Hiperboličke funkcije - sinh, cosh, tgh, ctgh, sech, cosech
DEFINICIJE HIPERBOLIČKIH FUNKCIJA
Hiperbiolični sinus x
$\text{sinh}\ x = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2}$
Hiperbolički kosinus x
$\text{cosh}\ x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$
Hiperbolički tangens x
$\text{tgh}\ x = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$
Hiperbolički kotangens x
$\text{ctgh}\ x = \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}$
Hiperbolički sekans x
$\text{sech}\ x = \frac{2}{e^x + e^{-x}}$
Hiperbolički kosekans x
$\text{cosech}\ x = \frac{2}{e^x - e^{-x}}$
Odnosi između hiperboličkih funkcija
$\text{tgh}\ x = \frac{\text{sinh}\ x}{\text{cosh}\ x}$
$\text{ctgh}\ x = \frac{1}{\text{tgh}\ x} = \frac{\text{cosh}\ x}{\text{sinh}\ x}$
$\text{sech}\ x = \frac{1}{\text{cosh}\ x}$
$\text{cosech}\ x = \frac{1}{\text{sinh}\ x}$
$\text{cosh}^2x - \text{sinh}^2x = 1$
$\text{sech}^2x + \text{tgh}^2x = 1$
$\text{ctgh}^2x - \text{cosech}^2x = 1$
FUNKCIJE NEGATIVNOG ARGUMENTA
sinh(-x) = -sinh x
cosh(-x) = cosh x
tgh(-x) = -tgh x
cosech(-x) = -cosech x
sech(-x) = sech x
ctgh(-x) = -ctgh x
ADICIONE FORMULE
sinh (x ± y) = sinh x cosh y ± cosh x sinh y
cosh (x ± y) = cosh x cosh y ± sinh x sinh y
tgh(x ± y) = (tgh x ± tgh y)/(1 ± tgh x.tgh y)
ctgh(x ± y) = (ctgh x ctgh y ± l)/(ctgh y ± ctgh x)
FUNKCIJE DVOSTRUKOG UGLA
sinh 2x = 2 sinh x cosh x
cosh 2x = cosh2x + sinh2x = 2 cosh2x — 1 = 1 + 2 sinh2x
tgh 2x = (2tgh x)/(1 + tgh2x)
FUNKCIJE POLOVINE UGLA
$\sinh \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{\cosh x - 1}{2}}$ [+ if x > 0, - if x < 0]
$\cosh \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{\cosh x + 1}{2}}$
$\text{tgh} \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{\cosh x - 1}{\cosh x + 1}}$ [+ if x > 0, - if x < 0]
$=\frac{sinh(x)}{1 + cosh(x)} = \frac{cosh(x) - 1}{sinh(x)}$
FUNKCIJE VIŠESTRUKIH UGLOVA
sinh 3x = 3 sinh x + 4 sinh3 x
cosh 3x = 4 cosh3 x — 3 cosh x
tgh 3x = (3 tgh x + tgh3 x)/(1 + 3 tgh2x)
sinh 4x = 8 sinh3 x cosh x + 4 sinh x cosh x
cosh 4x = 8 cosh4 x — 8 cosh2 x + 1
tgh 4x = (4 tgh x + 4 tgh3 x)/(1 + 6 tgh2 x + tgh4 x)
STEPENI HIPERBOLIČKIH FUNKCIJA
sinh2 x = ½cosh 2x — ½
cosh2 x = ½cosh 2x + ½
sinh3 x = ¼sinh 3x — ¾sinh x
cosh3 x = ¼cosh 3x + ¾cosh x
sinh4 x = 3/8 - ½cosh 2x + 1/8cosh 4x
cosh4 x = 3/8 + ½cosh 2x + 1/8cosh 4x
ZBIR, RAZLIKA I PROIZVOD HIPERBOLIČKIH FUNKCIJA
sinh x + sinh y = 2 sinh ½(x + y) cosh ½(x - y)
sinh x - sinh y = 2 cosh ½(x + y) sinh ½(x - y)
cosh x + cosh y = 2 cosh ½(x + y) cosh ½(x - y)
cosh x - cosh y = 2 sinh ½(x + y) sinh ½(x — y)
sinh x sinh y = ½(cosh (x + y) - cosh (x - y))
cosh x cosh y = ½(cosh (x + y) + cosh (x — y))
sinh x cosh y = ½(sinh (x + y) + sinh (x - y))
PREDSTAVLJANJE HIPERBOLIČKE FUNKCIJE POMOĆU DRUGIH HIPERBOLIČKIH FUNKCIJA
U nastavku ćemo uzeti da je x > 0. Ako je x < 0 treba koristiti odgovarajući znak kao što je opisano u delu "Funkcije sa negativnim argumentom"
GRAFICI HIPERBOLIČKIH FUNKCIJA
INVERZNE HIPERBOLIČKE FUNKCIJE
Ako je x = sinh y, onda je y = arsinh x inverzna funkcija hiperboličkog sinusa a čitamo area sinus hiperbolikus od x. Slično definišemo i ostale inverzne hiperboličke funkcije. Inverzne hiperboličke funkcije imaju više vrednosti pa, kao i u slučaju trigonometrijskih funkcija, radimo restrikciju domena tako da funkcije budu jednoznačne.
Sledeća lista pokazuje osnovne vrednosti [ako nije drugačije naznačeno] inverznih hiperboličkih funkcija u zavisnosti od logaritamskih funkcija sa realnim argumentima.
$\text{arsinh} x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$ $-\infty < x < \infty$
$\text{arcosh} x = \ln(x + \sqrt{x^2 - 1})$ $x \geq l$ [$\cosh^{-1} x > 0$ su osnovne vrednosti]
$\text{artgh} x = \frac{1}{2} \ln\frac{(1 + x)}{(1 - x)}$ $- 1 < x < 1$
$\text{arctgh}^{-1} x = \frac{1}{2} \ln\frac{(x + 1)}{(x - 1)}$ $x > 1$ or $x < -1$
$\text{arsech} x = \ln(\frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2} - 1})$ $0 < x \leq l$ [$\text{sech}^{-1} x > 0$ su osnovne vrednosti]
$\text{arcosech} x = \ln(\frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2} + 1})$ $x \neq 0$
VEZE IZMEĐU INVERZNIH HIPERBOLIČKIH FUNKCIJA
arcosech x = arsinh(1/x)
arsech x = arcosh (1/x)
arctgh x = artgh (1/x)
arsinh(-x) = -arsinh x
artgh(-x) = -artgh x
arctgh (-x) = -arctgh x
arcosech (-x) = -arcosech x
GRAFICI INVERZNIH HIPERBOLIČKIH FUNKCIJA
VEZE IZMEĐU HIPERBOLIČKIH I TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
PERIODIČNOST HIPERBOLIČKIH FUNKCIJA
U narednim jednačinama k je bilo koji ceo broj.
sinh (x + 2kπi) = sinh x cosech (x + 2kπi) = cosech x
cosh (x + 2kπi) = cosh x sech (x + 2kπi) = sech x
tgh (x + kπi) = tgh x ctgh (x + kπi) = ctgh x