Uvod u matrice

Matrica je pravougaona tabela brojeva. Matrice omogućavaju kratak zapis sistema linearnih jednačina i tabela podataka, a predstavljaju i glavni alat linearne algebre. U ovoj lekciji naučićete pojmove koji se koriste kod matrica (elementi, dimenzija, vrste, kolone, dijagonale), najvažnije tipove matrica i prve operacije sa matricama: sabiranje i oduzimanje matrica, množenje matrice brojem i transponovanje matrice. Množenje dve matrice je tema sledeće lekcije.

Na ovoj stranici: Šta je matrica · Matrica-vrsta, matrica-kolona i nula-matrica · Kvadratne matrice · Jednake matrice · Sabiranje i oduzimanje · Množenje brojem · Osobine · Transponovana matrica · Gde se koriste matrice · Rešeni zadaci · Zadaci za vežbu

Šta je matrica?

Matrice se obeležavaju velikim slovima $A,$ $B,$ $C,$ …, a njihovi elementi se pišu u oblim zagradama (u nekim knjigama u uglastim zagradama). U dimenziji se uvek najpre navodi broj vrsta, a zatim broj kolona.

Opšti oblik matrice ${m\times n}$ je:

$\begin{array}{rc} & \xrightarrow[\hspace{13em}]{\text{vrsta}} \\[0.3em] A=\;\text{\scriptsize kolona}\left\downarrow\vphantom{\begin{matrix}a\\a\\a\\a\\a\end{matrix}}\right.\!\!\!\! & \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & . & . & a_{1,n}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & . & . & a_{2,n}\\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & . & . & a_{3,n}\\ . & . & . & . & . & .\\ a_{m,1} & a_{m,2} & a_{m,3} & . & . & a_{m,n}\\ \end{pmatrix} \end{array}$

Vrste se numerišu odozgo nadole, a kolone sleva nadesno. Element u vrsti $i$ i koloni $j$ označava se sa $a_{ij}$ (ili $a_{i,j}$): prvi indeks uvek označava vrstu, a drugi indeks kolonu. Kraće pišemo ${A=(a_{ij})}.$ Matrica ${m\times n}$ ima $mn$ elemenata.

Primer 1. Matrica ${A=\begin{pmatrix}1&0&2\\3&1&4\end{pmatrix}}$ ima 2 vrste i 3 kolone, pa je to matrica 2×3 sa 6 elemenata. Broj 2 nalazi se u prvoj vrsti i trećoj koloni: ${a_{13}=2}.$ Na isti način je ${a_{21}=3}$ i ${a_{23}=4}.$

Primer 2. Matrica ${B=\begin{pmatrix}1&5\\2&8\\7&3\end{pmatrix}}$ ima 3 vrste i 2 kolone: to je matrica 3×2. Broj 8 nalazi se u drugoj vrsti i drugoj koloni, pa je ${b_{22}=8},$ a broj 7 je ${b_{31}}.$ Dimenzije 2×3 i 3×2 su različite: redosled ova dva broja je bitan.

Primer 3. Napišite matricu $A$ dimenzije 2×3 čiji su elementi ${a_{ij}=2i-j}.$

Vrsta 1, za ${i=1}\text{:}$ ${a_{11}=2\cdot1-1=1},$ ${a_{12}=2\cdot1-2=0},$ ${a_{13}=2\cdot1-3=-1}.$

Vrsta 2, za ${i=2}\text{:}$ ${a_{21}=2\cdot2-1=3},$ ${a_{22}=2\cdot2-2=2},$ ${a_{23}=2\cdot2-3=1}.$

$$A=\begin{pmatrix}1&0&-1\\3&2&1\end{pmatrix}$$

Matrica-vrsta, matrica-kolona i nula-matrica

Matrica koja ima samo jednu vrstu je matrica-vrsta (ili vektor-vrsta). Matrica koja ima samo jednu kolonu je matrica-kolona (ili vektor-kolona).

Primer 4. $\begin{pmatrix}3&-1&4\end{pmatrix}$ je matrica-vrsta dimenzije 1×3, a $\begin{pmatrix}2\\0\\5\end{pmatrix}$ je matrica-kolona dimenzije 3×1.

U matricama-kolonama se, na primer, zapisuju nepoznate i desne strane sistema jednačina. Matrica 1×1, kao što je $\begin{pmatrix}5\end{pmatrix},$ obično se poistovećuje sa brojem 5.

Nula-matrica ima ulogu broja 0: kada je dodamo matrici iste dimenzije, ta matrica se ne menja (videti osobine u nastavku).

Kvadratne matrice

Primer 5. ${C=\begin{pmatrix}1&2&3\\3&7&2\\4&5&1\end{pmatrix}}$ ima 3 vrste i 3 kolone: to je kvadratna matrica reda 3. Matrice $A$ i $B$ iz primera 1 i 2 nisu kvadratne. Samo kvadratne matrice imaju determinantu i inverznu matricu.

Glavna i sporedna dijagonala

Glavna dijagonala kvadratne matrice ide od gornjeg levog do donjeg desnog ugla. Na njoj su elementi $a_{11},$ $a_{22},$ …, $a_{nn},$ kod kojih su redni broj vrste i redni broj kolone jednaki. Sporedna dijagonala ide od gornjeg desnog do donjeg levog ugla. Na njoj su elementi $a_{1n},$ ${a_{2,n-1}},$ …, $a_{n1},$ tj. elementi za koje je ${i+j=n+1}.$ U sledećoj matrici glavna dijagonala je označena crvenom, a sporedna plavom bojom:

$$\begin{pmatrix}\textcolor{#c0392b}{a_{11}}&a_{12}&\cdots&\textcolor{#1b64a8}{a_{1n}}\\a_{21}&\textcolor{#c0392b}{a_{22}}&\cdots&a_{2n}\\\varvdots&\varvdots&\ddots&\varvdots\\\textcolor{#1b64a8}{a_{n1}}&a_{n2}&\cdots&\textcolor{#c0392b}{a_{nn}}\end{pmatrix}$$

U matrici $C$ iz primera 5 glavnu dijagonalu čine brojevi 1, 7, 1, a sporednu dijagonalu brojevi 3, 7, 4. Srednji element 7 nalazi se na obe dijagonale. Zbir elemenata na glavnoj dijagonali naziva se trag matrice: ${\operatorname{tr}C=1+7+1=9}.$

Jedinična matrica

Primer 6. Jedinične matrice reda 2 i 3 su

$$I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$$ $$I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$

Pri množenju matrica jedinična matrica ima ulogu broja 1: ${AI=IA=A}$ za svaku kvadratnu matricu $A$ istog reda.

Dijagonalne i trougaone matrice

Primer 7. Matrica $D$ je dijagonalna, $U$ je gornja trougaona, a $L$ donja trougaona:

$$D=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&-1&0\\0&0&5\end{pmatrix}$$ $$U=\begin{pmatrix}1&4&-2\\0&3&5\\0&0&6\end{pmatrix}$$ $$L=\begin{pmatrix}2&0&0\\-1&5&0\\3&0&4\end{pmatrix}$$

Elementi na glavnoj dijagonali mogu biti bilo koji brojevi, pa i 0. Dijagonalna matrica je istovremeno i gornja i donja trougaona; jedinična matrica i svaka kvadratna nula-matrica su dijagonalne. Sa trougaonim matricama se lako radi: determinanta trougaone matrice jednaka je proizvodu elemenata na njenoj glavnoj dijagonali, a Gausov metod rešava sistem jednačina svođenjem njegove matrice na trougaoni oblik.

Simetrične matrice

Primer 8. Matrica ${S=\begin{pmatrix}1&4&-2\\4&0&3\\-2&3&5\end{pmatrix}}$ je simetrična: ${s_{12}=s_{21}=4},$ ${s_{13}=s_{31}=-2}$ i ${s_{23}=s_{32}=3}.$ Elementi na glavnoj dijagonali mogu biti bilo koji brojevi. Matrica $C$ iz primera 5 nije simetrična, jer je ${c_{12}=2},$ a ${c_{21}=3}.$

Svaka dijagonalna matrica je simetrična. Matrica koja nije kvadratna ne može biti simetrična. Pomoću transponovane matrice, o kojoj je reč u nastavku, definicija postaje kratka: $A$ je simetrična tačno onda kada je ${A^T=A}.$

Jednake matrice

Dakle, jedna jednakost između dve matrice ${m\times n}$ isto je što i $mn$ jednakosti između brojeva.

Primer 9. Odredite $x$ i $y$ ako je $\begin{pmatrix}x+1&2\\3&2y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&2\\3&-6\end{pmatrix}.$

Obe matrice su dimenzije 2×2, pa upoređujemo elemente na istim mestima: ${x+1=4}$ i ${2y=-6}.$ Preostala dva elementa su već jednaka. Dakle, ${x=3}$ i ${y=-3}.$

Primer 10. Matrice $\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}$ i $\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$ nisu jednake: sadrže iste brojeve, ali su njihove dimenzije 1×2 i 2×1 različite. Matrice $\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ i $\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}$ imaju istu dimenziju, ali ni one nisu jednake: elementi u vrsti 1 i koloni 2 su različiti (2 i 3).

Sabiranje i oduzimanje matrica

Primer 11. Neka je ${A=\begin{pmatrix}1&0&2\\3&1&4\end{pmatrix}}$ i ${B=\begin{pmatrix}4&-2&1\\0&5&-3\end{pmatrix}}.$ Obe matrice su dimenzije 2×3, pa je

$A+B=\begin{pmatrix}1+4&0+(-2)&2+1\\3+0&1+5&4+(-3)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&-2&3\\3&6&1\end{pmatrix}$

$A-B=\begin{pmatrix}1-4&0-(-2)&2-1\\3-0&1-5&4-(-3)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3&2&1\\3&-4&7\end{pmatrix}$

Kalkulator matrica prikazuje zbir i razliku ovih matrica korak po korak.

Zbir matrice 2×3 i matrice 2×2 nije definisan: neki elementi ne bi imali par. Na primer, $A+\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ ne postoji. Takođe, matrici se ne može dodati broj.

Množenje matrice brojem

Primer 12. Za matricu $A$ iz primera 11 dobijamo

$3A=\begin{pmatrix}3\cdot1&3\cdot0&3\cdot2\\3\cdot3&3\cdot1&3\cdot4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&0&6\\9&3&12\end{pmatrix}$

Matrica ${(-1)A}$ označava se sa ${-A}$ i naziva se suprotna matrica matrici $A\text{:}$ svaki element menja znak.

${-A=\begin{pmatrix}-1&0&-2\\-3&-1&-4\end{pmatrix}}$

Oduzimanje matrice isto je što i dodavanje njene suprotne matrice: ${A-B=A+(-B)}.$ Kalkulator matrica množi matricu bilo kojim brojem.

Primer 13. Zajednički činilac svih elemenata može se izvući ispred matrice, a broj ispred matrice može se uneti u matricu, tj. njime se množi svaki element:

$\begin{pmatrix}6&9\\12&3\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}2&3\\4&1\end{pmatrix}$

$\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4&-6\\2&8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-3\\1&4\end{pmatrix}$

Primer 14. Neka je ${A=\begin{pmatrix}2&-1\\0&3\end{pmatrix}}$ i ${B=\begin{pmatrix}1&2\\-2&1\end{pmatrix}}.$ Odredite ${2A-3B}.$

Najpre množimo brojevima, a zatim oduzimamo:

$2A-3B=\begin{pmatrix}4&-2\\0&6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3&6\\-6&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-8\\6&3\end{pmatrix}$

Osobine sabiranja i množenja brojem

Neka su $A,$ $B$ i $C$ matrice iste dimenzije, $O$ nula-matrica te dimenzije, a $k,$ $l$ brojevi. Obe operacije se izvode element po element, pa za njih važe ista pravila kao za operacije sa brojevima:

Osobina	Formula
Sabiranje je komutativno	${A+B=B+A}$
Sabiranje je asocijativno	${(A+B)+C}={A+(B+C)}$
Dodavanje nula-matrice	${A+O=A}$
Dodavanje suprotne matrice	${A+(-A)=O}$
Množenje zbira matrica brojem	${k(A+B)=kA+kB}$
Množenje matrice zbirom brojeva	${(k+l)A=kA+lA}$
Uzastopno množenje dvama brojevima	${k(lA)=(kl)A}$
Množenje brojem 1 i brojem 0	${1\cdot A=A},$ ${0\cdot A=O}$

Zato izraze sa matricama možemo uprošćavati kao izraze sa brojevima, na primer ${2(A+B)-(A-B)}={A+3B}.$ Možemo rešavati i jednostavne jednačine u kojima je nepoznata matrica.

Primer 15. Odredite matricu $X$ ako je ${2X+A=B},$ gde je ${A=\begin{pmatrix}1&4\\-2&0\end{pmatrix}}$ i ${B=\begin{pmatrix}5&2\\8&-6\end{pmatrix}}.$

Kao i kod brojeva, dobijamo ${2X=B-A}$ i ${X=\frac{1}{2}(B-A)}\text{:}$

$B-A=\begin{pmatrix}5-1&2-4\\8-(-2)&-6-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&-2\\10&-6\end{pmatrix}$

$X=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4&-2\\10&-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-1\\5&-3\end{pmatrix}$

Provera: zamenjujemo $X$ u jednačinu.

$2X+A=\begin{pmatrix}4&-2\\10&-6\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&4\\-2&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&2\\8&-6\end{pmatrix}$

To je matrica $B,$ pa je odgovor tačan. Jednačine u kojima je $X$ pomnožena drugom matricom, kao što je ${AX=B},$ rešavaju se pomoću inverzne matrice u lekciji Matrične jednačine.

Transponovana matrica

Vrsta 1 matrice $A$ postaje kolona 1 matrice $A^T,$ vrsta 2 postaje kolona 2 i tako redom. U nekim knjigama piše se $A^t$ ili $A'.$ Kod kvadratne matrice transponovanje se svodi na simetriju u odnosu na glavnu dijagonalu: dijagonala ostaje na mestu, a ostali elementi u parovima menjaju mesta.

Primer 16. Transponovanje matrice 2×2:

$$\begin{pmatrix}1&3\\5&9\end{pmatrix}^T=\begin{pmatrix}1&5\\3&9\end{pmatrix}$$

Dijagonalni elementi 1 i 9 ostaju na mestu; elementi 3 i 5 menjaju mesta.

Primer 17. Transponovanjem matrice $A$ dimenzije 2×3 iz primera 11 dobija se matrica 3×2:

$$A^T=\begin{pmatrix}1&0&2\\3&1&4\end{pmatrix}^T=\begin{pmatrix}1&3\\0&1\\2&4\end{pmatrix}$$

Transponovanjem matrice-vrste dobija se matrica-kolona: ${\begin{pmatrix}3&-1&4\end{pmatrix}^T=\begin{pmatrix}3\\-1\\4\end{pmatrix}}.$ Kalkulator matrica transponuje matricu bilo koje dimenzije.

Neka su $A$ i $B$ matrice za koje su definisane operacije navedene u nastavku, a $k$ broj.

Osobina	Formula
Dvostruko transponovanje vraća polaznu matricu	${\left(A^T\right)^T=A}$
Transponovanje zbira	${(A+B)^T=A^T+B^T}$
Brojni činilac	${(kA)^T=kA^T}$
Transponovanje proizvoda: redosled se obrće	${(AB)^T=B^TA^T}$
Determinanta se ne menja	${\det(A^T)=\det A}$
Simetrična matrica	${A^T=A}$

Prva tri pravila jasna su kada se posmatraju pojedinačni elementi. Na primer, element u vrsti $i$ i koloni $j$ matrice ${(A+B)^T}$ je ${a_{ji}+b_{ji}},$ a isto toliko iznosi i element na istom mestu u matrici ${A^T+B^T}.$ Pravilo za proizvod objašnjeno je u lekciji Množenje matrica, a pravilo za determinantu u lekciji Determinanta matrice. Kvadratna matrica za koju je ${A^T=-A}$ naziva se kososimetrična (ili antisimetrična); na njenoj glavnoj dijagonali su same nule, jer je ${a_{ii}=-a_{ii}}.$

Primer 18. Proverite da je ${(A+B)^T=A^T+B^T}$ za matrice $A$ i $B$ iz primera 11.

$(A+B)^T=\begin{pmatrix}5&-2&3\\3&6&1\end{pmatrix}^T=\begin{pmatrix}5&3\\-2&6\\3&1\end{pmatrix}$

$A^T+B^T=\begin{pmatrix}1&3\\0&1\\2&4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4&0\\-2&5\\1&-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&3\\-2&6\\3&1\end{pmatrix}$

Obe strane daju istu matricu 3×2.

Gde se koriste matrice?

Sistemi linearnih jednačina. Brojevi iz sistema linearnih jednačina mogu se zapisati u obliku matrice. Za sistem

$$\begin{cases}2x+3y-z=5\\x-4y+2z=0\end{cases}$$

matrica koeficijenata (matrica čiji su elementi koeficijenti uz nepoznate) i proširena matrica, koja sadrži i kolonu desnih strana, jesu

$$A=\begin{pmatrix}2&3&-1\\1&-4&2\end{pmatrix}$$ $$\left(\begin{array}{ccc|c}2&3&-1&5\\1&-4&2&0\end{array}\right)$$

Svaka vrsta proširene matrice odgovara jednoj jednačini. Ako uvedemo matricu-kolonu nepoznatih ${X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$ i matricu-kolonu desnih strana ${B=\begin{pmatrix}5\\0\end{pmatrix}},$ ceo sistem postaje jedna matrična jednačina ${AX=B}$ (proizvod $AX$ definiše se u sledećoj lekciji). Gausov metod, Kramerovo pravilo i ostali metodi iz lekcije Rešavanje sistema linearnih jednačina rade upravo sa ovim matricama.

Tabele podataka. Svaka tabela brojeva je matrica, a sabiranje tabela i njihovo množenje brojem su operacije sa matricama.

Primer 19. Jedna firma ima dve prodavnice. Matrice $J$ i $F$ pokazuju koliko su bicikala, trotineta i kaciga te prodavnice prodale u januaru i u februaru (vrsta 1: prodavnica 1, vrsta 2: prodavnica 2; kolone: bicikli, trotineti, kacige).

$$J=\begin{pmatrix}20&15&8\\12&30&5\end{pmatrix}$$ $$F=\begin{pmatrix}25&10&8\\18&26&9\end{pmatrix}$$

Prodaja u oba meseca zajedno i promena od januara do februara su

${J+F=\begin{pmatrix}45&25&16\\30&56&14\end{pmatrix}}$

${F-J=\begin{pmatrix}5&-5&0\\6&-4&4\end{pmatrix}}$

Na primer, prodavnica 2 je u februaru prodala 4 trotineta manje nego u januaru (element ${-4}$). Ako firma želi da proda dvostruko više nego u januaru, njen plan je matrica ${2J=\begin{pmatrix}40&30&16\\24&60&10\end{pmatrix}}.$

Matrice se koriste i za pomeranje, rotiranje i promenu veličine slika u računarskoj grafici, za čuvanje digitalnih slika (po jedan broj za svaki piksel), za opisivanje mreža, kao i u teoriji verovatnoće, ekonomiji i mašinskom učenju. U svim tim primenama glavne operacije su operacije iz ove lekcije i množenje matrica. Naredne lekcije govore o determinantama, rangu matrice, inverznim matricama, matričnim jednačinama i sistemima linearnih jednačina.

Rešeni zadaci

Zadatak 1. Za matricu ${M=\begin{pmatrix}2&-1&0&7\\5&3&-4&1\\0&6&8&-2\end{pmatrix}}$ odredite dimenziju, broj elemenata, $m_{23},$ $m_{32}$ i $m_{14},$ kao i položaj broja 8.

Rešenje: $M$ ima 3 vrste i 4 kolone, pa je to matrica 3×4 sa ${3\cdot4=12}$ elemenata. Vrsta 2, kolona 3: ${m_{23}=-4}.$ Vrsta 3, kolona 2: ${m_{32}=6}.$ Vrsta 1, kolona 4: ${m_{14}=7}.$ Broj 8 nalazi se u vrsti 3 i koloni 3, pa je ${m_{33}=8}.$

Zadatak 2. Napišite matricu $A$ dimenzije 3×3 čiji su elementi ${a_{ij}=i-j}.$ Da li je ona simetrična?

Rešenje: Na glavnoj dijagonali je ${i=j},$ pa su ti elementi jednaki 0. Ostali elementi su, na primer, ${a_{12}=1-2=-1}$ i ${a_{21}=2-1=1}\text{:}$

$$A=\begin{pmatrix}0&-1&-2\\1&0&-1\\2&1&0\end{pmatrix}$$

Matrica nije simetrična, jer je ${a_{12}=-1},$ a ${a_{21}=1}.$ Umesto toga važi ${a_{ji}=-a_{ij}}$ za sve $i$ i $j,$ tj. ${A^T=-A}\text{:}$ matrica je kososimetrična.

Zadatak 3. (a) Odredite $x$ i $y$ ako je $\begin{pmatrix}x+y&3\\1&x-y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7&3\\1&1\end{pmatrix}.$ (b) Da li postoji broj $x$ takav da je $\begin{pmatrix}x&2\\x&5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&2\\4&5\end{pmatrix}?$

Rešenje: (a) Upoređujemo elemente: ${x+y=7}$ i ${x-y=1}.$ Sabiranjem ove dve jednačine dobijamo ${2x=8},$ pa je ${x=4}$ i ${y=3}.$

(b) Prva kolona daje istovremeno ${x=3}$ i ${x=4}.$ To je nemoguće, pa takav broj ne postoji: ove dve matrice nikada nisu jednake.

Zadatak 4. Neka je ${A=\begin{pmatrix}3&-2\\1&0\end{pmatrix}},$ ${B=\begin{pmatrix}-1&4\\2&5\end{pmatrix}}$ i ${C=\begin{pmatrix}0&1\\-3&2\end{pmatrix}}.$ Odredite ${2A-B+3C}.$

Rešenje:

$2A-B+3C=\begin{pmatrix}6&-4\\2&0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1&4\\2&5\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&3\\-9&6\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}6+1+0&-4-4+3\\2-2-9&0-5+6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7&-5\\-9&1\end{pmatrix}$

Zadatak 5. Odredite matricu $X$ ako je ${3X-2A=B},$ gde je ${A=\begin{pmatrix}1&-2\\0&3\end{pmatrix}}$ i ${B=\begin{pmatrix}1&4\\-6&3\end{pmatrix}}.$

Rešenje: Iz jednačine sledi ${3X=B+2A}\text{:}$

$3X=\begin{pmatrix}1&4\\-6&3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2&-4\\0&6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&0\\-6&9\end{pmatrix}$

$X=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}3&0\\-6&9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\-2&3\end{pmatrix}$

Provera:

$3X-2A=\begin{pmatrix}3&0\\-6&9\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2&-4\\0&6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&4\\-6&3\end{pmatrix}$

To je matrica $B.$

Zadatak 6. Za matricu ${A=\begin{pmatrix}1&-2&0\\4&3&-1\end{pmatrix}}$ odredite $A^T,$ ${(2A)^T}$ i ${2A^T}.$

Rešenje: Kolone matrice $A$ postaju vrste matrice $A^T\text{:}$

$$A^T=\begin{pmatrix}1&4\\-2&3\\0&-1\end{pmatrix}$$

$(2A)^T=\begin{pmatrix}2&-4&0\\8&6&-2\end{pmatrix}^T=\begin{pmatrix}2&8\\-4&6\\0&-2\end{pmatrix}$

$2A^T=2\begin{pmatrix}1&4\\-2&3\\0&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&8\\-4&6\\0&-2\end{pmatrix}$

Ova dva rezultata su jednaka, kao što kaže pravilo ${(kA)^T=kA^T}.$ Oba su matrice 3×2.

Zadatak 7. Odredite $x$ i $y$ tako da matrica $\begin{pmatrix}2&x-y&5\\4&0&x+y\\5&6&1\end{pmatrix}$ bude simetrična.

Rešenje: Elementi u vrsti 1, koloni 3 i u vrsti 3, koloni 1 već su jednaki (5 i 5). Preostala dva para daju ${x-y=4}$ i ${x+y=6}.$ Sabiranjem jednačina dobijamo ${2x=10},$ pa je ${x=5}$ i ${y=1}.$ Simetrična matrica je

$$\begin{pmatrix}2&4&5\\4&0&6\\5&6&1\end{pmatrix}$$

Zadatak 8. Za matricu ${A=\begin{pmatrix}1&5\\1&3\end{pmatrix}}$ odredite ${A+A^T}$ i ${A-A^T}.$ Zatim napišite $A$ kao zbir simetrične i kososimetrične matrice.

Rešenje: ${A^T=\begin{pmatrix}1&1\\5&3\end{pmatrix}},$ pa je

$A+A^T=\begin{pmatrix}1&5\\1&3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&1\\5&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&6\\6&6\end{pmatrix}$

$A-A^T=\begin{pmatrix}1&5\\1&3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&1\\5&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&4\\-4&0\end{pmatrix}$

Prva matrica je simetrična, a druga kososimetrična. Polovina njihovog zbira je $A\text{:}$

$\frac{1}{2}(A+A^T)+\frac{1}{2}(A-A^T)=\begin{pmatrix}1&3\\3&3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&2\\-2&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&5\\1&3\end{pmatrix}$

Isto važi za svaku kvadratnu matricu: ${A+A^T}$ je uvek simetrična (zadatak za vežbu 10), a ${A-A^T}$ je uvek kososimetrična.

Zadatak 9. (a) Odredite $k$ ako je $k\begin{pmatrix}2&-1\\0&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6&3\\0&-9\end{pmatrix}.$ (b) Da li postoji broj $k$ takav da je $k\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&4\\6&9\end{pmatrix}?$

Rešenje: (a) Prvi elementi daju ${2k=-6},$ pa je ${k=-3}.$ Ostali elementi se slažu: ${-3\cdot(-1)=3},$ ${-3\cdot0=0}$ i ${-3\cdot3=-9}.$ Dakle, ${k=-3}.$

(b) Prvi element daje ${k=2},$ ali bi tada poslednji element bio ${2\cdot4=8},$ a ne 9. Takav broj $k$ ne postoji.

Zadatak 10. Kakve su matrice ${K=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}},$ ${M=\begin{pmatrix}4&0\\0&4\end{pmatrix}},$ ${N=\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}}$ i ${Q=\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}}?$

Rešenje: $K$ je nula-matrica dimenzije 2×2; ona je i dijagonalna, trougaona i simetrična. $M$ je dijagonalna, pa je i trougaona i simetrična. Ona nije jedinična matrica, jer su njeni elementi na dijagonali 4, a ne 1; zapravo je ${M=4I_2}.$ $N$ je gornja trougaona i nije simetrična. $Q$ je simetrična, ali nije trougaona.

Zadaci za vežbu

Prvo pokušajte sami, a zatim otvorite odgovor.

1. Koja je dimenzija matrice ${A=\begin{pmatrix}3&-1&4\\0&2&5\end{pmatrix}}?$ Odredite $a_{23}$ i $a_{12}.$

$A$ je matrica 2×3; ${a_{23}=5}$ i ${a_{12}=-1}.$

2. Napišite matricu dimenzije 3×2 čiji su elementi ${a_{ij}=i\cdot j}.$

$\begin{pmatrix}1&2\\2&4\\3&6\end{pmatrix}$

3. Kakva je matrica $\begin{pmatrix}2&0&0\\1&3&0\\4&0&5\end{pmatrix}?$

To je kvadratna matrica reda 3, i to donja trougaona: svi elementi iznad glavne dijagonale jednaki su 0. Nije ni dijagonalna ni simetrična: element u vrsti 2, koloni 1 je 1, a element u vrsti 1, koloni 2 je 0.

4. Odredite $x$ i $y$ ako je $\begin{pmatrix}x&4\\-1&y+2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&4\\-1&0\end{pmatrix}.$

${x=3}$ i ${y+2=0},$ pa je ${y=-2}.$

5. Odredite ${A+B}$ i ${A-B}$ za ${A=\begin{pmatrix}2&-3\\1&4\end{pmatrix}}$ i ${B=\begin{pmatrix}5&1\\-2&0\end{pmatrix}}.$

${A+B=\begin{pmatrix}7&-2\\-1&4\end{pmatrix}}$ i ${A-B=\begin{pmatrix}-3&-4\\3&4\end{pmatrix}}.$

6. Odredite ${3A-2B}$ za ${A=\begin{pmatrix}1&0&-2\\3&1&1\end{pmatrix}}$ i ${B=\begin{pmatrix}2&1&0\\-1&3&2\end{pmatrix}}.$

$3A-2B=\begin{pmatrix}3&0&-6\\9&3&3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4&2&0\\-2&6&4\end{pmatrix}$

${=\begin{pmatrix}-1&-2&-6\\11&-3&-1\end{pmatrix}}$

7. Odredite transponovanu matricu matrice $\begin{pmatrix}1&-2\\0&3\\5&4\end{pmatrix}.$

$\begin{pmatrix}1&0&5\\-2&3&4\end{pmatrix},$ matrica 2×3.

8. Za koje vrednosti $a$ je matrica $\begin{pmatrix}1&a^2\\4&0\end{pmatrix}$ simetrična?

Potrebno je da bude ${a^2=4},$ pa je ${a=2}$ ili ${a=-2}.$

9. Odredite $X$ ako je ${X-2A=B},$ gde je ${A=\begin{pmatrix}1&-1\\2&0\end{pmatrix}}$ i ${B=\begin{pmatrix}3&2\\-4&1\end{pmatrix}}.$

$X=B+2A=\begin{pmatrix}3&2\\-4&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2&-2\\4&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&0\\0&1\end{pmatrix}$

10. Pokažite da je ${A+A^T}$ simetrična matrica za svaku kvadratnu matricu $A.$

Prema osobinama transponovanja, ${(A+A^T)^T}={A^T+\left(A^T\right)^T}={A^T+A}={A+A^T}.$ Matrica je jednaka svojoj transponovanoj matrici, pa je simetrična.

Svoje primere možete proveriti kalkulatorom matrica. On sabira i oduzima matrice, množi ih brojem i transponuje, uz prikaz svih koraka.