Kompleksni brojevi

Kalkulator za kompleksne brojeve

Upišite realni i imaginarni deo svakog broja: cele brojeve, decimalne brojeve ili razlomke, na primer 0,5 ili 1/3. Prazno polje znači $0.$ Izaberite računsku operaciju, a kalkulator će prikazati rešenje korak po korak.

Šta je kompleksan broj?

Jednačina $x^2=-1$ nema realnih rešenja, jer kvadrat realnog broja nikada nije negativan. Da bi rešili takve jednačine, matematičari su uveli novi broj $i$ čiji je kvadrat jednak $-1.$ Brojevi koji se dobijaju od realnih brojeva i broja $i$ nazivaju se kompleksni brojevi. U skupu kompleksnih brojeva svaka kvadratna jednačina ima rešenja, a svaka algebarska jednačina stepena $n$ ima $n$ korena, ako se svaki koren računa onoliko puta kolika je njegova višestrukost.

Imaginarni deo je realan broj $b,$ a ne $bi\text{:}$ za $z=3-2i$ je $\operatorname{Re} z=3$ i $\operatorname{Im} z=-2.$ Kada je $b=0,$ broj $z=a$ je realan, pa je svaki realan broj ujedno i kompleksan broj: $\mathbb{R}\subset\mathbb{C}.$ Kada je $a=0$ i $b\ne 0,$ broj $z=bi$ naziva se čisto imaginaran, na primer $5i$ i $-i.$ Zapis $z=a+bi$ naziva se algebarski oblik kompleksnog broja.

Kompleksni brojevi su se prvi put pojavili u 16. veku, u Kardanovoj formuli za rešavanje kubnih jednačina. Danas se koriste u fizici, elektrotehnici i obradi signala.

Na ovoj stranici: Kalkulator · Imaginarna jedinica · Kompleksna ravan · Računske operacije · Konjugat · Deljenje · Stepeni broja i · Moduo · Argument · Trigonometrijski oblik · Moavrova formula · Koreni · Jednačine · Vežbanje

Imaginarna jedinica i kvadratni koreni negativnih brojeva

I kvadrat broja $-i$ jednak je $-1\text{:}$ ${(-i)^2}={(-1)^2\cdot i^2}={-1.}$ Zato jednačina $x^2=-1$ ima dva rešenja, $x=i$ i $x=-i.$ Na isti način za svaki pozitivan broj $a$ važi

$x^2=-a\iff x=\pm i\sqrt{a}$

Na primer, iz $x^2=-9$ dobijamo $x=\pm 3i,$ a iz $x^2=-7$ dobijamo $x=\pm i\sqrt{7}.$ Provera: $(3i)^2=9i^2=-9.$

Kvadratni koren negativnog broja zapisuje se pomoću $i\text{:}$ $\sqrt{-a}=i\sqrt{a}$ za $a\gt 0,$ na primer $\sqrt{-16}=4i.$ Zato se u mnogim knjigama piše $i=\sqrt{-1}.$ Pravilo $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ dokazano je za $a\ge 0$ i $b\ge 0.$ Za dva negativna broja ono ne važi: ${\sqrt{-4}\cdot\sqrt{-9}}={2i\cdot 3i}={6i^2}={-6,}$ a $\sqrt{(-4)(-9)}=\sqrt{36}=6.$ Zato najpre svaki koren negativnog broja zapišite pomoću $i,$ pa tek onda množite.

Jednaki kompleksni brojevi

Dva kompleksna broja su jednaka ako su im jednaki realni delovi i jednaki imaginarni delovi: $a+bi=c+di$ tačno onda kada je $a=c$ i $b=d.$

Primer 1. Odredite realne brojeve $x$ i $y$ za koje je ${(2x-1)+(y+3)i}={5-i.}$

Izjednačimo realne delove i imaginarne delove: $2x-1=5$ i $y+3=-1.$ Odgovor: $x=3,$ $y=-4.$

Kompleksna ravan

Kompleksan broj $z=a+bi$ određen je parom realnih brojeva $(a,\ b).$ Zato ga možemo predstaviti tačkom $(a,\ b)$ koordinatne ravni ili vektorom od koordinatnog početka do te tačke. Tada se $x$-osa naziva realna osa, $y$-osa imaginarna osa, a sama ravan kompleksna ravan.

Realni brojevi leže na realnoj osi, a čisto imaginarni brojevi na imaginarnoj osi. Tačka $-2+3i$ na slici dobija se rotacijom tačke $3+2i$ za $90^\circ$ oko koordinatnog početka; u nastavku ćemo videti zašto.

Kompleksni brojevi se ne mogu porediti znacima $\lt$ i $\gt\text{:}$ nejednakost kao što je $2+i\gt 1+3i$ nema smisla. Kompleksne brojeve nije moguće urediti tako da važe uobičajena pravila za nejednakosti. Zaista, ako je $i\gt 0,$ onda množenjem obe strane nejednakosti pozitivnim brojem $i$ dobijamo $i\cdot i\gt 0,$ tj. $-1\gt 0.$ Ako je $i\lt 0,$ onda je $-i\gt 0$ i $(-i)\cdot(-i)\gt 0,$ pa je opet $-1\gt 0.$ Umesto toga možemo da uporedimo njihova rastojanja od koordinatnog početka (module, o kojima govorimo u nastavku): ${|2+i|}={\sqrt{5}}\lt{|1+3i|}={\sqrt{10}.}$

Sabiranje, oduzimanje, množenje i deljenje

Kompleksni brojevi se sabiraju, oduzimaju i množe kao binomi $a+bx,$ uz još jedno pravilo: $i^2=-1.$

Sabiranje i oduzimanje

Posebno sabiramo (ili oduzimamo) realne delove, a posebno imaginarne delove.

Primer 2.

${(3+2i)+(1-5i)}={(3+1)+(2-5)i}={4-3i}$

${(3+2i)-(1-5i)}={(3-1)+(2+5)i}={2+7i}$

U kompleksnoj ravni zbir se dobija po pravilu paralelograma, kao zbir dva vektora. Na slici je prikazano ${(1+3i)+(3+i)}={4+4i.}$

Množenje

Svaki član prve zagrade pomnožimo svakim članom druge zagrade, a zatim $i^2$ zamenimo sa $-1\text{:}$

Primer 3.

${(2+3i)(4-i)}={8-2i+12i-3i^2}={8+10i+3}={11+10i}$

${(-3-5i)(7-9i)}={-21+27i}-{35i+45i^2}={-21-8i-45}={-66-8i}$

Važe i formule za kvadrat zbira i razliku kvadrata:

${(1+i)^2}={1+2i+i^2}={2i,}$  ${(2-i)^2}={4-4i+i^2}={3-4i}$

${(3+4i)(3-4i)}={9-16i^2}={25}$

U nekim knjigama kompleksni brojevi se definišu kao uređeni parovi realnih brojeva $(x,\ y)$ (tačke kompleksne ravni), a parovi se sabiraju i množe po pravilima

${(x_1,\ y_1)+(x_2,\ y_2)}={(x_1+x_2,\ y_1+y_2)}$

${(x_1,\ y_1)\cdot(x_2,\ y_2)}={(x_1x_2-y_1y_2,\ x_1y_2+x_2y_1)}$

To su gornje formule za $a=x_1,$ $b=y_1,$ $c=x_2,$ $d=y_2.$ Par $(x,\ 0)$ je realan broj $x,$ a par $(0,\ 1)$ je $i.$ Tada je ${(0,\ 1)\cdot(0,\ 1)}={(-1,\ 0),}$ a to je upravo $i^2=-1.$ Obe definicije opisuju iste brojeve: $(x,\ y)=x+yi.$

Konjugovano kompleksan broj

Broj $\overline{z}=a-bi$ naziva se konjugovano kompleksan broj broja $z=a+bi$ (kraće: njegov konjugat).

On ima isti realni deo i suprotan imaginarni deo. U kompleksnoj ravni tačka $\overline{z}$ je simetrična tački $z$ u odnosu na realnu osu. Na primer, $\overline{2+5i}=2-5i,$ $\overline{-3i}=3i$ i $\overline{7}=7.$

Zbir i proizvod broja i njegovog konjugata su realni brojevi, a njihova razlika je čisto imaginaran broj (ili $0$):

Konjugat zbira, razlike, proizvoda ili količnika jednak je zbiru, razlici, proizvodu ili količniku konjugata; na primer, $\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$ i $\overline{z_1z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}.$ Broj $z$ je realan tačno onda kada je $\overline{z}=z.$

Deljenje

Kada delimo sa $c+di,$ brojilac i imenilac pomnožimo konjugatom imenioca, brojem $c-di.$ Imenilac tada postaje realan broj $c^2+d^2\text{:}$

Primer 4. Podelite $3+4i$ sa $1-2i.$

${\frac{3+4i}{1-2i}}={\frac{(3+4i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}}={\frac{3+6i+4i+8i^2}{1+4}}={\frac{-5+10i}{5}}={-1+2i}$

Provera: ${(-1+2i)(1-2i)}={-1+2i+2i-4i^2}={3+4i.}$

Primer 5.

${\frac{1}{i}}={\frac{1\cdot(-i)}{i\cdot(-i)}}={\frac{-i}{1}}={-i}$

${\frac{2-i}{3+i}}={\frac{(2-i)(3-i)}{(3+i)(3-i)}}={\frac{6-2i-3i+i^2}{9+1}}={\frac{5-5i}{10}}={\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i}$

Stepeni broja i

Stepeni broja $i$ ponavljaju se u ciklusu od četiri vrednosti:

$i^1=i,$  $i^2=-1,$  $i^3=i^2\cdot i=-i,$  $i^4=i^2\cdot i^2=1,$  $i^5=i^4\cdot i=i,$  $\dots$

Pošto je $i^4=1,$ vrednost $i^n$ zavisi samo od ostatka pri deljenju broja $n$ sa $4$ ($k$ je ceo broj):

$n$	na primer	$i^n$
$4k$	$0,\ 4,\ 8,\ 12,\ \dots$	$1$
$4k+1$	$1,\ 5,\ 9,\ 13,\ \dots$	$i$
$4k+2$	$2,\ 6,\ 10,\ 14,\ \dots$	$-1$
$4k+3$	$3,\ 7,\ 11,\ 15,\ \dots$	$-i$

Primer 6. ${i^{27}}={i^{24}\cdot i^3}={(i^4)^6\cdot i^3}={-i,}$ jer je $27=4\cdot 6+3.$ Na isti način je $i^{100}=1,$ jer je $100=4\cdot 25,$ a $i^{2026}=-1,$ jer je $2026=4\cdot 506+2.$

Pravilo važi i za negativne izložioce: $i^{-1}=\frac{1}{i}=-i,$ i zaista je $-1=4\cdot(-1)+3.$ Zbir četiri uzastopna stepena jednak je nuli: ${i+i^2+i^3+i^4}={i-1-i+1}={0.}$

U kompleksnoj ravni množenje sa $i$ rotira broj za $90^\circ$ suprotno od smera kazaljke na satu: $i(a+\nobreak bi)=-b+ai.$ Zato stepeni $1,$ $i,$ $-1,$ $-i$ obilaze kružnicu poluprečnika $1$ u koracima od $90^\circ.$

Moduo kompleksnog broja

Ova formula je Pitagorina teorema za pravougli trougao sa katetama $|a|$ i $|b|$ (pogledajte sliku u sledećem odeljku). Za realan broj moduo je obična apsolutna vrednost; na primer, $\lvert -5\rvert=5.$

Primer 7. $|3+4i|=\sqrt{9+16}=5,$ $\lvert -1+i\rvert=\sqrt{2},$ $\lvert -2i\rvert=2,$ $|1-3i|=\sqrt{10}.$

Osobine modula:

• $|z|\ge 0,$ pri čemu je $|z|=0$ samo za $z=0;$
• $|\overline{z}|=|z|$ i $z\cdot\overline{z}=|z|^2;$
• $|z_1z_2|=|z_1|\cdot|z_2|$ i $\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|};$
• $|z_1-z_2|$ je rastojanje između tačaka $z_1$ i $z_2;$
• $|z_1+z_2|\le|z_1|+|z_2|$ (nejednakost trougla).

Na primer, ${|(3+4i)(1-3i)|}={|3+4i|\cdot|1-3i|}={5\sqrt{10},}$ bez množenja zagrada. Iz $z\cdot\overline{z}=|z|^2$ dobijamo i recipročnu vrednost broja $z\ne 0\text{:}$ $\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}.$

Argument kompleksnog broja

Argument nije jednoznačno određen: svi uglovi $\varphi+2k\pi$ (tj. $\varphi+k\cdot 360^\circ$), gde je $k$ ceo broj, daju istu tačku. Glavna vrednost argumenta je ona koja pripada intervalu $-\pi\lt\varphi\le\pi$ (od $-180^\circ$ do $180^\circ$); negativan ugao meri se u smeru kazaljke na satu. U nekim knjigama se umesto toga uzima $0\le\varphi\lt 2\pi.$ Broj $0$ nema argument.

Sama vrednost $\operatorname{tg}\varphi$ nije dovoljna: brojevi $1+i$ i $-1-i$ imaju isti količnik $\frac{b}{a}=1,$ ali leže u suprotnim kvadrantima. Zato najpre odredite kvadrant u kome je tačka $(a,\ b),$ a zatim ugao:

• $a\gt 0$ (prvi i četvrti kvadrant): $\varphi=\operatorname{arctg}\frac{b}{a};$
• $a\lt 0,$ $b\ge 0$ (drugi kvadrant i negativan deo realne ose): $\varphi=\operatorname{arctg}\frac{b}{a}+\pi;$
• $a\lt 0,$ $b\lt 0$ (treći kvadrant): $\varphi=\operatorname{arctg}\frac{b}{a}-\pi;$
• $a=0\text{:}$ $\varphi=\frac{\pi}{2}$ za $b\gt 0$ i $\varphi=-\frac{\pi}{2}$ za $b\lt 0.$

Primer 8. Odredite moduo i argument.

• $z=1+i\text{:}$ $|z|=\sqrt{2},$ prvi kvadrant, $\operatorname{tg}\varphi=1,$ $\varphi=\frac{\pi}{4}$ ($45^\circ$).
• $z=-1+\sqrt{3}\,i\text{:}$ $|z|=\sqrt{1+3}=2,$ $\cos\varphi=-\frac{1}{2},$ $\sin\varphi=\frac{\sqrt{3}}{2},$ pa je $\varphi=\frac{2\pi}{3}$ ($120^\circ$).
• $z=-1-i\text{:}$ $|z|=\sqrt{2},$ treći kvadrant, ${\varphi}={\operatorname{arctg} 1-\pi}={\frac{\pi}{4}-\pi}={-\frac{3\pi}{4}}$ ($-135^\circ$).
• $z=3-4i\text{:}$ $|z|=5,$ četvrti kvadrant, ${\varphi}={\operatorname{arctg}\left(-\frac{4}{3}\right)}\approx{-0{,}9273}$ ($\approx -53{,}13^\circ$).
• $\arg(-4)=\pi,$ $\arg 3i=\frac{\pi}{2},$ $\arg(-2i)=-\frac{\pi}{2}.$

Trigonometrijski (polarni) oblik

Iz $\cos\varphi=\frac{a}{r}$ i $\sin\varphi=\frac{b}{r}$ dobijamo $a=r\cos\varphi$ i $b=r\sin\varphi.$ Zato je $a+bi=r\cos\varphi+ir\sin\varphi\text{:}$

Primer 9. Zapišite $1+i,$ $-1+\sqrt{3}\,i$ i $-2i$ u trigonometrijskom obliku. Koristimo module i argumente iz primera 8:

$1+i=\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)$

${-1+\sqrt{3}\,i}={2\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right)}$

${-2i}={2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)}$

Primer 10. Zapišite $4\left(\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}\right)$ u algebarskom obliku.

${4\left(\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}\right)}={4\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\right)}={-2\sqrt{3}+2i}$

U trigonometrijskom obliku moduo $r$ je pozitivan, kosinus i sinus imaju isti ugao i sabiraju se. Zato $-2(\cos 30^\circ+\nobreak i\sin 30^\circ)$ nije trigonometrijski oblik. Pošto je $\cos(\alpha+\nobreak 180^\circ)=-\cos\alpha$ i $\sin(\alpha+\nobreak 180^\circ)=-\sin\alpha,$ ovaj broj je jednak $2(\cos 210^\circ+\nobreak i\sin 210^\circ).$ Na isti način je ${2(\cos 30^\circ-i\sin 30^\circ)}={2(\cos(-30^\circ)+i\sin(-30^\circ)).}$

Ojlerova formula i eksponencijalni oblik

Ovo je Ojlerova formula (dokazuje se u matematičkoj analizi pomoću stepenih redova; ugao $\varphi$ je u radijanima). Pomoću nje trigonometrijski oblik dobija kraći zapis, eksponencijalni oblik $z=re^{i\varphi}.$ Na primer, $1+i=\sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$ i $-1=e^{i\pi},$ odakle dobijamo čuvenu jednakost $e^{i\pi}+1=0.$ Važe uobičajena pravila za stepene: $e^{i\alpha}\cdot e^{i\beta}=e^{i(\alpha+\beta)}.$

Množenje i deljenje u trigonometrijskom obliku

Neka je $z_1=r_1(\cos\varphi_1+\nobreak i\sin\varphi_1)$ i $z_2=r_2(\cos\varphi_2+\nobreak i\sin\varphi_2).$ Tada je

Zašto? Pomnožimo zagrade i primenimo adicione formule za kosinus i sinus:

${(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1)(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2)}={(\cos\varphi_1\cos\varphi_2-\sin\varphi_1\sin\varphi_2)}+{i(\sin\varphi_1\cos\varphi_2+\cos\varphi_1\sin\varphi_2)}={\cos(\varphi_1+\varphi_2)}+{i\sin(\varphi_1+\varphi_2)}$

U eksponencijalnom obliku to je jednostavno ${r_1e^{i\varphi_1}\cdot r_2e^{i\varphi_2}}={r_1r_2e^{i(\varphi_1+\varphi_2)}.}$

Dakle, pri množenju sa $z_2$ dužina vektora broja $z_1$ množi se sa $r_2,$ a vektor se rotira za ugao $\varphi_2.$ Na primer, $i=\cos 90^\circ+i\sin 90^\circ,$ pa se pri množenju sa $i$ vektor rotira za $90^\circ;$ a ${1+i}={\sqrt{2}(\cos 45^\circ+i\sin 45^\circ),}$ pa se pri množenju sa $1+i$ vektor rotira za $45^\circ$ i izdužuje $\sqrt{2}$ puta.

Primer 11. Neka je $z_1=6(\cos 75^\circ+\nobreak i\sin 75^\circ)$ i $z_2=2(\cos 15^\circ+\nobreak i\sin 15^\circ).$ Tada je

${z_1z_2}={12(\cos 90^\circ+i\sin 90^\circ)}={12i}$

${\frac{z_1}{z_2}}={3(\cos 60^\circ+i\sin 60^\circ)}={\frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}\,i}$

Moavrova formula

Kada pomnožimo $n$ jednakih činilaca $z=r(\cos\varphi+\nobreak i\sin\varphi),$ moduli se množe, a argumenti sabiraju: $r\cdot r\cdots r=r^n$ i $\varphi+\varphi+\dots+\varphi=n\varphi.$ Zato je

Primer 12. Izračunajte $(1+\nobreak i)^{10}.$

$1+i=\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)$

${(1+i)^{10}}={(\sqrt{2})^{10}\left(\cos\frac{5\pi}{2}+i\sin\frac{5\pi}{2}\right)}={32\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)}={32i}$

Ovde je $10\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{2}=2\pi+\frac{\pi}{2},$ a pun ugao $2\pi$ ne menja kosinus i sinus. Množenje deset zagrada trajalo bi mnogo duže. U ovom primeru postoji i kraći put: $(1+\nobreak i)^2=2i,$ pa je ${(1+i)^{10}}={(2i)^5}={32i^5}={32i.}$

Primer 13. Izračunajte $(\sqrt{3}+\nobreak i)^6.$

$\sqrt{3}+i=2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right),$  ${(\sqrt{3}+i)^6}={2^6(\cos\pi+i\sin\pi)}={-64}$

Formule za višestruke uglove

Za $r=1$ Moavrova formula glasi ${(\cos\varphi+i\sin\varphi)^n}={\cos n\varphi+i\sin n\varphi.}$ Za $n=3$ levu stranu razvijemo po formuli za kub zbira:

${(\cos\varphi+i\sin\varphi)^3}={\cos^3\varphi+3i\cos^2\varphi\sin\varphi}-{3\cos\varphi\sin^2\varphi-i\sin^3\varphi}$

Prema Moavrovoj formuli ovo je jednako $\cos 3\varphi+i\sin 3\varphi.$ Izjednačimo realne delove i imaginarne delove i iskoristimo $\sin^2\varphi+\cos^2\varphi=1\text{:}$

${\cos 3\varphi}={\cos^3\varphi-3\cos\varphi\sin^2\varphi}={4\cos^3\varphi-3\cos\varphi}$

${\sin 3\varphi}={3\cos^2\varphi\sin\varphi-\sin^3\varphi}={3\sin\varphi-4\sin^3\varphi}$

Formula za $\cos 3\varphi$ ključna je za trigonometrijski metod rešavanja kubnih jednačina sa tri realna korena.

Koreni kompleksnih brojeva

Ovde je $\sqrt[n]{r}$ uobičajeni pozitivan koren pozitivnog broja $r.$ Prema Moavrovoj formuli,

${w_k^n}={r\bigl(\cos(\varphi+2k\pi)+i\sin(\varphi+2k\pi)\bigr)}={z}$

Koreni leže na kružnici poluprečnika $\sqrt[n]{r},$ a ugao između susednih korena je $\frac{2\pi}{n}\text{:}$ za $n\ge 3$ oni su temena pravilnog mnogougla sa $n$ stranica, a za $n=2$ to su dva suprotna broja $w_0$ i $-w_0.$ Za $k=n$ ponovo bismo dobili $w_0.$

Primer 14. Odredite kubne korene broja $8i.$

Imamo $8i=8\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)$ i $\sqrt[3]{8}=2.$ Uglovi su $\frac{\pi/2+2k\pi}{3}=\frac{\pi}{6}+\frac{2k\pi}{3}\text{:}$

${w_0}={2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)}={\sqrt{3}+i}$

${w_1}={2\left(\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}\right)}={-\sqrt{3}+i}$

${w_2}={2\left(\cos\frac{3\pi}{2}+i\sin\frac{3\pi}{2}\right)}={-2i}$

Provera: $(-2i)^3=-8i^3=8i.$ Ova tri korena su temena jednakostraničnog trougla.

Primer 15. Kubni koreni iz jedinice, tj. broja $1.$ Pošto je $1=\cos 0+i\sin 0,$ koreni su $w_k=\cos\frac{2k\pi}{3}+i\sin\frac{2k\pi}{3}\text{:}$

$w_0=1,$  $w_1=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,$  $w_2=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$

Isti brojevi su rešenja jednačine ${x^3-1}={(x-1)(x^2+x+1)}={0.}$

Kvadratni koreni u algebarskom obliku

Kvadratni koreni broja $a+bi$ mogu se naći i bez trigonometrije. Neka je $(x+\nobreak yi)^2=a+bi,$ gde su $x$ i $y$ realni brojevi. Tada je $x^2-y^2+2xyi=a+bi,$ pa je $x^2-y^2=a$ i $2xy=b.$ Moduli obe strane daju treću jednačinu, $x^2+y^2=\sqrt{a^2+b^2}.$ Sabiranjem ove jednačine i jednačine $x^2-y^2=a,$ kao i njihovim oduzimanjem, odmah dobijamo $x^2$ i $y^2$ (tako radi i kalkulator na početku stranice).

Primer 16. Odredite kvadratne korene broja $3+4i.$

Treba da važi $x^2-y^2=3$ i $2xy=4.$ Tada je $y=\frac{2}{x}$ i $x^2-\frac{4}{x^2}=3,$ tj. $x^4-3x^2-4=0$ i $(x^2-\nobreak 4)(x^2+\nobreak 1)=0.$ Pošto je $x$ realan broj, mora biti $x^2=4,$ pa je $x=2,$ $y=1$ ili $x=-2,$ $y=-1.$ Odgovor: $2+i$ i $-2-i.$ Provera: ${(2+i)^2}={4+4i+i^2}={3+4i.}$

Jednačine sa kompleksnim korenima

Kvadratna jednačina $ax^2+bx+c=0$ sa realnim koeficijentima i negativnom diskriminantom $D=b^2-4ac$ nema realnih korena. Ona ima dva kompleksna korena, koji su konjugovano kompleksni brojevi:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm i\sqrt{-D}}{2a}$

Primer 17. Rešite jednačinu $x^2+2x+5=0.$

$D=4-20=-16,$  ${x_{1,2}}={\frac{-2\pm 4i}{2}}={-1\pm 2i}$

Provera pomoću Vijetovih formula: ${(-1+2i)+(-1-2i)}={-2}$ i ${(-1+2i)(-1-2i)}={1+4}={5.}$ Odgovor: $x=-1+2i,$ $x=-1-2i.$

Isto važi za svaku algebarsku jednačinu sa realnim koeficijentima: ako je $z$ njen koren, onda je i $\overline{z}$ njen koren. Osnovni stav algebre (osnovna teorema algebre) tvrdi da svaka algebarska jednačina stepena $n\ge 1$ (čak i sa kompleksnim koeficijentima) ima tačno $n$ kompleksnih korena, ako se svaki koren računa onoliko puta kolika je njegova višestrukost (na primer, jednačina $x^2-2x+1=0$ ima dvostruki koren $1$).

Primer 18. Rešite jednačinu $x^4=16.$

${x^4-16}={(x^2-4)(x^2+4)}={(x-2)(x+2)(x-2i)(x+2i)}={0}$

Odgovor: $x=2,$ $x=-2,$ $x=2i,$ $x=-2i.$ To su četiri četvrta korena broja $16;$ oni su temena kvadrata.

Primer 19. Rešite jednačinu $z+2\overline{z}=3-i.$

Kada jednačina sadrži $\overline{z}$ ili $|z|,$ zapišemo $z=x+yi,$ gde su $x$ i $y$ realni brojevi:

${x+yi+2(x-yi)}={3-i,}$  $3x-yi=3-i$

Izjednačimo realne delove i imaginarne delove: $3x=3$ i $-y=-1.$ Odgovor: $z=1+i.$

Zadaci za vežbanje

Rešite zadatke, a zatim ih otvorite da biste videli odgovore. Svoja rešenja možete da proverite pomoću kalkulatora iznad.

1. Izračunajte ${(4-3i)}+{(-1+5i)-(2-i).}$

${(4-1-2)}+{(-3+5+1)i}={1+3i.}$ Odgovor: $1+3i.$

2. Izračunajte proizvod $(1+\nobreak 2i)(3-\nobreak 4i).$

${3-4i+6i-8i^2}={3+2i+8}={11+2i.}$ Odgovor: $11+2i.$

3. Izračunajte $(2+\nobreak 5i)(2-\nobreak 5i)$ i $(1-\nobreak i)^2.$

${(2+5i)(2-5i)}={4-25i^2}={29}$ i ${(1-i)^2}={1-2i+i^2}={-2i.}$ Odgovor: $29$ i $-2i.$

4. Izračunajte $\frac{4+7i}{2+i}.$

${\frac{(4+7i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}}={\frac{8-4i+14i-7i^2}{4+1}}={\frac{15+10i}{5}}={3+2i.}$ Odgovor: $3+2i.$

5. Izračunajte $i^{15}+i^{40}+i^{-3}.$

$15=4\cdot 3+3,$ pa je $i^{15}=-i;$ $i^{40}=1;$ $-3=4\cdot(-1)+1,$ pa je $i^{-3}=i.$ Odgovor: $-i+1+i=1.$

6. Odredite realne brojeve $x$ i $y$ za koje je ${(x+2y)+(x-y)i}={7+i.}$

$x+2y=7$ i $x-y=1.$ Oduzimanjem jednačina dobijamo $3y=6.$ Odgovor: $x=3,$ $y=2.$

7. Izračunajte $|5-12i|$ i $|(1+\nobreak i)(3-\nobreak 4i)|.$

${|5-12i|}={\sqrt{25+144}}={13}$ i ${|(1+i)(3-4i)|}={|1+i|\cdot|3-4i|}={\sqrt{2}\cdot 5.}$ Odgovor: $13$ i $5\sqrt{2}.$

8. Zapišite $-3+3i$ u trigonometrijskom obliku.

$r=\sqrt{9+9}=3\sqrt{2};$ tačka je u drugom kvadrantu i $\operatorname{tg}\varphi=-1,$ pa je $\varphi=\frac{3\pi}{4}.$ Odgovor: ${-3+3i}={3\sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right).}$

9. Odredite moduo i glavnu vrednost argumenta broja $-\sqrt{3}-i.$

$r=\sqrt{3+1}=2.$ Tačka je u trećem kvadrantu i $\operatorname{tg}\varphi=\frac{1}{\sqrt{3}},$ pa je $\varphi=\frac{\pi}{6}-\pi=-\frac{5\pi}{6}.$ Odgovor: $|z|=2,$ $\arg z=-\frac{5\pi}{6}$ ($-150^\circ$).

10. Zapišite $6(\cos 240^\circ+\nobreak i\sin 240^\circ)$ u algebarskom obliku.

$\cos 240^\circ=-\frac{1}{2}$ i $\sin 240^\circ=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$ Odgovor: $-3-3\sqrt{3}\,i.$

11. Izračunajte $(1-\nobreak i)^8.$

$(1-\nobreak i)^2=-2i,$ pa je ${(1-i)^8}={(-2i)^4}={16i^4}={16.}$ Pomoću Moavrove formule: $|1-i|=\sqrt{2},$ $\arg(1-\nobreak i)=-\frac{\pi}{4},$ pa je $(\sqrt{2})^8=16$ i $8\cdot\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-2\pi.$ Odgovor: $16.$

12. Izračunajte $(-1+\nobreak \sqrt{3}\,i)^5.$

${-1+\sqrt{3}\,i}={2\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right),}$ pa je traženi stepen jednak ${32\left(\cos\frac{10\pi}{3}+i\sin\frac{10\pi}{3}\right)}={32\left(\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}\right).}$ Odgovor: $-16-16\sqrt{3}\,i.$

13. Odredite kvadratne korene broja $-5+12i.$

Iz $x^2-y^2=-5$ i $xy=6$ dobijamo $x^4+5x^2-36=0,$ $x^2=4.$ Odgovor: $2+3i$ i $-2-3i.$

14. Rešite jednačinu $x^2-4x+13=0.$

$D=16-52=-36,$ $x=\frac{4\pm 6i}{2}.$ Odgovor: $x=2+3i,$ $x=2-3i.$

15. Rešite jednačinu $z^3=-8.$

$-8=8(\cos\pi+\nobreak i\sin\pi),$ pa koreni imaju moduo $\sqrt[3]{8}=2$ i argumente $\frac{\pi+2k\pi}{3}\text{:}$ $\frac{\pi}{3},$ $\pi,$ $\frac{5\pi}{3}.$ Odgovor: $z=1+\sqrt{3}\,i,$ $z=-2,$ $z=1-\sqrt{3}\,i.$

16. Odredite četvrte korene broja $-16.$

$-16=16(\cos\pi+\nobreak i\sin\pi)$ i $\sqrt[4]{16}=2;$ uglovi su $\frac{\pi}{4},$ $\frac{3\pi}{4},$ $\frac{5\pi}{4},$ $\frac{7\pi}{4}.$ Odgovor: $\sqrt{2}+\sqrt{2}\,i,$ $-\sqrt{2}+\sqrt{2}\,i,$ $-\sqrt{2}-\sqrt{2}\,i,$ $\sqrt{2}-\sqrt{2}\,i.$

17. Koje tačke $z$ kompleksne ravni zadovoljavaju uslov $|z-2i|=|z+2|?$

Tačka $z$ je jednako udaljena od $2i$ i od $-2.$ Za $z=x+yi\text{:}$ ${x^2+(y-2)^2}={(x+2)^2+y^2,}$ pa je $-4y=4x.$ Odgovor: prava $y=-x,$ simetrala duži čiji su krajevi $-2$ i $2i.$

Pogledajte i: zadaci sa rešenjima