Kalkulator inverzne funkcije - rešenje korak po korak

Unesite funkciju promenljive $x$. Kalkulator određuje njenu inverznu funkciju $f^{-1}(x)$, korak po korak pokazuje kako se rešava jednačina ${y = f(x)}$ i određuje domen i skup vrednosti obe funkcije. Ako funkcija nije injektivna, kalkulator određuje inverznu funkciju na svakom delu domena na kome je ona injektivna.

$f(x) =$

Kako se unosi funkcija

Stepeni se pišu sa ^: x^2 je $x^2$, e^(2x) je $e^{2x}$, a 2^x je $2^x$.
Znak množenja može da se izostavi: 2x, 3(x+1), 2sin(3x). Može i 2*x.
(2x+1)/(x-3) je $\frac{2x+1}{x-3}$: brojilac i imenilac stavite u zagrade.
sqrt(x) je $\sqrt{x}$, cbrt(x) ili x^(1/3) je $\sqrt[3]{x}$, a root(x, 4) je $\sqrt[4]{x}$.
ln(x) je prirodni logaritam, log(x) i lg(x) su dekadni logaritam, a log_2(x) je $\log_2 x$.
sin(x), cos(x), tg(x), ctg(x), arcsin(x), arccos(x), arctg(x), sh(x), ch(x), th(x).
|x| je apsolutna vrednost, pi je $\pi$, a e je broj $e$.
Možete da unesete i f(x) = ... ili y = .... Funkcija može da sadrži samo jedno slovo, svoju promenljivu.

Primeri: $2x + 3$ $\frac{2x + 1}{x - 3}$ $x^2 - 4x + 1$ $\sqrt{x - 1}$ $3e^{2x - 1} + 4$ $\log_2(x + 3)$ $\frac{e^x - 1}{e^x + 1}$

Kako se određuje inverzna funkcija

Inverzna funkcija $f^{-1}$ poništava ono što radi $f$: ako je ${f(a) = b}$, onda je ${f^{-1}(b) = a}$. Da bismo je odredili:

Zamenimo $f(x)$ sa $y$.
Iz jednačine ${y = f(x)}$ izrazimo $x$ preko $y$.
Zamenimo mesta $x$ i $y$.
Zamenimo $y$ sa $f^{-1}(x)$.

Za ${f(x) = 2x + 3}$ dobijamo ${2x = y - 3}$ i ${x = \frac{y - 3}{2}}$, a kada slova zamene mesta, ${f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}}$. Može i obrnuto, da prvo zamenimo mesta $x$ i $y$, a zatim izrazimo $y$: rezultat je isti.

Kada funkcija ima inverznu?

Inverznu funkciju ima samo injektivna funkcija: svaku svoju vrednost mora da dostiže za tačno jedno $x$. Funkcija koja raste na celom domenu, ili na njemu opada, injektivna je. Svaka horizontalna prava seče grafik injektivne funkcije najviše u jednoj tački.

${f(x) = x^2}$ nije injektivna, jer je ${f(-2) = f(2) = 4}$. Za ${x \geq 0}$ ona je injektivna i njena inverzna funkcija je $\sqrt{x}$; za ${x \leq 0}$ inverzna funkcija je $-\sqrt{x}$. Kalkulator sam pronalazi takve delove domena. Za trigonometrijske funkcije daje inverznu funkciju na intervalu glavnih vrednosti, kao što to čine $\arcsin$, $\arccos$ i $\operatorname{arctg}$.

Domen funkcije $f^{-1}$ je skup vrednosti funkcije $f$, a skup vrednosti funkcije $f^{-1}$ je domen funkcije $f$. Grafik funkcije $f^{-1}$ je simetričan grafiku funkcije $f$ u odnosu na pravu ${y = x}$.

Inverzne funkcije osnovnih funkcija

$f(x)$	$f^{-1}(x)$
$x + a$	$x - a$
$ax$, ${a \neq 0}$	$\frac{x}{a}$
$\frac{1}{x}$	$\frac{1}{x}$
$x^3$	$\sqrt[3]{x}$
$x^2$, ${x \geq 0}$	$\sqrt{x}$
$e^x$	$\ln x$
$a^x$	$\log_a x$
$\sin x$, ${-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}}$	$\arcsin x$
$\cos x$, ${0 \leq x \leq \pi}$	$\arccos x$
$\operatorname{tg} x$, ${-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}}$	$\operatorname{arctg} x$

Metode sa primerima

Kalkulator rešava ${y = f(x)}$ onako kako se to radi u udžbenicima. Kliknite na primer da vidite metodu.

Linearne funkcije. Operacije poništavamo obrnutim redom: oduzimamo, pa delimo.
${y = ax + b} \;\Rightarrow\; {x = \frac{y - b}{a}}$
Primer: $5x - 7$
Razlomljene linearne funkcije. Pomnožimo obe strane imeniocem, prebacimo članove sa $x$ na jednu stranu i izvučemo $x$ ispred zagrade.
${y = \frac{ax + b}{cx + d}} \;\Rightarrow\; {x = \frac{b - dy}{cy - a}}$
Primeri: $\frac{2x + 1}{x - 3}$, $\frac{x}{x + 1}$
Kvadratne funkcije. Dopunimo do potpunog kvadrata i izvučemo kvadratni koren iz obe strane. Kvadratna funkcija nije injektivna: njena inverzna funkcija ima znak + sa jedne strane temena parabole, a znak − sa druge. I funkcija kao što je ${x + \frac{1}{x}}$ dovodi do kvadratne jednačine.
${ax^2 + bx + c} = {a(x - h)^2 + k}$
Primeri: $x^2 - 4x + 1$, $2x^2 + 8x - 5$, $x + \frac{1}{x}$
Stepeni i koreni. Stepen poništavamo korenom, a koren stepenom. Kvadratni koren nikad nije negativan, pa je inverzna funkcija funkcije $\sqrt{x - 1}$ jednaka ${x^2 + 1}$ samo za ${x \geq 0}$.
${\sqrt[3]{x} = y} \;\Rightarrow\; {x = y^3}$
Primeri: $\sqrt{2x + 3} - 4$, $(x - 1)^3 + 4$
Eksponencijalne i logaritamske funkcije. Logaritmujemo obe strane ili logaritam zapišemo kao stepen.
${a^x = y} \;\Leftrightarrow\; {x = \log_a y}$
Primeri: $3e^{2x - 1} + 4$, $\log_2(x + 3)$, $2^{x - 1} + 3$
Trigonometrijske funkcije. Primenimo inverznu trigonometrijsku funkciju. Ona daje glavnu vrednost, pa se dobija inverzna funkcija restrikcije funkcije $f$ na interval.
${\sin x = y},\; {-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}} \;\Rightarrow\; {x = \arcsin y}$
Primeri: $2\sin 3x + 1$, $\operatorname{arctg} 2x$
Smena. Kada se $x$ javlja više puta, ali uvek u istom izrazu, kao što su $e^x$ ili $\sqrt{x}$, taj izraz označimo sa $u$, izrazimo $u$, a zatim $x$. Primeri: $\frac{e^x - 1}{e^x + 1}$, $e^{2x} - 2e^x$

Još o funkcijama

Logaritam (log, ln), logaritamske formule Uputstvo za crtanje grafika kvadratne funkcije Inverzne hiperboličke funkcije Vežbanje: čitanje grafika funkcije