Matrične jednačine

U jednačini ${3x=6}$ nepoznata je broj, a nalazimo ga deljenjem sa 3. U matričnoj jednačini nepoznata je matrica $X,$ kao u ${AX=B}$ ili ${XA=B}.$ Matrice se ne mogu deliti, ali kada $A$ ima inverznu matricu, umesto deljenja možemo množiti sa ${A^{-1}},$ pri čemu je važno da množimo sa ispravne strane. U ovoj lekciji naučićete kako se rešavaju jednačine ${AX=B},$ ${XA=B}$ i ${AXB=C},$ kako se $X$ određuje Gaus–Žordanovim metodom bez računanja inverzne matrice, šta se dešava kada je ${\det A=0}$ i kako se rešavaju jednačine kao što je ${2X-A=B}.$

Na ovoj stranici: Definicija · AX = B · XA = B · AXB = C · Gaus–Žordanov metod · Kada je det A = 0 · Druge jednačine · Rešeni zadaci · Zadaci za vežbu

Šta je matrična jednačina?

Alati su oni iz prethodnih lekcija: proizvod matrica, determinanta i inverzna matrica. Glavna razlika u odnosu na jednačine sa brojevima je to što množenje matrica nije komutativno, pa uvek moramo paziti sa koje strane stoji koja matrica.

Primer. Svaki sistem linearnih jednačina je matrična jednačina. Sistem

$$\begin{cases}2x+y=3\\5x+3y=4\end{cases}$$

jeste jednačina ${AX=B}$ sa matricom koeficijenata $A,$ kolonom nepoznatih $X$ i kolonom slobodnih članova $B\text{:}$

$$\begin{pmatrix}2&1\\5&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}$$

Ovde je nepoznata $X$ matrica dimenzije 2×1. Rešenje ove jednačine, ${x=5}$ i ${y=-7},$ određeno je pomoću inverzne matrice u lekciji o inverznoj matrici.

Zašto je važno sa koje strane množimo

Za brojeve važi ${ab=ba},$ a za matrice je u opštem slučaju ${AB\ne BA}.$ Zbog toga matrična jednačina ostaje tačna samo ako obe strane pomnožimo istom matricom sa iste strane. Posmatrajmo jednačinu ${AX=B}\text{:}$

• množenjem sa ${A^{-1}}$ sleva dobijamo ${A^{-1}AX=A^{-1}B}.$ To je tačno i korisno, jer proizvod ${A^{-1}A=I}$ stoji odmah pored $X;$
• množenjem sa ${A^{-1}}$ zdesna dobijamo ${AXA^{-1}=BA^{-1}}.$ I to je tačno, ali beskorisno: $X$ je i dalje između $A$ i ${A^{-1}},$ a ${AXA^{-1}}$ u opštem slučaju nije $X;$
• ${A^{-1}AX=BA^{-1}}$ je pogrešno: leva strana je pomnožena sleva, a desna zdesna.

Dakle, matricu koja stoji levo od $X,$ uklanjamo množenjem njenom inverznom matricom sleva, a matricu koja stoji desno od $X,$ uklanjamo množenjem njenom inverznom matricom zdesna.

Jednačina AX = B, gde je A regularna matrica

Neka je $A$ regularna kvadratna matrica reda $n,$ tj. ${\det A\ne 0}$ (videti kada postoji inverzna matrica). Obe strane jednačine ${AX=B}$ množimo sa ${A^{-1}}$ sleva:

$$A^{-1}(AX)=A^{-1}B$$

Množenje matrica je asocijativno, pa činioce na levoj strani smemo drugačije grupisati, a pri tome je ${A^{-1}A=I_n}\text{:}$

$$(A^{-1}A)X=A^{-1}B$$ $$I_nX=A^{-1}B$$

Drugog rešenja nema, jer prethodni koraci pokazuju da je svako rešenje jednako ${A^{-1}B}.$ Matrica ${A^{-1}B}$ zaista jeste rešenje: ${A(A^{-1}B)}={(AA^{-1})B}={IB}={B}.$

Primer 1. Rešite jednačinu $\begin{pmatrix}1&3\\2&5\end{pmatrix}X=\begin{pmatrix}3&5\\2&1\end{pmatrix}.$

Ovde je ${A=\begin{pmatrix}1&3\\2&5\end{pmatrix}}$ i ${B=\begin{pmatrix}3&5\\2&1\end{pmatrix}}.$ Najpre proveravamo da li je $A$ regularna:

${\det A=1\cdot5-3\cdot2=-1}$

Determinanta nije 0, pa ${A^{-1}}$ postoji. Prema formuli za inverznu matricu matrice 2×2,

$A^{-1}=\frac{1}{-1}\begin{pmatrix}5&-3\\-2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5&3\\2&-1\end{pmatrix}$

Sada množimo tako da ${A^{-1}}$ stoji levo:

$X=A^{-1}B=\begin{pmatrix}-5&3\\2&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&5\\2&1\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}-15+6&-25+3\\6-2&10-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-9&-22\\4&9\end{pmatrix}$

Kalkulator matrica rešava ovu jednačinu korak po korak.

Provera rešenja

Lako je pogrešiti znak u inverznoj matrici ili u proizvodu, ali je grešku isto tako lako otkriti: rešenje uvrstimo u jednačinu. Množimo istim redosledom kao u jednačini: za ${AX=B}$ računamo $AX,$ a ne $XA.$ Za primer 1:

$AX=\begin{pmatrix}1&3\\2&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-9&-22\\4&9\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}-9+12&-22+27\\-18+20&-44+45\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&5\\2&1\end{pmatrix}$

To je $B,$ pa je rešenje tačno. Provera zahteva samo jedno množenje, pa je vredi uraditi svaki put.

Primer 2. Rešite jednačinu ${AX=B}$ ako je ${A=\begin{pmatrix}2&1\\5&3\end{pmatrix}}$ i ${B=\begin{pmatrix}1&0&2\\3&1&4\end{pmatrix}}.$

$A$ je dimenzije 2×2, a $B$ dimenzije 2×3, pa $X$ mora biti matrica 2×3: proizvod matrice 2×2 i matrice 2×3 je matrica 2×3. Determinanta je ${\det A=2\cdot3-1\cdot5=1},$ a inverzna matrica je

$$A^{-1}=\begin{pmatrix}3&-1\\-5&2\end{pmatrix}$$

$X=A^{-1}B=\begin{pmatrix}3&-1\\-5&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&2\\3&1&4\end{pmatrix}$

${=\begin{pmatrix}3-3&0-1&6-4\\-5+6&0+2&-10+8\end{pmatrix}}$

${=\begin{pmatrix}0&-1&2\\1&2&-2\end{pmatrix}}$

Provera.

$AX=\begin{pmatrix}2&1\\5&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-1&2\\1&2&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&2\\3&1&4\end{pmatrix}$

Jednačina ${AX=B}$ u kojoj $B$ ima tri kolone predstavlja odjednom tri sistema jednačina sa istom matricom $A\text{:}$ prva kolona matrice $X$ je rešenje sistema čiji su slobodni članovi prva kolona matrice $B,$ i tako redom.

Jednačina XA = B, gde je A regularna matrica

Sada nepoznata stoji levo od $A.$ Obe strane množimo sa ${A^{-1}}$ zdesna:

$$(XA)A^{-1}=BA^{-1}$$ $$X(AA^{-1})=BA^{-1}$$ $$XI_n=BA^{-1}$$

Uporedite ova dva pravila: iz ${AX=B}$ sledi ${X=A^{-1}B},$ a iz ${XA=B}$ sledi ${X=BA^{-1}}.$ Inverzna matrica stoji u odnosu na $B$ sa iste strane sa koje $A$ stoji u odnosu na $X.$ Proizvodi ${A^{-1}B}$ i ${BA^{-1}}$ su u opštem slučaju različiti, pa ove dve jednačine imaju različita rešenja čak i za iste matrice $A$ i $B.$

Primer 3. Rešite jednačinu $X\begin{pmatrix}1&3\\2&5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&5\\2&1\end{pmatrix}.$

Matrice su iste kao u primeru 1, ali $X$ sada stoji levo. Iz primera 1 znamo da je ${\det A=-1}$ i

$$A^{-1}=\begin{pmatrix}-5&3\\2&-1\end{pmatrix}$$

Ovog puta ${A^{-1}}$ stavljamo desno:

$X=BA^{-1}=\begin{pmatrix}3&5\\2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-5&3\\2&-1\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}-15+10&9-5\\-10+2&6-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5&4\\-8&5\end{pmatrix}$

Provera. Za ${XA=B}$ računamo $XA\text{:}$

$XA=\begin{pmatrix}-5&4\\-8&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&3\\2&5\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}-5+8&-15+20\\-8+10&-24+25\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&5\\2&1\end{pmatrix}$

Rešenje se razlikuje od rešenja $\begin{pmatrix}-9&-22\\4&9\end{pmatrix}$ iz primera 1. Isti primer možete videti u kalkulatoru matrica.

Primer 4. Rešite jednačinu ${XA=B}$ ako je ${A=\begin{pmatrix}2&1\\5&3\end{pmatrix}}$ i ${B=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\\4&3\end{pmatrix}}.$

$B$ je dimenzije 3×2, pa je i $X$ dimenzije 3×2. Inverznu matricu matrice $A$ odredili smo u primeru 2: ${A^{-1}=\begin{pmatrix}3&-1\\-5&2\end{pmatrix}}.$

$X=BA^{-1}=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\\4&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&-1\\-5&2\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}3-10&-1+4\\0-5&0+2\\12-15&-4+6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-7&3\\-5&2\\-3&2\end{pmatrix}$

Provera.

$XA=\begin{pmatrix}-7&3\\-5&2\\-3&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1\\5&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\\4&3\end{pmatrix}$

Primetite da proizvod ${A^{-1}B}$ ovde uopšte ne postoji: ${A^{-1}}$ ima 2 kolone, a $B$ ima 3 vrste. Množenje sa pogrešne strane može dati ne samo pogrešan rezultat, nego i nikakav.

Dimenzija nepoznate matrice

U primerima 2 i 4 dimenzija matrice $X$ sledila je iz dimenzija matrica $A$ i $B,$ jer proizvod dve matrice postoji samo kada prva ima onoliko kolona koliko druga ima vrsta.

Primer. U primeru 2 matrica $A$ je dimenzije 2×2, matrica $B$ dimenzije 2×3, a rešenje $X$ jednačine ${AX=B}$ je matrica 2×3. Sa istim matricama jednačina ${XA=B}$ uopšte nema rešenja: kad god proizvod $XA$ postoji, on ima 2 kolone, kao i $A,$ a $B$ ima 3 kolone.

Pravilo za ${AX=B}$ važi i kada $A$ nije kvadratna: ako je $A$ dimenzije ${m\times n},$ a $B$ dimenzije ${m\times p},$ onda $X$ mora biti dimenzije ${n\times p}.$ Kod takvih jednačina ne možemo koristiti inverznu matricu, pa se one rešavaju kao sistemi linearnih jednačina.

Jednačina AXB = C

Kada $X$ stoji između dve matrice, uklanjamo ih jednu po jednu: $A$ pomoću ${A^{-1}}$ sleva, a $B$ pomoću ${B^{-1}}$ zdesna. Za to i $A$ i $B$ moraju biti regularne.

$$A^{-1}(AXB)B^{-1}=A^{-1}CB^{-1}$$

Na levoj strani je ${A^{-1}A=I}$ i ${BB^{-1}=I},$ pa ostaje samo $X.$

${A^{-1}}$ mora ostati levo od $C,$ a ${B^{-1}}$ desno. Nije važno koji od dva proizvoda računate prvi, jer je množenje matrica asocijativno: ${(A^{-1}C)B^{-1}}={A^{-1}(CB^{-1})}.$

Primer 5. Rešite jednačinu ${AXB=C}$ ako je ${A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}},$ ${B=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}}$ i ${C=\begin{pmatrix}4&7\\3&5\end{pmatrix}}.$

Obe determinante su jednake 1: ${\det A=2\cdot1-1\cdot1=1}$ i ${\det B=1\cdot1-2\cdot0=1}.$ Inverzne matrice su ${A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}}$ i ${B^{-1}=\begin{pmatrix}1&-2\\0&1\end{pmatrix}}.$ Najpre matricu $C$ množimo sa ${A^{-1}}$ sleva:

$A^{-1}C=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4&7\\3&5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}$

Zatim dobijeni rezultat množimo sa ${B^{-1}}$ zdesna:

$X=\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-2\\0&1\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}1&-2+2\\2&-4+3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\2&-1\end{pmatrix}$

Provera. Množimo redosledom iz jednačine, najpre $AX,$ a zatim ${(AX)B}\text{:}$

$AX=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\2&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&-1\\3&-1\end{pmatrix}$

$AXB=\begin{pmatrix}4&-1\\3&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&7\\3&5\end{pmatrix}$

To je $C.$

Rešavanje jednačine AX = B Gaus–Žordanovim metodom

Da bismo rešili ${AX=B},$ nije nam potrebna sama matrica ${A^{-1}},$ već samo proizvod ${A^{-1}B}.$ Gaus–Žordanov metod daje taj proizvod direktno. Matrice $A$ i $B$ pišemo jednu pored druge kao jednu proširenu matricu ${(A\,|\,B)}$ i menjamo je transformacijama vrsta koje znamo iz lekcije o inverznoj matrici:

• zamena mesta dve vrste: ${V_i\leftrightarrow V_j};$
• množenje vrste brojem ${k\ne 0}\text{:}$ ${V_i\to kV_i};$
• dodavanje jednoj vrsti druge vrste pomnožene brojem: ${V_i\to V_i+kV_j}.$

Zašto metod daje tačan rezultat: svaka transformacija vrsta je množenje sleva nekom regularnom matricom $E.$ Ako transformacije svode $A$ na $I,$ tj. ${E_k\cdots E_2E_1A=I},$ onda je ${E_k\cdots E_2E_1=A^{-1}},$ pa desna polovina postaje ${E_k\cdots E_2E_1B=A^{-1}B=X}.$ Određivanje inverzne matrice Gaus–Žordanovim metodom je specijalan slučaj ${B=I}.$

Primer 6. Rešite jednačinu ${AX=B}$ ako je ${A=\begin{pmatrix}1&2&1\\2&5&3\\1&3&3\end{pmatrix}}$ i ${B=\begin{pmatrix}1&3\\3&7\\4&5\end{pmatrix}}.$

$X$ će biti matrica 3×2. Pišemo proširenu matricu ${(A\,|\,B)}\text{:}$

$$\left(\begin{array}{ccc|cc}1&2&1&1&3\\2&5&3&3&7\\1&3&3&4&5\end{array}\right)$$

Nule ispod jedinice u prvoj koloni: ${V_2\to V_2-2V_1}$ i ${V_3\to V_3-V_1}.$

$$\left(\begin{array}{ccc|cc}1&2&1&1&3\\0&1&1&1&1\\0&1&2&3&2\end{array}\right)$$

Nula ispod jedinice u drugoj koloni: ${V_3\to V_3-V_2}.$

$$\left(\begin{array}{ccc|cc}1&2&1&1&3\\0&1&1&1&1\\0&0&1&2&1\end{array}\right)$$

Sada idemo odozdo naviše. Nule iznad jedinice u trećoj koloni: ${V_2\to V_2-V_3}$ i ${V_1\to V_1-V_3}.$

$$\left(\begin{array}{ccc|cc}1&2&0&-1&2\\0&1&0&-1&0\\0&0&1&2&1\end{array}\right)$$

Nula iznad jedinice u drugoj koloni: ${V_1\to V_1-2V_2}.$

$$\left(\begin{array}{ccc|cc}1&0&0&1&2\\0&1&0&-1&0\\0&0&1&2&1\end{array}\right)$$

Leva polovina je $I_3,$ pa je desna polovina rešenje:

$$X=\begin{pmatrix}1&2\\-1&0\\2&1\end{pmatrix}$$

Provera.

$AX=\begin{pmatrix}1&2&1\\2&5&3\\1&3&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\-1&0\\2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&3\\3&7\\4&5\end{pmatrix}$

Matricu ${A^{-1}}$ uopšte nismo računali. Da smo najpre odredili inverznu matricu, morali bismo da izračunamo još devet brojeva, a zatim i još jedan proizvod. Kalkulator matrica prikazuje iste korake.

Jednačina XA = B Gaus–Žordanovim metodom

Kod jednačine ${XA=B}$ transformacije bi morale da deluju na kolone umesto na vrste. Jednostavnije je transponovati jednačinu. Transponovani proizvod jednak je proizvodu transponovanih matrica obrnutim redosledom, ${(XA)^T=A^TX^T},$ pa je ${XA=B}$ isto što i

$$A^TX^T=B^T$$

To je jednačina tipa ${AX=B}$ sa nepoznatom $X^T.$ Rešavamo je pomoću ${(A^T\,|\,B^T)}$ i dobijeni rezultat transponujemo.

Primer 7. Rešite jednačinu $X\begin{pmatrix}1&2\\1&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&8\\1&3\end{pmatrix}$ Gaus–Žordanovim metodom.

Transponovana jednačina je ${A^TX^T=B^T},$ gde je ${A^T=\begin{pmatrix}1&1\\2&3\end{pmatrix}}$ i ${B^T=\begin{pmatrix}3&1\\8&3\end{pmatrix}}.$

$$\left(\begin{array}{cc|cc}1&1&3&1\\2&3&8&3\end{array}\right)$$

${V_2\to V_2-2V_1}\text{:}$

$$\left(\begin{array}{cc|cc}1&1&3&1\\0&1&2&1\end{array}\right)$$

${V_1\to V_1-V_2}\text{:}$

$$\left(\begin{array}{cc|cc}1&0&1&0\\0&1&2&1\end{array}\right)$$

Dakle, ${X^T=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}},$ pa je

$$X=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$$

Provera.

$XA=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\1&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&8\\1&3\end{pmatrix}$

Šta ako je det A = 0?

Ako je ${\det A=0},$ formula ${X=A^{-1}B}$ se ne može primeniti, jer ${A^{-1}}$ ne postoji. Sama jednačina ipak može imati rešenja. Gaus–Žordanov metod primenjen na ${(A\,|\,B)}$ pokazuje šta se dešava: levu polovinu nije moguće svesti na $I,$ jer se u njoj pojavljuje vrsta od samih nula.

Isto važi i za ${XA=B}$ (transponujte je). Izraženo pomoću ranga: jednačina ${AX=B}$ ima rešenje tačno onda kada je ${\operatorname{rang}A}$ jednak rangu matrice ${(A\,|\,B)},$ kao kod sistema linearnih jednačina.

Primer 8. Rešite jednačinu $\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}X=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}.$

${\det A=1\cdot4-2\cdot2=0},$ pa $A$ nema inverznu matricu. Svodimo ${(A\,|\,B)}\text{:}$

$$\left(\begin{array}{cc|cc}1&2&1&2\\2&4&3&4\end{array}\right)$$

${V_2\to V_2-2V_1}\text{:}$

$$\left(\begin{array}{cc|cc}1&2&1&2\\0&0&1&0\end{array}\right)$$

Neka je ${X=\begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}\\x_{21}&x_{22}\end{pmatrix}}.$ Za prvu kolonu matrice $X$ druga vrsta daje ${0\cdot x_{11}+0\cdot x_{21}=1},$ što je nemoguće. Jednačina nema rešenja.

To se vidi i bez transformacija vrsta: druga vrsta matrice $A$ jednaka je prvoj pomnoženoj sa 2, pa je u svakom proizvodu $AX$ druga vrsta jednaka prvoj pomnoženoj sa 2. U matrici $B$ druga vrsta nije jednaka prvoj pomnoženoj sa 2.

Primer 9. Rešite jednačinu $\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}X=\begin{pmatrix}3&1\\6&2\end{pmatrix}.$

$$\left(\begin{array}{cc|cc}1&2&3&1\\2&4&6&2\end{array}\right)$$

${V_2\to V_2-2V_1}\text{:}$

$$\left(\begin{array}{cc|cc}1&2&3&1\\0&0&0&0\end{array}\right)$$

Druga vrsta se sastoji od samih nula. Ona daje ${0=0}$ i ne postavlja nikakav uslov, pa ostaje samo prva vrsta. Za prvu kolonu matrice $X$ ona daje ${x_{11}+2x_{21}=3},$ a za drugu kolonu ${x_{12}+2x_{22}=1}.$ Slobodno biramo ${x_{21}=s}$ i ${x_{22}=t}$ i dobijamo ${x_{11}=3-2s}$ i ${x_{12}=1-2t}\text{:}$

$$X=\begin{pmatrix}3-2s&1-2t\\s&t\end{pmatrix}$$

za bilo koje brojeve $s$ i $t.$ Jednačina ima beskonačno mnogo rešenja. Na primer, za ${s=t=0}$ dobijamo $\begin{pmatrix}3&1\\0&0\end{pmatrix},$ a za ${s=1},$ ${t=0}$ dobijamo $\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}.$ Proverimo drugo rešenje:

$\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+2&1+0\\2+4&2+0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&1\\6&2\end{pmatrix}$

Jednačine oblika AX + B = C i 2X − A = B

Matrične jednačine mogu sadržati i zbirove i brojne činioce. Rešavaju se kao linearne jednačine sa brojevima, pri čemu treba paziti na redosled činilaca:

• Sabirak prelazi na drugu stranu sa suprotnim znakom: iz ${X+A=B}$ sledi ${X=B-A}.$ Sabiranje matrica je komutativno, pa ovde strana nije važna.
• Brojni činilac uklanjamo deljenjem: iz ${kX=B}$ sledi ${X=\frac{1}{k}B}$ za ${k\ne 0}.$
• Matrični činilac uklanjamo samo pomoću njegove inverzne matrice, sa njegove strane, i to tek pošto ostale sabirke prebacimo na drugu stranu.
• Kada matricu $X$ izdvajamo iz dva sabirka, ona ostaje na svojoj strani, a broj 1 postaje jedinična matrica $I\text{:}$ ${AX+X=(A+I)X}$ i ${XA+X=X(A+I)}.$

Primer 10. Rešite jednačinu ${2X-A=B}$ ako je ${A=\begin{pmatrix}1&4\\-3&2\end{pmatrix}}$ i ${B=\begin{pmatrix}5&-2\\1&0\end{pmatrix}}.$

Matricu $A$ prebacujemo na desnu stranu, a zatim delimo sa 2:

$2X=A+B=\begin{pmatrix}1+5&4-2\\-3+1&2+0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6&2\\-2&2\end{pmatrix}$

$X=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}6&2\\-2&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&1\\-1&1\end{pmatrix}$

Provera.

$2X-A=\begin{pmatrix}6&2\\-2&2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&4\\-3&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&-2\\1&0\end{pmatrix}$

Primer 11. Rešite jednačinu ${AX+B=C}$ ako je ${A=\begin{pmatrix}2&1\\5&3\end{pmatrix}},$ ${B=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}}$ i ${C=\begin{pmatrix}4&1\\9&3\end{pmatrix}}.$

Najpre prebacujemo $B\text{:}$ ${AX=C-B}.$ Zatim množimo sa ${A^{-1}}$ sleva: ${X=A^{-1}(C-B)}.$

$C-B=\begin{pmatrix}4-1&1-0\\9-2&3-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&1\\7&2\end{pmatrix}$

Iz primera 2 znamo da je ${A^{-1}=\begin{pmatrix}3&-1\\-5&2\end{pmatrix}},$ pa je

$X=\begin{pmatrix}3&-1\\-5&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&1\\7&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9-7&3-2\\-15+14&-5+4\end{pmatrix}$

${=\begin{pmatrix}2&1\\-1&-1\end{pmatrix}}$

Provera.

$AX+B=\begin{pmatrix}3&1\\7&2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&1\\9&3\end{pmatrix}$

Primer 12. Rešite jednačinu ${AX=X+B}$ ako je ${A=\begin{pmatrix}2&1\\3&3\end{pmatrix}}$ i ${B=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}}.$

Sabirke sa $X$ prebacujemo na levu stranu: ${AX-X=B}.$ U oba sabirka $X$ stoji desno, pa ga izdvajamo udesno, a 1 postaje $I\text{:}$ ${(A-I)X=B}.$ Zapis ${A-1}$ ne bi imao smisla, jer se broj ne može oduzeti od matrice.

$A-I=\begin{pmatrix}2-1&1\\3&3-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\3&2\end{pmatrix}$

Njena determinanta je ${1\cdot2-1\cdot3=-1},$ pa je

$(A-I)^{-1}=\frac{1}{-1}\begin{pmatrix}2&-1\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\3&-1\end{pmatrix}$

$X=(A-I)^{-1}B=\begin{pmatrix}-2&1\\3&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\1&-1\end{pmatrix}$

Provera. $AX$ i ${X+B}$ moraju biti jednaki:

$AX=\begin{pmatrix}2&1\\3&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\3&0\end{pmatrix}$

$X+B=\begin{pmatrix}0&1\\1&-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\3&0\end{pmatrix}$

Rešeni zadaci

Zadatak 1. $A$ je regularna matrica 3×3, a $B$ matrica 3×2. Koje je dimenzije $X$ u jednačini ${AX=B}?$ Da li se jednačina ${XA=B}$ može rešiti?

Rešenje: U jednačini ${AX=B}$ matrica $X$ ima dimenziju matrice $B,$ tj. 3×2, a rešenje ${X=A^{-1}B}$ postoji jer je $A$ regularna. U jednačini ${XA=B}$ svaki proizvod $XA$ ima onoliko kolona koliko i $A,$ tj. 3, a $B$ ima 2 kolone. Zato jednačina ${XA=B}$ nema rešenja.

Zadatak 2. Rešite jednačinu $X\begin{pmatrix}2&1\\3&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&3\end{pmatrix}.$

Rešenje: $B$ je matrica-vrsta dimenzije 1×2, pa je i $X$ matrica-vrsta dimenzije 1×2. Determinanta je ${2\cdot2-1\cdot3=1},$ a ${A^{-1}=\begin{pmatrix}2&-1\\-3&2\end{pmatrix}}.$

$X=BA^{-1}=\begin{pmatrix}5&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&-1\\-3&2\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}10-9&-5+6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\end{pmatrix}$

Provera: ${1\cdot2+1\cdot3=5}$ i ${1\cdot1+1\cdot2=3}.$ Za ${X=\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}}$ ova jednačina je sistem ${2x+3y=5},$ ${x+2y=3}.$

Zadatak 3. Za koje vrednosti $k$ jednačina $\begin{pmatrix}1&k\\2&6\end{pmatrix}X=B$ ima tačno jedno rešenje za svaku matricu $B$ dimenzije 2×2?

Rešenje: Tačno onda kada je matrica jednačine regularna. Njena determinanta je

${1\cdot6-k\cdot2=6-2k}$

Ona je jednaka 0 samo za ${k=3}.$ Dakle, za svako ${k\ne 3}$ jednačina ima tačno jedno rešenje, ${X=A^{-1}B}.$ Za ${k=3}$ ona nema rešenja ili ima beskonačno mnogo rešenja, u zavisnosti od $B.$

Zadatak 4. Rešite jednačinu ${2AX=B}$ ako je ${A=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}}$ i ${B=\begin{pmatrix}4&2\\6&2\end{pmatrix}}.$

Rešenje: Delimo sa 2 i množimo sa ${A^{-1}}$ sleva: ${X=\frac{1}{2}A^{-1}B}.$ Determinanta je ${1\cdot2-1\cdot1=1},$ pa je ${A^{-1}=\begin{pmatrix}2&-1\\-1&1\end{pmatrix}}.$

$A^{-1}B=\begin{pmatrix}2&-1\\-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4&2\\6&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&2\\2&0\end{pmatrix}$

$X=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}2&2\\2&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}$

Zadatak 5. Rešite jednačinu ${AXB=C}$ ako je ${A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}},$ ${B=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}$ i ${C=\begin{pmatrix}3&2\\-1&-1\end{pmatrix}}.$

Rešenje: Obe determinante su jednake 1, a inverzne matrice su ${A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}}$ i ${B^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}}.$ Primenjujemo formulu ${X=A^{-1}CB^{-1}}\text{:}$

$A^{-1}C=\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&2\\-1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&3\\-1&-1\end{pmatrix}$

$X=\begin{pmatrix}4&3\\-1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\\0&-1\end{pmatrix}$

Zadatak 6. Rešite jednačinu ${XA-2X=B}$ ako je ${A=\begin{pmatrix}4&1\\3&3\end{pmatrix}}$ i ${B=\begin{pmatrix}1&1\\2&1\end{pmatrix}}.$

Rešenje: U oba sabirka $X$ stoji levo, pa ga izdvajamo ulevo, a broj 2 postaje $2I\text{:}$ ${X(A-2I)=B},$ odakle je ${X=B(A-2I)^{-1}}.$

$A-2I=\begin{pmatrix}4-2&1\\3&3-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\3&1\end{pmatrix}$

Njena determinanta je ${2\cdot1-1\cdot3=-1},$ pa je

$(A-2I)^{-1}=\frac{1}{-1}\begin{pmatrix}1&-1\\-3&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&1\\3&-2\end{pmatrix}$

$X=\begin{pmatrix}1&1\\2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&1\\3&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1+3&1-2\\-2+3&2-2\end{pmatrix}$

${=\begin{pmatrix}2&-1\\1&0\end{pmatrix}}$

Provera: ${XA=\begin{pmatrix}5&-1\\4&1\end{pmatrix}},$ a

$XA-2X=\begin{pmatrix}5&-1\\4&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4&-2\\2&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\2&1\end{pmatrix}$

Zadatak 7. Da li jednačina $X\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}$ ima rešenje?

Rešenje: Matrica $A$ je singularna: ${1\cdot4-2\cdot2=0}.$ Neka je ${X=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}.$ Tada je

$$XA=\begin{pmatrix}a+2b&2a+4b\\c+2d&2c+4d\end{pmatrix}$$

U svakom proizvodu $XA$ druga kolona jednaka je prvoj pomnoženoj sa 2, jer isto važi i za matricu $A.$ U prvoj vrsti matrice $B$ drugi element, 3, nije jednak prvom elementu, 1, pomnoženom sa 2. Zato jednačina nema rešenja.

Zadatak 8. Rešite jednačinu ${AX=B}$ Gaus–Žordanovim metodom ako je ${A=\begin{pmatrix}0&1&1\\1&2&0\\1&3&2\end{pmatrix}}$ i ${B=\begin{pmatrix}1&4\\2&1\\4&8\end{pmatrix}}.$

Rešenje:

$$\left(\begin{array}{ccc|cc}0&1&1&1&4\\1&2&0&2&1\\1&3&2&4&8\end{array}\right)$$

Element u gornjem levom uglu je 0, pa počinjemo zamenom vrsta: ${V_1\leftrightarrow V_2}.$

$$\left(\begin{array}{ccc|cc}1&2&0&2&1\\0&1&1&1&4\\1&3&2&4&8\end{array}\right)$$

${V_3\to V_3-V_1}$ i zatim ${V_3\to V_3-V_2}\text{:}$

$$\left(\begin{array}{ccc|cc}1&2&0&2&1\\0&1&1&1&4\\0&0&1&1&3\end{array}\right)$$

${V_2\to V_2-V_3}$ i zatim ${V_1\to V_1-2V_2}\text{:}$

$$\left(\begin{array}{ccc|cc}1&0&0&2&-1\\0&1&0&0&1\\0&0&1&1&3\end{array}\right)$$

Dakle,

$$X=\begin{pmatrix}2&-1\\0&1\\1&3\end{pmatrix}$$

Provera prve kolone: ${0\cdot2+1\cdot0+1\cdot1=1},$ ${1\cdot2+2\cdot0+0\cdot1=2}$ i ${1\cdot2+3\cdot0+2\cdot1=4},$ što je prva kolona matrice $B.$

Zadaci za vežbu

Prvo pokušajte sami, a zatim otvorite odgovor.

1. Rešite jednačinu $\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}X=\begin{pmatrix}3&1\\2&0\end{pmatrix}.$

Determinanta je jednaka 1, pa je

$X=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&1\\2&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$

2. Rešite jednačinu $X\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&1\\2&0\end{pmatrix}.$

Sada inverzna matrica stoji desno:

$X=\begin{pmatrix}3&1\\2&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-1\\2&-2\end{pmatrix}$

3. $A$ je regularna matrica 4×4. Koje je dimenzije $X$ u jednačini ${AX=B}$ ako je $B$ dimenzije 4×1, a koje u jednačini ${XA=C}$ ako je $C$ dimenzije 2×4?

U obe jednačine $X$ ima dimenziju desne strane: 4×1 (matrica-kolona) u jednačini ${AX=B}$ i 2×4 u jednačini ${XA=C}.$

4. Rešite jednačinu ${3X+A=B}$ ako je ${A=\begin{pmatrix}1&2\\0&-1\end{pmatrix}}$ i ${B=\begin{pmatrix}4&-1\\6&5\end{pmatrix}}.$

$X=\frac{1}{3}(B-A)=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}3&-3\\6&6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1\\2&2\end{pmatrix}$

5. Rešite jednačinu $\begin{pmatrix}1&2\\3&7\end{pmatrix}X=\begin{pmatrix}1&0&2\\3&1&7\end{pmatrix}$ Gaus–Žordanovim metodom.

Polazimo od ${(A\,|\,B)}\text{:}$

$$\left(\begin{array}{cc|ccc}1&2&1&0&2\\3&7&3&1&7\end{array}\right)$$

Transformacije ${V_2\to V_2-3V_1}$ i zatim ${V_1\to V_1-2V_2}$ daju

$$\left(\begin{array}{cc|ccc}1&0&1&-2&0\\0&1&0&1&1\end{array}\right)$$

pa je ${X=\begin{pmatrix}1&-2&0\\0&1&1\end{pmatrix}}.$

6. Da li jednačina $\begin{pmatrix}2&4\\1&2\end{pmatrix}X=\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}$ ima rešenje?

Nema. Prva vrsta matrice $A$ jednaka je drugoj pomnoženoj sa 2, pa je u svakom proizvodu $AX$ prva vrsta jednaka drugoj pomnoženoj sa 2. Na desnoj strani prva vrsta nije jednaka drugoj pomnoženoj sa 2.

7. Rešite jednačinu $\begin{pmatrix}1&-1\\-2&2\end{pmatrix}X=\begin{pmatrix}2&1\\-4&-2\end{pmatrix}.$

Determinanta je 0. Posle transformacije ${V_2\to V_2+2V_1}$ druga vrsta matrice ${(A\,|\,B)}$ sastoji se od samih nula, a prva vrsta daje ${x_{11}-x_{21}=2}$ i ${x_{12}-x_{22}=1}.$ Rešenja ima beskonačno mnogo:

$$X=\begin{pmatrix}2+s&1+t\\s&t\end{pmatrix}$$

za bilo koje brojeve $s$ i $t.$

8. Rešite jednačinu $\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}X\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&3\\2&7\end{pmatrix}.$

$X=\begin{pmatrix}1&0\\-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&3\\2&7\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}$

${=\begin{pmatrix}1&2\\1&3\end{pmatrix}}$

9. Rešite jednačinu ${AX=2X+B}$ ako je ${A=\begin{pmatrix}4&1\\5&4\end{pmatrix}}$ i ${B=\begin{pmatrix}1&0\\3&1\end{pmatrix}}.$

Dobijamo ${(A-2I)X=B},$ gde je ${A-2I=\begin{pmatrix}2&1\\5&2\end{pmatrix}}$ i $(A-2I)^{-1}=\begin{pmatrix}-2&1\\5&-2\end{pmatrix},$ pa je

$X=\begin{pmatrix}-2&1\\5&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\-1&-2\end{pmatrix}$

10. Rešite jednačinu $X\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}.$

$X$ je matrica-vrsta 1×3. Za ${X=\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}}$ proizvod je ${\begin{pmatrix}x&x+y&y+z\end{pmatrix}},$ pa je ${x=1},$ ${y=1},$ ${z=2}$ i ${X=\begin{pmatrix}1&1&2\end{pmatrix}}.$

Svoje primere možete proveriti kalkulatorom matrica. On rešava jednačine ${AX=B}$ i ${XA=B}$ sa svim koracima, pomoću inverzne matrice ili Gaus–Žordanovim metodom.