Kompleksni brojevi

Kompleksan broj

Kompleksan broj je uređen par dva realna broja (x, y).
Kompleksne brojeve možemo posmatrati kao tačke u koordinatnom sistemu.
Neka je z kompleksan broj.
z = (x, y)
x je realan deo od z, i y imaginaran deo od z.

Kompleksni brojevi su označeni sa $\mathbb{C}$
Skup realnih brojeva je njegov podskup. Realni brojevi su zapisani kao kompleksni su $(x, 0), \ \ x \in \mathbb{R}$

Ako imamo dva kompleksna broja z1 = (x1, y1) i z2 = (x2, y2) onda je:

$z_1 = z_2 \Leftrightarrow x_1 = x_2$ and $y_1 = y_2$
$z_1 \pm z_2 = (x_1, y_1) \pm (x_2, y_2) = (x_1 \pm x_2, y_1 \pm y_2)$
$z_1z_2 = (x_1, y_1)\times (x_2, y_2) = (x_1x_2 - y_1y_2, x_1y_2 + y_1x_2)$
$\frac{z_1}{z_2}=\frac{(x_1, y_1)}{(x_2, y_2)}=\big(\frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2}, \frac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}\big)$

Kompleksan broj
Drugi način da napišemo z je: z = a + bi,
a je realan deo od z,
b je imaginaran deo i
i je imaginarna jedinica. i2 = -1, i = √-1.

Svaki kompleksan broj z = a + bi ima svoj kompleksno konjugovani par z = a - bi.

  • z + z = 2a - realan broj;
  • z - z = 2bi - imaginaran broj;
  • z.z = a2 + b2 = |z|2 - realan broj

Svaki kompleksan broj (x, y) ima relevantnu tačku u koordinatnom sistemu. Ne možemo reći da je tačka A > B, zato što za dva kompleksna broja ne možemo reći (x1, y1) > (x2, y2) To znači da kompleksni brojevi nemaju poredak.

Sabiranje, množenje i deljenje kompleksnih brojeva

Sabiranje kompleksnih brojeva:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Oduzimanje kompleksnih brojeva:

(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i

Množenje kompleksnih brojeva:

(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
Množenje kompleksnih brojeva

Deljenje kompleksnih brojeva:

$\frac{a + bi}{c + di}=\frac{(ac + bd)+(bc - ad)i}{c^2+d^2}$
Pravilo Ekvivalent Ekponent
$i^1 = i$ $i^{4n + 1} = i$ ${4n + 1, \ n \in \mathbb{Z}} = {1; 5; 9...}$
$i^2 = -1$ $i^{4n + 2} = -1$ ${4n + 2, \ n \in \mathbb{Z}} = {2; 6; 10...}$
$i^3 = -i$ $i^{4n + 3} = -i$ ${4n + 3, \ n \in \mathbb{Z}} = {3; 7; 11...}$
$i^4 = 1$ $i^{4n} = 1$ ${4n, \ n \in \mathbb{Z}} = {4; 8; 12...}$

Trigonometrijski i ojlerov oblik kompleksnog broja

kompleksan broj

Trigonometrijski oblik kompleksnih brojeva je:

z = |z|(cos(θ) + i⋅sin(θ)) = |z|e ili 
z = r(cos(θ) + isin(θ)) = re

ovde je, |z|(ili r) poznato kao moduo kompleksnog broja
θ je poznat kao argument ili faza. Krug sa crtom preko predstavlja moduo |z| od z a ugao θ predstavlja njegov argument.

Uzmimo dva kompleksna broja z1 i z2 u trigonometrijskoj formi:
z1 = r1(cos(θ1) + i⋅sin(θ1))
z2 = r2(cos(θ2) + i⋅sin(θ2))

Onda je

z1⋅z2 = r1⋅r2[cos(θ1 + θ2) + i⋅sin(θ1 + θ2)]

$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}[cos(\theta_1-\theta_2)+i\cdot sin(\theta_1-\theta_2)]$

Moavrove formule

Stepenovanje kompleksnih brojeva:
zn = rn(cos(nθ) + i⋅sin(nθ))


Pronalaženje n-tog korena kompleksnog broja:
$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}(cos(\frac{\theta+2k\pi}{n})+i\cdot sin(\frac{\theta+2k\pi}{n}))$
k = 0, 1, 2,..., n - 1


Kontakt imejl:

Copyright © 2005 - 2019