Kalkulator asimptota - rešenje korak po korak

Unesite funkciju promenljive $x$. Kalkulator određuje njene vertikalne, horizontalne i kose asimptote, korak po korak pokazuje kako se nalaze granične vrednosti koje ih daju i crta grafik funkcije zajedno sa asimptotama.

Kako se unosi funkcija

• Stepeni se pišu sa ^: x^2 je $x^2$, e^(2x) je $e^{2x}$, a 2^x je $2^x$.
• Znak množenja može da se izostavi: 2x, 3(x+1), x e^(1/x). Može i 2*x.
• (x^2+1)/(x-2) je $\frac{x^2+1}{x-2}$: brojilac i imenilac stavite u zagrade.
• sqrt(x) je $\sqrt{x}$, cbrt(x) ili x^(1/3) je $\sqrt[3]{x}$, a root(x, 4) je $\sqrt[4]{x}$.
• ln(x) je prirodni logaritam, log(x) i lg(x) su dekadni logaritam, a log_2(x) je $\log_2 x$.
• sin(x), cos(x), tg(x), ctg(x), arcsin(x), arccos(x), arctg(x), sh(x), ch(x), th(x).
• |x| je apsolutna vrednost, pi je $\pi$, a e je broj $e$.
• Možete da unesete i f(x) = ... ili y = .... Funkcija može da sadrži samo jedno slovo, svoju promenljivu.

Primeri: $\frac{x^2 + 1}{x - 2}$ $\frac{2x^2 - 3x}{x^2 - 4}$ $\frac{x^3}{x^2 - 1}$ $\sqrt{x^2 + 2x}$ $x e^{\frac{1}{x}}$ $\frac{\ln x}{x}$ $\operatorname{arctg} x$ $\operatorname{tg} x$

Kako se određuju asimptote funkcije

Asimptota funkcije je prava kojoj se grafik funkcije neograničeno približava dok odlazi u beskonačnost. Postoje tri vrste asimptota i svaka se određuje graničnim vrednostima.

Vertikalne asimptote

Prava ${x = a}$ je vertikalna asimptota funkcije $f$ ako je bar jedna od jednostranih graničnih vrednosti funkcije $f$ u tački $a$ beskonačna:

Takva tačka ne pripada domenu funkcije $f$, pa proveravamo krajnje tačke domena: nule imenioca, tačke u kojima argument logaritma teži 0, tačke u kojima $\operatorname{tg} x$ nije definisan. Ako je granična vrednost u takvoj tački konačna, prava nije asimptota: funkcija ${f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}}$ ima otklonjivi prekid u tački ${x = 1}$, jer je ${\frac{x^2 - 1}{x - 1} = x + 1}$ za ${x \neq 1}$.

Horizontalne asimptote

Prava ${y = b}$ je horizontalna asimptota kada ${x \to +\infty}$ ako je ${\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = b}$, a kada ${x \to -\infty}$ ako je ${\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = b}$. One mogu biti različite: $\operatorname{arctg} x$ ima horizontalnu asimptotu ${y = \frac{\pi}{2}}$ desno i ${y = -\frac{\pi}{2}}$ levo, a $e^x$ ima asimptotu ${y = 0}$ samo levo.

Kose asimptote

Prava ${y = kx + b}$ sa ${k \neq 0}$ je kosa asimptota kada ${x \to +\infty}$ ako ${f(x) - (kx + b) \to 0}$. Njen koeficijent pravca i slobodni član su dve granične vrednosti:

Obe granične vrednosti moraju biti konačne. Isto važi i kada ${x \to -\infty}$. Horizontalna asimptota je slučaj ${k = 0}$, pa u svakom smeru funkcija ima ili horizontalnu asimptotu, ili kosu, ili nijednu.

Asimptote racionalnih funkcija

Za racionalnu funkciju ${f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}}$ najpre skratimo zajedničke činioce polinoma $P$ i $Q$. Zatim:

• svaka nula $a$ imenioca daje vertikalnu asimptotu ${x = a}$;
• ako je stepen polinoma $P$ manji od stepena polinoma $Q$, horizontalna asimptota je ${y = 0}$;
• ako su stepeni jednaki, horizontalna asimptota je ${y = \frac{a}{b}}$, gde su $a$ i $b$ vodeći koeficijenti polinoma $P$ i $Q$;
• ako je stepen polinoma $P$ za 1 veći od stepena polinoma $Q$, podelimo $P$ sa $Q$: količnik ${kx + b}$ daje kosu asimptotu ${y = kx + b}$;
• ako je stepen polinoma $P$ veći za više od 1, nema horizontalnih ni kosih asimptota.

Na primer, ${\frac{x^2 + 1}{x - 2} = x + 2 + \frac{5}{x - 2}}$, pa su asimptote ${x = 2}$ i ${y = x + 2}$. Racionalna funkcija ima istu horizontalnu ili kosu asimptotu kada ${x \to +\infty}$ i kada ${x \to -\infty}$.

Primeri po vrsti funkcije

Kliknite na primer da biste videli rešenje.

1. Racionalne funkcije. Nule imenioca, stepeni, deljenje. Primeri: $\frac{2x^2 - 3x}{x^2 - 4}$, $\frac{x^2 - 1}{x - 1}$, $\frac{x^3 + 2}{x^2 - 1}$
2. Iracionalne funkcije. Pošto je ${\sqrt{x^2} = |x|}$, koren može da ima jednu asimptotu kada ${x \to +\infty}$ i drugu kada ${x \to -\infty}$.
   ${\sqrt{x^2 + 2x} = |x| \sqrt{1 + \frac{2}{x}}}$
   Primeri: $\sqrt{x^2 + 2x}$, $\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$, $x - \sqrt{x^2 - 4}$
3. Eksponencijalne funkcije. ${e^x \to 0}$ kada ${x \to -\infty}$, a kada ${x \to +\infty}$ raste brže od svakog stepena promenljive $x$. Primeri: $\frac{e^x}{x}$, $\frac{1}{1 + e^x}$, $x e^{\frac{1}{x}}$
4. Logaritamske funkcije. ${\ln x \to -\infty}$ kada ${x \to +0}$, a kada ${x \to +\infty}$ raste sporije od svakog stepena promenljive $x$. Primeri: $\frac{\ln x}{x}$, $\ln\frac{x + 1}{x - 1}$, $\frac{1}{\ln x}$
5. Trigonometrijske funkcije. $\operatorname{tg} x$ ima vertikalne asimptote ${x = \frac{\pi}{2} + k\pi}$, a $\operatorname{arctg} x$ horizontalne asimptote ${y = \pm\frac{\pi}{2}}$. Funkcija koja osciluje, kao $\sin x$, nema graničnu vrednost u beskonačnosti. Primeri: $\operatorname{tg} x$, $x \operatorname{arctg} x$, $\frac{\sin x}{x}$

Još o funkcijama

Uputstvo za crtanje grafika kvadratne funkcije Vežbanje: čitanje grafika funkcije Logaritam (log, ln), logaritamske formule Kalkulator za deljenje polinoma