Granična vrednost niza

Niz je beskonačan spisak brojeva $a_1,\ a_2,\ a_3,\ \ldots$ Član $a_n$ ima redni broj (indeks) $n.$ Aritmetička i geometrijska progresija su primeri nizova.

Posmatrajmo niz ${a_n=\frac1n}$:

$1,\ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ \ldots,$ $\frac{1}{100},\ \ldots,\ \frac{1}{1000},\ \ldots$

Njegovi članovi su uvek pozitivni i nikad ne postaju 0, ali kako $n$ raste, približavaju se nuli koliko god hoćemo: $a_{100}$ se razlikuje od 0 za ${0{,}01},$ $a_{1000}$ za ${0{,}001}$ i tako dalje. Kažemo da niz teži ka 0, odnosno da je njegova granična vrednost (limes) 0, i pišemo

Čita se: „limes od $\frac1n$ kada $n$ teži beskonačnosti jednak je 0“. Kraće se piše ${\frac1n\to 0}.$

Na ovoj stranici: Definicija · Beskonačne granične vrednosti · Važne granične vrednosti · Pravila · Teorema o dva policajca · Kako se računaju granične vrednosti · Rešeni zadaci · Česte greške · Vežbe

Definicija granične vrednosti

Nejednakost ${|a_n-a|\lt\varepsilon}$ znači ${a-\varepsilon\lt a_n\lt a+\varepsilon}$: član $a_n$ leži u traci širine $2\varepsilon$ oko $a.$ Koliko god uska bila traka, od nekog indeksa nadalje svi članovi su u njoj. Van trake može ostati samo konačno mnogo članova, oni do $n_\varepsilon.$

${a_n=1+\frac{(-1)^{n+1}}{n}}$ i ${\varepsilon=0{,}25}$: svi članovi posle četvrtog leže između ${1-\varepsilon}$ i ${1+\varepsilon},$ pa je ovde ${n_\varepsilon=4}.$

Niz koji ima graničnu vrednost (broj) zove se konvergentan, a inače je divergentan. Konvergentan niz ima samo jednu graničnu vrednost i ograničen je: svi njegovi članovi leže između dva fiksna broja.

Primer. Dokažite da je ${\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}=1}.$

Neka je ${a_n=\frac{n+1}{n}}.$ Tada je

${|a_n-1|}={\left|\frac{n+1}{n}-1\right|}={\frac1n}$

i ${\frac1n\lt\varepsilon}$ za svako ${n\gt\frac1\varepsilon},$ pa možemo uzeti ${n_\varepsilon=\frac1\varepsilon}.$ Na primer, za ${\varepsilon=0{,}01}$ svi članovi sa ${n\gt 100}$ razlikuju se od 1 za manje od ${0{,}01}.$

Iz definicije sledi i da ${a_n\to a}$ znači isto što i ${a_n-a\to 0},$ i isto što i ${|a_n-a|\to 0}.$

Beskonačne granične vrednosti

Članovi niza ${a_n=n^2}$ rastu neograničeno: $1,\ 4,\ 9,\ 16,\ \ldots$ Za svaki broj $M,$ koliko god bio veliki, svi članovi od nekog indeksa nadalje veći su od $M.$ Tada pišemo ${\lim_{n\to\infty}n^2=+\infty}$ i kažemo da niz teži plus beskonačnosti. Na isti način ${\lim_{n\to\infty}(-n)=-\infty}.$

Niz čija je granična vrednost $+\infty$ ili $-\infty$ i dalje je divergentan, jer $+\infty$ i $-\infty$ nisu brojevi. Neki nizovi uopšte nemaju graničnu vrednost, ni broj ni $\pm\infty.$ Na primer, ${b_n=(-1)^n}$ uzima vrednosti $-1;\ 1;\ -1;\ 1;\ \ldots$ i ne približava se nijednoj vrednosti.

Važne granične vrednosti

Članovi niza ${\left(1+\frac1n\right)^n}$ rastu: ${2;\ 2{,}25;\ 2{,}370\ldots;\ 2{,}441\ldots}$ Nikad ne dostižu $e,$ i za svako $n$ važi

${\left(1+\frac1n\right)^n}\lt{e}\lt{\left(1+\frac1n\right)^{n+1}}$

pa je i ${\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^{n+1}=e}.$ Opštije, ${\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac kn\right)^n=e^k}$ za svaki broj $k.$ Posebno, ${\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac1n\right)^n=e^{-1}=\frac1e}.$

Pravila za granične vrednosti

Neka je ${\lim_{n\to\infty}a_n=a}$ i ${\lim_{n\to\infty}b_n=b},$ gde su $a$ i $b$ brojevi. Tada je

Rečima: granična vrednost zbira, razlike, proizvoda ili količnika jednaka je zbiru, razlici, proizvodu ili količniku graničnih vrednosti, ako su obe granične vrednosti brojevi i ako ne delimo nulom.

Primer.

${\lim_{n\to\infty}\left(3-\frac2n+\frac{5}{n^2}\right)}={3-2\cdot 0+5\cdot 0}={3}$

Pravila za beskonačne granične vrednosti

Ako ${a_n\to+\infty}$ i ${b_n\to+\infty},$ onda

${a_n+b_n\to+\infty},$   ${a_n\cdot b_n\to+\infty},$   ${-a_n\to-\infty},$   ${\frac{1}{a_n}\to 0}$

${a_n^k\to+\infty}$ za ${k\gt 0},$   ${a_n^k\to 0}$ za ${k\lt 0}$

Takođe, ako ${a_n\to+\infty},$ a $b_n$ ima graničnu vrednost koja je broj, onda ${a_n+b_n\to+\infty}.$ Ako ${a_n\to 0}$ i ${a_n\gt 0},$ onda ${\frac{1}{a_n}\to+\infty}.$

Izrazi ${\infty-\infty},$ ${\frac{\infty}{\infty}},$ ${0\cdot\infty},$ ${\frac00}$ i $1^\infty$ su neodređeni oblici. Pravila o njima ništa ne govore: takva granična vrednost može biti bilo koji broj, $\pm\infty,$ ili ne mora da postoji. Niz prvo treba transformisati, kao što je pokazano niže.

Poređenje i teorema o dva policajca

Neka je ${\lim_{n\to\infty}a_n=a}$ i ${\lim_{n\to\infty}b_n=b}.$ Ako je ${a_n\le b_n}$ za svako $n,$ onda je ${a\le b}.$

Čak i ako je ${a_n\lt b_n}$ za svako $n,$ možemo zaključiti samo ${a\le b},$ a ne ${a\lt b}.$ Na primer, ${0\lt\frac1n}$ za svako $n,$ ali oba niza imaju graničnu vrednost 0.

Primer. Pošto je ${-1\le\sin n\le 1},$ važi ${-\frac1n\le\frac{\sin n}{n}\le\frac1n}.$ Oba spoljašnja niza teže ka 0, pa je ${\lim_{n\to\infty}\frac{\sin n}{n}=0}.$

Kako se računaju granične vrednosti

Količnik polinoma po $n.$ Brojilac i imenilac delimo najvećim stepenom od $n$ u imeniocu i koristimo ${\frac{1}{n^k}\to 0}$:

${\lim_{n\to\infty}\frac{2n^2-n+3}{5n^2+4}}={\lim_{n\to\infty}\frac{2-\frac1n+\frac{3}{n^2}}{5+\frac{4}{n^2}}}={\frac{2-0+0}{5+0}}={\frac25}$

Uopšte, za polinome $P(n)$ i $Q(n)$: ako je stepen polinoma $P$ manji od stepena polinoma $Q,$ onda ${\frac{P(n)}{Q(n)}\to 0};$ ako su stepeni jednaki, granična vrednost je količnik vodećih koeficijenata; ako je stepen polinoma $P$ veći, granična vrednost je $+\infty$ ili $-\infty.$

Razlika kvadratnih korena (${\infty-\infty}$). Množimo i delimo zbirom korena, tako da je ${(\sqrt A-\sqrt B)(\sqrt A+\sqrt B)}={{A-B}.}$ Pogledajte zadatke 7 i 8.

Stepeni kao $2^n$ i $3^n.$ Delimo stepenom sa najvećom osnovom i koristimo ${q^n\to 0}$ za ${-1\lt q\lt 1}.$ Pogledajte zadatak 10.

Neodređeni oblik $1^\infty.$ Niz svodimo na oblik ${\left(1+\frac1n\right)^n}$ ili ${\left(1+\frac kn\right)^n}.$ Pogledajte zadatak 9.

Rešeni zadaci

Zadatak 1. Nađite ${\lim_{n\to\infty}5\cdot\left(\frac14\right)^n}.$

Rešenje: Pošto je ${-1\lt\frac14\lt 1},$ važi ${\left(\frac14\right)^n\to 0},$ pa je

${\lim_{n\to\infty}5\cdot\left(\frac14\right)^n}={5\cdot 0}={0}$

Poređenja radi: kod ${5\cdot 4^n}$ osnova je veća od 1, pa ${5\cdot 4^n\to+\infty}.$

Zadatak 2. Nađite ${\lim_{n\to\infty}\frac{3n^2+1}{2n-n^2}}.$

Rešenje: Brojilac i imenilac delimo sa $n^2$:

${\lim_{n\to\infty}\frac{3n^2+1}{2n-n^2}}={\lim_{n\to\infty}\frac{3+\frac{1}{n^2}}{\frac2n-1}}={\frac{3+0}{0-1}}={-3}$

Zadatak 3. Niz $(a_n)$ teži ka 1 i ${a_n\ne 1}$ za svako $n.$ Nađite ${\lim_{n\to\infty}\frac{2a_n^2-a_n-1}{a_n-1}}.$

Rešenje: I brojilac i imenilac teže ka 0, pa pravilo za količnik ne može odmah da se primeni. Rastavljamo brojilac: ${2a_n^2-a_n-1}={{(a_n-1)(2a_n+1)}.}$ Pošto je ${a_n\ne 1},$ možemo da skratimo ${a_n-1}$:

${\lim_{n\to\infty}\frac{2a_n^2-a_n-1}{a_n-1}}={\lim_{n\to\infty}\frac{(a_n-1)(2a_n+1)}{a_n-1}}={\lim_{n\to\infty}(2a_n+1)}={2\cdot 1+1}={3}$

Zadatak 4. Dokažite po definiciji da je ${\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{n+3}=2}.$

Rešenje: Neka je ${a_n=\frac{2n+1}{n+3}}.$ Tada je

${|a_n-2|}={\left|\frac{2n+1}{n+3}-2\right|}={\left|\frac{2n+1-2n-6}{n+3}\right|}={\frac{5}{n+3}}$

i ${\frac{5}{n+3}\lt\varepsilon}$ za svako ${n\gt\frac5\varepsilon-3}.$ Zato možemo uzeti ${n_\varepsilon=\frac5\varepsilon-3}.$ Na primer, za ${\varepsilon=0{,}1}$ dobijamo ${n_\varepsilon=47}$: od 48. člana nadalje svi članovi razlikuju se od 2 za manje od ${0{,}1}.$

Zadatak 5. Nađite ${\lim_{n\to\infty}\frac{n^3-2n}{4n^3+n^2+5}}.$

Rešenje: Delimo sa $n^3$:

${\lim_{n\to\infty}\frac{n^3-2n}{4n^3+n^2+5}}={\lim_{n\to\infty}\frac{1-\frac{2}{n^2}}{4+\frac1n+\frac{5}{n^3}}}={\frac{1-0}{4+0+0}}={\frac14}$

Zadatak 6. Nađite a) ${\lim_{n\to\infty}\frac{2n^2+3}{n^3+1}};$   b) ${\lim_{n\to\infty}\frac{n^3+1}{2n^2+3}}.$

Rešenje: a) Delimo sa $n^3$:

${\lim_{n\to\infty}\frac{2n^2+3}{n^3+1}}={\lim_{n\to\infty}\frac{\frac2n+\frac{3}{n^3}}{1+\frac{1}{n^3}}}={\frac{0+0}{1+0}}={0}$

b) Delimo sa $n^2.$ Brojilac teži ka $+\infty,$ a imenilac ka 2, pa je

${\lim_{n\to\infty}\frac{n^3+1}{2n^2+3}}={\lim_{n\to\infty}\frac{n+\frac{1}{n^2}}{2+\frac{3}{n^2}}}={+\infty}$

Zadatak 7. Nađite ${\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt n)}.$

Rešenje: Ovo je neodređeni oblik ${\infty-\infty}.$ Množimo i delimo sa ${\sqrt{n+1}+\sqrt n}$:

${\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt n)}={\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}}={\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}}={0}$

jer imenilac teži ka $+\infty.$

Zadatak 8. Nađite ${\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+n}-n)}.$

Rešenje: Opet ${\infty-\infty}.$ Množimo i delimo sa ${\sqrt{n^2+n}+n},$ a zatim delimo sa $n$:

${\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^2+n}-n)}={\lim_{n\to\infty}\frac{(n^2+n)-n^2}{\sqrt{n^2+n}+n}}={\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}}={\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\frac1n}+1}}={\frac{1}{1+1}}={\frac12}$

Zadatak 9. Nađite ${\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^{3n}}.$

Rešenje: Ovo je neodređeni oblik $1^\infty.$ Stepen zapisujemo kao kub:

${\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^{3n}}={\lim_{n\to\infty}\left(\left(1+\frac1n\right)^n\right)^3}={e^3}$

Zadatak 10. Nađite ${\lim_{n\to\infty}\frac{2^n+3^n}{3^{n+1}-2^n}}.$

Rešenje: Brojilac i imenilac delimo sa $3^n$ i koristimo ${\left(\frac23\right)^n\to 0}$:

${\lim_{n\to\infty}\frac{2^n+3^n}{3^{n+1}-2^n}}={\lim_{n\to\infty}\frac{\left(\frac23\right)^n+1}{3-\left(\frac23\right)^n}}={\frac{0+1}{3-0}}={\frac13}$

Česte greške

Vežbe

Nađite granične vrednosti. Prvo pokušajte sami, a zatim otvorite odgovor.

Pogledajte i: Formule za prvi izvod (izvod se definiše pomoću granične vrednosti).