Osnovne diferencijalne jednačine i rešenja

Diferencijalna jednačina povezuje nepoznatu funkciju sa njenim izvodima. Red jednačine je red najvišeg izvoda koji se u njoj pojavljuje: ${y'=2x}$ je jednačina prvog reda, a ${y''+y=0}$ jednačina drugog reda. Rešiti diferencijalnu jednačinu znači naći sve funkcije koje je zadovoljavaju.

Rešenje obično sadrži proizvoljne konstante: jednu kod jednačine prvog reda, dve kod jednačine drugog reda. Takvo rešenje zove se opšte rešenje. Na primer, opšte rešenje jednačine ${y'=2x}$ je ${y=x^2+c},$ cela familija parabola. Dodatni uslov kao što je ${y(0)=2}$ izdvaja jednu krivu iz familije, ovde ${c=2}.$

U nastavku su navedeni osnovni tipovi jednačina koje se rešavaju po formuli. Za svaki tip dati su oblik jednačine, formula za rešenje, ideja na kojoj formula počiva i rešen primer. Na celoj stranici $y'$ označava izvod ${dy/dx},$ a $c,$ $C,$ $c_1,$ $c_2$ su proizvoljne konstante.

Na ovoj stranici: Brzi pregled · Razdvojene promenljive · Linearna prvog reda · Bernulijeva · Totalni diferencijal · Homogena · yF(xy)dx + xG(xy)dy = 0 · Homogena drugog reda · Nehomogena drugog reda · Ojlerova · Beselova · Ležandrova · Vežbe

Brzi pregled

Jednačina	Kako se rešava
${f_1(x)g_1(y)\,dx+f_2(x)g_2(y)\,dy=0}$	Razdvojiti promenljive i integraliti
${y'+P(x)\,y=Q(x)}$	Pomnožiti integracionim faktorom ${e^{\int P\,dx}}$
${y'+P(x)\,y=Q(x)\,y^n}$	Smena ${v=y^{1-n}}$
${M\,dx+N\,dy=0},$ ${\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}}$	Naći $F$ za koje je ${dF=M\,dx+N\,dy}$
${y'=F\left(\frac{y}{x}\right)}$	Smena ${v=\frac{y}{x}}$
${yF(xy)\,dx+xG(xy)\,dy=0}$	Smena ${v=xy}$
${y''+ay'+by=0}$	Rešiti ${m^2+am+b=0}$
${y''+ay'+by=R(x)}$	Metod varijacije konstanti
${x^2y''+axy'+by=S(x)}$	Smena ${x=e^t}$
${x^2y''+xy'+(\lambda^2x^2-n^2)y=0}$	Beselove funkcije $J_n,$ $Y_n$
${(1-x^2)y''}-{2xy'}+{n(n+1)y}={0}$	Ležandrove funkcije $P_n,$ $Q_n$

Jednačina sa razdvojenim promenljivim

Kod jednačine

$$f_1(x)\,g_1(y)\,dx+f_2(x)\,g_2(y)\,dy=0$$

koeficijenti su proizvodi funkcije koja zavisi samo od $x$ i funkcije koja zavisi samo od $y$ i zato je delimo sa ${f_2(x)\,g_1(y)}$ kako bi sve što sadrži $x$ bilo u jednom sabirku, a sve što sadrži $y$ u drugom:

$$\frac{f_1(x)}{f_2(x)}\,dx+\frac{g_2(y)}{g_1(y)}\,dy=0.$$

Jednačina zapisana u obliku ${y'=f(x)\,g(y)}$ je istog tipa: ${\frac{dy}{g(y)}=f(x)\,dx}.$ Deljenjem sa ${g_1(y)}$ mogu se izgubiti rešenja. Svaki koren $y_0$ jednačine ${g_1(y)=0}$ daje konstantno rešenje ${y=y_0},$ pa takva rešenja treba posebno proveriti.

Primer 1. Rešiti jednačinu ${y'=xy}.$

Razdvajamo promenljive: ${\frac{dy}{y}=x\,dx}.$ Integracijom dobijamo ${\ln\lvert y\rvert=\frac{x^2}{2}+c},$ pa je ${\lvert y\rvert=e^c\,e^{x^2/2}}.$ Stavimo ${C=\pm e^c};$ vrednost ${C=0}$ vraća izgubljeno rešenje ${y=0}.$ Opšte rešenje je

$$y=Ce^{x^2/2}.$$

Provera: ${y'=Cxe^{x^2/2}=xy}.$

Linearna jednačina prvog reda

$$\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x)$$

Nepoznata funkcija $y$ i njen izvod pojavljuju se samo na prvi stepen. Pomnožimo obe strane integracionim faktorom ${e^{\int P\,dx}}.$ Njegov izvod je ${P\,e^{\int P\,dx}},$ pa po pravilu za izvod proizvoda leva strana postaje izvod proizvoda:

$$\left(y\,e^{\int P\,dx}\right)'=Q\,e^{\int P\,dx}.$$

Integracijom obe strane dobijamo rešenje.

Primer 2. Rešiti jednačinu ${y'+y=x}$ uz uslov ${y(0)=2}.$

Ovde je ${P=1},$ ${Q=x}$ i ${e^{\int P\,dx}=e^x}.$ Parcijalnom integracijom:

${y\,e^x=\int x\,e^x\,dx+c}={(x-1)\,e^x+c},$

pa je ${y=x-1+ce^{-x}}.$ Iz uslova sledi ${y(0)=-1+c=2},$ odakle je ${c=3}$ i

$$y=x-1+3e^{-x}.$$

Bernulijeva jednačina

$$\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x)\,y^n$$

Za ${n=0}$ jednačina je linearna. Za ${n\ne1}$ podelimo je sa $y^n$ i uvedemo smenu ${v=y^{1-n}}.$ Kako je ${v'=(1-n)\,y^{-n}y'},$ jednačina postaje linearna po $v\text{:}$

$$v'+(1-n)P\,v=(1-n)Q.$$

Kada je rešimo kao u prethodnom odeljku, dobijamo formulu.

Za ${n\gt0}$ funkcija ${y=0}$ je takođe rešenje.

Primer 3. Rešiti jednačinu ${y'+y=y^2}.$

Ovde je ${n=2},$ ${P=Q=1},$ ${1-n=-1}$ i ${v=y^{-1}=\frac{1}{y}}.$ Formula daje

${\frac{1}{y}\,e^{-x}=-\int e^{-x}\,dx+c}={e^{-x}+c},$

pa je ${\frac{1}{y}=1+ce^x}$ i

$$y=\frac{1}{1+ce^x}.$$

Jednačina sa totalnim diferencijalom

$$M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0$$

Ovo je jednačina sa totalnim diferencijalom ako je ${\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}}.$ Taj uslov znači da je leva strana totalni diferencijal ${dF=\frac{\partial F}{\partial x}dx+\frac{\partial F}{\partial y}dy}$ neke funkcije ${F(x,y)},$ pri čemu je ${\frac{\partial F}{\partial x}=M}$ i ${\frac{\partial F}{\partial y}=N}.$ Jednačina tada glasi ${dF=0},$ pa su rešenja krive ${F(x,y)=c}.$ Da bismo našli $F,$ integralimo $M$ po $x,$ a zatim dodamo onaj deo od $N$ koji taj integral ne daje.

Primer 4. Rešiti jednačinu ${(2xy+3)\,dx+(x^2+4y)\,dy=0}.$

Provera uslova: ${\frac{\partial M}{\partial y}=2x}$ i ${\frac{\partial N}{\partial x}=2x},$ pa je ovo jednačina sa totalnim diferencijalom. Dalje je ${\int M\,\partial x=x^2y+3x}.$ Izvod ovog izraza po $y$ je $x^2,$ pa je ${N-x^2=4y}$ i ${\int4y\,dy=2y^2}.$ Rešenje je

$$x^2y+3x+2y^2=c.$$

Homogena jednačina

$$\frac{dy}{dx}=F\left(\frac{y}{x}\right)$$

Desna strana zavisi samo od količnika ${\frac{y}{x}}.$ To je slučaj, na primer, kada je desna strana razlomak čiji su brojilac i imenilac homogeni polinomi istog stepena: oba podelimo najvišim stepenom od $x.$ Uvodimo smenu ${y=vx}.$ Tada je ${y'=v+xv'},$ jednačina postaje ${v+x\frac{dv}{dx}=F(v)},$ a promenljive se razdvajaju: ${\frac{dv}{F(v)-v}=\frac{dx}{x}}.$

Primer 5. Rešiti jednačinu ${y'=\frac{x+y}{x}}.$

Desnu stranu zapišemo kao ${1+\frac{y}{x}}.$ Tada je ${F(v)=1+v}$ i ${F(v)-v=1},$ pa je ${\ln\lvert x\rvert=\int dv+c=v+c}.$ Odatle je ${\frac{y}{x}=\ln\lvert x\rvert-c}.$ Uz ${C=-c}\text{:}$

$$y=x\left(\ln\lvert x\rvert+C\right).$$

Jednačine oblika yF(xy)dx + xG(xy)dy = 0

$$y\,F(xy)\,dx+x\,G(xy)\,dy=0$$

Uvodimo smenu ${v=xy}.$ Tada je ${y=\frac{v}{x}}$ i ${dy=\frac{x\,dv-v\,dx}{x^2}}.$ Posle sređivanja jednačina postaje ${G(v)\,dv=\frac{v}{x}\bigl(G(v)-F(v)\bigr)\,dx},$ i promenljive se razdvajaju.

Poseban slučaj se lako vidi i direktno: kada je ${G=F},$ jednačina glasi ${F(xy)\,(y\,dx+x\,dy)}={F(xy)\,d(xy)}={0}.$

Primer 6. Rešiti jednačinu ${y\,dx+x(1+xy)\,dy=0}.$

Ovde je ${F(v)=1}$ i ${G(v)=1+v},$ pa je ${G(v)-F(v)=v}\text{:}$

${\ln\lvert x\rvert=\int\frac{1+v}{v^2}\,dv+c}={-\frac{1}{v}+\ln\lvert v\rvert+c}.$

Vratimo ${v=xy}$ i iskoristimo ${\ln\lvert xy\rvert=\ln\lvert x\rvert+\ln\lvert y\rvert}.$ Sabirci ${\ln\lvert x\rvert}$ se skraćuju, pa uz ${C=-c}$ dobijamo

$$\ln\lvert y\rvert=\frac{1}{xy}+C.$$

Linearna homogena jednačina drugog reda

$$\frac{d^2y}{dx^2}+a\frac{dy}{dx}+by=0$$

Ovde su $a$ i $b$ realne konstante. Rešenje tražimo u obliku ${y=e^{mx}}.$ Tada je ${y'=me^{mx}}$ i ${y''=m^2e^{mx}}.$ Zamenom u jednačinu i deljenjem sa ${e^{mx}\ne0}$ dobijamo karakterističnu jednačinu

$$m^2+am+b=0.$$

Neka su $m_1$ i $m_2$ njeni koreni. Postoje tri slučaja, u zavisnosti od znaka diskriminante ${a^2-4b}.$

U slučaju 2 drugo rešenje $xe^{m_1x}$ je potrebno zato što sama funkcija $e^{m_1x}$ daje samo jednu konstantu. U slučaju 3 kompleksne eksponencijalne funkcije ${e^{(p\pm qi)x}}$ se pomoću Ojlerove formule kombinuju u realne funkcije ${e^{px}\cos qx}$ i ${e^{px}\sin qx}.$

Primer 7. Rešiti sledeće tri jednačine.

a) ${y''-3y'+2y=0}.$ Karakteristična jednačina ${m^2-3m+2=0}$ ima korene $1$ i $2,$ pa je ${y=c_1e^x+c_2e^{2x}}.$

b) ${y''+2y'+y=0}.$ Karakteristična jednačina ${(m+1)^2=0}$ ima dvostruki koren $-1,$ pa je ${y=(c_1+c_2x)\,e^{-x}}.$

c) ${y''+2y'+5y=0}.$ Koreni jednačine ${m^2+2m+5=0}$ su ${-1\pm2i},$ pa je ${p=-1},$ ${q=2}$ i ${y=e^{-x}\left(c_1\cos2x+c_2\sin2x\right)}.$

Linearna nehomogena jednačina drugog reda

$$\frac{d^2y}{dx^2}+a\frac{dy}{dx}+by=R(x)$$

Ovde su $a$ i $b$ realne konstante. Opšte rešenje jednako je zbiru opšteg rešenja odgovarajuće homogene jednačine (one u kojoj je ${R=0}$) i bilo kog partikularnog rešenja cele jednačine. Metod varijacije konstanti daje partikularno rešenje za svaku desnu stranu $R(x).$ Tri slučaja su ista kao u prethodnom odeljku.

Kada je $R(x)$ polinom, eksponencijalna funkcija, sinus ili kosinus, partikularno rešenje se često brže nalazi tako što se pretpostavi rešenje istog oblika i odrede mu koeficijenti (metod neodređenih koeficijenata). Gornje formule važe za bilo koje $R(x),$ što pokazuje primer 9.

Primer 8. Rešiti jednačinu ${y''-3y'+2y=e^{3x}}.$

Iz primera 7a je ${m_1=1}$ i ${m_2=2}.$ Dva integrala iz slučaja 1 daju

${\frac{e^x}{1-2}\int e^{-x}e^{3x}\,dx}={-e^x\cdot\frac{e^{2x}}{2}}={-\frac{e^{3x}}{2}},$

${\frac{e^{2x}}{2-1}\int e^{-2x}e^{3x}\,dx}={e^{2x}\cdot e^x}={e^{3x}}.$

Njihov zbir je ${\frac{e^{3x}}{2}},$ pa je

$$y=c_1e^x+c_2e^{2x}+\frac{e^{3x}}{2}.$$

Provera partikularnog rešenja: ${\left(9-9+2\right)\frac{e^{3x}}{2}=e^{3x}}.$

Primer 9. Rešiti jednačinu ${y''+y=\frac{1}{\cos x}}.$

Karakteristična jednačina ${m^2+1=0}$ ima korene ${\pm i},$ pa je ${p=0}$ i ${q=1}.$ Slučaj 3 daje

${\sin x\int\frac{\cos x}{\cos x}\,dx=x\sin x},$

${-\cos x\int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx=\cos x\ln\lvert\cos x\rvert},$

pa je

${y=c_1\cos x+c_2\sin x}+{x\sin x+\cos x\ln\lvert\cos x\rvert}.$

Ovde pogađanje ne bi pomoglo: ${\frac{1}{\cos x}}$ nije ni jednog od gore navedenih oblika.

Ojlerova ili Košijeva jednačina

$$x^2\frac{d^2y}{dx^2}+ax\frac{dy}{dx}+by=S(x)$$

Svaki izvod je pomnožen odgovarajućim stepenom od $x.$ Za ${x\gt0}$ uvodimo smenu ${x=e^t},$ tj. ${t=\ln x}.$ Tada je ${x\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}}$ i ${x^2\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt}}.$

Kod homogene jednačine ${(S=0)}$ rešenje ${y=x^m}$ može se tražiti i direktno. Tako se dobija ${m(m-1)+am+b=0},$ ista karakteristična jednačina.

Primer 10. Rešiti jednačinu ${x^2y''-2xy'+2y=x^3}$ za ${x\gt0}.$

Ovde je ${a=-2}$ i ${b=2}.$ Smenom ${x=e^t}$ jednačina postaje ${\frac{d^2y}{dt^2}-3\frac{dy}{dt}+2y=e^{3t}},$ a to je primer 8 sa $t$ umesto $x\text{:}$ ${y=c_1e^t+c_2e^{2t}+\frac{e^{3t}}{2}}.$ Kako je ${e^t=x},$

$$y=c_1x+c_2x^2+\frac{x^3}{2}.$$

Beselova jednačina

$$x^2\frac{d^2y}{dx^2}+x\frac{dy}{dx}+(\lambda^2x^2-n^2)\,y=0$$

Ovde su $J_n$ i $Y_n$ Beselove funkcije prve i druge vrste reda $n.$ One nisu elementarne funkcije. Funkcija $J_n$ zadata je redom

${J_n(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(k+n+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+n}},$

gde je $\Gamma$ gama funkcija (${\Gamma(m+1)=m!}$ za cele brojeve $m$). Funkcija $Y_n$ je drugo, linearno nezavisno rešenje, koje je neograničeno u okolini ${x=0}.$ Kada $n$ nije ceo broj, ${J_{-n}(\lambda x)}$ može da se koristi umesto ${Y_n(\lambda x)}.$ Za neke redove Beselove funkcije su elementarne, na primer ${J_{1/2}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\,\sin x}.$

Beselova jednačina se javlja kada se talasna jednačina ili jednačina provođenja toplote rešava u cilindričnim koordinatama, na primer kod oscilacija okrugle membrane bubnja.

Transformisana Beselova jednačina

${x^2\frac{d^2y}{dx^2}+(2p+1)x\frac{dy}{dx}}+{(\alpha^2x^{2r}+\beta^2)\,y}={0}$

Za ${p=0},$ ${r=1},$ ${\alpha=\lambda}$ i ${\beta^2=-n^2}$ ovo je Beselova jednačina: tada je ${q=n}$ i formula daje ${y=c_1J_n(\lambda x)+c_2Y_n(\lambda x)}.$

Primer 11. Rešiti jednačinu ${x^2y''+3xy'+(4x^4+1)\,y=0}.$

Ovde je ${2p+1=3},$ ${\alpha^2=4},$ ${2r=4}$ i ${\beta^2=1},$ pa je ${p=1},$ ${\alpha=2},$ ${r=2}$ i ${q=\sqrt{1-1}=0}.$ Kako je ${\frac{\alpha}{r}=1},$

$$y=\frac{1}{x}\left[c_1J_0(x^2)+c_2Y_0(x^2)\right].$$

Ležandrova jednačina

${(1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}}-{2x\frac{dy}{dx}}+{n(n+1)\,y}={0}$

$P_n$ i $Q_n$ su Ležandrove funkcije prve i druge vrste. Za ${n=0,1,2,\ldots}$ funkcija $P_n$ je polinom stepena $n,$ Ležandrov polinom:

${P_0(x)=1},\quad\allowbreak{P_1(x)=x},\quad\allowbreak{P_2(x)=\frac{3x^2-1}{2}},\quad\allowbreak{P_3(x)=\frac{5x^3-3x}{2}}.$

Funkcije $Q_n$ imaju logaritamske singularitete u tačkama ${x=\pm1},$ na primer

${Q_0(x)=\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}},\qquad\allowbreak{Q_1(x)=\frac{x}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}-1}.$

Provera za ${n=2}\text{:}$ za ${y=P_2(x)}$ je ${y'=3x},$ ${y''=3},$ i ${3(1-x^2)-6x^2+3(3x^2-1)=0}.$ Ležandrova jednačina se javlja kada se Laplasova jednačina rešava u sfernim koordinatama, na primer kod gravitacionog ili električnog polja nekog tela.

Vežbe

1. Rešiti jednačinu ${y'=y\cos x}.$

Razdvajamo promenljive: ${\frac{dy}{y}=\cos x\,dx},$ pa je ${\ln\lvert y\rvert=\sin x+c}.$ Odgovor: ${y=Ce^{\sin x}}.$

2. Rešiti jednačinu ${y'=-2y}$ uz uslov ${y(0)=3}.$

Kao u vežbi 1, ${y=Ce^{-2x}}.$ Iz ${y(0)=C=3}\text{:}$ ${y=3e^{-2x}}.$

3. Rešiti jednačinu ${y'+2y=4x}.$

Linearna jednačina sa ${P=2},$ ${Q=4x}$ i ${e^{\int P\,dx}=e^{2x}}\text{:}$ ${y\,e^{2x}=\int4x\,e^{2x}\,dx+c}={(2x-1)\,e^{2x}+c}.$ Odgovor: ${y=2x-1+ce^{-2x}}.$

4. Rešiti jednačinu ${xy'+y=x^2}$ za ${x\gt0}.$

Podelimo sa $x\text{:}$ ${y'+\frac{y}{x}=x}.$ Tada je ${e^{\int dx/x}=x}$ i ${xy=\int x^2\,dx+c=\frac{x^3}{3}+c}.$ Odgovor: ${y=\frac{x^2}{3}+\frac{c}{x}}.$ Leva strana ${xy'+y}$ je već izvod od $xy,$ što odmah daje isti rezultat.

5. Rešiti jednačinu ${y'-y=e^x\,y^2}.$

Bernulijeva jednačina sa ${n=2},$ ${P=-1},$ ${Q=e^x}$ i ${v=\frac{1}{y}}.$ Kako je ${(1-n)\int P\,dx=x},$ formula daje ${\frac{1}{y}\,e^x=-\int e^{2x}\,dx+c}={-\frac{e^{2x}}{2}+c}.$ Odgovor: ${y=\frac{1}{ce^{-x}-\frac{e^x}{2}}},$ a takođe i ${y=0}.$

6. Rešiti jednačinu ${(3x^2+y)\,dx+(x+2y)\,dy=0}.$

${\frac{\partial M}{\partial y}=1=\frac{\partial N}{\partial x}},$ pa je ovo jednačina sa totalnim diferencijalom. ${\int M\,\partial x=x^3+xy};$ izvod ovog izraza po $y$ je $x,$ a ${\int(x+2y-x)\,dy=y^2}.$ Odgovor: ${x^3+xy+y^2=c}.$

7. Rešiti jednačinu ${y'=\frac{y}{x}+\frac{x}{y}}.$

Homogena jednačina sa ${F(v)=v+\frac{1}{v}},$ pa je ${F(v)-v=\frac{1}{v}}$ i ${\ln\lvert x\rvert=\int v\,dv+c=\frac{v^2}{2}+c}.$ Uz ${v=\frac{y}{x}}$ i ${C=-c}\text{:}$ ${y^2=2x^2\left(\ln\lvert x\rvert+C\right)}.$

8. Rešiti jednačinu ${y''+4y=0}.$

${m^2+4=0},$ ${m=\pm2i},$ pa je ${p=0},$ ${q=2}.$ Odgovor: ${y=c_1\cos2x+c_2\sin2x}.$

9. Rešiti jednačinu ${y''-4y'+4y=0}.$

${m^2-4m+4=(m-2)^2=0},$ dvostruki koren ${m=2}.$ Odgovor: ${y=(c_1+c_2x)\,e^{2x}}.$

10. Rešiti jednačinu ${y''-y=e^{2x}}.$

${m^2-1=0},$ ${m_1=1},$ ${m_2=-1}.$ Slučaj 1: ${\frac{e^x}{2}\int e^{x}\,dx=\frac{e^{2x}}{2}}$ i ${\frac{e^{-x}}{-2}\int e^{3x}\,dx=-\frac{e^{2x}}{6}}.$ Odgovor: ${y=c_1e^x+c_2e^{-x}+\frac{e^{2x}}{3}}.$

11. Rešiti jednačinu ${y''-2y'+y=\frac{e^x}{x}}.$

Dvostruki koren ${m=1}.$ Slučaj 2: ${xe^x\int e^{-x}\frac{e^x}{x}\,dx=xe^x\ln\lvert x\rvert}$ i ${-e^x\int xe^{-x}\frac{e^x}{x}\,dx=-xe^x}.$ Sabirak $-xe^x$ već je sadržan u $c_2xe^x.$ Odgovor: ${y=(c_1+c_2x)\,e^x+xe^x\ln\lvert x\rvert}.$

12. Rešiti jednačinu ${x^2y''+xy'-y=0}$ za ${x\gt0}.$

Ojlerova jednačina sa ${a=1},$ ${b=-1}.$ Smenom ${x=e^t}\text{:}$ ${\frac{d^2y}{dt^2}-y=0},$ pa je ${y=c_1e^t+c_2e^{-t}}.$ Odgovor: ${y=c_1x+\frac{c_2}{x}}.$