Statistički kalkulator - rešenje korak po korak

Unesite brojeve razdvojene zarezima, razmacima ili svaki u novom redu. Možete nalepiti i kolonu iz Excela. Ako brojevi imaju decimalni zarez, razdvojite ih tačka-zarezom, na primer: 2,5; 3,75; 4

Izračunajte

Koristite $s$ i $s^2$ kada su brojevi uzorak iz veće populacije: zbir kvadrata odstupanja od srednje vrednosti deli se sa $n-1$. Koristite $\sigma$ i $\sigma^2$ kada brojevi čine celu populaciju: zbir se deli sa $n$. Varijansa se naziva i disperzija.

$Q_1$ i $Q_3$ su medijani donje i gornje polovine sortiranih brojeva; kada je $n$ neparan broj, sam medijan ne ulazi ni u jednu polovinu. Tako kvartile računaju TI kalkulatori i mnogi udžbenici; funkcija QUARTILE.INC u Excelu i neke druge metode mogu dati malo drugačije vrednosti. Ekstremne vrednosti su brojevi manji od $Q_1 - 1{,}5 \cdot \text{IQR}$ ili veći od $Q_3 + 1{,}5 \cdot \text{IQR}$.

Formule

Dat je skup od $n$ brojeva $\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$.

Aritmetička sredina

Aritmetička sredina je zbir brojeva podeljen njihovim brojem:

$\bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$

Medijan

Poređajte brojeve od najmanjeg do najvećeg. Ako je $n$ neparan broj, medijan je broj u sredini. Ako je $n$ paran broj, medijan je aritmetička sredina dva broja u sredini. Na primer, medijan brojeva $1, 3, 3, 6, 7, 8, 9$ je $6$, a medijan brojeva $1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9$ je $\dfrac{4 + 5}{2} = 4{,}5$.

Mod

Mod je vrednost koja se pojavljuje najčešće. Modova može biti više – na primer, brojevi $1, 1, 2, 2, 3$ imaju modove $1$ i $2$ – a ako se nijedna vrednost ne ponavlja, mod ne postoji.

Varijansa ili disperzija

Varijansa pokazuje koliko su brojevi rasuti oko svoje aritmetičke sredine: to je prosek kvadrata odstupanja $(x_i - \bar{x})^2$. Za uzorak iz veće populacije deli se sa $n - 1$, a za celu populaciju sa $n$:

$s^2 = \dfrac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n - 1} \qquad \sigma^2 = \dfrac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}$

Standardna devijacija

Standardna devijacija je kvadratni koren varijanse, pa se meri u istim jedinicama kao i brojevi:

$s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}} \qquad \sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}}$

Kvartili i ekstremne vrednosti

Prvi kvartil $Q_1$ je medijan donje polovine sortiranih brojeva, a treći kvartil $Q_3$ je medijan gornje polovine; kada je $n$ neparan broj, medijan ne ulazi ni u jednu polovinu. Interkvartilni raspon je $\text{IQR} = Q_3 - Q_1$. Broj manji od $Q_1 - 1{,}5 \cdot \text{IQR}$ ili veći od $Q_3 + 1{,}5 \cdot \text{IQR}$ naziva se ekstremna vrednost.

Primer

Neka je $X = \{1, -2, 3, 0, 2, 3, 1, -1, 3, 5\}$. Učitaj primer

Broj elemenata je $n = 10$, a njihov zbir je $\sum x_i = 15$, pa je aritmetička sredina $\bar{x} = \dfrac{15}{10} = \dfrac{3}{2} = 1{,}5$.

Sortirano: $-2, -1, 0, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 5$. Pošto je $n$ paran broj, medijan je $\dfrac{1 + 2}{2} = 1{,}5$. Mod je $3$ (pojavljuje se 3 puta), a interval varijacije je $5 - (-2) = 7$.

Odstupanja od aritmetičke sredine i njihovi kvadrati:
$x_i - \bar{x} = -\frac{1}{2}, -\frac{7}{2}, \frac{3}{2}, -\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{5}{2}, \frac{3}{2}, \frac{7}{2}$

$(x_i - \bar{x})^2 = \frac{1}{4}, \frac{49}{4}, \frac{9}{4}, \frac{9}{4}, \frac{1}{4}, \frac{9}{4}, \frac{1}{4}, \frac{25}{4}, \frac{9}{4}, \frac{49}{4}$

$\sum_{i=1}^{10} (x_i - \bar{x})^2 = \dfrac{81}{2}$

Varijansa i standardna devijacija uzorka (deli se sa $n - 1 = 9$):
$s^2 = \dfrac{81}{2 \cdot 9} = \dfrac{81}{18} = \dfrac{9}{2} = 4{,}5 \qquad s = \sqrt{\dfrac{9}{2}} = \dfrac{3}{2}\sqrt{2} \approx 2{,}1213$

Varijansa i standardna devijacija populacije (deli se sa $n = 10$):
$\sigma^2 = \dfrac{81}{2 \cdot 10} = \dfrac{81}{20} = 4{,}05 \qquad \sigma = \sqrt{\dfrac{81}{20}} = \dfrac{9}{10}\sqrt{5} \approx 2{,}0125$

Kvartili: donja polovina je $-2, -1, 0, 1, 1$, pa je $Q_1 = 0$; gornja polovina je $2, 3, 3, 3, 5$, pa je $Q_3 = 3$ i $\text{IQR} = 3$. Granice su $0 - 1{,}5 \cdot 3 = -4{,}5$ i $3 + 1{,}5 \cdot 3 = 7{,}5$, a svi brojevi su između njih, pa nema ekstremnih vrednosti.

Koju srednju vrednost koristiti?

Aritmetička sredina koristi sve brojeve, pa najbolje opisuje podatke kada su brojevi ravnomerno raspoređeni. Međutim, jedan veoma veliki ili veoma mali broj jako je pomera. Medijan zavisi samo od sredine sortiranog niza, pa ga nekoliko krajnjih vrednosti gotovo ne menja. Mod je jedina „srednja vrednost” koja ima smisla i za podatke koji uopšte nisu brojevi, na primer za najomiljeniju boju.

Na primer, devetoro zaposlenih u maloj firmi mesečno zarađuje (u hiljadama) $2;\ 2;\ 2;\ 2{,}5;\ 3;\ 3{,}5;\ 4;\ 4{,}5$ i $20$. Aritmetička sredina je $\dfrac{43{,}5}{9} \approx 4{,}83$ – više nego što zarađuje osmoro od devetoro zaposlenih. Medijan, $3$, mnogo bolje opisuje tipičnu platu, a mod, $2$, je najčešća plata. Kada su podaci ovako asimetrični, navedite medijan.

Zašto delimo sa $n - 1$?

Kada su brojevi uzorak, i njihova aritmetička sredina $\bar{x}$ je izračunata iz tog uzorka, a brojevi iz uzorka su u proseku bliži $\bar{x}$ nego pravoj sredini cele populacije. Zato zbir $\sum (x_i - \bar{x})^2$ ispada malo manji nego što treba, a deljenje sa $n - 1$ umesto sa $n$ to ispravlja: u proseku je $s^2$ jednaka varijansi populacije. To se zove Beselova korekcija.

Može se objasniti i ovako: odstupanja $x_i - \bar{x}$ uvek imaju zbir $0$, pa kada znamo $n - 1$ od njih, poslednje je određeno. Slobodno je samo $n - 1$ odstupanja – kažemo da uzorak ima $n - 1$ stepeni slobode. Za celu populaciju nema šta da se procenjuje, pa se deli sa $n$.

Zadaci za vežbanje

1. Odredite aritmetičku sredinu, medijan i mod brojeva $3, 7, 7, 2, 9, 7, 4$.
   Rešenje

   Sortirano: $2, 3, 4, 7, 7, 7, 9$. Aritmetička sredina je $\dfrac{39}{7} \approx 5{,}57$, medijan je četvrti broj, $7$, a mod je $7$ (pojavljuje se 3 puta).
2. Aritmetička sredina pet brojeva je $12$. Četiri od njih su $10$, $15$, $8$ i $14$. Odredite peti broj.
   Rešenje

   Zbir svih pet brojeva je $5 \cdot 12 = 60$, a zbir četiri poznata broja je $10 + 15 + 8 + 14 = 47$, pa je peti broj $60 - 47 = 13$.
3. Odredite standardnu devijaciju uzorka i populacije za brojeve $4, 8, 6, 2$.
   Rešenje

   $\bar{x} = \dfrac{20}{4} = 5$. Odstupanja su $-1, 3, 1, -3$, a zbir njihovih kvadrata je $1 + 9 + 1 + 9 = 20$. Dakle, $s = \sqrt{\dfrac{20}{3}} \approx 2{,}58$ i $\sigma = \sqrt{\dfrac{20}{4}} = \sqrt{5} \approx 2{,}24$.
4. Odredite kvartile i interkvartilni raspon brojeva $1, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 12, 15$. Ima li ekstremnih vrednosti?
   Rešenje

   $n = 9$ je neparan broj, pa izostavljamo medijan $7$. Donja polovina $1, 3, 4, 6$ daje $Q_1 = \dfrac{3 + 4}{2} = 3{,}5$, a gornja polovina $8, 10, 12, 15$ daje $Q_3 = \dfrac{10 + 12}{2} = 11$, pa je $\text{IQR} = 7{,}5$. Granice su $3{,}5 - 1{,}5 \cdot 7{,}5 = -7{,}75$ i $11 + 1{,}5 \cdot 7{,}5 = 22{,}25$; nijedan broj nije izvan njih, pa nema ekstremnih vrednosti.
5. Pet učenika je uradilo test za $12$, $14$, $13$, $15$ i $61$ minut. Šta bolje opisuje tipično vreme, aritmetička sredina ili medijan?
   Rešenje

   Aritmetička sredina je $\dfrac{115}{5} = 23$ minuta – više nego kod četiri od pet učenika, zbog jednog sporog učenika. Medijan, $14$ minuta, bolje opisuje tipično vreme.

Proverite odgovore pomoću kalkulatora na vrhu stranice.