Pismeno deljenje polinoma

autor: Catalin David

Uvod

Opšta formula monoma je

f(x)=axn, gde je:

-a koeficijent i može biti broj iz nekog od skupova N, Z, Q, R, C

-x je promenljiva

-n je stepen monoma i pripada skupu N

Dva monoma su slična ako imaju istu promenljivu kao i stepen.

Primer: 3x2 i -5x2; ½x4 and 2√3x4

Zbir nesličnih monoma se zove polinom. Zbog toga je monom vrsta polinoma. Polinom sastavljen od dva monoma zovemo binom.
Primer: p(x)=3x2-5; h(x)=5x-1
Polinom sastavljen od tri monoma zovemo trinom.

Opšti oblik polinoma sa samo jednom promenljivom
p(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x1 +a0
gde su:

  • an,an-1,an-2,...,a1,a0 koeficijenti polinoma. Oni mogu biti prirodni brojevi, celi brojevi, racionalni brojevi, realni brojevi ili kompleksni brojevi.
  • an koeficijent uz najveći stepen polinoma (vodeći koeficijent)
  • a0 koeficijent uz najmanji stepen polinoma (konstanta)
  • n stepen polinoma

Primer 1
p(x)=5x3-2x2+7x-1

  • polinom trećeg stepena sa koeficijentima 5, -2, 7 i -1
  • 5 je vodeći koeficijent
  • -1 je konstanta
  • x je promenljiva

Primer 2
h(x)=-2√3x4+½x-4

  • polinom četvrtog stepena sa koeficijentima -2√3,½ i -4
  • -2√3 je vodeći koeficijent
  • -4 je konstanta
  • x je promenljiva

Deljenje polinoma

Neka su p(x) i q(x) dva polinoma:
p(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x1 +a0
q(x)=apxp+ap-1xp-1+...+a1x1 +a0

Da bismo našli količnik i ostatak deljenja p(x) sa q(x) treba da pratimo sledeći algoritam:

  1. Stepen polinoma p(x) treba da bude jednak ili veći od stepena polinoma q(x).
  2. Zapišemo članove svakog polinoma u opadajućem redosledu prema stepenu. Ako u p(x) nedostaju neki članovi zapisujemo ih sa koeficijentom 0.
  3. Vodeći član polinoma p(x) delimo sa vodećim članom polinoma q(x) i rezultat zapisujemo ispod reda sa deliocem (imeniocem).
  4. Množimo rezultat sa svim članovima polinoma q(x) i rezultate zapisujemo sa promenjinim znacima ispod sličnih članova polinoma p(x).
  5. Sabiramo samo članove istog stepena.
  6. Iza rezultata pišemo sledeći član polinoma p(x).
  7. Delimo vodeći član novog polinoma sa prvim članom q(x) i ponavljamo korake 3-6.
  8. Ponavljanje ovih koraka vršimo dok novi polinom ne bude manjeg stepena od polinoma q(x). Ovaj novi polinom je ostatak deljenja.
  9. Polinom napisan ispod delioca je količnik.

Primer 1
Koraci 1 i 2) $p(x)=x^5-3x^4+2x^3+7x^2-3x+5 \\ q(x)=x^2-x+1$

3)    x5-3x4+2x3+7x2-3x+5
x2-x+1
x3
4)    x5-3x4+2x3+7x2-3x+5
      -x5+x4-x3
x2-x+1
x3
5)    x5-3x4+2x3+7x2-3x+5
      -x5+x4-x3
       /  -2x4-x3
x2-x+1
x3
6)    x5-3x4+2x3+7x2-3x+5
      -x5+x4-x3
       /  -2x4-x3+7x2-3x+5
x2-x+1
x3
7)    x5-3x4+2x3+7x2-3x+5
      -x5+x4-x3
       /  -2x4+x3+7x2-3x+5
          2x4-2x3+2x2
           /  -x3+9x2-3x+5
x2-x+1
x3-2x2
8)    x5-3x4+2x3+7x2-3x+5
      -x5+x4-x3
       /  -2x4-x3+7x2-3x+5
          2x4-2x3+2x2
           /  -x3+9x2-3x+5
              x3 - x2+x
               /   8x2-2x+5
                  -8x2+8x-8
                   /  6x-3    STOP
x2-x+1
x3-2x2-x+8   --> C(x) je količnik


Odgovor: p(x)=x5 - 3x4 + 2x3 + 7x2- 3x + 5 = (x2 - x + 1)(x3 - 2x2 - x + 8) + 6x - 3

Primer 2
p(x)=x4+3x2+2x-8
q(x)=x2-3x

        x4+0x3+3x2+2x-8
      -x4+3x3
       /  3x3+3x2+2x-8
          -3x3+9x2
           /    12x2+2x-8
                -12x2+36x
               /    38x-8 r(x)    STOP
x2-3x
x2+3x+12   --> C(x) je količnik


Odgovor: x4 + 3x2 + 2x - 8 = (x2 - 3x)(x2 + 3x + 12) + 38x - 8

Deljenje sa polinomom prvog stepena

Ovo može biti urađeno na prethodno naveden način, ili korišćenjem Hornerovog pravila koje je znatno brže.
Ako je f(x)=anxn+an-1xn-1 +...+a1x+a0, polinom može biti zapisan u obliku f(x)=a0+x(a1+x(a2+...+x(an-1+anx)...))

q(x) je prvog stepena ⇒ q(x)=mx+n
Količnik polinoma će biti stepena n-1.

Sledeći Hornerovo pravilo, $x_0=-\frac{n}{m}$.
bn-1=an
bn-2=x0.bn-1+an-1
bn-3=x0.bn-2+an-2
...
b1=x0.b2+a2
b0=x0.b1+a1
r=x0.b0+a0
gde je bn-1xn-1+bn-2xn-2+...+b1x+b0 količnik. Ostatak će biti polinom nultog stepena zbog toga što stepen ostatka mora biti manji od stepena delioca.
Euklidsko deljenje ⇒ p(x)=q(x).c(x)+r ⇒ p(x)=(mx+n).c(x)+r ako je $x_0=-\frac{n}{m}$
Možemo videti da je p(x0)=0.c(x0)+r ⇒ p(x0)=r

Primer 3
p(x)=5x4-2x3+4x2-6x-7
q(x)=x-3
p(x)=-7+x(-6+x(4+x(-2+5x)))
x0=3

b3=5
b2=3.5-2=13
b1=3.13+4=43 ⇒ c(x)=5x3+13x2+43x+123; r=362
b0=3.43-6=123
r=3.123-7=362
5x4-2x3+4x2-6x-7=(x-3)(5x3+13x2+43x+123)+362

Primer 4
p(x)=-2x5+3x4+x2-4x+1
q(x)=x+2
p(x)=-2x5+3x4+0x3+x2-4x+1
q(x)=x+2
x0=-2
p(x)=1+x(-4+x(1+x(0+x(3-2x))))

b4=-2          b1=(-2).(-14)+1=29
b3=(-2).(-2)+3=7     b0=(-2).29-4=-62
b2=(-2).7+0=-14     r=(-2).(-62)+1=125
⇒ c(x)=-2x4+7x3-14x2+29x-62; r=125
-2x5+3x4+x2-4x+1=(x+2)(-2x4+7x3-14x2+29x-62)+125

Primer 5
p(x)=3x3-5x2+2x+3
q(x)=2x-1
$x_0=\frac{1}{2}$
p(x)=3+x(2+x(-5+3x))
b2=3
$b_1=\frac{1}{2}\cdot 3-5=-\frac{7}{2}$
$b_0=\frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{7}{2}\right)+2=-\frac{7}{4}+2=\frac{1}{4}$
$r=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}+3=\frac{1}{8}+3=\frac{25}{8} \Rightarrow c(x)=3x^2-\frac{7}{2}x+\frac{1}{4}$
$\Rightarrow 3x^3-5x^2+2x+3=(2x-1)(3x^2--\frac{7}{2}x+\frac{1}{4})+\frac{25}{8}$
Posledica
Ako delimo sa polinomom stepena većeg od 1, za nalaženje količnika i ostatka koristićemo korake 1-9.
Ako delimo polinomom prvog stepena mx+n, za nalaženje količnika i ostatka deljenja koristimo Hornerovo pravilo $x_0=-\frac{n}{m}$.
Ako želimo da nađemo samo ostatak deljenja sa polinomom prvog stepena, potrebno je samo da izračunamo p(x0).
Primer 6
p(x)=-4x4+3x3+5x2-x+2
q(x)=x-1
x0=1
r=p(1)=-4.1+3.1+5.1-1+2=5
r=5


Kontakt imejl:

Copyright © 2005 - 2019