# Hiperboličke funkcije - sinh, cosh, tgh, ctgh, sech, cosech

#### DEFINICIJE HIPERBOLIČKIH FUNKCIJA

Hiperbiolični sinus x
sinh x = (ex - e-x)/2

Hiperbolički kosinus x
cosh x = (ex + e-x)/2

Hiperbolički tangens x
tgh x = (ex - e-x)/(ex + e-x)

Hiperbolički kotangens x
ctgh x = (ex + e-x)/(ex - e-x)

Hiperbolički sekans x
sech x = 2/(ex + e-x)

Hiperbolički kosekans x
cosech x = 2/(ex - e-x)

#### Odnosi između hiperboličkih funkcija

tgh x = sinh x/cosh x

ctgh x = 1/tgh x = cosh x/sinh x

sech x = 1/cosh x

cosech x = 1/sinh x

cosh2x - sinh2x = 1

sech2x + tgh2x = 1

ctgh2x - cosech2x = 1

#### FUNKCIJE NEGATIVNOG ARGUMENTA

sinh(-x) = -sinh x

cosh(-x) = cosh x

tgh(-x) = -tgh x

cosech(-x) = -cosech x

sech(-x) = sech x

ctgh(-x) = -ctgh x

sinh (x ± y) = sinh x cosh y ± cosh x sinh y

cosh (x ± y) = cosh x cosh y ± sinh x sinh y

tgh(x ± y) = (tgh x ± tgh y)/(1 ± tgh x.tgh y)

ctgh(x ± y) = (ctgh x ctgh y ± l)/(ctgh y ± ctgh x)

#### FUNKCIJE DVOSTRUKOG UGLA

sinh 2x = 2 sinh x cosh x

cosh 2x = cosh2x + sinh2x = 2 cosh2x — 1 = 1 + 2 sinh2x

tgh 2x = (2tgh x)/(1 + tgh2x)

#### FUNKCIJE POLOVINE UGLA

$\sinh \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{\cosh x - 1}{2}}$ [+ if x > 0, - if x < 0]

$\cosh \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{\cosh x + 1}{2}}$

$\text{tgh} \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{\cosh x - 1}{\cosh x + 1}}$ [+ if x > 0, - if x < 0]

$=\frac{sinh(x)}{1 + cosh(x)} = \frac{cosh(x) - 1}{sinh(x)}$

#### FUNKCIJE VIŠESTRUKIH UGLOVA

sinh 3x = 3 sinh x + 4 sinh3 x

cosh 3x = 4 cosh3 x — 3 cosh x

tgh 3x = (3 tgh x + tgh3 x)/(1 + 3 tgh2x)

sinh 4x = 8 sinh3 x cosh x + 4 sinh x cosh x

cosh 4x = 8 cosh4 x — 8 cosh2 x + 1

tgh 4x = (4 tgh x + 4 tgh3 x)/(1 + 6 tgh2 x + tgh4 x)

#### STEPENI HIPERBOLIČKIH FUNKCIJA

sinh2 x = ½cosh 2x — ½

cosh2 x = ½cosh 2x + ½

sinh3 x = ¼sinh 3x — ¾sinh x

cosh3 x = ¼cosh 3x + ¾cosh x

sinh4 x = 3/8 - ½cosh 2x + 1/8cosh 4x

cosh4 x = 3/8 + ½cosh 2x + 1/8cosh 4x

#### ZBIR, RAZLIKA I PROIZVOD HIPERBOLIČKIH FUNKCIJA

sinh x + sinh y = 2 sinh ½(x + y) cosh ½(x - y)

sinh x - sinh y = 2 cosh ½(x + y) sinh ½(x - y)

cosh x + cosh y = 2 cosh ½(x + y) cosh ½(x - y)

cosh x - cosh y = 2 sinh ½(x + y) sinh ½(x — y)

sinh x sinh y =    ½(cosh (x + y) - cosh (x - y))

cosh x cosh y = ½(cosh (x + y) + cosh (x — y))

sinh x cosh y = ½(sinh (x + y) + sinh (x - y))

#### PREDSTAVLJANJE HIPERBOLIČKE FUNKCIJE POMOĆU DRUGIH HIPERBOLIČKIH FUNKCIJA

U nastavku ćemo uzeti da je x > 0. Ako je x < 0 treba koristiti odgovarajući znak kao što je opisano u delu "Funkcije sa negativnim argumentom"

 ~ $sinh x = u$ $cosh x = u$ $tgh x = u$ $ctgh x = u$ $sech x = u$ $cosech x = u$ $sinh x$ $u$ $\sqrt{u^2 - 1}$ $\frac{u}{\sqrt{1 - u^2}}$ $\frac{1}{\sqrt{u^2 - 1}}$ $\frac{\sqrt{1 - u^2}}{u}$ $\frac{1}{u}$ $cosh x$ $\sqrt{1 + u^2}$ $u$ $\frac{1}{\sqrt{1 - u^2}}$ $\frac{u}{\sqrt{u^2 - 1}}$ $\frac{1}{u}$ $\frac{\sqrt{1 + u^2}}{u}$ $tgh x$ $\frac{u}{\sqrt{1 + u^2}}$ $\frac{\sqrt{u^2 - 1}}{u}$ $u$ $\frac{1}{u}$ $\sqrt{1 - u^2}$ $\frac{1}{\sqrt{1 + u^2}}$ $ctgh x$ $\frac{\sqrt{1 + u^2}}{u}$ $\frac{u}{\sqrt{u^2 - 1}}$ $\frac{1}{u}$ $u$ $\frac{1}{\sqrt{1 - u^2}}$ $\sqrt{1 + u^2}$ $sech x$ $\frac{1}{\sqrt{1 + u^2}}$ $\frac{1}{u}$ $\sqrt{1 - u^2}$ $\frac{\sqrt{u^2 - 1}}{u}$ $u$ $\frac{u}{\sqrt{1 + u^2}}$ $cosech x$ $\frac{1}{u}$ $\frac{1}{\sqrt{u^2 - 1}}$ $\frac{\sqrt{1 - u^2}}{u}$ $\sqrt{u^2 - 1}$ $\frac{u}{\sqrt{1 - u^2}}$ $u$

y = sinh x
y = cosh x

y = tgh x
y = ctgh x

y = sech x
y = cosech x

#### INVERZNE HIPERBOLIČKE FUNKCIJE

Ako je x = sinh y, onda je y = arsinh x inverzna funkcija hiperboličkog sinusa a čitamo area sinus hiperbolikus od x. Slično definišemo i ostale inverzne hiperboličke funkcije. Inverzne hiperboličke funkcije imaju više vrednosti pa, kao i u slučaju trigonometrijskih funkcija, radimo restrikciju domena tako da funkcije budu jednoznačne.

Sledeća lista pokazuje osnovne vrednosti [ako nije drugačije naznačeno] inverznih hiperboličkih funkcija u zavisnosti od logaritamskih funkcija sa realnim argumentima.

$\text{arsinh} x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$   $-\infty < x < \infty$

$\text{arcosh} x = \ln(x + \sqrt{x^2 - 1})$   $x \geq l$ [$\cosh^{-1} x > 0$ su osnovne vrednosti]

$\text{artgh} x = \frac{1}{2} \ln\frac{(1 + x)}{(1 - x)}$   $- 1 < x < 1$

$\text{arctgh}^{-1} x = \frac{1}{2} \ln\frac{(x + 1)}{(x - 1)}$   $x > 1$ or $x < -1$

$\text{arsech} x = \ln(\frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2} - 1})$   $0 < x \leq l$ [$\text{sech}^{-1} x > 0$ su osnovne vrednosti]

$\text{arcosech} x = \ln(\frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2} + 1})$   $x \neq 0$

#### VEZE IZMEĐU INVERZNIH HIPERBOLIČKIH FUNKCIJA

arcosech x = arsinh(1/x)

arsech x = arcosh (1/x)

arctgh x = artgh (1/x)

arsinh(-x) = -arsinh x

artgh(-x) = -artgh x

arctgh (-x) = -arctgh x

arcosech (-x) = -arcosech x

y = arsinh x
y = arcosh x

y = artgh x
y = arctgh x

y = arsech x
y = arcosech x

#### VEZE IZMEĐU HIPERBOLIČKIH I TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

 sin(ix) = i sinh x cos(ix) = cosh x tg(ix) = i tgh x cosec(ix) = -i cosech x sec(ix) = sech x ctg(ix) = -i ctgh x sinh(ix) = i sin x cosh(ix) = cos x tgh(ix) = i tg x cosech(ix) = -i cosec x sech(ix) = sec x ctgh(ix) = -i ctg x

#### PERIODIČNOST HIPERBOLIČKIH FUNKCIJA

U narednim jednačinama k je bilo koji ceo broj.

sinh (x + 2kπi) = sinh x     cosech (x + 2kπi) = cosech x

cosh (x + 2kπi) = cosh x     sech (x + 2kπi) = sech x

tgh (x + kπi) = tgh x     ctgh (x + kπi) = ctgh x

#### VEZE IZMEĐU INVERZNIH TRIGONOMETRIJSKIH I INVERZNIH HIPERBOLIČKIH FUNKCIJA

 arcsin (ix) = i arsinh x arsinh(ix) = i arcsin x arccos x = ±i arcosh x arcosh x = ±i arccos x arctg(ix) = i artgh x artgh(ix) = i arctg x arcctg(ix) = -i arctgh x arctgh(ix) = -i arcctg x arcsec x = ±i arsech x arsech x = ±i arcsec x arccosec(ix) = -i arcosech x arcosech(ix) = -i arccosec x

Kontakt imejl: