Osnovne diferencijalne jednačine i rešenja

Diferencijalna jednačine koja razdvaja promenljive
f1(x)g1(y)dx + f2(x)g2(y)dy = 0

Rešenje
$\int\frac{f_1(x)}{f_2(x)}dx + \int\frac{g_2(y)}{g_1(y)}dy = c$

Linearna diferencijalna jednačina prvog reda
dx/dy + P(x)y = Q(x)

Rešenje
$y e^{\int P dx} = \int Q e^{\int P dx} dx + c$

Bernulijeva diferencijalna jednačina
dy/dx + P(x)y = Q(x)yn

Rešenje
$v e^{(1-n) \int P dx} = (1-n) \int Q e^{(1-n) \int P dx} dx + c$
gde je v = y1-n.
Ako je n = 1, rešenje je
$ln y = \int (Q - P ) dx + c$

Jednačina sa totalnim diferencijalom
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0, gde je ∂M/∂y = ∂N/∂x.

Rešenje
$\int M \partial x + \int (N - \frac{\partial}{\partial y}\int M \partial x) dy = c$
gde ∂x ukazuje da se integracija vrši po x, uzimajući y kao konstantu.

Homogena jednačina
dy/dx = F(y/x).

Rešenje
$ln x = \int \frac{dv}{F(v) - v} + c$gde je v = y/x. Ako je F(v) = v, rešenje je y = cx.

yF(xy)dx + xG(xy)dy = 0

Rešenje
$ln x = \int \frac{G(v) dv}{v \{G(v) - F(v)\} } + c$gde je v = xy. Ako je G(v) = F(v), rešenje je xy = c.

Linearna, homogena jednačina drugog reda
d2y/dx2 + a(dy/dx) + by = 0 , a,b su realne konstante.

Rešenje
Neka su m1, m2 koreni od m2 + am + b = 0.Tada postoje tri slučaja

Slučaj 1.     m1,m2 su realni i različiti:
$y = c_1 e^{m_1 x} + c_2 e^{m_2 x}$

Slučaj 2.     m1,m2 su realni i jednaki:
$y = c_1 e^{m_1 x} + c_2 x e^{m_1 x}$

Slučaj 3.     m1 = p + qi,m2 = p - qi:
$y = e^{px} (c_1 \cos qx + c_2 \sin qx)$

Linearna, nehomogena jednačina drugog reda
d2y/dx2 + a(dy/dx) + by = R(x), a, b su realne konstante.

Rešenje
Tri slučaja odgovaraju gore navedenim.

Slučaj 1
Slučaj 1

Slučaj 2
Slučaj 2

Slučaj 3
Slučaj 3

Ojlerova ili Košijeva jednačina
x2d2y/dx2 + a(dy/dx) + by = S(x).

Rešenje
Stavljajući da je x = et, jednačina postaje
d2y/dt2 + (a - 1)(dy/dt) + by = S(et)
i tada može biti rešena kao prethodna dva tipa.

Beselova jednačina
x2d2y/dx2 + x(dy/dx) + (λ2x2 - n2)y = 0.

Rešenje
y = c1Jn(λx) + c2Yn(x).

Transformisana Beselova jednačina
x2d2y/dx2 + (2p + 1)x(dy/dx) + (α2x2r + β2)y = 0.

Rešenje
$y = x^{-p} \{c_1 J_{q/r} (\frac{\alpha}{\gamma}x^r) + c_2 Y_{q/r} (\frac{\alpha}{\gamma}x^r)\}$
gde je q = √p2 - β2.

Ležandrova jednačina
(1 - x2)d2y/dx2 - 2xdy/dx + n(n + 1)y = 0.

Rešenje
y = c1Pn(x) + c2Qn(y).


Kontakt imejl:

Copyright © 2005 - 2018