Množenje matrica

Matrice iste dimenzije sabiraju se element po element (videti uvod u matrice), ali se ne množe na taj način. Proizvod dve matrice dobija se po pravilu „vrsta puta kolona“: u svakom elementu proizvoda učestvuju cela vrsta prve matrice i cela kolona druge matrice. Ovo pravilo na prvi pogled može izgledati čudno, ali upravo ono omogućava da se sistem linearnih jednačina zapiše kao jedna matrična jednačina, da se kombinuju tabele podataka, a kasnije i da se radi sa determinantama i inverznim matricama. U ovoj lekciji naučićete kada se dve matrice mogu pomnožiti, kako se množe i koja pravila običnog množenja važe i za matrice, a koja ne važe.

Na ovoj stranici: Kada proizvod postoji · Pravilo „vrsta puta kolona“ · AB i BA · Jedinična i nula-matrica · Osobine · Stepeni · Sistemi kao AX = B · Proizvod jednak nuli · Rešeni zadaci · Zadaci za vežbu

Kada se dve matrice mogu pomnožiti?

Napišite dve dimenzije jednu pored druge. Dva unutrašnja broja moraju biti jednaka, a dva spoljašnja broja daju dimenziju proizvoda: $AB$ ima onoliko vrsta koliko i $A,$ a onoliko kolona koliko i $B.$ U sledećem odeljku videćemo odakle potiče ovaj uslov.

Najjednostavniji slučaj su dve kvadratne matrice istog reda, na primer dve matrice 2×2: one se uvek mogu pomnožiti, a proizvod je kvadratna matrica istog reda.

Kako se množe matrice: pravilo „vrsta puta kolona“

Postupak korak po korak:

1. Proverite dimenzije: broj kolona matrice $A$ mora biti jednak broju vrsta matrice $B.$
2. Uzmite vrstu 1 matrice $A$ i kolonu 1 matrice $B.$ Pomnožite prvi element vrste prvim elementom kolone, drugi element drugim elementom i tako redom do kraja. Saberite dobijene proizvode. Zbir je element u vrsti 1 i koloni 1 matrice $AB.$
3. Zadržite vrstu 1 matrice $A$ i ponovite isto sa kolonom 2 matrice $B,$ kolonom 3 matrice $B$ i tako dalje. Tako se popunjava vrsta 1 matrice $AB.$
4. Ponovite postupak sa vrstom 2 matrice $A$ da biste popunili vrstu 2 matrice $AB,$ i tako dalje, dok ne iskoristite sve vrste matrice $A.$

Sada vidimo zašto dimenzije moraju da se slažu: vrsta matrice $A$ ima $n$ elemenata (po jedan za svaku kolonu matrice $A$), a kolona matrice $B$ ima po jedan element za svaku vrstu matrice $B.$ Elementi se mogu upariti samo kada su ova dva broja jednaka. Zbir proizvoda uparenih elemenata naziva se i skalarni proizvod vrste i kolone.

Primer 1. Pomnožite matrice ${A=\begin{pmatrix}5&2\\3&1\end{pmatrix}}$ i ${B=\begin{pmatrix}4&6\\5&2\end{pmatrix}}.$

Obe matrice su dimenzije 2×2, pa je i $AB$ matrica 2×2. U zapisu ispod prvi element svake vrste matrice $A$ i prvi element svake kolone matrice $B$ obojeni su crveno, a drugi elementi plavo. Svaki element matrice $AB$ je zbir jednog crvenog i jednog plavog proizvoda.

$$AB=\begin{pmatrix}\textcolor{#c0392b}{5}&\textcolor{#1b64a8}{2}\\\textcolor{#c0392b}{3}&\textcolor{#1b64a8}{1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\textcolor{#c0392b}{4}&\textcolor{#c0392b}{6}\\\textcolor{#1b64a8}{5}&\textcolor{#1b64a8}{2}\end{pmatrix}$$

Vrsta 1 matrice $A$ puta kolona 1 matrice $B$ daje element $c_{11}$ u vrsti 1 i koloni 1 proizvoda:

${c_{11}}={\textcolor{#c0392b}{5\cdot4}}+{\textcolor{#1b64a8}{2\cdot5}}={20+10}={30}$

Vrsta 1 matrice $A$ puta kolona 2 matrice $B,$ a zatim vrsta 2 matrice $A$ puta kolone 1 i 2 matrice $B\text{:}$

${c_{12}}={\textcolor{#c0392b}{5\cdot6}}+{\textcolor{#1b64a8}{2\cdot2}}={30+4}={34}$

${c_{21}}={\textcolor{#c0392b}{3\cdot4}}+{\textcolor{#1b64a8}{1\cdot5}}={12+5}={17}$

${c_{22}}={\textcolor{#c0392b}{3\cdot6}}+{\textcolor{#1b64a8}{1\cdot2}}={18+2}={20}$

Dakle,

$$AB=\begin{pmatrix}30&34\\17&20\end{pmatrix}$$

Primer 2. Pomnožite matrice ${A=\begin{pmatrix}1&4&3\\2&1&5\\3&2&1\end{pmatrix}}$ i ${B=\begin{pmatrix}5&2&1\\4&3&2\\2&1&5\end{pmatrix}},$ obe dimenzije 3×3.

Vrsta 1 matrice $A$ je $\begin{pmatrix}1&4&3\end{pmatrix}.$ Kada je redom pomnožimo sa tri kolone matrice $B,$ dobijamo vrstu 1 matrice $AB\text{:}$ ${1\cdot5+4\cdot4+3\cdot2=27},$ ${1\cdot2+4\cdot3+3\cdot1=17}$ i ${1\cdot1+4\cdot2+3\cdot5=24}.$

Vrsta 2 matrice $A$ je $\begin{pmatrix}2&1&5\end{pmatrix}\text{:}$ ${2\cdot5+1\cdot4+5\cdot2=24},$ ${2\cdot2+1\cdot3+5\cdot1=12}$ i ${2\cdot1+1\cdot2+5\cdot5=29}.$

Vrsta 3 matrice $A$ je $\begin{pmatrix}3&2&1\end{pmatrix}\text{:}$ ${3\cdot5+2\cdot4+1\cdot2=25},$ ${3\cdot2+2\cdot3+1\cdot1=13}$ i ${3\cdot1+2\cdot2+1\cdot5=12}.$

$$AB=\begin{pmatrix}27&17&24\\24&12&29\\25&13&12\end{pmatrix}$$

Primer 3. Pomnožite matrice ${A=\begin{pmatrix}1&2&2\\3&1&1\end{pmatrix}}$ i ${B=\begin{pmatrix}4&2\\3&1\\1&5\end{pmatrix}}.$

Matrice ne moraju biti kvadratne. $A$ je dimenzije 2×3, a $B$ dimenzije 3×2: unutrašnji brojevi su jednaki, pa $AB$ postoji i to je matrica 2×2. Sada vrsta matrice $A$ i kolona matrice $B$ imaju po tri elementa, pa je svaki element matrice $AB$ zbir tri proizvoda. Boje su iste kao u primeru 1, a treći elementi obojeni su zeleno.

$$AB=\begin{pmatrix}\textcolor{#c0392b}{1}&\textcolor{#1b64a8}{2}&\textcolor{#1e8449}{2}\\\textcolor{#c0392b}{3}&\textcolor{#1b64a8}{1}&\textcolor{#1e8449}{1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\textcolor{#c0392b}{4}&\textcolor{#c0392b}{2}\\\textcolor{#1b64a8}{3}&\textcolor{#1b64a8}{1}\\\textcolor{#1e8449}{1}&\textcolor{#1e8449}{5}\end{pmatrix}$$

${c_{11}}={\textcolor{#c0392b}{1\cdot4}}+{\textcolor{#1b64a8}{2\cdot3}}+{\textcolor{#1e8449}{2\cdot1}}={4+6+2}={12}$

${c_{12}}={\textcolor{#c0392b}{1\cdot2}}+{\textcolor{#1b64a8}{2\cdot1}}+{\textcolor{#1e8449}{2\cdot5}}={2+2+10}={14}$

${c_{21}}={\textcolor{#c0392b}{3\cdot4}}+{\textcolor{#1b64a8}{1\cdot3}}+{\textcolor{#1e8449}{1\cdot1}}={12+3+1}={16}$

${c_{22}}={\textcolor{#c0392b}{3\cdot2}}+{\textcolor{#1b64a8}{1\cdot1}}+{\textcolor{#1e8449}{1\cdot5}}={6+1+5}={12}$

Dakle,

$$AB=\begin{pmatrix}12&14\\16&12\end{pmatrix}$$

Kalkulator matrica množi ove dve matrice i prikazuje kako se dobija svaki element.

Množenje matrica nije komutativno

Za brojeve važi ${3\cdot5=5\cdot3}.$ Kod matrica su $AB$ i $BA$ obično različite, pa se redosled činilaca nikada ne sme menjati. Kada činiocima zamenimo mesta, moguća su četiri slučaja.

1. Postoji samo jedan od dva proizvoda. Neka je $A$ matrica 2×3, a $B$ matrica 3×4. Za $AB$ dimenzije su (2×3)·(3×4): unutrašnji brojevi 3 i 3 su jednaki, pa $AB$ postoji i to je matrica 2×4. Za $BA$ dimenzije su (3×4)·(2×3): unutrašnji brojevi 4 i 2 su različiti, pa $BA$ ne postoji.

2. Oba proizvoda postoje, ali su različitih dimenzija. To se dešava kada je $A$ matrica ${m\times n},$ a $B$ matrica ${n\times m},$ pri čemu je ${m\ne n}.$

Primer 4. U primeru 3 matrica $A$ je dimenzije 2×3, $B$ je dimenzije 3×2, a $AB$ je matrica 2×2. U obrnutom redosledu dobijamo matricu 3×3:

$BA=\begin{pmatrix}4&2\\3&1\\1&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&2\\3&1&1\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}4+6&8+2&8+2\\3+3&6+1&6+1\\1+15&2+5&2+5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10&10&10\\6&7&7\\16&7&7\end{pmatrix}$

Na primer, element u vrsti 3 i koloni 1 je vrsta 3 matrice $B$ puta kolona 1 matrice $A\text{:}$ ${1\cdot1+5\cdot3=16}.$

3. Oba proizvoda postoje i iste su dimenzije, ali su različiti. To je uobičajen slučaj kod dve kvadratne matrice istog reda.

Primer 5. Za matrice 2×2 iz primera 1 dobili smo ${AB=\begin{pmatrix}30&34\\17&20\end{pmatrix}}.$ U obrnutom redosledu:

$BA=\begin{pmatrix}4&6\\5&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&2\\3&1\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}4\cdot5+6\cdot3&4\cdot2+6\cdot1\\5\cdot5+2\cdot3&5\cdot2+2\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}38&14\\31&12\end{pmatrix}$

Dakle, ${AB\ne BA}.$ Isto važi i za matrice 3×3 iz primera 2. Njihov proizvod u obrnutom redosledu je

$$BA=\begin{pmatrix}12&24&26\\16&23&29\\19&19&16\end{pmatrix}$$

a to nije matrica $AB$ dobijena u primeru 2.

4. Ponekad su dva proizvoda jednaka. Ako je ${AB=BA},$ kažemo da matrice $A$ i $B$ komutiraju.

Primer 6. Matrice ${A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}$ i ${B=\begin{pmatrix}2&2\\3&5\end{pmatrix}}$ komutiraju:

$AB=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&2\\3&5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8&12\\18&26\end{pmatrix}$

$BA=\begin{pmatrix}2&2\\3&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8&12\\18&26\end{pmatrix}$

To nije slučajno: ${B=A+I_2},$ a oba proizvoda, ${AB}$ i ${BA},$ jednaka su ${A^2+A}.$ Parovi matrica koji uvek komutiraju: kvadratna matrica i jedinična matrica istog reda, kvadratna matrica i njeni stepeni, dve dijagonalne matrice istog reda, kao i regularna matrica i njena inverzna matrica.

Množenje jediničnom matricom i nula-matricom

Jedinična matrica $I_n$ je kvadratna matrica reda $n$ koja ima jedinice na glavnoj dijagonali, a nule na svim ostalim mestima, na primer ${I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}.$ Pri množenju matrica ona ima ulogu broja 1.

Zašto je tako: vrsta $i$ jedinične matrice ima jedinicu na mestu $i,$ a nule na svim ostalim mestima, pa vrsta $i$ matrice $I_m$ puta kolona $j$ matrice $A$ izdvaja upravo element $a_{ij}.$ Ako $A$ nije kvadratna, jedinične matrice sleva i zdesna su različitog reda.

Primer 7. Neka je ${A=\begin{pmatrix}5&2\\3&1\end{pmatrix}}.$ Tada je

$AI_2=\begin{pmatrix}5&2\\3&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\cdot1+2\cdot0&5\cdot0+2\cdot1\\3\cdot1+1\cdot0&3\cdot0+1\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&2\\3&1\end{pmatrix}$

$I_2A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&2\\3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot5+0\cdot3&1\cdot2+0\cdot1\\0\cdot5+1\cdot3&0\cdot2+1\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&2\\3&1\end{pmatrix}$

Primer 8. Matrica ${A=\begin{pmatrix}1&4&3\\2&1&5\end{pmatrix}}$ je dimenzije 2×3. Ona se može pomnožiti sa $I_2$ sleva i sa $I_3$ zdesna:

$I_2A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&4&3\\2&1&5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&4&3\\2&1&5\end{pmatrix}$

$AI_3=\begin{pmatrix}1&4&3\\2&1&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&4&3\\2&1&5\end{pmatrix}$

Proizvodi ${I_3A}$ i ${AI_2}$ ne postoje: u (3×3)·(2×3) i (2×3)·(2×2) dimenzije se ne slažu. Za kvadratnu matricu, kao što je matrica $A$ dimenzije 3×3 iz primera 2, postoje oba proizvoda: ${I_3A=AI_3=A}.$

Nula-matrica $O$ ima sve elemente jednake 0. Kao i broj 0, ona svaki proizvod pretvara u nula-matricu: ${AO=O}$ i ${OA=O}$ kad god proizvod postoji. Proizvod broja $k$ i jedinične matrice ponaša se kao sam broj $k,$ tj. ${(kI)A=kA},$ na primer

$\begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&2\\3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}15&6\\9&3\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}5&2\\3&1\end{pmatrix}$

Osobine množenja matrica

Neka su $A,$ $B$ i $C$ matrice čije dimenzije dopuštaju zbirove i proizvode navedene u nastavku, a $k$ broj.

Osobina	Formula
Asocijativni zakon	${(AB)C=A(BC)}$
Distributivni zakoni	${A(B+C)=AB+AC},$ ${(A+B)C=AC+BC}$
Brojni činilac se može premeštati	${k(AB)}={(kA)B}={A(kB)}$
Jedinična matrica ($A$ je dimenzije ${m\times n}$)	${I_mA=AI_n=A}$
Nula-matrica	${AO=O},$ ${OA=O}$
Transponovanje proizvoda: redosled se obrće	${(AB)^T=B^TA^T}$
Determinanta proizvoda (kvadratne matrice)	${\det(AB)=\det A\cdot\det B}$
Množenje nije komutativno	u opštem slučaju ${AB\ne BA}$

Zbog asocijativnog zakona proizvod tri ili više matrica može se pisati bez zagrada, $ABC,$ a činioci se pri računanju mogu grupisati na bilo koji način. Samo redosled činilaca mora ostati isti. Postoje dva distributivna zakona, jer se u ${A(B+C)}$ množi sa $A$ sleva, a u ${(A+B)C}$ sa $C$ zdesna. Pravilo za determinantu objašnjeno je u lekciji o determinantama.

Zašto se pri transponovanju redosled obrće: element u vrsti $i$ i koloni $j$ matrice ${(AB)^T}$ je element u vrsti $j$ i koloni $i$ matrice $AB,$ tj. vrsta $j$ matrice $A$ puta kolona $i$ matrice $B.$ To je isto što i vrsta $i$ matrice $B^T$ puta kolona $j$ matrice $A^T,$ odnosno element u vrsti $i$ i koloni $j$ matrice ${B^TA^T}.$

Primer 9. Proverite da je ${(AB)^T=B^TA^T}$ za matrice iz primera 3.

U primeru 3 dobili smo ${AB=\begin{pmatrix}12&14\\16&12\end{pmatrix}},$ pa je ${(AB)^T=\begin{pmatrix}12&16\\14&12\end{pmatrix}}.$ S druge strane,

$B^TA^T=\begin{pmatrix}4&3&1\\2&1&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&3\\2&1\\2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4+6+2&12+3+1\\2+2+10&6+1+5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}12&16\\14&12\end{pmatrix}$

Rezultati su jednaki. Proizvod ${A^TB^T}$ nije čak ni iste dimenzije: $A^T$ je dimenzije 3×2, a $B^T$ dimenzije 2×3, pa je ${A^TB^T}$ matrica 3×3.

Primer 10. Neka je ${A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}},$ ${B=\begin{pmatrix}2&0\\1&3\end{pmatrix}}$ i ${C=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}.$ Izračunajte $ABC$ na oba načina grupisanja.

$AB=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&0\\1&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&6\\1&3\end{pmatrix}$

$(AB)C=\begin{pmatrix}4&6\\1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-2\end{pmatrix}$

A sada sa drugim grupisanjem:

$BC=\begin{pmatrix}2&0\\1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}$

$A(BC)=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-2\end{pmatrix}$

Oba grupisanja daju istu kolonu, ali je za drugo potrebno manje množenja brojeva (8 umesto 12). Kada se proizvod završava kolonom, brže je početi zdesna.

Stepeni kvadratne matrice

Matrica se može pomnožiti sama sobom samo ako je kvadratna: za matricu ${m\times n}$ sa ${m\ne n}$ proizvod $AA$ ne postoji. Za kvadratnu matricu $A$ i prirodan broj $n$ definišemo

$$A^n=\underbrace{AA\cdots A}_{n\text{ činilaca}}$$

pa je ${A^2=AA},$ ${A^3=AAA},$ a takođe ${A^1=A}$ i ${A^0=I}.$ Zbog asocijativnog zakona važe uobičajena pravila za stepene:

Stepeni iste matrice međusobno komutiraju. Međutim, pravila koja se kod brojeva zasnivaju na jednakosti ${ab=ba}$ ne važe za dve različite matrice: u opštem slučaju je ${(AB)^2=ABAB\ne A^2B^2},$ a

${(A+B)^2}={(A+B)(A+B)}={A^2+AB+BA+B^2}$

što je jednako ${A^2+2AB+B^2}$ samo kada $A$ i $B$ komutiraju.

Primer 11. Odredite $A^2$ i $A^3$ za ${A=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}}.$

$A^2=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2&1\\0&1&2\\0&0&1\end{pmatrix}$

Za $A^3$ množimo $A^2$ sa $A\text{:}$

$A^3=A^2A=\begin{pmatrix}1&2&1\\0&1&2\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&3&3\\0&1&3\\0&0&1\end{pmatrix}$

Proizvod ${AA^2}$ daje istu matricu, jer $A$ i $A^2$ komutiraju. Kalkulator matrica računa ovaj stepen i prikazuje sve korake.

Primer 12. Odredite $D^5$ za dijagonalnu matricu ${D=\begin{pmatrix}2&0\\0&-1\end{pmatrix}}.$

Kada se množe dve dijagonalne matrice, njihovi dijagonalni elementi se jednostavno pomnože. Zato se stepen dijagonalne matrice računa direktno na dijagonali:

$D^5=\begin{pmatrix}2&0\\0&-1\end{pmatrix}^5=\begin{pmatrix}2^5&0\\0&(-1)^5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}32&0\\0&-1\end{pmatrix}$

Ovo važi samo za dijagonalne matrice. Kod ostalih matrica stepenovanje svakog elementa daje pogrešan rezultat.

Matrica puta kolona: sistemi u obliku AX = B

Kolona sa $n$ elemenata je matrica ${n\times 1}.$ Matrica ${m\times n}$ puta takva kolona je matrica ${m\times 1},$ tj. kolona sa $m$ elemenata. Svaki njen element je jedna vrsta matrice puta ta kolona.

Primer 13. Pomnožite matricu ${A=\begin{pmatrix}2&3&-5\\-3&2&1\\4&-1&2\end{pmatrix}}$ kolonom ${X=\begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix}}.$

$AX=\begin{pmatrix}2&3&-5\\-3&2&1\\4&-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6-3-10\\-9-2+2\\12+1+4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-7\\-9\\17\end{pmatrix}$

Isti proizvod je kombinacija kolona matrice $A,$ pri čemu su elementi matrice $X$ brojevi kojima se te kolone množe:

$AX=3\begin{pmatrix}2\\-3\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\2\\-1\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}-5\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-7\\-9\\17\end{pmatrix}$

Sada brojeve u $X$ zamenimo nepoznatim. Proizvod

$\begin{pmatrix}2&3&-5\\-3&2&1\\4&-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x+3y-5z\\-3x+2y+z\\4x-y+2z\end{pmatrix}$

sadrži leve strane sistema linearnih jednačina. Dakle, sistem

$$\begin{cases}2x+3y-5z=-7\\-3x+2y+z=-9\\4x-y+2z=17\end{cases}$$

ekvivalentan je jednoj matričnoj jednačini:

$\begin{pmatrix}2&3&-5\\-3&2&1\\4&-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-7\\-9\\17\end{pmatrix}$

Proizvod na početku primera 13 pokazuje da je ${x=3},$ ${y=-1},$ ${z=2}$ rešenje ovog sistema: kada zamenimo ove vrednosti, dobijamo tačno $B.$ Provera rešenja je samo jedno množenje matrica. Kalkulator matrica obavlja ovu proveru umesto vas. Kako se rešenje nalazi Kramerovim pravilom, Gausovim metodom ili pomoću inverzne matrice ${X=A^{-1}B},$ objašnjeno je u lekcijama o sistemima linearnih jednačina, inverznoj matrici i matričnim jednačinama.

Primer 14. Vrsta puta kolona iste dužine je matrica 1×1, koju posmatramo kao broj. Kolona puta vrsta je cela matrica:

$\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4+10+18\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}32\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&8&12\\5&10&15\\6&12&18\end{pmatrix}$

(1×3)·(3×1) daje matricu 1×1, dok (3×1)·(1×3) daje matricu 3×3: to su ista dva činioca u obrnutom redosledu.

Proizvod jednak nuli i skraćivanje

Kod brojeva iz ${ab=0}$ sledi ${a=0}$ ili ${b=0},$ a iz ${ab=ac}$ uz ${a\ne 0}$ možemo skratiti $a$ i dobiti ${b=c}.$ Kod matrica ne važi nijedno od ova dva pravila.

Primer 15. Neka je ${A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}}$ i ${B=\begin{pmatrix}2&-4\\-1&2\end{pmatrix}}.$ Nijedna od njih nije nula-matrica, ali

$AB=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&-4\\-1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2-2&-4+4\\4-4&-8+8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$

U obrnutom redosledu proizvod nije nula-matrica: ${BA=\begin{pmatrix}-6&-12\\3&6\end{pmatrix}}.$ Matrica koja nije nula-matrica može čak imati kvadrat jednak nula-matrici:

$\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$

Primer 16. Uzmimo istu matricu ${A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}}$ i matrice ${B=\begin{pmatrix}3&0\\0&1\end{pmatrix}}$ i ${C=\begin{pmatrix}1&4\\1&-1\end{pmatrix}}.$ Tada je

$AB=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&2\\6&4\end{pmatrix}$

$AC=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&4\\1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&2\\6&4\end{pmatrix}$

Dakle, ${AB=AC},$ iako je ${B\ne C}.$ Matricu $A$ ne možemo skratiti. Razlog: ${A(C-B)}={AC-AB}={O},$ iako je ${C-B\ne O}.$

Rešeni zadaci

Zadatak 1. $A$ je matrica 3×2, $B$ je matrica 2×4, a $C$ je matrica 4×3. Koji od proizvoda $AB,$ $BA,$ $BC,$ $CB,$ $CA,$ $AC$ i $ABC$ postoje i koje su njihove dimenzije?

Rešenje: Dimenzije pišemo jednu pored druge i upoređujemo unutrašnje brojeve.

• $AB\text{:}$ (3×2)·(2×4), matrica 3×4.
• $BA\text{:}$ (2×4)·(3×2), ne postoji, jer je 4 ≠ 3.
• $BC\text{:}$ (2×4)·(4×3), matrica 2×3.
• $CB\text{:}$ (4×3)·(2×4), ne postoji, jer je 3 ≠ 2.
• $CA\text{:}$ (4×3)·(3×2), matrica 4×2.
• $AC\text{:}$ (3×2)·(4×3), ne postoji, jer je 2 ≠ 4.
• $ABC\text{:}$ $AB$ je dimenzije 3×4, a (3×4)·(4×3) daje matricu 3×3.

Zadatak 2. Odredite $AB$ i $BA$ za ${A=\begin{pmatrix}2&-1&0\\1&3&-2\end{pmatrix}}$ i ${B=\begin{pmatrix}1&0\\-2&1\\3&4\end{pmatrix}}.$

Rešenje: $A$ je dimenzije 2×3, a $B$ dimenzije 3×2, pa je $AB$ matrica 2×2, a $BA$ matrica 3×3. Pazite na znake:

$AB=\begin{pmatrix}2&-1&0\\1&3&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\-2&1\\3&4\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}2+2+0&0-1+0\\1-6-6&0+3-8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&-1\\-11&-5\end{pmatrix}$

$BA=\begin{pmatrix}1&0\\-2&1\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&-1&0\\1&3&-2\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}2+0&-1+0&0+0\\-4+1&2+3&0-2\\6+4&-3+12&0-8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-1&0\\-3&5&-2\\10&9&-8\end{pmatrix}$

Zadatak 3. Neka je ${A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}.$ Pokažite da je ${A^2-5A-2I=O}.$

Rešenje:

$A^2=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+6&2+8\\3+12&6+16\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7&10\\15&22\end{pmatrix}$

$A^2-5A-2I=\begin{pmatrix}7&10\\15&22\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5&10\\15&20\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$

Ovi brojevi nisu slučajni: broj 5 je zbir dijagonalnih elemenata ${1+4},$ a ${\det A=1\cdot4-2\cdot3=-2}.$ Svaka matrica ${A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ dimenzije 2×2 zadovoljava jednakost ${A^2-(a+d)A}+{(ad-bc)I}={O}$ (Kejli–Hamiltonova teorema).

Zadatak 4. Neka je ${A=\begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}}.$ Odredite $A^2$ i $A^3,$ a zatim formulu za $A^n.$

Rešenje:

$A^2=\begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&6\\0&1\end{pmatrix}$

$A^3=A^2A=\begin{pmatrix}1&6\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&9\\0&1\end{pmatrix}$

Svako množenje sa $A$ povećava element u gornjem desnom uglu za 3, pa je

$$A^n=\begin{pmatrix}1&3n\\0&1\end{pmatrix}$$

Ovo se može dokazati matematičkom indukcijom: ako formula važi za $n,$ onda je

$A^{n+1}=A^nA=\begin{pmatrix}1&3n\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&3n+3\\0&1\end{pmatrix}$

i ${3n+3=3(n+1)}.$ Na primer, ${A^{10}=\begin{pmatrix}1&30\\0&1\end{pmatrix}}.$

Zadatak 5. Odredite sve matrice $X$ dimenzije 2×2 koje komutiraju sa ${A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}.$

Rešenje: Neka je ${X=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}.$ Tada je

$AX=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+c&b+d\\c&d\end{pmatrix}$

$XA=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&a+b\\c&c+d\end{pmatrix}$

Jednake matrice imaju jednake odgovarajuće elemente: ${a+c=a},$ ${b+d=a+b},$ ${c=c}$ i ${d=c+d}.$ Dakle, ${c=0}$ i ${d=a},$ dok $a$ i $b$ mogu biti bilo koji brojevi:

$$X=\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}$$

Na primer, za ${a=1},$ ${b=0}$ dobijamo $I_2,$ a za ${a=1},$ ${b=1}$ dobijamo samu matricu $A.$

Zadatak 6. Zapišite sistem u obliku matrične jednačine ${AX=B}$ i proverite koja je od kolona ${X_1=\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}}$ i ${X_2=\begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}}$ rešenje sistema.

$$\begin{cases}x+2y-z=6\\3x-y+2z=-1\\2x+y+z=3\end{cases}$$

Rešenje: Matrični oblik sistema je

$$\begin{pmatrix}1&2&-1\\3&-1&2\\2&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\-1\\3\end{pmatrix}$$

Matricu $A$ množimo svakom od datih kolona:

$AX_1=\begin{pmatrix}1&2&-1\\3&-1&2\\2&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+4+1\\3-2-2\\2+2-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\-1\\3\end{pmatrix}$

$AX_2=\begin{pmatrix}1&2&-1\\3&-1&2\\2&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2+2+2\\6-1-4\\4+1-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\1\\3\end{pmatrix}$

Kako je ${AX_1=B},$ trojka ${x=1},$ ${y=2},$ ${z=-1}$ je rešenje. Drugi element proizvoda $AX_2$ je 1, a ne ${-1},$ pa $X_2$ nije rešenje.

Zadatak 7. Odredite $A^{50}$ za ${A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.$

Rešenje: Nije potrebno 49 množenja. Kvadrat matrice je

$A^2=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}=-I_2$

Dakle, ${A^4}={A^2A^2}={(-I_2)(-I_2)}={I_2}.$ Kako je ${50=4\cdot12+2},$

$A^{50}=\left(A^4\right)^{12}A^2=A^2=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}$

Geometrijski, $A$ rotira ravan za 90° oko koordinatnog početka, a četiri takve rotacije vraćaju svaku tačku na njeno mesto.

Zadatak 8. Na testu lak zadatak donosi 2 poena, srednje težak 3 poena, a težak 5 poena. Ana je rešila 4 laka, 3 srednje teška i 1 težak zadatak. Bojan je rešio 2 laka, 5 srednje teških i 2 teška zadatka. Pomoću jednog proizvoda matrica odredite koliko je poena osvojilo svako od njih.

Rešenje: Brojeve rešenih zadataka zapisujemo u matricu 2×3, sa po jednom vrstom za svakog učenika, a poene u kolonu:

$\begin{pmatrix}4&3&1\\2&5&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\3\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8+9+5\\4+15+10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}22\\29\end{pmatrix}$

Ana je osvojila 22 poena, a Bojan 29 poena. Sa više učenika ili više tipova zadataka matrice postaju veće, ali je to i dalje jedno množenje. Tako se kombinuju tabele podataka.

Zadatak 9. Neka je ${A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}$ i ${B=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}.$ Uporedite ${(A+B)^2}$ sa ${A^2+2AB+B^2}.$

Rešenje:

$(A+B)^2=\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}$

Za drugi izraz koristimo da je ${A^2=A},$ ${B^2=O}$ i ${AB=B}\text{:}$

$A^2+2AB+B^2=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\\0&0\end{pmatrix}$

Rezultati su različiti, jer $A$ i $B$ ne komutiraju: ${BA=O},$ a ${AB=B}.$ Ispravan razvoj daje tačan rezultat: ${A^2+AB+BA+B^2}={A+B+O+O}={A+B},$ a to je matrica $\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}.$

Zadaci za vežbu

Prvo pokušajte sami, a zatim otvorite odgovor.

1. $A$ je matrica 4×2, a $B$ matrica 2×5. Koje je dimenzije $AB?$ Da li postoji $BA?$

$AB$ je matrica 4×5. $BA$ ne postoji: u (2×5)·(4×2) unutrašnji brojevi 5 i 4 su različiti.

2. Odredite $\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ i $\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}.$

$\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&4\\1&2\end{pmatrix}$

Kao činilac zdesna ova matrica zamenjuje mesta kolonama, a kao činilac sleva zamenjuje mesta vrstama.

3. Odredite $\begin{pmatrix}2&-1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}$ i $\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&-1&3\end{pmatrix}.$

$\begin{pmatrix}2&-1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2-4+6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&-1&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-1&3\\8&-4&12\\4&-2&6\end{pmatrix}$

4. Odredite $\begin{pmatrix}1&0&2\\-1&3&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1\\1&0\\0&-1\end{pmatrix}.$

Matrica 2×3 puta matrica 3×2 je matrica 2×2:

$\begin{pmatrix}2+0+0&1+0-2\\-2+3+0&-1+0-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-1\\1&-2\end{pmatrix}$

5. Odredite $A^2$ i $A^3$ za ${A=\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}}.$

${A^2=\begin{pmatrix}1&0\\4&1\end{pmatrix}}$ i ${A^3=\begin{pmatrix}1&0\\6&1\end{pmatrix}}.$

6. Da li matrice ${A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}}$ i ${B=\begin{pmatrix}3&4\\0&3\end{pmatrix}}$ komutiraju?

Da. Oba proizvoda su jednaka:

$AB=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&4\\0&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&10\\0&3\end{pmatrix}$

$BA=\begin{pmatrix}3&4\\0&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&10\\0&3\end{pmatrix}$

7. Odredite $x$ ako je ${\begin{pmatrix}1&x\\0&1\end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}1&6\\0&1\end{pmatrix}}.$

Kvadrat je $\begin{pmatrix}1&2x\\0&1\end{pmatrix},$ pa je ${2x=6}$ i ${x=3}.$

8. Zapišite sistem ${2x-y=5},$ ${x+3y=-1}$ kao matričnu jednačinu i proverite da je ${x=2},$ ${y=-1}$ rešenje.

$\begin{pmatrix}2&-1\\1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\-1\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}2&-1\\1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4+1\\2-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\-1\end{pmatrix}$

Proizvod je kolona desnih strana, pa je ${x=2},$ ${y=-1}$ rešenje.

9. Neka je ${A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}}$ i ${B=\begin{pmatrix}1&0\\3&1\end{pmatrix}}.$ Odredite ${(AB)^T}$ i ${B^TA^T}.$

Kako je ${AB=\begin{pmatrix}7&2\\3&1\end{pmatrix}},$ obe tražene matrice jednake su matrici $\begin{pmatrix}7&3\\2&1\end{pmatrix}\text{:}$

$B^TA^T=\begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7&3\\2&1\end{pmatrix}$

10. Odredite matricu $B$ dimenzije 2×2 koja nije nula-matrica, a za koju je ${AB=O},$ gde je ${A=\begin{pmatrix}1&3\\2&6\end{pmatrix}}.$

Svaka kolona matrice $B$ mora dati 0 kada se pomnoži vrstama matrice $A,$ pa mora biti proporcionalna koloni $\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}.$ Na primer:

$\begin{pmatrix}1&3\\2&6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&6\\-1&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$

Svoje matrice možete množiti i stepenovati pomoću kalkulatora matrica. On prikazuje kako se dobija svaki element.