Sferni trougao

Sferni trougao ABC se nalazi na površini sfere kako je prikazano na figurama.

Stranice a, b, c (koje su lukovi velikih kružnica) mere se uglovima čija su temena u centru sfere O.
A, B, C su uglovi naspramnih stranica a, b, c respektivno.

Površina sfernog trougla $ABC = (A + B + C - \pi)R^2$
gde je R poluprečnik sfere.

Odnos između stranca i uglova sfernog trougla

Sinusna teorema
$\frac{\sin a}{\sin A} = \frac{\sin b}{\sin B} = \frac{\sin c}{\sin C}$

Kosinusna teorema
cos a = cos b ⋅ cos c + sin b ⋅ sin c ⋅ cos A
cos A = - cos B ⋅ cos C + sin B ⋅ sin C ⋅ cos a
Analogne jednačine važe za druge stranice i uglove.

Tangensna teorema
$\frac{\tg(\frac{A + B}{2})}{\tg(\frac{A - B}{2})}=\frac{\tg(\frac{a + b}{2})}{\tg(\frac{a - b}{2})}$

sa analognim jednačinama za druge stranice i uglove.
$\cos\frac{A}{2}=\sqrt{\frac{\sin s \ \sin(s - c)}{\sin b \ \sin c}}$

gde je $s = \frac{a + b + c}{2}$.

Analogne jednačine važe i za druge stranice i uglove.
$\cos\frac{a}{2}=\sqrt{\frac{\cos(S - B) \cos(S - C)}{\sin B \ \sin C}}$

gde je $S = \frac{A + B + C}{2}$.
sa analognim jednačinama koje važe druge stranice i uglove.

Napierova pravila za prav ugao sfernog trougla

Osim za prav ugao C, postoji pet delova sfernog trougla ABC koji ako su poređani kao na slici Fig.5-19 bi bili a, b, A, c, B.

Zamislimo da su date veličine poređane u kružnicu kao na slici Fig. 5 - 20 gde dodajemo prefiks co (indikativni komplement) hipotenuzi c i uglovima A and B.

Bilo koji deo ove kružnice se naziva srednji deo, dva okolna dela se nazivaju susedni delovi, a preostali delovi se nazivaju suprotni delovi.

Napierova pravila su

Sinus bilo kog srednjeg dela jednak je proizvodu tangensa susednih delova.

Sinus bilo kog srednjeg dela jednak je proizvodu kosinusa suprotnih delova.

Primer:
Ako je co-A = 90° - A, co-B = 90° - B, imamo da je
sin a = tan b ⋅ tg(co-B)   ili   sin a = tan b ⋅ ctg B
sin(co-A) = cos a ⋅ cos(co-B)   ili   cos A = cos a ⋅ sin B.


Kontakt imejl:

Copyright © 2005 - 2019