Kalkulator faktorizacije polinoma - rešenje korak po korak

Unesite polinom sa jednom ili više promenljivih. Kalkulator ga zapisuje kao proizvod činilaca sa celim koeficijentima koji se dalje ne mogu rastaviti i prikazuje rešenje korak po korak.

Rastavi

Kako se unosi polinom

• Stepene pišite sa ^: x^2 je $x^2$, a (x+1)^3 je $(x+1)^3$.
• Znak množenja se može izostaviti: 3xy, 2(x+1), (x+1)(x-2). Može se pisati i 3*x*y.
• Svako slovo je posebna promenljiva, pa xy znači ${x \cdot y}$.
• Koeficijenti mogu biti razlomci ili decimalni brojevi: x^2/4 - 1, 0,5x^2 - 2.
• Zagrade se prvo množe, pa možete proveriti i sopstveno rastavljanje: (x+2)(x+3) - 2.

Primeri: $x^2 - 5x + 6$ $x^4 - 16$ $6x^2 + 7x - 3$ $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ $ax + ay + bx + by$

Za deljenje polinoma koristite kalkulator za deljenje polinoma.

Metode rastavljanja na činioce

Rastaviti polinom na činioce znači zapisati ga kao proizvod polinoma nižeg stepena. Kalkulator koristi iste metode koje se uče u školi, ovim redom. Kliknite na primer da vidite metodu na delu.

1. Zajednički činilac. Ispred zagrade izvlačimo najveći zajednički delilac koeficijenata i najviši stepen svake promenljive koji dele sve članove.
   ${6x^2y - 9xy^2} = {3xy(2x - 3y)}$
   Primer: $3x^3 - 12x$
2. Razlika kvadrata. Zbir kvadrata ${a^2 + b^2}$ ne može se rastaviti na činioce.
   ${a^2 - b^2} = {(a - b)(a + b)}$
   Primer: $x^4 - 16$
3. Potpun kvadrat (kvadrat binoma).
   ${a^2 + 2ab + b^2} = {(a + b)^2}$
   ${a^2 - 2ab + b^2} = {(a - b)^2}$
   Primer: $4x^2 - 12xy + 9y^2$
4. Zbir i razlika kubova.
   ${a^3 + b^3} = {(a + b)(a^2 - ab + b^2)}$
   ${a^3 - b^3} = {(a - b)(a^2 + ab + b^2)}$
   Primer: $8x^3 + 27$
5. Kvadratni trinom. Za ${x^2 + bx + c}$ tražimo dva broja $m$ i $n$ čiji je proizvod $c$, a zbir $b$. Tada je
   ${x^2 + bx + c} = {(x + m)(x + n)}$
   Za ${ax^2 + bx + c}$ tražimo dva broja čiji je proizvod ${a \cdot c}$, a zbir $b$, srednji član zapisujemo kao zbir dva monoma sa tim koeficijentima i rastavljamo grupisanjem. Ako je diskriminanta ${D = b^2 - 4ac}$ negativna ili nije potpun kvadrat, trinom se ne može rastaviti na činioce sa racionalnim koeficijentima.
   Primeri: $x^2 - 5x + 6$, $6x^2 + 7x - 3$, $x^2 + x + 1$
6. Grupisanje. Članove delimo u grupe kod kojih u zagradi ostaje isti činilac.
   ${ax + ay + bx + by} = {a(x + y) + b(x + y)} = {(a + b)(x + y)}$
   Primeri: $x^3 - 2x^2 - 9x + 18$, $x^2 + 2xy + y^2 - z^2$
7. Racionalne nule. Ako polinom sa celim koeficijentima ima racionalnu nulu $\frac{p}{q}$, onda $p$ deli slobodni član, a $q$ deli vodeći koeficijent. Kada je ${x = r}$ nula polinoma, ${x - r}$ je činilac, a deljenjem sa njim (Hornerova šema) ostaje polinom nižeg stepena.
   Primer: $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$
8. Dopuna do potpunog kvadrata. Dodajemo i oduzimamo član da bismo dobili razliku kvadrata.
   ${x^4 + 4} = {(x^4 + 4x^2 + 4) - 4x^2} = {(x^2 + 2)^2 - (2x)^2}$
   Primer: $x^4 + 4$

Činioci imaju racionalne koeficijente. Zato ${x^2 - 2}$ ostaje kako jeste: jednak je ${(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})}$, ali $\sqrt{2}$ nije racionalan broj.

Drugi izvori u vezi sa faktorizacijom

Algebarski izrazi Razlaganje polinoma - zadaci sa rešenjima Uprošćavanje polinoma - zadaci sa rešenjima Uprošćavanje algebarskih izraza - zadaci sa rešenjima Kalkulator za deljenje polinoma