Koordinatna ravan i grafici

Koordinatna ravan pretvara geometriju u brojeve: svakoj tački odgovara par brojeva, a svakoj jednačini sa dve promenljive odgovara slika, njen grafik. U ovoj lekciji uvodimo koordinatnu ravan, ucrtavamo tačke, a zatim crtamo grafike jednačina i funkcija. Na kraju grafike pomeramo, preslikavamo osnom simetrijom i istežemo, a da pri tome ne računamo nove tablice vrednosti.

Na ovoj stranici: Koordinatni sistem · Uređeni parovi · Ucrtavanje tačaka · Kvadranti · Grafik jednačine · Presečne tačke sa osama · Simetrija · Grafik funkcije · Translacija · Osna simetrija · Istezanje i sabijanje · Česte greške · Zadaci za vežbu

Pravougli koordinatni sistem

Pravougli koordinatni sistem (naziva se i Dekartov koordinatni sistem) čine dve međusobno normalne brojevne prave, koordinatne ose, postavljene tako da se seku u tački koja na obema pravama odgovara nuli. Njihova zajednička tačka je koordinatni početak $O.$ Obično je jedna osa horizontalna, sa pozitivnim brojevima desno, a druga vertikalna, sa pozitivnim brojevima gore. Na obema osama se po pravilu koristi ista jedinična duž.

Horizontalna osa se obično označava slovom $x,$ a vertikalna slovom $y.$ Tada se ose nazivaju $x$-osa (apscisna osa) i $y$-osa (ordinatna osa), a ravan se naziva $xy$-ravan. To je samo dogovor: mogu se koristiti bilo koja slova. U primenama slova često ukazuju na to šta se meri, na primer $t$ za vreme i $s$ za pređeni put. Ravan dobija ime po slovima svoje horizontalne i vertikalne ose: sa osama $u$ i $v$ to je $uv$-ravan, sa osama $t$ i $s$ to je $ts$-ravan i tako dalje.

Uređeni parovi i koordinate tačke

Uređeni par realnih brojeva čine dva realna broja zapisana određenim redom, $(a, b).$ Redosled je važan: $(4, 3)$ i $(3, 4)$ su različiti parovi. Dva uređena para su jednaka ako i samo ako su im jednake i prve i druge komponente.

Svakoj tački $P$ koordinatne ravni odgovara tačno jedan uređeni par. Kroz tačku $P$ povucimo dve prave: jednu normalnu na $x$-osu, a drugu normalnu na $y$-osu. Ako prva prava seče $x$-osu u tački kojoj odgovara broj $a,$ a druga seče $y$-osu u tački kojoj odgovara broj $b,$ onda je $a$ $x$-koordinata tačke $P,$ a $b$ njena $y$-koordinata, i pišemo $P(a, b).$ Koordinata $x$ naziva se još i apscisa, a koordinata $y$ ordinata tačke. Obrnuto, svakom uređenom paru $(a, b)$ odgovara tačno jedna tačka.

Apscisa se uvek piše na prvom mestu: $P(a, b)$ znači $a$ jedinica duž $x$-ose i $b$ jedinica duž $y$-ose.

Ucrtavanje tačaka

Ucrtati (predstaviti) tačku $P(a, b)$ znači odrediti njeno mesto u koordinatnoj ravni. Krećemo iz koordinatnog početka, pomeramo se za $|a|$ jedinica udesno ako je ${a\gt0}$ ili ulevo ako je ${a\lt0},$ a zatim za $|b|$ jedinica naviše ako je ${b\gt0}$ ili naniže ako je ${b\lt0}.$ Do tačke $P(4, 3)$ stižemo kada se pomerimo za $4$ jedinice udesno i za $3$ jedinice naviše. Tačka $Q(3, 4)$ je sasvim druga tačka.

Na sledećoj slici ucrtane su tačke $P(2, 5),$ $Q(-4, 3),$ $R(-5, -2)$ i $S(4, -3).$ Isprekidane linije pokazuju koordinate svake od njih.

Tačka čija je ordinata $0$ leži na $x$-osi, na primer $(3, 0),$ a tačka čija je apscisa $0$ leži na $y$-osi, na primer $(0, -2).$ Koordinatni početak je tačka $O(0, 0).$

Kvadranti

Koordinatne ose dele ravan na četiri dela koja se nazivaju kvadranti. Označavaju se rimskim brojevima, redom suprotno od smera kazaljke na satu, počev od gornjeg desnog. U svakom kvadrantu znaci koordinata su uvek isti:

Kvadrant	I	II	III	IV
$x$	$+$	$-$	$-$	$+$
$y$	$+$	$+$	$-$	$-$

Na primer, tačka $P(2, 5)$ leži u I kvadrantu, $Q(-4, 3)$ u II kvadrantu, $R(-5, -2)$ u III kvadrantu, a $S(4, -3)$ u IV kvadrantu. Tačka koja leži na nekoj od osa, na primer $(3, 0)$ ili $(0, -2),$ ne pripada nijednom kvadrantu.

Grafik jednačine

Da bismo proverili da li tačka pripada grafiku, njene koordinate zamenimo u jednačinu. Tačka $(2, 4)$ pripada grafiku jednačine ${y=x^2},$ jer je ${4=2^2}.$ Tačka $(3, 6)$ mu ne pripada, jer je ${3^2=9\ne6}.$

Crtanje grafika po tačkama

Grafik najjednostavnije crtamo tako što sastavimo tablicu vrednosti, ucrtamo dobijene tačke i spojimo ih glatkom krivom linijom.

Primer 1. Nacrtajte grafik jednačine ${y=x^2}.$

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y=x^2$	$9$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$9$

Ucrtamo sedam tačaka $(-3, 9),$ $(-2, 4),$ $(-1, 1),$ $(0, 0),$ $(1, 1),$ $(2, 4),$ $(3, 9)$ i spojimo ih glatkom krivom linijom. Ta kriva se naziva parabola. (Da bi tačka $(3, 9)$ stala na sliku, jedinična duž na $y$-osi je kraća od jedinične duži na $x$-osi.)

Nekoliko tačaka samo nagoveštava oblik grafika: ne znamo sigurno šta se dešava između njih. Više tačaka daje bolju sliku, a matematička analiza pruža metode za određivanje tačnog oblika grafika, na primer gde grafik raste, a gde opada i kako je zakrivljen.

Primer 2. Nacrtajte grafik jednačine ${y=\frac{1}{x}}.$

Deljenje nulom nije definisano, pa je ${x\ne0}\text{:}$ grafik nema nijednu tačku na $y$-osi. Uzimamo pozitivne i negativne vrednosti $x,$ među njima i vrednosti bliske broju $0.$

$x$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$3$
$y=\frac{1}{x}$	$3$	$2$	$1$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$
$x$	$-\frac{1}{3}$	$-\frac{1}{2}$	$-1$	$-2$	$-3$
$y=\frac{1}{x}$	$-3$	$-2$	$-1$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{1}{3}$

Tačke sa ${x\gt0}$ leže u I kvadrantu, a tačke sa ${x\lt0}$ u III kvadrantu. Grafik ima dva odvojena dela (dve grane), koja ne smemo da spojimo preko $y$-ose. Kada se $x$ približava broju $0,$ razlomak $\frac{1}{x}$ postaje po apsolutnoj vrednosti veoma veliki, a kada $|x|$ raste, $\frac{1}{x}$ se približava broju $0.$ Zato se grafik sve više približava osama, ali ih nikada ne dodiruje. Ova kriva se naziva hiperbola.

Presečne tačke sa koordinatnim osama

Tačke u kojima grafik seče koordinatne ose posebno su korisne kada ga crtamo. Tačka u kojoj grafik seče $x$-osu naziva se presečna tačka grafika sa $x$-osom, a tačka u kojoj grafik seče $y$-osu presečna tačka grafika sa $y$-osom. Prvu određuje njena apscisa (kod grafika funkcije to je nula funkcije), a drugu njena ordinata.

Primer 3. Odredite sve presečne tačke sa koordinatnim osama za grafike jednačina a) ${3x+2y=6};$ b) ${x=y^2-2y};$ v) ${y=\frac{1}{x}}.$

a) Presek sa $x$-osom: stavimo ${y=0}$ i dobijamo ${3x=6},$ pa je ${x=2}.$ Presek sa $y$-osom: stavimo ${x=0}$ i dobijamo ${2y=6},$ pa je ${y=3}.$ Grafik je prava kroz tačke $(2, 0)$ i $(0, 3).$

b) Presek sa $x$-osom: za ${y=0}$ dobijamo ${x=0^2-2\cdot0=0},$ pa je apscisa presečne tačke sa $x$-osom jednaka $0.$ Preseci sa $y$-osom: za ${x=0}$ dobijamo ${y^2-2y=0},$ tj. ${y(y-2)=0},$ pa je ${y=0}$ ili ${y=2}.$ Grafik seče ose u tačkama $(0, 0)$ i $(0, 2).$ To je parabola čiji je otvor okrenut udesno, a teme joj je u tački $(-1, 1)\text{:}$ jednačinu možemo da zapišemo kao ${x=(y-1)^2-1},$ pa $x$ ima najmanju vrednost, ${x=-1},$ za ${y=1}.$

v) Presek sa $x$-osom: za ${y=0}$ dobijamo ${\frac{1}{x}=0}.$ Razlomak sa brojiocem $1$ nikada nije jednak $0,$ pa jednačina nema rešenja i grafik ne seče $x$-osu. Presek sa $y$-osom: vrednost ${x=0}$ nije dozvoljena, jer $\frac{1}{0}$ nije definisano, pa grafik ne seče ni $y$-osu. Grafik jednačine ${y=\frac{1}{x}}$ ne seče ose, kao što smo videli u primeru 2.

Simetrija

Na sledećoj slici tačke $(x, y),$ $(-x, y),$ $(-x, -y)$ i $(x, -y)$ su temena pravougaonika čiji je centar koordinatni početak. Tačka $(x, -y)$ je simetrična tački $(x, y)$ u odnosu na $x$-osu, tačka $(-x, y)$ joj je simetrična u odnosu na $y$-osu, a tačka $(-x, -y)$ je simetrična tački $(x, y)$ u odnosu na koordinatni početak.

Simetričan grafik se lakše crta: nacrtamo jednu polovinu, a drugu dobijemo simetrijom. Iz definicija slede jednostavni kriterijumi. Grafik je simetričan u odnosu na $x$-osu ako se zamenom $y$ sa $-y$ dobija ekvivalentna jednačina, simetričan u odnosu na $y$-osu ako se zamenom $x$ sa $-x$ dobija ekvivalentna jednačina, a simetričan u odnosu na koordinatni početak ako se istovremenom zamenom $x$ sa $-x$ i $y$ sa $-y$ dobija ekvivalentna jednačina.

Primer 4. Ispitajte simetričnost grafika jednačina ${y=x^2},$ ${y=\frac{1}{x}}$ i ${x=y^2-2y}.$

Za ${y=x^2}\text{:}$ zamenom $x$ sa $-x$ dobijamo ${y=(-x)^2=x^2},$ tj. istu jednačinu. Zamenom $y$ sa $-y$ dobijamo ${-y=x^2},$ tj. ${y=-x^2},$ a to je drugačija jednačina: tačka $(1, 1)$ zadovoljava prvu, ali ne i drugu. Zamenom i $x$ i $y$ dobijamo ${-y=(-x)^2},$ tj. ponovo ${y=-x^2},$ pa nema ni simetrije u odnosu na koordinatni početak.

Za ${y=\frac{1}{x}}\text{:}$ zamenom i $x$ i $y$ dobijamo ${-y=\frac{1}{-x}},$ tj. ponovo ${y=\frac{1}{x}}.$ Zamenom samo $x$ (ili samo $y$) dobijamo ${y=-\frac{1}{x}},$ a to je drugačija jednačina: tačka $(1, 1)$ zadovoljava ${y=\frac{1}{x}},$ ali ne i ${y=-\frac{1}{x}}.$

Za ${x=y^2-2y}\text{:}$ tačka $(0, 2)$ pripada grafiku, a $(0, -2)$ ne pripada, jer je ${(-2)^2-2\cdot(-2)}={8}\ne{0}.$ Tačka $(-1, 1)$ pripada grafiku, a $(1, 1)$ ne pripada, jer je ${1^2-2\cdot1=-1\ne1}.$ Dakle, grafik nije simetričan ni u odnosu na $x$-osu ni u odnosu na $y$-osu. Nije simetričan ni u odnosu na koordinatni početak: tačka simetrična tački $(0, 2)$ u odnosu na koordinatni početak takođe je $(0, -2),$ a ona ne pripada grafiku. (Grafik je simetričan u odnosu na horizontalnu pravu ${y=1}$ koja prolazi kroz njegovo teme.)

Grafik	Simetričan u odnosu na
	$x$-osu	$y$-osu	tačku $O$
${y=x^2}$	ne	da	ne
${y=\frac{1}{x}}$	ne	ne	da
${x=y^2-2y}$	ne	ne	ne

Grafik funkcije

Dakle, tačka $(a, b)$ pripada grafiku funkcije $f$ tačno onda kada $a$ pripada domenu funkcije $f$ i ${b=f(a)}.$ Vrednost $f(a)$ je visina grafika iznad tačke $a$ na $x$-osi; ako je ${f(a)\lt0},$ grafik je tu $|f(a)|$ jedinica ispod $x$-ose.

Primer 5. Nacrtajte grafik funkcije ${f(x)=x+2}.$

Crtamo grafik jednačine ${y=x+2}.$ Za ${x=-2},$ $0$ i $2$ dobijamo redom ${y=0},$ $2$ i $4.$ Tačke $(-2, 0),$ $(0, 2)$ i $(2, 4)$ leže na jednoj pravoj. To nije slučajno: grafik funkcije ${f(x)=kx+n}$ je uvek prava sa koeficijentom pravca $k$ i odsečkom $n$ na $y$-osi (pogledajte lekciju Prava i definicija nagiba), pa su dve tačke dovoljne da je nacrtamo.

Primer 6. Nacrtajte grafik funkcije ${f(x)=|x|}.$

Po definiciji apsolutne vrednosti je

$$|x|=\begin{cases}x, & \text{ako je } x\ge0,\\ -x, & \text{ako je } x\lt0.\end{cases}$$

Apsolutna vrednost nenegativnog broja je sam taj broj, a apsolutna vrednost negativnog broja je njemu suprotan broj. Zato je za ${x\ge0}$ grafik deo prave ${y=x}$ u I kvadrantu, zajedno sa koordinatnim početkom, a za ${x\lt0}$ to je deo prave ${y=-x}$ u II kvadrantu. Kada spojimo ove dve polovine, dobijamo grafik u obliku slova V sa temenom u koordinatnom početku. Grafik je simetričan u odnosu na $y$-osu, jer je ${|{-x}|=|x|}.$

Primer 7. Nacrtajte grafik funkcije ${t(x)=\frac{x^2-4}{x-2}}.$

Funkcija nije definisana za ${x=2},$ jer je tada imenilac jednak $0.$ Za svako drugo $x$ brojilac možemo da rastavimo na činioce i da skratimo razlomak:

${t(x)}={\frac{x^2-4}{x-2}}={\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}}={x+2}$   za ${x\ne2}.$

Dakle, grafik funkcije $t$ je prava ${y=x+2}$ bez tačke $(2, 4).$ Na crtežu tačku koja nedostaje (izostavljenu tačku) označavamo praznim kružićem.

Primer 8. Nacrtajte grafik funkcije

$$g(x)=\begin{cases}1, & \text{ako je } x\le2,\\ x+2, & \text{ako je } x\gt2.\end{cases}$$

Za ${x\le2}$ grafik je deo horizontalne prave ${y=1}.$ Tačka $(2, 1)$ mu pripada, jer je ${g(2)=1}\text{:}$ na crtežu je označavamo popunjenim kružićem. Za ${x\gt2}$ grafik je deo prave ${y=x+2}.$ Taj deo počinje u tački $(2, 4),$ ali sama ta tačka ne pripada grafiku, jer se za ${x=2}$ koristi prva formula. Nju označavamo praznim kružićem.

Test vertikalne prave

Funkcija daje samo jednu vrednost $f(a)$ za svako $a,$ pa vertikalna prava ${x=a}$ (prava koju čine sve tačke sa apscisom $a$) može da seče grafik funkcije najviše jednom. Kada bi ta prava sekla grafik funkcije $f$ u dve tačke $(a, b)$ i $(a, c),$ gde je ${b\ne c},$ onda bi $f(a)$ moralo da bude jednako i $b$ i $c,$ što je nemoguće.

Test vertikalne prave. Kriva u $xy$-ravni je grafik neke funkcije ${y=f(x)}$ ako i samo ako je nijedna vertikalna prava ne seče u više od jedne tačke.

Na primer, kriva ${x=y^2-2y}$ iz primera 3 nije grafik nijedne funkcije ${y=f(x)}\text{:}$ vertikalna prava ${x=3}$ seče je u tačkama $(3, 3)$ i $(3, -1),$ jer je ${3^2-2\cdot3=3}$ i ${(-1)^2-2\cdot(-1)=3}.$

Crtanje grafika pomoću translacije

Pretpostavimo da već znamo grafik funkcije ${y=f(x)}$ i da je $c$ pozitivan broj. Tada grafike funkcija ${y=f(x)+c},$ ${y=f(x)-c},$ ${y=f(x+c)}$ i ${y=f(x-c)}$ možemo da dobijemo bez novih tablica vrednosti: svaki od njih je grafik funkcije $f$ pomeren za $c$ jedinica, tj. dobijen translacijom.

Jednačina	Grafik funkcije ${y=f(x)}$ se pomera
${y=f(x)+c}$	naviše za $c$ jedinica
${y=f(x)-c}$	naniže za $c$ jedinica
${y=f(x+c)}$	ulevo za $c$ jedinica
${y=f(x-c)}$	udesno za $c$ jedinica

Vertikalna translacija: ${y=x^2},$ ${\textcolor{#2b7a2b}{y=x^2+2}}$ i ${\textcolor{#c0392b}{y=x^2-2}}.$ Horizontalna translacija: ${y=x^2},$ ${\textcolor{#2b7a2b}{y=(x+2)^2}}$ i ${\textcolor{#c0392b}{y=(x-2)^2}}.$

Vertikalna pomeranja je lako razumeti: kod ${y=f(x)+c}$ svaka ordinata je veća za $c.$ Horizontalna pomeranja često deluju „naopako“. Funkcija ${g(x)=f(x-c)}$ u tački ${x+c}$ ima vrednost ${g(x+c)}={f\big((x+c)-c\big)}={f(x)},$ tj. istu vrednost koju funkcija $f$ ima u tački $x.$ Zato se svaka tačka $(x, f(x))$ starog grafika pomera u tačku $(x+c, f(x)),$ koja je $c$ jedinica desno od nje. Na isti način se kod ${y=f(x+c)}$ grafik pomera ulevo.

U zagradi znaci deluju obrnuto: ${y=(x-2)^2}$ je parabola ${y=x^2}$ pomerena za $2$ jedinice udesno, a ${y=(x+2)^2}$ je ta parabola pomerena za $2$ jedinice ulevo.

Primer 9. Nacrtajte grafik funkcije ${y=|x-3|+2}.$

Polazimo od grafika funkcije ${y=|x|}$ iz primera 6. Kada ga pomerimo za $3$ jedinice udesno, dobijamo grafik funkcije ${y=|x-3|}.$ Kada taj grafik pomerimo za $2$ jedinice naviše, dobijamo grafik funkcije ${y=|x-3|+2}.$ Teme se pomera iz tačke $(0, 0)$ u tačku $(3, 0),$ a zatim u tačku $(3, 2).$

Primer 10. Nacrtajte grafik funkcije ${y=x^2-4x+5}.$

Izraz dopunjujemo do potpunog kvadrata. Koeficijent uz $x$ je $-4,$ njegova polovina je $-2,$ a ${(-2)^2=4},$ pa broj $5$ zapisujemo kao ${4+1}\text{:}$

${y}={x^2-4x+5}={(x^2-4x+4)+1}={{(x-2)^2+1}.}$

U ovom obliku se vidi da je to grafik funkcije ${y=x^2}$ pomeren za $2$ jedinice udesno, zbog ${x-2},$ i za $1$ jedinicu naviše, zbog ${+1}.$ Teme parabole je tačka $(2, 1).$ Za ${x=0}$ dobijamo ${y=5},$ pa parabola seče $y$-osu u tački $(0, 5).$

Osna simetrija u odnosu na koordinatne ose

Zaista, ako tačka $(a, b)$ pripada grafiku funkcije ${y=f(x)},$ tj. ${b=f(a)},$ onda koordinate tačke $(-a, b)$ zadovoljavaju jednačinu ${y=f(-x)},$ a koordinate tačke $(a, -b)$ jednačinu ${y=-f(x)}.$ Na primer, tačka $(4, 2)$ pripada grafiku funkcije ${y=\sqrt{x}},$ tačka $(-4, 2)$ grafiku funkcije ${y=\sqrt{-x}},$ a tačka $(4, -2)$ grafiku funkcije ${y=-\sqrt{x}}.$

Primer 11. Nacrtajte grafik funkcije ${y=\sqrt[3]{2-x}}.$

Grafik možemo da dobijemo osnom simetrijom i translacijom:

1. Nacrtamo grafik funkcije ${y=\sqrt[3]{x}}.$
2. Preslikamo ga osnom simetrijom u odnosu na $y$-osu i dobijamo grafik funkcije ${y=\sqrt[3]{-x}}.$
3. Taj grafik pomerimo za $2$ jedinice udesno, tj. $x$ zamenimo sa ${x-2}.$ Dobijamo grafik funkcije ${y=\sqrt[3]{-(x-2)}},$ a to je isto što i ${y=\sqrt[3]{2-x}}.$

Siva kriva: ${y=\sqrt[3]{x}};$ narandžasta: ${\textcolor{#d35400}{y=\sqrt[3]{-x}}};$ plava: ${\textcolor{#1b64a8}{y=\sqrt[3]{2-x}}}.$

Nekoliko tačaka potvrđuje crtež: za ${x=-6},$ $1,$ $2,$ $3$ i $10$ vrednosti izraza $\sqrt[3]{2-x}$ su redom $2,$ $1,$ $0,$ $-1$ i $-2.$

Ne tumačite ${+2}$ u izrazu ${\sqrt[3]{-x+2}}$ kao pomeranje grafika funkcije ${y=\sqrt[3]{-x}}$ ulevo. Prvo izvucite znak minus ispred zagrade: ${-x+2=-(x-2)}.$ Dakle, grafik funkcije ${y=\sqrt[3]{-x}}$ se pomera za $2$ jedinice udesno.

Istezanje i sabijanje

Tačke na $x$-osi se ne pomeraju, jer je ${c\cdot0=0}.$ Na primer, za ${x=1}$ parabola ${y=x^2}$ je na visini $1,$ a parabola ${y=2x^2}$ na visini $2.$ Za ${x=2}$ parabola ${y=x^2}$ je na visini $4,$ a parabola ${y=\frac{1}{2}x^2}$ na visini $2.$

${y=x^2},$ ${\textcolor{#c0392b}{y=2x^2}}$ (istegnuta) i ${\textcolor{#2b7a2b}{y=\frac{1}{2}x^2}}$ (sabijena).

Ako je činilac ispred $f(x)$ negativan, na primer ${y=-2x^2},$ grafik se isteže ili sabija sa koeficijentom jednakim apsolutnoj vrednosti tog činioca (ovde je to $2$), a uz to se preslikava osnom simetrijom u odnosu na $x$-osu.

Česte greške

Greška	Pogrešno	Tačno
Pomešan redosled koordinata	Do tačke $(2, 5)$ stižemo pomeranjem za $2$ jedinice naviše i $5$ jedinica udesno	Apscisa je na prvom mestu: $2$ jedinice udesno i $5$ jedinica naviše
Tačka na osi	Tačka $(0, -4)$ leži u IV kvadrantu	Ona leži na $y$-osi; tačke na osama ne pripadaju nijednom kvadrantu
Spojene grane	Grafik funkcije ${y=\frac{1}{x}}$ je jedna kriva kroz koordinatni početak	${x\ne0}\text{:}$ grafik ima dve grane, u I i u III kvadrantu
Zaboravljen prazan kružić	Grafik funkcije ${y=\frac{x^2-4}{x-2}}$ je cela prava ${y=x+2}$	To je ta prava bez tačke $(2, 4)$
Smer horizontalnog pomeranja	${y=(x-3)^2}$ je parabola ${y=x^2}$ pomerena za $3$ jedinice ulevo	Ona je pomerena za $3$ jedinice udesno
${f(x)+c}$ i ${f(x+c)}$	${y=x^2+3}$ je parabola ${y=x^2}$ pomerena za $3$ jedinice ulevo	Ona je pomerena za $3$ jedinice naviše; ${y=(x+3)^2}$ je pomerena ulevo
Pogrešna prava u testu	Parabola ${y=x^2}$ nije grafik funkcije, jer je prava ${y=4}$ seče dva puta	U testu se koriste vertikalne prave; svaka vertikalna prava seče parabolu ${y=x^2}$ tačno jednom

Zadaci za vežbu

1. U kom kvadrantu ili na kojoj osi leži svaka od tačaka $A(3, -7),$ $B(-2, -5),$ $C(-4, 6),$ $D(0, 8),$ $E(5, 0)?$

Odgovor

$A$ u IV kvadrantu, $B$ u III kvadrantu, $C$ u II kvadrantu, $D$ na $y$-osi, $E$ na $x$-osi.

2. Tačka $P(a, b)$ leži u II kvadrantu. U kojim kvadrantima leže tačke a) $(-a, b);$ b) $(a, -b);$ v) $(b, a)?$

Odgovor

U II kvadrantu je ${a\lt0}$ i ${b\gt0}.$ a) ${-a\gt0}$ i ${b\gt0}\text{:}$ I kvadrant. b) ${a\lt0}$ i ${-b\lt0}\text{:}$ III kvadrant. v) ${b\gt0}$ i ${a\lt0}\text{:}$ IV kvadrant.

3. Koje od tačaka $(1, 2),$ $(-2, 11)$ i $(3, 3)$ pripadaju grafiku funkcije ${y=x^2-2x+3}?$

Odgovor

${1-2+3=2}\text{:}$ pripada. ${4+4+3=11}\text{:}$ pripada. ${9-6+3=6\ne3}\text{:}$ ne pripada.

4. Odredite sve presečne tačke sa koordinatnim osama za grafike jednačina a) ${2x-5y=10};$ b) ${y=x^2-9};$ v) ${y=x^2+1}.$

Odgovor

a) ${y=0}\text{:}$ ${2x=10},$ apscisa presečne tačke sa $x$-osom je $5.$ ${x=0}\text{:}$ ${-5y=10},$ ordinata presečne tačke sa $y$-osom je $-2.$

b) ${x^2=9}\text{:}$ apscise presečnih tačaka sa $x$-osom su $-3$ i $3;$ ordinata presečne tačke sa $y$-osom je $-9.$

v) Jednačina ${x^2+1=0}$ nema realnih rešenja, pa grafik ne seče $x$-osu; ordinata presečne tačke sa $y$-osom je $1.$

5. Ispitajte da li su grafici simetrični u odnosu na $x$-osu, $y$-osu i koordinatni početak: a) ${y=x^4-3x^2};$ b) ${y=x^3-x};$ v) ${x^2+y^2=25}.$

Odgovor

a) Samo u odnosu na $y$-osu: ${(-x)^4-3(-x)^2}={x^4-3x^2}.$

b) Samo u odnosu na koordinatni početak: ${-y=(-x)^3-(-x)}$ je ekvivalentno sa ${y=x^3-x}.$

v) U odnosu na obe ose i na koordinatni početak (grafik je kružnica sa centrom u tački $O$): $x$ i $y$ se u jednačini javljaju samo na kvadrat.

6. Da li je kriva grafik neke funkcije ${y=f(x)}?$ a) ${y=x^2-1};$ b) ${x=y^2};$ v) ${x^2+y^2=4}.$

Odgovor

a) Jeste: svakom $x$ odgovara tačno jedno $y.$

b) Nije: vertikalna prava ${x=4}$ seče krivu u tačkama $(4, 2)$ i $(4, -2).$

v) Nije: vertikalna prava ${x=0}$ seče kružnicu u tačkama $(0, 2)$ i $(0, -2).$

7. Kako se svaki od grafika dobija iz grafika funkcije ${y=x^2}$ ili ${y=|x|}?$ a) ${y=(x+4)^2-1};$ b) ${y=|x-1|-3};$ v) ${y=-x^2+3}.$

Odgovor

a) Parabola ${y=x^2}$ pomerena za $4$ jedinice ulevo i za $1$ jedinicu naniže; teme je $(-4, -1).$

b) Grafik funkcije ${y=|x|}$ pomeren za $1$ jedinicu udesno i za $3$ jedinice naniže; teme je $(1, -3).$

v) Parabola ${y=x^2}$ preslikana osnom simetrijom u odnosu na $x$-osu i pomerena za $3$ jedinice naviše; teme je $(0, 3).$

8. U jednačini ${y=x^2+6x+7}$ dopunite izraz do potpunog kvadrata, odredite teme parabole i opišite kako se ona dobija translacijom parabole ${y=x^2}.$

Odgovor

${y}={(x^2+6x+9)-2}={(x+3)^2-2}.$ Teme je $(-3, -2)\text{:}$ parabola ${y=x^2}$ je pomerena za $3$ jedinice ulevo i za $2$ jedinice naniže.

9. Grafik funkcije ${y=f(x)}$ prolazi kroz tačku $(2, 5).$ Koja tačka sigurno pripada grafiku funkcije a) ${y=f(x)-4};$ b) ${y=f(x+1)};$ v) ${y=f(-x)};$ g) ${y=3f(x)}?$

Odgovor

a) $(2, 1);$ b) $(1, 5),$ jer je ${f(1+1)=f(2)=5};$ v) $(-2, 5);$ g) $(2, 15).$

10. Neka je ${h(x)=x^2}$ za ${x\lt1}$ i ${h(x)=3-x}$ za ${x\ge1}.$ Izračunajte $h(-2),$ $h(1)$ i $h(5).$ Koja od tačaka $(1, 1)$ i $(1, 2)$ pripada grafiku i kako se svaka od njih označava na crtežu?

Odgovor

${h(-2)=4},$ ${h(1)=3-1=2},$ ${h(5)=-2}.$ Tačka $(1, 2)$ pripada grafiku (popunjen kružić). Levi deo grafika završava se u tački $(1, 1),$ koja ne pripada grafiku (prazan kružić).