Inverzna matrica

Kod brojeva je deljenje brojem $a$ isto što i množenje njegovom recipročnom vrednošću ${a^{-1}},$ tj. brojem za koji važi ${a\cdot a^{-1}=1}.$ Matrice se ne mogu deliti, ali mnoge kvadratne matrice imaju inverznu matricu koja igra istu ulogu, pri čemu jedinična matrica $I$ zamenjuje broj 1. U ovoj lekciji naučićete šta je inverzna matrica, kada postoji i tri načina da je odredite: formulu za matrice 2×2, adjungovanu matricu i Gaus–Žordanov metod. Na kraju ćemo inverznu matricu primeniti na rešavanje sistema jednačina.

Na ovoj stranici: Definicija · Kada postoji inverzna matrica · Inverzna matrica 2×2 · Metod adjungovane matrice · Gaus–Žordanov metod · Osobine · Rešavanje sistema · Rešeni zadaci · Zadaci za vežbu

Šta je inverzna matrica?

Jedinična matrica ima jedinice na glavnoj dijagonali, a nule na svim ostalim mestima, na primer ${I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}.$ Ona ima ulogu broja 1: ${AI=IA=A}$ za svaku kvadratnu matricu $A$ istog reda (videti uvod u matrice).

Primer. Neka je ${A=\begin{pmatrix}2&1\\5&3\end{pmatrix}}$ i ${B=\begin{pmatrix}3&-1\\-5&2\end{pmatrix}}.$ Pomnožimo ih u oba redosleda:

$AB=\begin{pmatrix}6-5&-2+2\\15-15&-5+6\end{pmatrix}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I_2}$

$BA=\begin{pmatrix}6-5&3-3\\-10+10&-5+6\end{pmatrix}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I_2}$

Dakle, $B$ je inverzna matrica matrice $A\text{:}$ ${A^{-1}=B}.$ Istovremeno je $A$ inverzna matrica matrice $B.$

Iz definicije slede četiri činjenice:

• Samo kvadratna matrica može imati inverznu matricu: oba proizvoda ${AA^{-1}}$ i ${A^{-1}A}$ moraju postojati i biti jednaki istoj jediničnoj matrici.
• Matrica ima najviše jednu inverznu matricu. Ako su i $B$ i $C$ inverzne matrice matrice $A,$ onda je ${B}={BI}={B(AC)}={(BA)C}={IC}={C}.$
• Za kvadratne matrice dovoljan je jedan proizvod: ako je ${AB=I},$ onda je i ${BA=I},$ pa je ${B=A^{-1}}.$
• ${A^{-1}}$ ne znači „1 podeljeno sa $A$“, a njeni elementi nisu recipročne vrednosti elemenata matrice $A.$

Kada postoji inverzna matrica?

Objašnjenje: determinanta proizvoda jednaka je proizvodu determinanti, ${\det(AB)=\det A\cdot\det B}.$ Ako ${A^{-1}}$ postoji, onda je

${\det A\cdot\det(A^{-1})}={\det(AA^{-1})}={\det I}={1.}$

Dakle, $\det A$ ne može biti 0 i važi ${\det(A^{-1})=\frac{1}{\det A}}.$ Obrnuto, kada je ${\det A\ne 0},$ inverznu matricu daje formula sa adjungovanom matricom koju navodimo u nastavku.

Primer. Za ${A=\begin{pmatrix}2&4\\1&2\end{pmatrix}}$ dobijamo ${\det A=2\cdot2-4\cdot1=0}.$ Ova matrica je singularna: nema inverznu matricu. Primetite da je njena druga kolona jednaka prvoj koloni pomnoženoj sa 2. Kad god je neka vrsta ili kolona kvadratne matrice linearna kombinacija ostalih, determinanta je jednaka 0. Pomoću pojma ranga: kvadratna matrica reda $n$ je regularna tačno onda kada je njen rang jednak $n.$ Kako se računaju determinante, objašnjeno je u lekciji Determinanta matrice.

Inverzna matrica za matricu 2×2

Rečima: elementima na glavnoj dijagonali zamenimo mesta, preostalim dvama elementima promenimo znak i dobijenu matricu podelimo determinantom. Množenje pokazuje zašto je to tačno:

$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}=(ad-bc)\,I_2$

Primer 1. Odredite inverznu matricu matrice ${A=\begin{pmatrix}1&3\\2&5\end{pmatrix}}.$

${\det A=1\cdot5-3\cdot2=-1}$

$A^{-1}=\frac{1}{-1}\begin{pmatrix}5&-3\\-2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5&3\\2&-1\end{pmatrix}$

Provera. Oba proizvoda moraju dati jediničnu matricu:

$AA^{-1}=\begin{pmatrix}-5+6&3-3\\-10+10&6-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$

$A^{-1}A=\begin{pmatrix}-5+6&-15+15\\2-2&6-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$

Primer 2. Odredite inverznu matricu matrice ${B=\begin{pmatrix}2&-7\\-1&6\end{pmatrix}}.$

${\det B}={2\cdot6-(-7)\cdot(-1)}={12-7}={5}$

$B^{-1}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}6&7\\1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{6}{5}&\dfrac{7}{5}\\[0.8em]\dfrac{1}{5}&\dfrac{2}{5}\end{pmatrix}$

Razlomci u inverznoj matrici su sasvim uobičajeni. Često je preglednije ostaviti broj ispred matrice: ${B^{-1}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}6&7\\1&2\end{pmatrix}}.$

Određivanje inverzne matrice pomoću adjungovane matrice

Za matricu 3×3 ili veću potrebni su nam kofaktori. Neka je $a_{ij}$ element matrice $A$ u vrsti $i$ i koloni $j.$

• Minor $M_{ij}$ je determinanta matrice koja ostaje kada izbrišemo vrstu $i$ i kolonu $j$ matrice $A.$
• Kofaktor elementa $a_{ij}$ je ${C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}}.$ Znaci ${(-1)^{i+j}}$ se smenjuju kao polja šahovske table, sa ${+}$ u gornjem levom uglu: $$\begin{pmatrix}+&-&+\\-&+&-\\+&-&+\end{pmatrix}$$
• Adjungovana matrica $\operatorname{adj}A$ (naziva se i pridružena matrica) je transponovana matrica kofaktora. Kofaktori prve vrste matrice $A$ postaju prva kolona matrice $\operatorname{adj}A,$ i tako redom: $$\operatorname{adj}A=\begin{pmatrix}C_{11}&C_{21}&C_{31}\\C_{12}&C_{22}&C_{32}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{pmatrix}$$

Postupak:

1. Izračunajte $\det A.$ Ako je ona jednaka 0, prekinite: matrica nema inverznu matricu.
2. Odredite kofaktor svakog elementa.
3. Kofaktore upišite u matricu i transponujte je. To je $\operatorname{adj}A.$
4. Pomnožite $\operatorname{adj}A$ brojem ${\frac{1}{\det A}}.$

U nekim udžbenicima koraci 2 i 3 izvode se obrnutim redom: najpre se napiše transponovana matrica $A^T$ i zatim se svaki element matrice $A^T$ zameni svojim kofaktorom u $A^T.$ Dobija se ista matrica $\operatorname{adj}A.$ Za matricu 2×2 ovaj metod daje upravo formulu iz prethodnog odeljka.

Primer 3. Odredite inverznu matricu matrice ${A=\begin{pmatrix}1&3&2\\4&1&1\\1&2&3\end{pmatrix}}.$

1. Determinanta. Razvijamo je po prvoj vrsti, pa počinjemo od kofaktora prve vrste. Za $C_{11}$ brišemo prvu vrstu i prvu kolonu, za $C_{12}$ prvu vrstu i drugu kolonu, i tako redom.

$C_{11}=+\begin{vmatrix}1&1\\2&3\end{vmatrix}=3-2=1$

$C_{12}=-\begin{vmatrix}4&1\\1&3\end{vmatrix}=-(12-1)=-11$

$C_{13}=+\begin{vmatrix}4&1\\1&2\end{vmatrix}=8-1=7$

${\det A}={1\cdot C_{11}}+{3\cdot C_{12}+2\cdot C_{13}}={1\cdot1}+{3\cdot(-11)+2\cdot7}={-18}$

Determinanta je različita od 0, pa inverzna matrica postoji.

2. Ostali kofaktori.

$C_{21}=-\begin{vmatrix}3&2\\2&3\end{vmatrix}=-(9-4)=-5$

$C_{22}=+\begin{vmatrix}1&2\\1&3\end{vmatrix}=3-2=1$

$C_{23}=-\begin{vmatrix}1&3\\1&2\end{vmatrix}=-(2-3)=1$

$C_{31}=+\begin{vmatrix}3&2\\1&1\end{vmatrix}=3-2=1$

$C_{32}=-\begin{vmatrix}1&2\\4&1\end{vmatrix}=-(1-8)=7$

$C_{33}=+\begin{vmatrix}1&3\\4&1\end{vmatrix}=1-12=-11$

3. Adjungovana matrica. Kofaktori svake vrste matrice $A$ postaju jedna kolona:

$$\operatorname{adj}A=\begin{pmatrix}1&-5&1\\-11&1&7\\7&1&-11\end{pmatrix}$$

4. Inverzna matrica.

$$A^{-1}=-\frac{1}{18}\begin{pmatrix}1&-5&1\\-11&1&7\\7&1&-11\end{pmatrix}$$ $$=\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{18}&\dfrac{5}{18}&-\dfrac{1}{18}\\[0.8em]\dfrac{11}{18}&-\dfrac{1}{18}&-\dfrac{7}{18}\\[0.8em]-\dfrac{7}{18}&-\dfrac{1}{18}&\dfrac{11}{18}\end{pmatrix}$$

Brza provera kofaktora: proizvod ${A\cdot\operatorname{adj}A}$ uvek je jednak ${(\det A)\,I}.$ Proizvod prve vrste matrice $A$ i prve kolone matrice $\operatorname{adj}A$ je ${1\cdot1}+{3\cdot(-11)+2\cdot7}={-18},$ a proizvod prve vrste matrice $A$ i druge kolone je ${1\cdot(-5)+3\cdot1+2\cdot1}={0}.$

Kalkulator matrica prikazuje ovaj primer korak po korak.

Određivanje inverzne matrice Gaus–Žordanovim metodom

Matricu $A$ i jediničnu matricu istog reda pišemo jednu pored druge, kao jednu proširenu matricu ${(A\,|\,I)}.$ Zatim je menjamo elementarnim transformacijama vrsta:

• zamena mesta dve vrste: ${V_i\leftrightarrow V_j};$
• množenje vrste brojem ${k\ne 0}\text{:}$ ${V_i\to kV_i};$
• dodavanje jednoj vrsti druge vrste pomnožene brojem: ${V_i\to V_i+kV_j}.$

Svaka transformacija se primenjuje na celu vrstu, u obe polovine. Metod je ispravan jer je svaka transformacija vrsta isto što i množenje sleva nekom regularnom matricom $E.$ Ako je ${E_k\cdots E_2E_1A=I},$ onda je ${E_k\cdots E_2E_1=A^{-1}},$ pa desna polovina, koja je na početku bila $I,$ postaje ${E_k\cdots E_2E_1I=A^{-1}}.$

Primer 4. Odredite inverznu matricu matrice ${A=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&4\\5&6&0\end{pmatrix}}.$

Pišemo $A$ i $I_3$ jednu pored druge:

$$\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&2&3&1&0&0\\0&1&4&0&1&0\\5&6&0&0&0&1\end{array}\right)$$

U prvoj koloni već imamo 1 na vrhu i 0 u drugoj vrsti. Nulu u trećoj vrsti dobijamo transformacijom ${V_3\to V_3-5V_1}.$

$$\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&2&3&1&0&0\\0&1&4&0&1&0\\0&-4&-15&-5&0&1\end{array}\right)$$

U drugoj koloni je 1 u drugoj vrsti. Nulu ispod te jedinice dobijamo transformacijom ${V_3\to V_3+4V_2}.$

$$\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&2&3&1&0&0\\0&1&4&0&1&0\\0&0&1&-5&4&1\end{array}\right)$$

Sada idemo odozdo naviše. Nule iznad jedinice u trećoj koloni dobijamo transformacijama ${V_2\to V_2-4V_3}$ i ${V_1\to V_1-3V_3}.$

$$\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&2&0&16&-12&-3\\0&1&0&20&-15&-4\\0&0&1&-5&4&1\end{array}\right)$$

Nulu iznad jedinice u drugoj koloni dobijamo transformacijom ${V_1\to V_1-2V_2}.$

$$\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&-24&18&5\\0&1&0&20&-15&-4\\0&0&1&-5&4&1\end{array}\right)$$

Leva polovina je $I_3,$ pa je desna polovina inverzna matrica:

$$A^{-1}=\begin{pmatrix}-24&18&5\\20&-15&-4\\-5&4&1\end{pmatrix}$$

Ovde je ${\det A=1},$ pa su svi elementi inverzne matrice celi brojevi. Kalkulator matrica prikazuje iste korake.

Koji metod izabrati? Za matricu 2×2 koristite formulu. Za matricu 3×3 dobra su oba metoda: za adjungovanu matricu treba izračunati devet determinanti 2×2, a Gaus–Žordanov metod zahteva nekoliko transformacija vrsta. Za matricu 4×4 metod adjungovane matrice zahteva šesnaest determinanti 3×3, pa je Gaus–Žordanov metod mnogo kraći; istu ideju koriste i računarski programi.

Osobine inverzne matrice

Neka su $A$ i $B$ regularne matrice istog reda, $k$ broj različit od 0 i $n$ prirodan broj.

Osobina	Formula
Definicija	${AA^{-1}=A^{-1}A=I}$
Inverzna matrica inverzne matrice	${\left(A^{-1}\right)^{-1}=A}$
Inverzna matrica proizvoda: redosled se obrće	${(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}}$
Inverzna matrica transponovane matrice	${\left(A^T\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^T}$
Množenje matrice brojem	${(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}}$
Stepeni	${\left(A^n\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^n}$
Determinanta	${\det(A^{-1})=\frac{1}{\det A}}$
Jedinična matrica	${I^{-1}=I}$
Dijagonalna matrica: recipročne vrednosti elemenata na dijagonali (svi moraju biti različiti od 0)	$\begin{pmatrix}a&0\\0&d\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{a}&0\\[0.8em]0&\dfrac{1}{d}\end{pmatrix}$

Zašto se kod proizvoda redosled obrće:

${(AB)\left(B^{-1}A^{-1}\right)}={A\left(BB^{-1}\right)A^{-1}}={AIA^{-1}}={AA^{-1}}={I}$

Setite se čarapa i cipela: najpre obuvamo čarape, pa cipele, a kada se izuvamo, prvo skidamo cipele.

Inverzna matrica omogućava i skraćivanje: ako je $A$ regularna i ${AB=AC},$ onda množenjem obe strane sleva sa ${A^{-1}}$ dobijamo ${B=C}.$ Bez inverzne matrice to nije dozvoljeno: može biti ${AB=AC}$ iako je ${B\ne C}.$

Rešavanje sistema jednačina pomoću inverzne matrice

Sistem od $n$ linearnih jednačina sa $n$ nepoznatih može se zapisati kao jedna matrična jednačina ${AX=B}\text{:}$ $A$ je matrica koeficijenata, $X$ kolona nepoznatih, a $B$ kolona slobodnih članova. Ako je $A$ regularna, obe strane pomnožimo sa ${A^{-1}}$ sleva: ${A^{-1}AX=A^{-1}B},$ tj. ${IX=A^{-1}B}.$

Primer 5. Rešite sistem

$$\begin{cases}2x+y=3\\5x+3y=4\end{cases}$$

Matrica koeficijenata je matrica $A$ iz primera na početku lekcije, pa njenu inverznu matricu već znamo:

$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=A^{-1}B=\begin{pmatrix}3&-1\\-5&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}9-4\\-15+8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\-7\end{pmatrix}$

Rešenje je ${x=5},$ ${y=-7}.$ Provera: ${2\cdot5+(-7)=3}$ i ${5\cdot5+3\cdot(-7)=4}.$

Na isti način se rešavaju i matrične jednačine: iz ${AX=B}$ dobijamo ${X=A^{-1}B},$ a iz ${XA=B}$ dobijamo ${X=BA^{-1}}.$ Redosled je važan, jer množenje matrica nije komutativno. Više o tome u lekcijama Matrične jednačine i Rešavanje sistema linearnih jednačina.

Rešeni zadaci

Zadatak 1. Za koje vrednosti parametra $k$ je matrica $\begin{pmatrix}k&2\\3&k-1\end{pmatrix}$ regularna?

Rešenje: Determinanta je

${k(k-1)-2\cdot3}={k^2-k-6}={(k-3)(k+2)}$

Ona je jednaka 0 za ${k=3}$ i ${k=-2}.$ Matrica je regularna za sve ostale vrednosti $k.$

Zadatak 2. Odredite inverznu matricu matrice ${A=\begin{pmatrix}4&7\\2&6\end{pmatrix}}.$

Rešenje: ${\det A=4\cdot6-7\cdot2=10},$ pa je

$A^{-1}=\frac{1}{10}\begin{pmatrix}6&-7\\-2&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{3}{5}&-\dfrac{7}{10}\\[0.8em]-\dfrac{1}{5}&\dfrac{2}{5}\end{pmatrix}$

Zadatak 3. Odredite inverznu matricu matrice ${A=\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}}$ Gaus–Žordanovim metodom.

Rešenje:

$$\left(\begin{array}{ccc|ccc}0&1&1&1&0&0\\1&0&1&0&1&0\\1&1&0&0&0&1\end{array}\right)$$

Element u gornjem levom uglu je 0, pa počinjemo zamenom vrsta: ${V_1\leftrightarrow V_2}.$

$$\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&0&1&0&1&0\\0&1&1&1&0&0\\1&1&0&0&0&1\end{array}\right)$$

${V_3\to V_3-V_1}$ i zatim ${V_3\to V_3-V_2}\text{:}$

$$\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&0&1&0&1&0\\0&1&1&1&0&0\\0&0&-2&-1&-1&1\end{array}\right)$$

${V_3\to -\frac{1}{2}V_3}\text{:}$

$$\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&0&1&0&1&0\\0&1&1&1&0&0\\0&0&1&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{2}&-\dfrac{1}{2}\end{array}\right)$$

${V_2\to V_2-V_3}$ i ${V_1\to V_1-V_3}\text{:}$

$$\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&-\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{2}\\[0.8em]0&1&0&\dfrac{1}{2}&-\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{2}\\[0.8em]0&0&1&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{2}&-\dfrac{1}{2}\end{array}\right)$$

Dakle,

$$A^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}-1&1&1\\1&-1&1\\1&1&-1\end{pmatrix}$$

Zadatak 4. Pokažite da matrica ${A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}$ nema inverznu matricu.

Rešenje: Primenjujemo Gaus–Žordanov metod:

$$\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&2&3&1&0&0\\4&5&6&0&1&0\\7&8&9&0&0&1\end{array}\right)$$

${V_2\to V_2-4V_1}$ i ${V_3\to V_3-7V_1},$ zatim ${V_3\to V_3-2V_2}\text{:}$

$$\left(\begin{array}{ccc|ccc}1&2&3&1&0&0\\0&-3&-6&-4&1&0\\0&0&0&1&-2&1\end{array}\right)$$

Vrsta od samih nula u levoj polovini znači da je $A$ singularna matrica. To potvrđuje i determinanta:

${\det A}={1\cdot(45-48)}-{2\cdot(36-42)+3\cdot(32-35)}={-3+12-9}={0}$

Zadatak 5. Inverzna matrica matrice $A$ je ${A^{-1}=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}.$ Odredite $A$ i ${(2A)^{-1}}.$

Rešenje: Matrica $A$ je inverzna matrica matrice ${A^{-1}}.$ Determinanta matrice ${A^{-1}}$ je ${2\cdot1-1\cdot1=1},$ pa je

$$A=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}$$

Prema osobini o množenju matrice brojem,

$$(2A)^{-1}=\frac{1}{2}A^{-1}=\begin{pmatrix}1&\dfrac{1}{2}\\[0.8em]\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}$$

Zadatak 6. Neka je ${A=\begin{pmatrix}1&3\\2&5\end{pmatrix}}$ i ${B=\begin{pmatrix}1&0\\4&2\end{pmatrix}}.$ Rešite jednačine ${AX=B}$ i ${XA=B}.$

Rešenje: Iz primera 1 znamo da je ${A^{-1}=\begin{pmatrix}-5&3\\2&-1\end{pmatrix}}.$

${AX=B}\text{:}$

$X=A^{-1}B=\begin{pmatrix}-5&3\\2&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\4&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7&6\\-2&-2\end{pmatrix}$

${XA=B}\text{:}$

$X=BA^{-1}=\begin{pmatrix}1&0\\4&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-5&3\\2&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5&3\\-16&10\end{pmatrix}$

Ova dva rešenja su različita, jer su ${A^{-1}B}$ i ${BA^{-1}}$ različiti proizvodi.

Zadatak 7. Rešite sistem pomoću inverzne matrice:

$$\begin{cases}x+2y+3z=5\\y+4z=7\\5x+6y=-1\end{cases}$$

Rešenje: Matrica koeficijenata je matrica iz primera 4, pa je

$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-24&18&5\\20&-15&-4\\-5&4&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5\\7\\-1\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}-120+126-5\\100-105+4\\-25+28-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}$

Rešenje je ${x=1},$ ${y=-1},$ ${z=2}.$

Zadatak 8. Za matrice $A$ i $B$ formata 3×3 važi ${\det A=4}$ i ${\det B=-2}.$ Odredite ${\det(A^{-1})},$ ${\det((AB)^{-1})}$ i ${\det(2A^{-1})}.$

Rešenje:

${{\det(A^{-1})}={\frac{1}{\det A}}={\frac{1}{4}}}$

${\det((AB)^{-1})}={\frac{1}{\det A\cdot\det B}}={\frac{1}{4\cdot(-2)}}={-\frac{1}{8}}$

Kada matricu 3×3 pomnožimo sa 2, svaka od njene tri vrste množi se sa 2, pa se determinanta množi sa ${2^3}\text{:}$

${{\det(2A^{-1})}={2^3\cdot\frac{1}{4}}={2}}$

Zadaci za vežbu

Prvo pokušajte sami, a zatim otvorite odgovor.

1. Odredite inverznu matricu matrice $\begin{pmatrix}3&5\\1&2\end{pmatrix}.$

Determinanta je ${3\cdot2-5\cdot1=1},$ pa je inverzna matrica $\begin{pmatrix}2&-5\\-1&3\end{pmatrix}.$

2. Odredite inverznu matricu matrice $\begin{pmatrix}2&3\\4&5\end{pmatrix}.$

Determinanta je ${2\cdot5-3\cdot4=-2},$ pa je inverzna matrica ${-\frac{1}{2}}\begin{pmatrix}5&-3\\-4&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\dfrac{5}{2}&\dfrac{3}{2}\\2&-1\end{pmatrix}.$

3. Da li matrica $\begin{pmatrix}6&9\\4&6\end{pmatrix}$ ima inverznu matricu?

Nema. Njena determinanta je ${6\cdot6-9\cdot4=0}.$

4. Za koje vrednosti $a$ je matrica $\begin{pmatrix}a&4\\1&a\end{pmatrix}$ singularna?

${a^2-4=0},$ pa je ${a=2}$ ili ${a=-2}.$

5. Da li je $\begin{pmatrix}3&-2\\-4&3\end{pmatrix}$ inverzna matrica matrice $\begin{pmatrix}3&2\\4&3\end{pmatrix}?$

Da. Proizvod ove dve matrice je jedinična matrica:

$$\begin{pmatrix}3&2\\4&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&-2\\-4&3\end{pmatrix}$$ $$=\begin{pmatrix}9-8&-6+6\\12-12&-8+9\end{pmatrix}=I_2$$

6. Odredite inverznu matricu matrice $\begin{pmatrix}2&0&1\\1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}.$

Determinanta je 3, a inverzna matrica je $\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1&1&-1\\-1&2&1\\1&-2&2\end{pmatrix}.$

7. Odredite inverznu matricu matrice $\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}$ Gaus–Žordanovim metodom.

Transformacije ${V_1\to V_1-V_2}$ i zatim ${V_2\to V_2-V_3}$ daju $\begin{pmatrix}1&-1&0\\0&1&-1\\0&0&1\end{pmatrix}.$

8. Odredite inverznu matricu matrice $\begin{pmatrix}3&0&0\\0&-2&0\\0&0&\dfrac{1}{4}\end{pmatrix}.$

$\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&0&0\\[0.8em]0&-\dfrac{1}{2}&0\\0&0&4\end{pmatrix}$

9. Rešite sistem ${3x+5y=1},$ ${x+2y=0}$ pomoću inverzne matrice.

Prema prvom zadatku za vežbu, $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-5\\-1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix},$ pa je ${x=2},$ ${y=-1}.$

10. Neka je ${A^{-1}=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}}$ i ${B^{-1}=\begin{pmatrix}1&0\\3&1\end{pmatrix}}.$ Odredite ${(AB)^{-1}}.$

${(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}}=\begin{pmatrix}1&0\\3&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\\3&7\end{pmatrix}.$

Svoje primere možete proveriti kalkulatorom matrica. On određuje inverznu matricu sa svim koracima, pomoću adjungovane matrice ili Gaus–Žordanovim metodom.