Kompleksni brojevi
Kompleksan broj je uređen par dva realna broja (x, y).
Kompleksne brojeve možemo posmatrati kao tačke u koordinatnom sistemu.
Neka je z kompleksan broj.
z = (x, y)
x je realan deo od z, i
y imaginaran deo od z.
Kompleksni brojevi su označeni sa $\mathbb{C}$
Skup realnih brojeva je njegov podskup. Realni brojevi su zapisani kao kompleksni su $(x, 0), \ \ x \in \mathbb{R}$
Ako imamo dva kompleksna broja z1 = (x1, y1) i z2 = (x2, y2) onda je:
$z_1 \pm z_2 = (x_1, y_1) \pm (x_2, y_2) = (x_1 \pm x_2, y_1 \pm y_2)$
$z_1z_2 = (x_1, y_1)\times (x_2, y_2) = (x_1x_2 - y_1y_2, x_1y_2 + y_1x_2)$
$\frac{z_1}{z_2}=\frac{(x_1, y_1)}{(x_2, y_2)}=\big(\frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2}, \frac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}\big)$
Drugi način da napišemo z je: z = a + bi,
a
je realan deo od z,
b je imaginaran deo i
i
je imaginarna jedinica. i2 = -1, i = √-1.
Svaki kompleksan broj z = a + bi ima svoj kompleksno konjugovani par z = a - bi.
- z + z = 2a - realan broj;
- z - z = 2bi - imaginaran broj;
- z.z = a2 + b2 = |z|2 - realan broj
Svaki kompleksan broj (x, y) ima relevantnu tačku u koordinatnom sistemu. Ne možemo reći da je tačka A > B, zato što za dva kompleksna broja ne možemo reći (x1, y1) > (x2, y2) To znači da kompleksni brojevi nemaju poredak.
Sabiranje, množenje i deljenje kompleksnih brojeva
Sabiranje kompleksnih brojeva:
Oduzimanje kompleksnih brojeva:
Množenje kompleksnih brojeva:
Deljenje kompleksnih brojeva:
Pravilo | Ekvivalent | Ekponent |
---|---|---|
$i^1 = i$ | $i^{4n + 1} = i$ | ${4n + 1, \ n \in \mathbb{Z}} = {1; 5; 9...}$ |
$i^2 = -1$ | $i^{4n + 2} = -1$ | ${4n + 2, \ n \in \mathbb{Z}} = {2; 6; 10...}$ |
$i^3 = -i$ | $i^{4n + 3} = -i$ | ${4n + 3, \ n \in \mathbb{Z}} = {3; 7; 11...}$ |
$i^4 = 1$ | $i^{4n} = 1$ | ${4n, \ n \in \mathbb{Z}} = {4; 8; 12...}$ |
Trigonometrijski i ojlerov oblik kompleksnog broja
Trigonometrijski oblik kompleksnih brojeva je:
z = r(cos(θ) + isin(θ)) = reiθ
ovde je, |z|(ili r) poznato kao moduo kompleksnog broja
θ je poznat kao argument ili faza.
Krug sa crtom preko predstavlja moduo
|z| od z a ugao θ predstavlja njegov argument.
Uzmimo dva kompleksna broja z1 i z2 u trigonometrijskoj formi:
z1 = r1(cos(θ1) + i⋅sin(θ1))
z2 = r2(cos(θ2) + i⋅sin(θ2))
Onda je
z1⋅z2 = r1⋅r2[cos(θ1 + θ2) + i⋅sin(θ1 + θ2)]
$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}[cos(\theta_1-\theta_2)+i\cdot sin(\theta_1-\theta_2)]$
Moavrove formule
Stepenovanje kompleksnih brojeva:
zn = rn(cos(nθ) + i⋅sin(nθ))
Pronalaženje n-tog korena kompleksnog broja:
$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}(cos(\frac{\theta+2k\pi}{n})+i\cdot sin(\frac{\theta+2k\pi}{n}))$
k = 0, 1, 2,..., n - 1