Kalkulator trougla - rešenje korak po korak

Kako se koristi kalkulator

• U svakom redu „Dato“ izaberite element sa liste i unesite njegovu vrednost. Ako znate manje od tri elementa, ostavite red na „nije dato“.
• Skica pored forme prikazuje svaki dati element sa njegovom vrednošću, a traženi je označen upitnikom. Ona nije u razmeri: u odgovoru je trougao nacrtan u razmeri.
• Vrednost može biti ceo broj, decimalni broj, razlomak kao 7/2 ili koren kao sqrt(3) ili 2*sqrt(3). Uglovi su u stepenima.
• U redu „Traži se“ izaberite element koji vam treba, ili „sve“ da biste dobili sve stranice i uglove, obim i površinu.
• Za rastojanje između dve tačke ili ugao određen sa tri tačke izaberite tačke sa lista koje se pojave. Teme ugla je srednja tačka: $\sphericalangle ATH$ je ugao kod tačke $T$.
• Adresa stranice se menja zajedno sa zadatkom, pa je možete kopirati i poslati rešenje nekome.

Oznake

U trouglu $ABC$ stranica ${a = BC}$ je naspram temena $A$, ${b = AC}$ naspram $B$, a ${c = AB}$ naspram $C$. Uglovi kod temena $A$, $B$ i $C$ su $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$.

Oznaka	Značenje
$h_a$, $t_a$, $s_a$	visina, težišna duž i simetrala ugla iz temena $A$ ka stranici $a$
$P$, $O$, $s$	površina, obim i poluobim ${s = \frac{a + b + c}{2}}$
$R$, $r$	poluprečnici opisane i upisane kružnice
$r_a$	poluprečnik spolja upisane kružnice koja dodiruje stranicu $a$
$T$, $H$, $O$, $I$	težište (presek težišnih duži), ortocentar (presek visina), centar opisane i centar upisane kružnice
$M_a$, $H_a$, $L_a$, $D_a$	na stranici $a$: njeno središte, podnožje visine iz $A$, podnožje simetrale ugla iz $A$ i dodirna tačka upisane kružnice

Kako kalkulator rešava trougao

Trougao ima tri stepena slobode, pa ga tri nezavisna elementa, od kojih je bar jedan dužina, određuju - ponekad na dva načina. Kalkulator radi kao učenik sa spiskom formula.

1. Formule jedna za drugom. Među datim elementima traži formulu u kojoj je poznato sve osim jednog elementa, nalazi taj element i ponavlja dok ne stigne do traženog. Tri stranice daju ugao po kosinusnoj teoremi; dva ugla daju treći; stranica i odgovarajuća visina daju površinu.
2. Nepoznata i jednačina. Kada nijedna formula ne daje direktno novi element - na primer kod dve stranice i poluprečnika upisane kružnice - kalkulator označava jedan element sa $x$, izražava ostale preko $x$, a preostali dati element postaje jednačina po $x$. Jednačina se rešava numerički.
3. Koordinate. Za elemente kao što je ugao $ATH$ nema gotove formule. Kalkulator postavlja trougao u koordinatni sistem, ${A(0; 0)}$, ${B(c; 0)}$, ${C(b\cos\alpha; b\sin\alpha)}$, nalazi tačke i tamo meri rastojanje ili ugao.

Tačne vrednosti kao ${\sqrt{39}}$ ili ${\frac{35\sqrt3}{4}}$ ostaju tačne kad god je moguće, a svaki odgovor se proverava na nacrtanom trouglu.

Formule za rešavanje trougla

Stranice i uglovi

Naziv	Formula
Zbir uglova	${\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ}$
Sinusna teorema	${\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R}$
Kosinusna teorema	${a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha}$
Ugao iz stranica	${\cos\alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}}$

Površina

Poznato	Formula
Stranica i odgovarajuća visina	${P = \frac{a h_a}{2}}$
Dve stranice i ugao između njih	${P = \frac{bc\,\sin\alpha}{2}}$
Tri stranice (Heronov obrazac)	${P = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}}$
Upisana kružnica	${P = sr}$
Opisana kružnica	${P = \frac{abc}{4R}}$

Visine, težišne duži i simetrale uglova

Element	Formula
Visina	${h_a = \frac{2P}{a} = b\,\sin\gamma = c\,\sin\beta}$
Težišna duž	${t_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}}$
Simetrala ugla	${s_a = \frac{2bc\cos\frac{\alpha}{2}}{b + c}}$
Tačka u kojoj simetrala seče stranicu	${BL_a : L_aC = c : b}$

Kružnice i centri

Element	Formula
Poluprečnik upisane kružnice	${r = \frac{P}{s} = (s - a)\,\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}}$
Poluprečnik opisane kružnice	${R = \frac{a}{2\,\sin\alpha} = \frac{abc}{4P}}$
Poluprečnik spolja upisane kružnice	${r_a = \frac{P}{s - a}}$
Rastojanje između centara dve kružnice (Ojlerova formula)	${OI^2 = R^2 - 2Rr}$
Težište	${AT = \frac{2}{3}t_a}$
Ortocentar	${AH = 2R\,|\cos\alpha|}$, ${OH^2 = 9R^2 - (a^2 + b^2 + c^2)}$
Ojlerova prava	$O$, $T$ i $H$ leže na jednoj pravoj i ${TH = 2\,OT}$

Kada je trougao određen?

• Tri stranice određuju trougao kada je svaka kraća od zbira druge dve.
• Dve stranice i ugao između njih ili stranica i dva ugla uvek određuju jedan trougao.
• Dve stranice i ugao naspram jedne od njih mogu dati dva trougla, jedan ili nijedan: dva ugla između $0^\circ$ i $180^\circ$ imaju isti sinus. Kalkulator prikazuje svaki trougao koji odgovara podacima.
• Tri ugla određuju samo oblik. Za veličinu je potrebna bar jedna dužina ili površina.
• Elementi koji zavise jedan od drugog, na primer stranica, naspramni ugao i $R$ (jer je ${a = 2R\sin\alpha}$), računaju se kao dva. Tada vam kalkulator kaže da trougao nije određen ili nalazi ono što podaci određuju.