Formule za analitičku geometriju u ravni

Udaljenost $d$ između dve tačke $P_1(x_1 \textrm{ , } y_1)$ i $P_2(x_2 \textrm{ , } y_2)$

fig 1
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Koeficijent pravca $k$ prave koja sadrži dve tačke $P_1(x_1 \textrm{ , } y_1)$ i $P_2(x_2 \textrm{ , } y_2)$

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \textrm { tg } \theta$

Jednačina prave koja sadrži dve tačke $P_1(x_1 \textrm{ , } y_1)$ i $P_2(x_2 \textrm{ , } y_2)$

$\frac{y - y_1}{x - x_1} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - y_1} = k$
ili
$y - y_1 = k(x - x_1) \\ y = kx + n$

gde je $n = y_1 - kx_1 = \frac{x_2y_1 - x_1y_2}{x_2 - x_1}$ presek sa $y$ osom, t.j. $y$ odsečak.

Jednačina prave u zavisnosti od $x$ odsečka $a \ne 0$ i $y$ odsečka $b \ne 0$

fig 2
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$

Normalan oblik jednačine prave

$x \textrm{ cos } \alpha + y \textrm{ sin } \alpha = p$
gde je $p$ = (normalno) rastojanje tačke $O$ od prave
i     α = ugao između normale i pozitivnog dela $x$ ose.
fig 3

Opšti (implicitni) oblik jednačine prave

$Ax + By + C = 0$

Udaljenost tačke $(x_1 \textrm{ , } y_1)$ od prave $Ax + By + C = 0$

$\frac{Ax_1 + By_1 + C}{\pm \sqrt{A^2 + B^2}}$
gde se znak bira tako da udaljenost ne bude negativna.

Ugao $\psi$ između dve prave sa koeficijentima pravca $k_1$ i $k_2$

$\textrm{ tg } \psi = \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1k_2}$
Prave su paralelne ili se poklapaju ako i samo ako je $k_1 = k_2.$
Prave su normalne ako i samo ako je $k_2 = -\frac{1}{k_1}.$
fig 4

Površina trougla sa temenima $(x_1 \textrm{ , } y_1) \textrm{ , } (x_2 \textrm{ , } y_2) \textrm{ , } (x_3 \textrm{ , } y_3)$

Površina
$ = \pm \frac{1}{2} \left| \begin{array}{ccc} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{array} \right|$
$= \pm \frac{1}{2} ( x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1 - x_1y_3 - x_2y_1 - x_3y_2 )$
gde znak biramo tako da površina ne bude negativna. Ako je površina jednaka nuli onda sve tačke pripadaju istoj pravoj.
fig 5


Kontakt imejl:

Copyright © 2005 - 2018