Pismeno deljenje polinoma
Autor: Catalin David
Uvod
Opšta formula monoma je
f(x)=axn, gde je:
-a koeficijent i može biti broj iz nekog od skupova N, Z, Q, R, C
-x je promenljiva
-n je stepen monoma i pripada skupu N
Dva monoma su slična ako imaju istu promenljivu kao i stepen.
Primer: 3x2 i -5x2; ½x4 and 2√3x4
Zbir nesličnih monoma se zove polinom. Zbog toga je monom vrsta polinoma. Polinom sastavljen od dva monoma zovemo binom.
Primer: p(x)=3x2-5; h(x)=5x-1
Polinom sastavljen od tri monoma zovemo trinom.
Opšti oblik polinoma sa samo jednom promenljivom
p(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x1
+a0
gde su:
- an,an-1,an-2,...,a1,a0 koeficijenti polinoma. Oni mogu biti prirodni brojevi, celi brojevi, racionalni brojevi, realni brojevi ili kompleksni brojevi.
- an koeficijent uz najveći stepen polinoma (vodeći koeficijent)
- a0 koeficijent uz najmanji stepen polinoma (konstanta)
- n stepen polinoma
Primer 1
p(x)=5x3-2x2+7x-1
- polinom trećeg stepena sa koeficijentima 5, -2, 7 i -1
- 5 je vodeći koeficijent
- -1 je konstanta
- x je promenljiva
Primer 2
h(x)=-2√3x4+½x-4
- polinom četvrtog stepena sa koeficijentima -2√3,½ i -4
- -2√3 je vodeći koeficijent
- -4 je konstanta
- x je promenljiva
Deljenje polinoma
Neka su p(x) i q(x) dva polinoma:
p(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x1
+a0
q(x)=apxp+ap-1xp-1+...+a1x1
+a0
Da bismo našli količnik i ostatak deljenja p(x) sa q(x) treba da pratimo sledeći algoritam:
- Stepen polinoma p(x) treba da bude jednak ili veći od stepena polinoma q(x).
- Zapišemo članove svakog polinoma u opadajućem redosledu prema stepenu. Ako u p(x) nedostaju neki članovi zapisujemo ih sa koeficijentom 0.
- Vodeći član polinoma p(x) delimo sa vodećim članom polinoma q(x) i rezultat zapisujemo ispod reda sa deliocem (imeniocem).
- Množimo rezultat sa svim članovima polinoma q(x) i rezultate zapisujemo sa promenjinim znacima ispod sličnih članova polinoma p(x).
- Sabiramo samo članove istog stepena.
- Iza rezultata pišemo sledeći član polinoma p(x).
- Delimo vodeći član novog polinoma sa prvim članom q(x) i ponavljamo korake 3-6.
- Ponavljanje ovih koraka vršimo dok novi polinom ne bude manjeg stepena od polinoma q(x). Ovaj novi polinom je ostatak deljenja.
- Polinom napisan ispod delioca je količnik.
Primer 1
Koraci 1 i 2) $p(x)=x^5-3x^4+2x^3+7x^2-3x+5 \\ q(x)=x^2-x+1$
Odgovor: p(x)=x5 - 3x4 + 2x3 + 7x2- 3x + 5 = (x2 - x + 1)(x3 - 2x2 - x + 8) + 6x - 3
Primer 2
p(x)=x4+3x2+2x-8
q(x)=x2-3x
Odgovor: x4 + 3x2 + 2x - 8 = (x2 - 3x)(x2 + 3x + 12) + 38x - 8
Deljenje sa polinomom prvog stepena
Ovo može biti urađeno na prethodno naveden način, ili korišćenjem Hornerovog pravila koje je znatno brže.
Ako je f(x)=anxn+an-1xn-1
+...+a1x+a0, polinom može biti zapisan u obliku f(x)=a0+x(a1+x(a2+...+x(an-1+anx)...))
q(x) je prvog stepena ⇒ q(x)=mx+n
Količnik polinoma će biti stepena n-1.
Sledeći Hornerovo pravilo, $x_0=-\frac{n}{m}$.
bn-1=an
bn-2=x0.bn-1+an-1
bn-3=x0.bn-2+an-2
...
b1=x0.b2+a2
b0=x0.b1+a1
r=x0.b0+a0
gde je bn-1xn-1+bn-2xn-2+...+b1x+b0 količnik.
Ostatak će biti polinom nultog stepena zbog toga što stepen ostatka mora biti manji od stepena delioca.
Euklidsko deljenje ⇒
p(x)=q(x).c(x)+r ⇒ p(x)=(mx+n).c(x)+r ako je $x_0=-\frac{n}{m}$
Možemo videti da je p(x0)=0.c(x0)+r ⇒ p(x0)=r
Primer 3
p(x)=5x4-2x3+4x2-6x-7
q(x)=x-3
p(x)=-7+x(-6+x(4+x(-2+5x)))
x0=3
b3=5
b2=3.5-2=13
b1=3.13+4=43 ⇒ c(x)=5x3+13x2+43x+123; r=362
b0=3.43-6=123
r=3.123-7=362
5x4-2x3+4x2-6x-7=(x-3)(5x3+13x2+43x+123)+362
Primer 4
p(x)=-2x5+3x4+x2-4x+1
q(x)=x+2
p(x)=-2x5+3x4+0x3+x2-4x+1
q(x)=x+2
x0=-2
p(x)=1+x(-4+x(1+x(0+x(3-2x))))
b4=-2 b1=(-2).(-14)+1=29
b3=(-2).(-2)+3=7 b0=(-2).29-4=-62
b2=(-2).7+0=-14 r=(-2).(-62)+1=125
⇒ c(x)=-2x4+7x3-14x2+29x-62; r=125
-2x5+3x4+x2-4x+1=(x+2)(-2x4+7x3-14x2+29x-62)+125
Primer 5
p(x)=3x3-5x2+2x+3
q(x)=2x-1
$x_0=\frac{1}{2}$
p(x)=3+x(2+x(-5+3x))
b2=3
$b_1=\frac{1}{2}\cdot 3-5=-\frac{7}{2}$
$b_0=\frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{7}{2}\right)+2=-\frac{7}{4}+2=\frac{1}{4}$
$r=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}+3=\frac{1}{8}+3=\frac{25}{8} \Rightarrow c(x)=3x^2-\frac{7}{2}x+\frac{1}{4}$
$\Rightarrow 3x^3-5x^2+2x+3=(2x-1)(3x^2--\frac{7}{2}x+\frac{1}{4})+\frac{25}{8}$
Posledica
Ako delimo sa polinomom stepena većeg od 1, za nalaženje količnika i ostatka koristićemo korake 1-9.
Ako delimo polinomom prvog stepena mx+n, za nalaženje količnika i ostatka deljenja koristimo Hornerovo pravilo $x_0=-\frac{n}{m}$.
Ako želimo da nađemo samo ostatak deljenja sa polinomom prvog stepena, potrebno je samo da izračunamo p(x0).
Primer 6
p(x)=-4x4+3x3+5x2-x+2
q(x)=x-1
x0=1
r=p(1)=-4.1+3.1+5.1-1+2=5
r=5