Skupovi

Skup je osnovni pojam u modernoj matematici, što znači da se ovaj pojam ne definiše.
Ipak, skup možemo zamisliti kao kolekciju različitih elemenata. Cela moderna matematika je bazirana na ovom konceptu, pa je izuzetno važno znati i razumeti teoriju skupova.
Skupovi se uobičajeno obeležavaju velikim latiničnim slovima $A, B, C...$. Elementi skupa se pišu unutar zagrada $\lbrace$ i $\rbrace$.

Skup može biti određen:
1. nabrajanjem njegovih elemenata $A=\lbrace 1,2,3,4,5 \rbrace$
2. zadavanjem pravila koje zadovoljavaju elementi skupa $A=\lbrace x\in \mathbb{N} \vert x<6\rbrace$

Skup koji ne sadrži elemente naziva se prazan skup i obeležava se sa $\emptyset$ or $\lbrace \rbrace$.

Relacije između skupova

Jednaki skupovi

Skupovi $A$ i $B$ su jednaki ako i samo ako sadrže jednake elemente; ako su svi elementi prvog skupa jednaki elementima drugog skupa, i obrnuto.

$A=B \overset{def}{\Leftrightarrow} (\forall x)(x\in A \Leftrightarrow x\in B)$

Pošto je relacija jednakosti skupova tranzitivna, refleksivna i simetrična ona je relacija ekvivalencije.

Podskup

Skup $A$ je podskup skupa $B$ ako i samo ako je svaki element skupa $A$ ujedno i element skupa $B$.

subset

$A \subseteq B \overset{def}{\Leftrightarrow} (\forall x)(x \in A \Rightarrow x \in B)$

Skup $B$ je nadskup skupa $A$, označavamo $B \supseteq A$.
Ako je skup $A$ podskup skupa $B$ i ako skup $B$ sadrži najmanje jedan element koji nije element skupa $A$, onda kažemo da je skup $A$ pravi podskup skupa $B$ i obeležavamo $A \subset B$, ili da je skup $B$ pravi nadskup skupa $A$, što pišemo $B \supset A$.

Relacija $\subset$ je tranzitivna: $(A \subset B) \wedge (B \subset C) \Rightarrow A \subset C$.

Prazan skup je podskup svakog skupa.

Operacije sa skupovima

Unija skupova

Unija skupova $A$ i $B$ je skup svih elemenata koji pripadaju najmanje jednom od skupova $A$ ili $B$.

Union of two sets

$A \cup B \overset{def}{=} \lbrace x \vert x \in A \vee x \in B \rbrace$

Operacija unije skupova je:
1. idempotentna: $A\cup A=A$
2. komutativna: $A \cup B = B \cup A$
3. asocijativna: $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$

Presek skupova

Presek skupova $A$ i $B$ je skup koji sadrži sve elemente koji pripadaju i skupu $A$ i skupu $B$.

Intersection of sets

$A \cap B\overset{def}{=}\lbrace x \vert x\in A \wedge x\in B \rbrace$

Operacija presek skupova je:
1. idempotentna: $A\cap A=A$
2. komutativna: $A \cap B = B \cap A$
3. asocijativna: $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$

Razlika skupova

Razlika skupova $A$ i $B$ je skup svih elemenata skupa $A$ koji ne pripadaju skupu $B$.

Difference of two sets

$A \setminus B \overset{def}{=} \lbrace x \vert x \in A \wedge x \notin B \rbrace$

Simetrična razlika

Simetrična razlika skupova $A$ i $B$ je skup svih elemenata koji pripadaju samo jednom od skupova $A$ i $B$.

Symmetric difference

$A \bigtriangleup B \overset{def}{=} (A \setminus B) \cup (B \setminus A)$

Očigledno je da je operacija $\bigtriangleup$ komutativna.

Komplement skupa

Neka je skup $A \subset B$. Komplement skupa $A$ u odnosu na skup $B$ je skup svih elemenata skupa $B$ koji ne pripadaju skupu $A$.

Complement of a set

$C_B(A)\overset{def}{=}\lbrace x\vert x\in B \wedge x\notin A\rbrace$

Partitivni skup

Partitivni skup skupa $A$ je skup svih podskupova skupa $A$, uključujući prazan skup i sam skup $A$.

$P(A) \overset{def}{=} \lbrace B \vert B \subset A \rbrace$

Primer: Partitivni skup skupa $A=\lbrace 1,2,3 \rbrace $ je skup $P(A)=\lbrace \emptyset ,\lbrace 1 \rbrace , \lbrace 2\rbrace, \lbrace 3 \rbrace , \lbrace 1,2 \rbrace , \lbrace 1,3 \rbrace , \lbrace 2,3 \rbrace , \lbrace 1,2,3 \rbrace \rbrace $

Dekartov proizvod

Dekartov proizvod skupova $A$ i $B$ je skup svih uređenih parova $(x,y)$ takvih da je $x$ element skupa $A$, a $y$ element skupa $B$.

$A \times B \overset{def}{=} \lbrace(x,y) \vert x \in A \wedge y \in B \rbrace $

Osobine operacija sa skupovima

Distributivni zakon
$A \cup (B \cap C)=(A \cup B)\cap (A \cup B)$
$A \cap (B \cup C)=(A \cap B)\cup (A \cap B)$

Zakon apsorpcije
$A\cup(A\cap B)=A$
$A\cap(A\cup B)=A$

De Morganovi zakoni
$C_U(A\cup B)=C_U(A)\cap C_U(B)$
$C_U(A\cap B)=C_U(A)\cup C_U(B)$

Relacije i funkcije

Relacije

Ako su $A$ i $B$ dva neprazna skupa onda svaki podskup $\rho$ skupa $A\times B$ se zove binarna relacija u skupu $A\times B$.
Ako je $(a,b)\in \rho$, onda kažemo da su $a$ i $b$ u relaciji i zapisujemo $a\rho b$.

Funkcije

Binarnu relaciju $f\subset X\times Y$ zovemo funkcija ako i samo ako za svaki element $x\in X$ postoji tačno jedan $y\in Y$ takav da je $(x,y)\in f$, tj. $(\forall x\in X)(\exists !y\in Y)(x,y)\in f$

Simbolički zapis: $f:X\longmapsto Y$ or $X\overset{f}{\longmapsto} Y$
Ako je $(x,y)\in f$, pišemo $f(x)=y$. Element $x$ zovemo original, a $y$ slika.
Skup $X$ zovemo domen, a skup $Y$ kodomen funkcije $f$.
Postoje tri specijalna tipa funkcija koja imaju poseban značaj u matematici: injekcija, surjekcija i bijekcija.

Injekcija

Funkcija $f:X\longmapsto Y$ je injektivna ili "1-1" funkcija ako i samo ako za svaki element $x\in X$ postoji tačno jedan element $y\in Y$ za koji je $f(x)=y$.

injection

$f:X\overset{1-1}{\longmapsto}Y\overset{def}{=}(\forall x_1,x_2\in X)(x_1\neq x_2\Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2))$

Surjekcija

Funkcija $f:X\longmapsto Y$ je surjekcija ili "na" funkcija ako i samo ako za svaki element $y\in Y$ postoji element $x\in X$ za koji je $f(x)=y$.

Surjection

$f:X\overset{onto}{\longmapsto}Y\overset{def}{=}(\forall y\in Y)(\exists x\in X)(f(x)=y)$

Bijekcija

Funkcija $f:X\longmapsto Y$ je bijekcija ako je surjekcija i injekcija.


Kontakt imejl:

Copyright © 2005 - 2019