Funkcije i granične vrednosti

Funkcije su svuda u matematici: površina kvadrata zavisi od dužine njegove stranice, cena vožnje taksijem zavisi od pređenog puta, a visina bačene lopte zavisi od vremena. U ovoj lekciji odgovaramo na četiri pitanja: šta je funkcija, kako se funkcije zapisuju, koje brojeve smemo da ubacimo u funkciju (njen domen) i koje vrednosti iz nje dobijamo (njen skup vrednosti). Na kraju se upoznajemo sa graničnim vrednostima: šta se dešava sa funkcijom u blizini neke tačke, čak i tačke u kojoj funkcija nije definisana.

Na ovoj stranici: Šta je funkcija · Označavanje funkcija · Domen · Skup vrednosti · Funkcije zadate po delovima · Uvod u granične vrednosti · Rešeni zadaci · Česte greške · Vežbe

Šta je funkcija?

Promenljiva $x$ naziva se nezavisno promenljiva (ili argument): njenu vrednost biramo mi. Promenljiva $y$ je zavisno promenljiva: njena vrednost zavisi od izabranog $x.$ Funkciju možete da zamislite kao mašinu: ubacite broj $x,$ a mašina vam vrati jedan broj $y.$

Primer. Jednačina ${y=4x+1}$ određuje $y$ kao funkciju od $x\text{:}$ svako $x$ pomnožimo sa 4 i dodamo 1, i uvek dobijemo tačno jedan broj.

$x$	${y=4x+1}$
$2$	$9$
$1$	$5$
$0$	$1$
${-\frac14}$	$0$
$\sqrt3$	${4\sqrt3+1}$

Relacija koja nije funkcija. U jednačini ${y=\pm\sqrt x}$ veličina $y$ nije funkcija od $x,$ jer svako pozitivno $x$ daje dve vrednosti $y.$ Za ${x=4}$ dobijamo ${y=\pm\sqrt4},$ odnosno ${y=2}$ i ${y=-2}.$ Ista relacija može se zapisati kao ${y^2=x}.$

Ako zadržimo samo nenegativni koren, ${y=\sqrt x},$ ponovo dobijamo funkciju: za ${x=4}$ ona daje samo ${y=2}.$

Test vertikalne prave

Grafik funkcije je skup svih tačaka $(x,\,y)$ koordinatne ravni kod kojih $x$ pripada domenu, a $y$ je vrednost funkcije za to $x.$ Pošto svakom $x$ odgovara samo jedno $y,$ vertikalna prava može da preseče grafik funkcije najviše jednom:

Prava ${x=4}$ seče grafik funkcije ${y=\sqrt x}$ jednom, a krivu ${y^2=x}$ dva puta.

Primetite da definicija ne zabranjuje da dve različite vrednosti $x$ daju isto $y.$ Kod ${y=x^2}$ obe vrednosti, ${x=2}$ i ${x=-2},$ daju ${y=4},$ pa ipak je ${y=x^2}$ funkcija: svakom $x$ odgovara jedno $y.$ (Horizontalna prava može da seče grafik mnogo puta.)

Označavanje funkcija

Funkcije se označavaju slovima. Ako funkciju označimo slovom $f,$ pišemo

$$y=f(x)$$

i čitamo „$y$ je jednako $f$ od $x$“. Izraz $f(x)$ je vrednost funkcije $f$ u tački $x$. Tako umesto ${y=x^2}$ možemo da pišemo ${f(x)=x^2},$ i oba zapisa označavaju istu funkciju.

Najčešće se koristi slovo $f,$ ali funkciju može da označava bilo koje slovo ili simbol: ${y=F(x)},$ ${y=g(x)},$ ${y=h(x)},$ ${y=\varphi(x)}.$ Različita slova su korisna kada istovremeno radimo sa više funkcija.

Zapis $f(x)$ ne znači „$f$ puta $x$“. To je broj koji funkcija $f$ daje za ulaznu vrednost $x.$

Računanje vrednosti funkcije

Da bismo našli $f(a),$ zamenimo svako $x$ u formuli sa $a$ (stavimo ga u zagradu) i sredimo izraz.

Primer 1. Neka je ${\varphi(x)=\frac{1}{x^3-1}}.$ Tada je

${\varphi\left(\sqrt[3]{7}\right)}={\frac{1}{\left(\sqrt[3]{7}\right)^3-1}}={\frac{1}{7-1}}={\frac16}$

ali $\varphi(1)$ ne postoji: zamenom dobijamo ${\frac{1}{1^3-1}},$ a imenilac je 0. Nulom ne možemo da delimo, pa funkcija $\varphi$ nije definisana za ${x=1}.$

Primer 2. Neka je ${F(x)=2x^2-1}.$ U zagradu možemo da stavimo broj, drugo slovo ili ceo izraz:

${F(3)=2\cdot 3^2-1=17}$

${F(d)=2d^2-1}$

${F(t-1)}={2(t-1)^2-1}={2(t^2-2t+1)-1}={2t^2-4t+1}$

Primer 3. Nije važno kojim slovom označimo promenljivu. Formule

${g(c)=c^2-4c}$   i   ${g(x)=x^2-4x}$

određuju istu funkciju: „kvadriraj broj i oduzmi taj broj pomnožen sa 4“. Na primer, obe daju ${g(5)=25-20=5}.$

Domen funkcije

Prirodni domen

Ponekad je domen zadat zajedno sa formulom, na primer ${f(x)=x^2},$ ${0\le x\le 5}.$ Ako je funkcija zadata formulom, a domen nije naveden, onda domen čine svi realni brojevi za koje formula ima smisla i daje realnu vrednost. To je prirodni domen funkcije. U praksi iz skupa realnih brojeva izbacujemo:

• brojeve za koje je imenilac jednak 0;
• brojeve za koje je izraz pod kvadratnim korenom (ili pod bilo kojim parnim korenom) negativan.

Kasnije ćete upoznati još takvih uslova, na primer izraz pod znakom logaritma mora biti pozitivan. Domene zapisujemo pomoću intervala: na primer, „svi realni brojevi osim 1“ zapisuje se kao ${(-\infty,\,1)\cup(1,\,+\infty)}.$

Primer 4. ${y=\frac{x+1}{x-1}}.$ Imenilac je 0 za ${x=1},$ pa prirodni domen čine svi realni brojevi osim 1: ${(-\infty,\,1)\cup(1,\,+\infty)}.$

Primer 5. ${y=\sqrt{x-2}}.$ Mora biti ${x-2\ge 0},$ odnosno ${x\ge 2}.$ Domen je ${[2,\,+\infty)}.$ Broj 2 mu pripada, jer je ${\sqrt0=0}.$

Primer 6. Dvojni razlomak (razlomak u razlomku):

${h(x)=\dfrac{1}{\dfrac{x-1}{x-3}}}$

Unutrašnji razlomak zahteva ${x\ne 3}.$ Spoljašnji razlomak zahteva da mu imenilac bude različit od 0: ${\frac{x-1}{x-3}\ne 0},$ odnosno ${x\ne 1}.$ Dakle, domen je

$$(-\infty,\,1)\cup(1,\,3)\cup(3,\,+\infty)$$

Za te vrednosti $x$ možemo da uprostimo: ${h(x)=\frac{x-3}{x-1}}.$ Ali uprošćena formula daje 0 za ${x=3},$ a $h(3)$ ne postoji. Prvo odredite domen, pa tek onda uprošćavajte.

Primer 7. ${h(x)=\frac{x^2-4}{x-2}}.$ Domen čine svi realni brojevi osim 2. Za ${x\ne 2}$ možemo da skratimo:

${h(x)}={\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}}={x+2,\quad x}\ne{2}$

Dakle, grafik funkcije $h$ je prava ${y=x+2}$ bez tačke $(2,\,4).$ Na ovu funkciju ćemo se vratiti u delu Uvod u granične vrednosti.

Skup vrednosti funkcije

Na grafiku je domen „senka“ grafika na $x$-osi, a skup vrednosti njegova senka na $y$-osi. Na primer, grafik funkcije ${y=\sqrt{4-x^2}}$ je gornja polovina kružnice sa centrom u koordinatnom početku i poluprečnikom 2. Domen ove funkcije je ${[-2,\,2]},$ a skup vrednosti $[0,\,2].$

Da biste iz formule odredili skup vrednosti, zapitajte se: za koje $y$ jednačina ${f(x)=y}$ ima rešenje $x$ iz domena?

Primer 8. ${f(x)=x^2}.$ Kvadrat nikad nije negativan, a svaki broj ${y\ge 0}$ je kvadrat nekog broja: ${y=\left(\sqrt y\right)^2}.$ Dakle, skup vrednosti je ${[0,\,+\infty)}.$

Primer 9. ${y=4x+1}.$ Za svaki broj $y$ jednačina ${4x+1=y}$ ima rešenje ${x=\frac{y-1}{4}}.$ Skup vrednosti čine svi realni brojevi.

Primer 10. ${y=\frac{x+1}{x-1}}.$ Rešavamo jednačinu po $x\text{:}$

${y(x-1)}={x+1\ \Rightarrow\ yx-y}={x+1\ \Rightarrow\ x(y-1)}={y+1}$

Ako je ${y\ne 1},$ onda je ${x=\frac{y+1}{y-1}},$ a takvo $x$ nikad nije jednako 1 (iz ${\frac{y+1}{y-1}=1}$ dobili bismo ${y+1=y-1},$ što je nemoguće). Ako je ${y=1},$ jednačina postaje ${0=2}$ i nema rešenja. Dakle, skup vrednosti čine svi realni brojevi osim 1: ${(-\infty,\,1)\cup(1,\,+\infty)}.$

Primer 11. Funkcija ${h(x)=\frac{x^2-4}{x-2}}$ iz primera 7 jednaka je ${x+2}$ za ${x\ne 2}.$ Svaki broj $y$ dobija se za ${x=y-2},$ osim broja ${y=4},$ za koji bi moralo biti ${x=2},$ a broj 2 ne pripada domenu. Dakle, skup vrednosti čine svi realni brojevi osim 4: ${(-\infty,\,4)\cup(4,\,+\infty)}.$

Funkcije zadate po delovima

Funkcija može biti zadata različitim formulama na različitim delovima svog domena. Takva funkcija naziva se funkcija zadata po delovima (ili po delovima definisana funkcija). Najpoznatiji primer je apsolutna vrednost:

$$|x|=\begin{cases}x, & x\ge 0\\ -x, & x\lt 0\end{cases}$$

Za ${x\ge 0}$ koristimo prvu formulu: ${|5|=5}.$ Za ${x\lt 0}$ koristimo drugu: ${|{-3}|=-(-3)=3}.$ Grafik se sastoji od dve poluprave koje se sastaju u koordinatnom početku. Domen funkcije $|x|$ čine svi realni brojevi, a skup vrednosti je ${[0,\,+\infty)}.$

Da biste izračunali vrednost funkcije zadate po delovima, prvo proverite koji uslov zadovoljava dato $x,$ a zatim koristite samo formulu koja odgovara tom uslovu. Više o $|x|\text{:}$ apsolutne vrednosti.

Uvod u granične vrednosti

Vratimo se funkciji ${h(x)=\frac{x^2-4}{x-2}}$ iz primera 7. Vrednost $h(2)$ ne postoji: za ${x=2}$ i brojilac i imenilac jednaki su 0. Ali možemo da izračunamo $h(x)$ za brojeve $x$ bliske broju 2:

$x$	$h(x)$
$1{,}9$	$3{,}9$
$1{,}99$	$3{,}99$
$1{,}999$	$3{,}999$
$2$	nije definisano
$2{,}001$	$4{,}001$
$2{,}01$	$4{,}01$
$2{,}1$	$4{,}1$

Što je $x$ bliže broju 2, sa bilo koje strane, to je $h(x)$ bliže broju 4. Kažemo da je granična vrednost (limes) funkcije $h(x),$ kada $x$ teži ka 2, jednaka 4 i pišemo

$$\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}=4$$

Na grafiku: kada se $x$ približava broju 2 sa bilo koje strane, tačke grafika se približavaju praznom kružiću u tački $(2,\,4),$ iako sama tačka $(2,\,4)$ ne pripada grafiku. Granična vrednost opisuje vrednosti funkcije u blizini tačke, a ne u samoj tački. Ovu graničnu vrednost možemo da potvrdimo uprošćavanjem: za ${x\ne 2}$ je ${h(x)=x+2},$ a ${x+2}$ se približava broju ${2+2=4}.$

Granične vrednosti nizova objašnjene su u lekciji Granična vrednost niza.

Rešeni zadaci

Zadatak 1. Koje od ovih jednačina određuju $y$ kao funkciju od $x?$ a) ${y=3x-5};$   b) ${y^2=x+1};$   v) ${y=x^2-1};$   g) ${x^2+y^2=25}$

Rešenje: a) Da: svako $x$ daje jedan broj ${3x-5}.$ b) Ne: za ${x=3}$ dobijamo ${y^2=4},$ pa je ${y=2}$ ili ${y=-2}.$ v) Da: svako $x$ daje jedan broj ${x^2-1}.$ Dozvoljeno je da ${x=1}$ i ${x=-1}$ daju isto ${y=0}.$ g) Ne: za ${x=3}$ dobijamo ${y^2=16},$ pa je ${y=4}$ ili ${y=-4}.$ Ovo je kružnica, a vertikalna prava može da je preseče dva puta.

Zadatak 2. Neka je ${f(x)=x^2-3x+2}.$ Nađite $f(0),$ ${f(-2)}$ i ${f(a+1)}.$

Rešenje:

${f(0)=0-0+2=2}$

${f(-2)}={(-2)^2-3\cdot(-2)+2}={4+6+2}={12}$

${f(a+1)}={(a+1)^2-3(a+1)+2}={a^2+2a+1-3a-3+2}={a^2-a}$

Zadatak 3. Nađite domen funkcije ${f(x)=\frac{2x+1}{x^2-9}}.$

Rešenje: Imenilac ne sme biti 0: ${x^2-9=0}$ za ${x=3}$ i ${x=-3}.$ Domen je

$$(-\infty,\,-3)\cup(-3,\,3)\cup(3,\,+\infty)$$

Zadatak 4. Nađite domen funkcije ${g(x)=\sqrt{6-2x}}.$

Rešenje: Mora biti ${6-2x\ge 0},$ odnosno ${2x\le 6},$ pa je ${x\le 3}.$ Domen je ${(-\infty,\,3]}.$

Zadatak 5. Nađite domen funkcije ${h(x)=\frac{\sqrt{x+4}}{x-1}}.$

Rešenje: Postoje dva uslova: ${x+4\ge 0}$ (kvadratni koren) i ${x-1\ne 0}$ (imenilac). Dakle, ${x\ge -4}$ i ${x\ne 1}.$ Domen je ${[-4,\,1)\cup(1,\,+\infty)}.$

Zadatak 6. Nađite skup vrednosti funkcija a) ${f(x)=x^2+3};$   b) ${g(x)=2-\sqrt x}.$

Rešenje: a) ${x^2\ge 0},$ pa je ${x^2+3\ge 3}.$ Svako ${y\ge 3}$ se dostiže: za ${x=\sqrt{y-3}}$ dobijamo ${f(x)=y}.$ Skup vrednosti je ${[3,\,+\infty)}.$
b) Domen je ${[0,\,+\infty)}.$ Koren $\sqrt x$ uzima sve vrednosti ${\ge 0},$ pa ${2-\sqrt x}$ uzima sve vrednosti ${\le 2}.$ Skup vrednosti je ${(-\infty,\,2]}.$

Zadatak 7. Nađite skup vrednosti funkcije ${y=\frac{2x-1}{x+3}}.$

Rešenje: Domen čine svi realni brojevi osim ${-3}.$ Rešavamo po $x\text{:}$

${y(x+3)}={2x-1\ \Rightarrow\ yx+3y}={2x-1\ \Rightarrow\ x(y-2)}={-3y-1}$

Ako je ${y\ne 2},$ onda je ${x=\frac{3y+1}{2-y}}$ (to nikad nije ${-3}\text{:}$ iz ${\frac{3y+1}{2-y}=-3}$ dobijamo ${1=-6}$). Ako je ${y=2},$ dobijamo ${0=-7},$ pa rešenja nema. Skup vrednosti čine svi realni brojevi osim 2: ${(-\infty,\,2)\cup(2,\,+\infty)}.$

Zadatak 8. Nađite ${f(-3)},$ $f(1)$ i $f(2)$ za funkciju

$$f(x)=\begin{cases}2x+1, & x\lt 1\\ x^2, & x\ge 1\end{cases}$$

Rešenje: ${-3\lt 1},$ pa koristimo prvu formulu: ${f(-3)}={2\cdot(-3)+1}={-5.}$ Za ${x=1}$ važi uslov ${x\ge 1},$ pa je ${f(1)=1^2=1}.$ Na kraju, ${f(2)=2^2=4}.$

Zadatak 9. Neka je ${f(x)=x^2}.$ Uprostite ${\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$ za ${h\ne 0}$ (ovde je $h$ broj, a ne funkcija).

Rešenje:

${\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac{(x+h)^2-x^2}{h}}={\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}}={\frac{h(2x+h)}{h}}={2x+h}$

Kada $h$ teži ka 0, ovaj izraz teži ka $2x.$ Ta granična vrednost je izvod funkcije $x^2.$

Zadatak 10. Naslutite ${\lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}}$ na osnovu tabele vrednosti, a zatim to proverite uprošćavanjem.

Rešenje: Za ${x=2{,}9};$ $2{,}99;$ $3{,}01$ i $3{,}1$ razlomak je redom jednak $5{,}9;$ $5{,}99;$ $6{,}01$ i $6{,}1,$ pa izgleda da je granična vrednost 6. Provera: za ${x\ne 3}$

${\frac{x^2-9}{x-3}}={\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}}={x+3,}$   a   ${x+3}$ teži ka ${3+3=6}.$

Česte greške

Greška	Pogrešno	Tačno
Negativan broj upisan bez zagrade	${f(x)=x^2},$ ${f(-3)=-3^2=-9}$	${f(-3)=(-3)^2=9}$
${f(x+1)}$ shvaćeno kao ${f(x)+1}$	${f(x)=x^2},$ ${f(x+1)=x^2+1}$	${f(x+1)}={(x+1)^2}={x^2+2x+1}$
$f(2x)$ shvaćeno kao $2f(x)$	${f(x)=x^2},$ ${f(2x)=2x^2}$	${f(2x)=(2x)^2=4x^2}$
Uprošćavanje pre određivanja domena	${\frac{x^2-4}{x-2}=x+2},$ pa domen čine svi realni brojevi	Domen čine svi realni brojevi osim 2
Izbačeno $x$ za koje je koren jednak 0	${\sqrt{x-2}}\text{:}$ domen ${x\gt 2}$	${\sqrt{x-2}}\text{:}$ domen ${x\ge 2}$
Dve vrednosti $x$ sa istim $y$	${y=x^2}$ nije funkcija, jer je ${(-2)^2=2^2}$	${y=x^2}$ je funkcija: svakom $x$ odgovara jedno $y$
Granična vrednost shvaćena kao vrednost u tački	$h(2)$ ne postoji, pa ne postoji ni ${\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}}$	${\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}=4}$

Vežbe

Prvo pokušajte sami, a zatim pogledajte odgovor.

1. Neka je ${f(x)=3x-7}.$ Nađite $f(2),$ ${f(-1)}$ i $f(0).$

${f(2)=-1},$ ${f(-1)=-10},$ ${f(0)=-7}.$

2. Neka je ${g(x)=x^2+x}.$ Nađite ${g(-3)}$ i ${g(t+1)}.$

${g(-3)=9-3=6}$ i ${g(t+1)}={(t+1)^2+(t+1)}={t^2+3t+2.}$

3. Da li je $y$ funkcija od $x$ ako je ${x=y^2-1}?$

Nije. Za ${x=3}$ dobijamo ${y^2=4},$ pa je ${y=2}$ ili ${y=-2}\text{:}$ jednom $x$ odgovaraju dve vrednosti $y.$

4. Nađite domen funkcije ${y=\frac{5}{x+4}}.$

Svi realni brojevi osim ${-4}\text{:}$ ${(-\infty,\,-4)\cup(-4,\,+\infty)}.$

5. Nađite domen funkcije ${y=\sqrt{2x+6}}.$

${2x+6\ge 0},$ pa je ${x\ge -3}.$ Domen je ${[-3,\,+\infty)}.$

6. Nađite domen funkcije ${y=\frac{x}{x^2-5x+6}}.$

${x^2-5x+6}={(x-2)(x-3)}\ne{0,}$ pa je domen ${(-\infty,\,2)\cup(2,\,3)\cup(3,\,+\infty).}$

7. Nađite domen funkcije ${y=\frac{1}{\sqrt{x-1}}}.$

Koren zahteva ${x-1\ge 0},$ a imenilac zahteva ${\sqrt{x-1}\ne 0},$ pa je ${x-1\gt 0}.$ Domen je ${(1,\,+\infty)}.$

8. Nađite skup vrednosti funkcije ${y=4-x^2}.$

${x^2\ge 0},$ pa je ${4-x^2\le 4},$ a svako ${y\le 4}$ dostiže se za ${x=\sqrt{4-y}}.$ Skup vrednosti je ${(-\infty,\,4]}.$

9. Nađite skup vrednosti funkcije ${y=\frac{x}{x-2}}.$

Iz ${y(x-2)=x}$ dobijamo ${x(y-1)=2y}.$ Za ${y\ne 1}\text{:}$ ${x=\frac{2y}{y-1}}$ (nikad nije 2, jer je ${2y=2y-2}$ nemoguće); za ${y=1}\text{:}$ ${0=2},$ nema rešenja. Skup vrednosti je ${(-\infty,\,1)\cup(1,\,+\infty)}.$

10. Nađite ${f(-2)},$ $f(0)$ i $f(3)$ ako je $f(x)=\begin{cases}x^2, & x\lt 0\\ x+1, & x\ge 0\end{cases}$

${f(-2)=(-2)^2=4},$ ${f(0)=0+1=1},$ ${f(3)=3+1=4}.$

11. Nađite ${\lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}}.$

Za ${x\ne 1}\text{:}$ ${\frac{x^2-1}{x-1}}={\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}}={x+1,}$ što teži ka 2. Granična vrednost je 2.

12. Neka je ${f(x)=2x+3}.$ Uprostite ${\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$ za ${h\ne 0}.$

${\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac{(2(x+h)+3)-(2x+3)}{h}}={\frac{2h}{h}}={2.}$

Sledeća lekcija: Operacije sa funkcijama.