660.000 dinara. Provera: ${1.340.000+880.000}+{660.000}={2.880.000}$ ✓

Rešite sami.

10. Trećina, četvrtina i petina neke svote novca zajedno iznose 9400 dinara. Kolika je svota?

${{\frac{x}{3}+\frac{x}{4}+\frac{x}{5}}={9400}}$. Pomnožimo sa 60: ${20x+15x+12x}={564.000}$, pa je ${47x=564.000}$ i ${x=12.000}$.

Svota je 12.000 dinara. Provera: ${4000+3000+2400=9400}$ ✓

11. Marko je proživeo trećinu života u Beogradu, četvrtinu u Novom Sadu, a preostalih 20 godina u Nišu. Koliko Marko ima godina?

Neka Marko ima $x$ godina: ${{\frac{x}{3}+\frac{x}{4}+20}={x}}$. Pomnožimo sa 12: ${{4x+3x+240}={12x}}$, pa je ${240=5x}$ i ${x=48}$.

Marko ima 48 godina. Provera: ${16+12+20=48}$ ✓

12. Stub stoji u jezeru. Petina njegove dužine nalazi se u zemlji, tri sedmine u vodi, a iznad vode viri 13 dm. Koliko je dugačak stub?

Neka je stub dugačak $x$ dm: ${{\frac{x}{5}+\frac{3x}{7}+13}={x}}$. Pomnožimo sa 35: ${{7x+15x+455}={35x}}$, pa je ${455=13x}$ i ${x=35}$.

Stub je dugačak 35 dm, tj. 3,5 m. Provera: ${7+15+13=35}$ ✓

13. U voćnjaku su tri četvrtine stabala jabuke, desetina su kruške, a ostalo su breskve, kojih ima za 20 više od osmine svih stabala. Koliko stabala ima u voćnjaku?

Neka u voćnjaku ima $x$ stabala. Bresaka ima ${x-\frac{3x}{4}-\frac{x}{10}}={\frac{3x}{20}}$, pa je

${{\frac{3x}{20}}={\frac{x}{8}+20}}$

Pomnožimo sa 40: ${6x=5x+800}$, pa je ${x=800}$.

Provera: ima 600 jabuka, 80 krušaka i 120 bresaka, a ${\frac{800}{8}+20=120}$ ✓

14. Četvoro dece deli nasledstvo. Prvo dobija 20.000 dinara više od četvrtine, drugo 34.000 dinara više od petine, treće 30.000 dinara više od šestine, a četvrto 40.000 dinara više od osmine nasledstva. Koliko iznosi nasledstvo?

Neka nasledstvo iznosi $x$ dinara. Četiri dela čine celo nasledstvo:

${\frac{x}{4}+20.000}+{\frac{x}{5}+34.000}+{\frac{x}{6}+30.000}+{\frac{x}{8}+40.000}={x}$

Pomnožimo sa 120:

${30x+2.400.000}+{24x+4.080.000}+{20x+3.600.000}+{15x+4.800.000}={120x}$

${89x+14.880.000}={120x}$, pa je ${14.880.000=31x}$ i ${x=480.000}$

Nasledstvo iznosi 480.000 dinara. Delovi su 140.000, 130.000, 110.000 i 100.000 dinara, ukupno 480.000 dinara ✓

15. Pošto je potrošila 10.000 dinara više od trećine mesečne plate, Lidiji je ostalo 3500 dinara više od polovine plate. Kolika je njena plata?

Neka je plata $x$ dinara. Lidija je potrošila ${\frac{x}{3}+10.000}$, pa je

${x-\left(\frac{x}{3}+10.000\right)}={\frac{x}{2}+3500}$

Pomnožimo sa 6: ${6x-2x-60.000}={3x+21.000}$, pa je ${x=81.000}$.

Lidijina plata je 81.000 dinara. Provera: potrošila je ${27.000+10.000=37.000}$, a ostalo joj je ${81.000-37.000=44.000}$, što je ${40.500+3500}$ ✓

16. Iz punog rezervoara sa vodom isteklo je kroz pukotinu trećina vode. Zatim je izliveno još 21 litar i rezervoar je ostao do pola pun. Koliko litara staje u rezervoar?

Neka u rezervoar staje $x$ litara: ${{x-\frac{x}{3}-21}={\frac{x}{2}}}$. Pomnožimo sa 6: ${{6x-2x-126}={3x}}$, pa je ${x=126}$.

U rezervoar staje 126 litara. Provera: ${126-42-21=63}$, što je polovina od 126 ✓

17. U jednoj školi polovina učenika i još 36 dolaze peške, osmina učenika i još 6 dolaze biciklom, a ostali, kojih je petina svih učenika, dolaze autobusom. Koliko učenika ima škola?

Neka škola ima $x$ učenika. Tri grupe čine celu školu:

${\frac{x}{2}+36}+{\frac{x}{8}+6}+{\frac{x}{5}}={x}$

Pomnožimo sa 40: ${20x+1440}+{5x+240}+{8x}={40x}$, pa je ${{33x+1680}={40x}}$, ${1680=7x}$ i ${x=240}$.

Škola ima 240 učenika. Provera: 156 dolaze peške, 36 biciklom i 48 autobusom, a ${156+36+48=240}$ ✓

18. Kesica mešavine sadrži orašaste plodove, suvo grožđe i čokoladne kapi. Orašasti plodovi teže 10 g više od dve trećine cele kesice, suvo grožđe 4,5 g manje od šestine kesice, a čokoladne kapi 2 g manje od sedmine orašastih plodova. Koliko je teška kesica?

Neka je kesica teška $x$ grama. Orašasti plodovi teže ${\frac{2x}{3}+10}$, suvo grožđe ${\frac{x}{6}-4{,}5}$, a čokoladne kapi

${\frac{1}{7}\left(\frac{2x}{3}+10\right)-2}={\frac{2x}{21}+\frac{10}{7}-2}$

Tri dela čine celu kesicu:

${\frac{2x}{3}+10}+{\frac{x}{6}-4{,}5}+{\frac{2x}{21}+\frac{10}{7}-2}={x}$

Pomnožimo sa 42:

${28x+420}+{7x-189}+{4x+60-84}={42x}$

${{39x+207}={42x}}$, pa je ${207=3x}$ i ${x=69}$

Kesica je teška 69 g: 56 g orašastih plodova, 7 g suvog grožđa i 6 g čokoladnih kapi. Provera: ${56+7+6=69}$ ✓

Zadaci o godinama

Sa $x$ označite godine jedne osobe, obično najmlađe, i pomoću njih izrazite ostale godine. Svi stare jednako: za 5 godina svako je stariji za 5 godina.

Primer. Šestoro braće i sestara rođeno je u razmaku od po 4 godine, a najstariji je tri puta stariji od najmlađeg. Koliko godina ima svako od njih?

Rešenje: Neka najmlađi ima $x$ godina. Njihove godine su

$x$, ${x+4}$, ${x+8}$, ${x+12}$, ${x+16}$, ${x+20}$

Najstariji je tri puta stariji od najmlađeg:

${{x+20}={3x}}$, pa je ${20=2x}$ i ${x=10}$

Oni imaju 10, 14, 18, 22, 26 i 30 godina. Provera: ${30=3\cdot 10}$ ✓

Rešite sami.

19. Deda je dva puta stariji od tate, a tata je tri puta stariji od Saše. Zajedno imaju 140 godina. Koliko godina ima svako od njih?

Neka Saša ima $x$ godina. Tada tata ima ${3x}$, a deda ${2\cdot 3x=6x}$:

${{x+3x+6x}={140}}$, pa je ${10x=140}$ i ${x=14}$

Saša ima 14 godina, tata 42, a deda 84. Provera: ${14+42+84=140}$ ✓

20. Majka je 30 godina starija od ćerke. Za 5 godina biće tri puta starija od nje. Koliko godina imaju sada?

Neka ćerka ima $x$ godina; majka ima ${x+30}$. Za 5 godina imaće ${x+5}$ i ${x+35}$:

${{x+35}={3(x+5)}}$

${{x+35}={3x+15}}$, pa je ${20=2x}$ i ${x=10}$

Ćerka ima 10 godina, a majka 40. Provera: za 5 godina imaće 15 i 45, a ${45=3\cdot 15}$ ✓

Podela i poređenje veličina

Kada su veličine opisane poređenjem jednih sa drugima („za 15 više”, „koliko druge dve zajedno”), slovom označite onu veličinu pomoću koje su izražene ostale, pa redom izrazite ostale.

Primer 1. Za školsku proslavu napravljeno je 146 litara voćnog punča od soka od pomorandže, soka od jabuke i vode. Soka od jabuke ima 15 litara više nego soka od pomorandže, a vode ima koliko oba soka zajedno. Koliko litara ima od svakog?

Rešenje: Neka soka od pomorandže ima $x$ litara. Tada soka od jabuke ima ${x+15}$ litara, a vode

${x+(x+15)}={2x+15}$

Sve zajedno je 146 litara:

${x+(x+15)+(2x+15)}={146}$

${{4x+30}={146}}$, pa je ${4x=116}$ i ${x=29}$

Ima 29 litara soka od pomorandže, 44 litra soka od jabuke i 73 litra vode. Provera: ${29+44+73=146}$ i ${29+44=73}$ ✓

Primer 2. Baka je podelila novac četvoro unučadi. Treće je dobilo 900 dinara više od četvrtog, drugo 1200 dinara više od trećeg, a prvo 1800 dinara više od drugog. Ukupno je podelila 600 dinara više od sedmostrukog iznosa koji je dobilo četvrto. Koliko je novca baka podelila?

Rešenje: Neka je četvrto unuče dobilo $x$ dinara. Tada je treće dobilo ${x+900}$, drugo ${x+2100}$, a prvo ${x+3900}$, ukupno ${4x+6900}$. Zadatak ukupan iznos opisuje i na drugi način, kao ${7x+600}$. Ta dva izraza su jednaka:

${{4x+6900}={7x+600}}$, pa je ${6300=3x}$ i ${x=2100}$

Unučad su dobila 6000, 4200, 3000 i 2100 dinara, pa je baka podelila 15.300 dinara. Provera: ${7\cdot 2100+600=15.300}$ ✓

Rešite sami.

21. Četiri prijatelja kupila su jedrilicu za 475.500 dinara. Boris je platio tri puta više od Ane, Ceca koliko Ana i Boris zajedno, a Dragan koliko Boris i Ceca zajedno. Koliko je platio svako od njih?

Neka je Ana platila $x$ dinara. Tada je Boris platio ${3x}$, Ceca ${x+3x=4x}$, a Dragan ${3x+4x=7x}$:

${{x+3x+4x+7x}={475.500}}$, pa je ${15x=475.500}$ i ${x=31.700}$

Ana je platila 31.700 dinara, Boris 95.100, Ceca 126.800, a Dragan 221.900 dinara. Provera: ${31.700+95.100}+{126.800+221.900}={475.500}$ ✓

22. Jovan je kupio bicikl, kacigu i katanac za 36.000 dinara. Kaciga je koštala dva puta više od katanca, a bicikl dva puta više od kacige i katanca zajedno. Koliko je koštala svaka stvar?

Neka je katanac koštao $x$ dinara. Kaciga je koštala ${2x}$, a bicikl ${2(x+2x)=6x}$:

${{x+2x+6x}={36.000}}$, pa je ${9x=36.000}$ i ${x=4000}$

Katanac je koštao 4000 dinara, kaciga 8000, a bicikl 24.000 dinara. Provera: ${4000+8000+24.000=36.000}$ ✓

23. Farmer je imao dva jednako velika stada ovaca. Pošto je iz prvog stada prodao 39 ovaca, a iz drugog 93, u prvom stadu ostalo je dva puta više ovaca nego u drugom. Koliko je ovaca na početku bilo u svakom stadu?

Neka je u svakom stadu bilo $x$ ovaca:

${{x-39}={2(x-93)}}$

${{x-39}={2x-186}}$, pa je ${x=147}$

U svakom stadu bilo je 147 ovaca. Provera: ${147-39=108}$, ${147-93=54}$ i ${108=2\cdot 54}$ ✓

24. U prvom od dva suda ima tri puta više vode nego u drugom. Pošto je iz svakog suda izliveno po 4 litra, u prvom je ostalo četiri puta više vode nego u drugom. Koliko je vode bilo u svakom sudu?

Neka je u drugom sudu bilo $x$ litara; u prvom ${3x}$:

${{3x-4}={4(x-4)}}$

${{3x-4}={4x-16}}$, pa je ${x=12}$

U sudovima je bilo 36 i 12 litara. Provera: posle izlivanja u njima ima 32 i 8 litara, a ${32=4\cdot 8}$ ✓

25. Lazar je kupio boju za 9400 dinara. Potrošio je 7 litara, a četvrtinu ostatka prodao je komšiji za 2000 dinara, po istoj ceni po litru po kojoj ju je kupio. Koliko je litara boje kupio?

Neka je Lazar kupio $x$ litara. Litar je koštao ${\frac{9400}{x}}$ dinara, a prodao je ${\frac{x-7}{4}}$ litara za 2000 dinara:

${{\frac{x-7}{4}\cdot\frac{9400}{x}}={2000}}$

Pomnožimo sa ${4x}$: ${{9400(x-7)}={8000x}}$, pa je ${9400x-65.800}={8000x}$, ${1400x=65.800}$ i ${x=47}$.

Kupio je 47 litara po 200 dinara litar. Provera: prodao je ${\frac{47-7}{4}=10}$ litara za ${10\cdot 200=2000}$ dinara ✓

26. Vlasnica prodavnice svake godine uzima iz posla 5000 dinara za život. Na kraju svake godine, pošto uzme tih 5000 dinara, novac koji ostaje u poslu poveća se za trećinu. Posle tri godine novac se udvostručio. Sa koliko novca je počeo posao?

Neka je na početku bilo $x$ dinara. Svake godine uzme se 5000, a ostatak se pomnoži sa ${\frac{4}{3}}$:

posle 1 godine: ${\frac{4}{3}(x-5000)}={\frac{4x-20.000}{3}}$

posle 2 godine: ${\frac{4}{3}\left(\frac{4x-20.000}{3}-5000\right)}={\frac{16x-140.000}{9}}$

posle 3 godine: ${\frac{4}{3}\left(\frac{16x-140.000}{9}-5000\right)}={\frac{64x-740.000}{27}}$

To je dvostruki početni iznos: ${{\frac{64x-740.000}{27}}={2x}}$, pa je ${64x-740.000}={54x}$, ${10x=740.000}$ i ${x=74.000}$.

Posao je počeo sa 74.000 dinara. Provera po godinama:

${74.000-5000=69.000}$ i ${69.000\cdot\frac{4}{3}=92.000}$

${92.000-5000=87.000}$ i ${87.000\cdot\frac{4}{3}=116.000}$

${116.000-5000=111.000}$ i ${111.000\cdot\frac{4}{3}=148.000}$, što je ${2\cdot 74.000}$ ✓

Zadaci sa razmerama

Ako su dve veličine u razmeri ${a:b}$, zapišite ih kao ${ax}$ i ${bx}$, gde je $x$ veličina jednog dela. Ako je u zadatku data razmera dva izraza, zapišite je kao jednakost dva razlomka i pomnožite unakrsno. Oba postupka objašnjena su u lekciji razmera i proporcija.

Primer 1. Podelite nagradu od 200.000 dinara na dva dela u razmeri ${9:7}$.

Rešenje: Neka su delovi ${9x}$ i ${7x}$ dinara:

${{9x+7x}={200.000}}$, pa je ${16x=200.000}$ i ${x=12.500}$

Delovi su ${9\cdot 12.500=112.500}$ i ${7\cdot 12.500=87.500}$ dinara. Provera: ${112.500+87.500=200.000}$ ✓

Primer 2. Dva broja su u razmeri ${2:3}$. Ako svakom od njih dodamo 4, razmera postaje ${5:7}$. Nađite te brojeve.

Rešenje: Neka su brojevi ${2x}$ i ${3x}$. Pošto svakom dodamo 4,

${{\frac{2x+4}{3x+4}}={\frac{5}{7}}}$

Pomnožimo unakrsno:

${{7(2x+4)}={5(3x+4)}}$

${{14x+28}={15x+20}}$, pa je ${x=8}$

Brojevi su 16 i 24. Provera: ${{\frac{16+4}{24+4}}={\frac{20}{28}}={\frac{5}{7}}}$ ✓

Rešite sami.

27. Dva broja se razlikuju za 40 i u razmeri su ${6:5}$. Nađite ih.

Neka su brojevi ${6x}$ i ${5x}$: ${6x-5x=40}$, pa je ${x=40}$.

Brojevi su 240 i 200. Provera: ${240-200=40}$ i ${\frac{240}{200}=\frac{6}{5}}$ ✓

28. Razmera nekog broja i trostrukog tog broja uvećanog za 12 je ${2:9}$. Nađite broj.

${{\frac{x}{3x+12}}={\frac{2}{9}}}$. Pomnožimo unakrsno: ${{9x}={2(3x+12)}}$, pa je ${9x=6x+24}$, ${3x=24}$ i ${x=8}$.

Provera: ${{\frac{8}{3\cdot 8+12}}={\frac{8}{36}}={\frac{2}{9}}}$ ✓

29. Koji broj treba dodati i broju 36 i broju 52 da bi zbirovi bili u razmeri ${3:4}$?

${{\frac{36+x}{52+x}}={\frac{3}{4}}}$. Pomnožimo unakrsno: ${{4(36+x)}={3(52+x)}}$, pa je ${{144+4x}={156+3x}}$ i ${x=12}$.

Provera: ${\frac{48}{64}=\frac{3}{4}}$ ✓

30. Podelite 49 na dva dela tako da veći deo uvećan za 6 i manji deo umanjen za 11 budu u razmeri ${9:2}$.

Neka je veći deo $x$. Manji deo je ${49-x}$, a umanjen za 11 on iznosi ${38-x}$:

${{\frac{x+6}{38-x}}={\frac{9}{2}}}$

${{2(x+6)}={9(38-x)}}$

${{2x+12}={342-9x}}$, pa je ${11x=330}$ i ${x=30}$

Delovi su 30 i 19. Provera: ${{\frac{30+6}{19-11}}={\frac{36}{8}}={\frac{9}{2}}}$ ✓

31. Dva komada tkanine sa istom cenom po metru koštaju 5000 i 6500 dinara. Kada bi svaki komad bio duži za 10 metara, njihove dužine bile bi u razmeri ${5:6}$. Koliko je dugačak svaki komad?

Cena po metru je ista, pa su dužine u istoj razmeri kao cene: ${{5000:6500}={10:13}}$. Neka su dužine ${10x}$ i ${13x}$ metara:

${{\frac{10x+10}{13x+10}}={\frac{5}{6}}}$

${6(10x+10)}={5(13x+10)}$

${{60x+60}={65x+50}}$, pa je ${10=5x}$ i ${x=2}$

Komadi su dugački 20 m i 26 m. Provera: ${{\frac{20+10}{26+10}}={\frac{30}{36}}={\frac{5}{6}}}$ ✓

32. Četiri mesta A, B, C i D nalaze se tim redom duž pravog puta, a od A do D ima 34 km. Rastojanja AB i CD su u razmeri ${2:3}$, a četvrtina AB plus polovina CD je tri puta veće od BC. Nađite AB, BC i CD.

Neka je ${AB=2x}$ i ${CD=3x}$. Tada je ${BC=34-5x}$, i

${{\frac{2x}{4}+\frac{3x}{2}}={3(34-5x)}}$

${{2x}={102-15x}}$, pa je ${17x=102}$ i ${x=6}$

AB = 12 km, BC = 4 km i CD = 18 km. Provera: ${12+4+18=34}$, a ${3+9=12}$, što je ${3\cdot 4}$ ✓

Zadaci o kretanju

U zadacima o kretanju koristi se jedna formula: put = brzina × vreme. Mala tabela sa redom za svakog učesnika pomaže da pređene puteve izrazite pomoću nepoznate.

Primer. Kamion polazi iz skladišta brzinom od 60 km/h. Sat vremena kasnije iz istog skladišta za njim kreće automobil brzinom od 75 km/h. Za koliko sati će automobil stići kamion?

Rešenje: Neka se automobil kreće $t$ sati. Kamion je krenuo sat ranije, pa je on u pokretu ${t+1}$ sati.

Kada automobil stigne kamion, oba su prešla isti put:

${{75t}={60(t+1)}}$

${{75t}={60t+60}}$, pa je ${15t=60}$ i ${t=4}$

Automobil stiže kamion posle 4 sata, 300 km od skladišta. Provera: ${75\cdot 4=300}$ i ${60\cdot 5=300}$ ✓

Rešite sami.

33. Grupa planinara kreće dugom stazom i prelazi 20 km dnevno. Pet dana kasnije sa istog mesta polazi druga grupa, koja prelazi 25 km dnevno. Posle koliko dana će druga grupa stići prvu?

Neka druga grupa pešači $t$ dana; do tada prva grupa pešači ${t+5}$ dana:

${{25t}={20(t+5)}}$

${{25t}={20t+100}}$, pa je ${5t=100}$ i ${t=20}$

Druga grupa stiže prvu posle 20 dana, 500 km od početka staze. Provera: ${25\cdot 20=500}$ i ${20\cdot 25=500}$ ✓

34. Brod i čamac plove niz reku. Kada brod prolazi ispod mosta, čamac je 13 km niže niz reku. Dok brod pređe 5 km, čamac pređe 3 km. Na kojoj udaljenosti ispod mosta će brod stići čamac?

Neka se sretnu $d$ km ispod mosta. Od mosta brod pređe $d$ km, a čamac ${d-13}$ km za isto vreme. Brzina broda odnosi se prema brzini čamca kao 5 prema 3, pa je

${{\frac{d}{5}}={\frac{d-13}{3}}}$

${{3d}={5d-65}}$, pa je ${65=2d}$ i ${d=32{,}5}$

Brod stiže čamac 32,5 km ispod mosta. Provera: do tada čamac pređe ${32{,}5-13=19{,}5}$ km, a ${\frac{32{,}5}{19{,}5}=\frac{5}{3}}$ ✓

Negativni i nulti odgovori

Kada u zadatku postoje veličine suprotnih smerova, na primer dobit i gubitak ili sever i jug, jedan smer uzmite kao pozitivan, a drugi kao negativan. Tada negativan odgovor znači suprotan smer.

Primer 1. U januaru je prodavnica imala dobit ili gubitak. U februaru je imala dobit od 35.000 dinara, a u martu gubitak od 6000 dinara. Za tri meseca dobit je iznosila 20.000 dinara. Šta se desilo u januaru?

Rešenje: Dobit uzmimo kao pozitivnu, a gubitak kao negativan, i neka je $x$ rezultat u januaru:

${{x+35.000-6000}={20.000}}$, pa je ${x=-9000}$

Znak minus znači gubitak: u januaru je prodavnica izgubila 9000 dinara. Provera: ${-9000+35.000-6000=20.000}$ ✓

Primer 2. Brod plovi 4° na sever, zatim 13° na jug, zatim 17° na sever, zatim 19° na jug i stiže na 11° južne geografske širine. Odakle je krenuo?

Rešenje: Sever uzmimo kao pozitivan smer, a jug kao negativan, i neka je $x$ početna geografska širina:

${{x+4-13+17-19}={-11}}$

${{x-11}={-11}}$, pa je ${x=0}$

Širina 0 je ekvator: brod je krenuo sa ekvatora.

Ako odgovor ne može biti tačan, na primer negativan broj ljudi, deo ovce ili starost od 300 godina, nemojte ga samo prepisati. Vratite se na jednačinu: najčešće je neki izraz pogrešno preveden.

Česte greške

Pogrešno	Tačno
✗ „Za 7 manje od $x$” zapisano kao ${7-x}$	✓ ${x-7}$
✗ Dva broja sa zbirom 48 zapisana kao $x$ i ${x+48}$	✓ $x$ i ${48-x}$
✗ Brzina u km/h pomnožena vremenom u minutima	✓ Svuda koristite iste jedinice: 20 minuta je ${\frac{1}{3}}$ sata
✗ Rešavanje se završi kod ${x=12.500}$, a pitanje traži delove ${9x}$ i ${7x}$	✓ Odgovorite na postavljeno pitanje: delovi su 112.500 i 87.500 dinara
✗ Odgovor je proveren samo u sopstvenoj jednačini	✓ Proverite ga prema tekstu zadatka: ako je jednačina pogrešno postavljena, odgovor će je i dalje zadovoljavati

Još zadataka: Matematički tekstualni zadaci · Linearne jednačine · Razmera i proporcija