Kompleksni brojevi

Kompleksan broj je uređen par dva realna broja (x, y).
Kompleksne brojeve možemo posmatrati kao tačke u koordinatnom sistemu.
Neka je z kompleksan broj.
z = (x, y)
x je realan deo od z, i y imaginaran deo od z.

Kompleksni brojevi su označeni sa $\mathbb{C}$
Skup realnih brojeva je njegov podskup.

Ako imamo dva kompleksna broja z1 = (x1, y1) i z2 = (x2, y2) onda je:

z1 = z2 <=> x1 = x2
z1 ± z2 = (x1, y1) ± (x2, y2) = (x1 ± x2, y1 ± y2)
z1z2 = (x1, y1)(x2, y2) = (x1x2 - y1y2, x1y2 + y1x2)
$\frac{z_1}{z_2}=\frac{(x_1, y_1)}{(x_2, y_2)}=\big(\frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2}, \frac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}\big)$

Drugi način da napišemo z je: z = x + iy,
x je realan deo od z,
y je imaginaran deo i
i je imaginarna jedinica. i2 = -1, i = √-1.

Svaki kompleksan broj z = x + iy ima svoj kompleksno konjugovani par z = x - iy.

  • z + z = 2x - realan broj;
  • z - z = i2y - imaginaran broj;
  • z.z = x2 + y2 = |z|2 - realan broj

Svaki kompleksan broj (x, y) ima relevantnu tačku u koordinatnom sistemu. Ne možemo reći da je tačka A > B, zato što za dva kompleksna broja ne možemo reći (x1, y1) > (x2, y2) To znači da kompleksni brojevi nemaju poredak.

Sabiranje, množenje i deljenje kompleksnih brojeva

Sabiranje kompleksnih brojeva:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + i(b + d)

Oduzimanje kompleksnih brojeva:

(a + bi) - (c + di) = (a - c) + i(b - d)

Množenje kompleksnih brojeva:

(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + i(ad + bc)

Deljenje kompleksnih brojeva:

(a + bi)/(c + di) = ((ac + bd) + i(bc - ad))/(c2 + d2)

Trigonometrijski i ojlerov oblik kompleksnog broja

kompleksan broj

Trigonometrijski oblik kompleksnih brojeva je:

z = |z|(cos(θ) + i⋅sin(θ)) = |z|e ili 
z = r(cos(θ) + isin(θ)) = re

ovde je, |z|(ili r) poznato kao moduo kompleksnog broja
θ je poznat kao argument ili faza. Krug sa crtom preko predstavlja moduo |z| od z a ugao θ predstavlja njegov argument.

Uzmimo dva kompleksna broja z1 i z2 u trigonometrijskoj formi:
z1 = r1(cos(θ1) + i⋅sin(θ1))
z2 = r2(cos(θ2) + i⋅sin(θ2))

Onda je

z1⋅z2 = r1⋅r2[cos(θ1 + θ2) + i⋅sin(θ1 + θ2)]

$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}[cos(\theta_1-\theta_2)+i\cdot sin(\theta_1-\theta_2)]$

Moavrove formule

Stepenovanje kompleksnih brojeva:
zn = rn(cos(nθ) + i⋅sin(nθ))


Pronalaženje n-tog korena kompleksnog broja:
$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}(cos(\frac{\theta+2k\pi}{n})+i\cdot sin(\frac{\theta+2k\pi}{n}))$
k = 0, 1, 2,..., n - 1


Kontakt imejl:

Copyright © 2005 - 2019