Rešavanje sistema linearnih jednačina

U sistemu linearnih jednačina traže se brojevi koji istovremeno zadovoljavaju nekoliko linearnih jednačina. Pomoću matrica se takvi sistemi kratko zapisuju, a daju nam i metode koji se mogu primeniti na bilo koji broj jednačina i nepoznatih. U ovoj lekciji naučićete matrični oblik ${AX=B},$ Kramerovo pravilo, metod inverzne matrice, Gausov i Gaus–Žordanov metod, kao i to kako rangovi dve matrice pokazuju da li sistem ima jedno rešenje, nema rešenja ili ima beskonačno mnogo rešenja.

Na ovoj stranici: Matrični oblik · Kvadratni sistemi · Kramerovo pravilo · Inverzna matrica · Gausov metod · Gaus–Žordanov metod · Kroneker–Kapelijeva teorema · Homogeni sistemi · Nekvadratni sistemi · Rešeni zadaci · Zadaci za vežbu

Sistemi linearnih jednačina u matričnom obliku

Sistem od $m$ linearnih jednačina sa $n$ nepoznatih ${x_1,x_2,\dots,x_n}$ ima opšti oblik

$\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\dots+a_{1n}x_n=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+\dots+a_{2n}x_n=b_2\\\dots\\a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\dots+a_{mn}x_n=b_m\end{cases}$

Broj $a_{ij}$ je koeficijent uz nepoznatu $x_j$ u jednačini $i,$ a ${b_1,\dots,b_m}$ su slobodni članovi (desne strane jednačina). Rešenje je niz od $n$ brojeva koji istovremeno zadovoljava svih $m$ jednačina. Rešiti sistem znači odrediti sva njegova rešenja.

Koeficijente zapisujemo u matricu sistema $A$ (naziva se i matrica koeficijenata), nepoznate u kolonu $X,$ a slobodne članove u kolonu $B\text{:}$

$$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}$$ $$X=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_m\end{pmatrix}$$

Zašto je tako: prema pravilu „vrsta puta kolona“ za množenje matrica, vrsta $i$ proizvoda $AX$ jednaka je ${a_{i1}x_1+a_{i2}x_2}+{\dots+a_{in}x_n}.$ Dakle, ${AX=B}$ znači upravo to da jednačina $i$ važi za svako $i.$

Još nekoliko naziva. Sistem je saglasan (rešiv) ako ima bar jedno rešenje, a nesaglasan ako nema nijedno. Sistem je homogen ako su svi njegovi slobodni članovi jednaki 0, tj. ${B=O}.$ Dva sistema koja imaju ista rešenja su ekvivalentna.

Primer 1. Napišite sistem u matričnom obliku i odredite njegovu proširenu matricu.

$$\begin{cases}x+2y-z=4\\3x-y=5\end{cases}$$

Sistem ima 2 jednačine i 3 nepoznate, pa je $A$ matrica dimenzije 2×3. U drugoj jednačini nema $z\text{:}$ koeficijent uz $z$ u njoj je 0. Članu ${-y}$ odgovara koeficijent ${-1}.$

$$\begin{pmatrix}1&2&-1\\3&-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}$$ $$(A\,|\,B)=\left(\begin{array}{ccc|c}1&2&-1&4\\3&-1&0&5\end{array}\right)$$

Pre nego što napišete matrice, svedite svaku jednačinu na isti oblik: nepoznate levo, uvek istim redosledom, a broj desno.

Koliko rešenja može imati sistem?

Primer. Jednačina sa dve nepoznate predstavlja pravu u ravni, a rešenje sistema od dve takve jednačine je zajednička tačka te dve prave. Moguća su tri slučaja:

• ${x+y=3}$ i ${x-y=1}\text{:}$ prave se seku u jednoj tački. Jedino rešenje je ${x=2},$ ${y=1}.$
• ${x+y=3}$ i ${x+y=5}\text{:}$ prave su paralelne. Rešenja nema, jer ${x+y}$ ne može istovremeno biti 3 i 5.
• ${x+y=3}$ i ${2x+2y=6}\text{:}$ druga jednačina je prva pomnožena sa 2, pa obe predstavljaju istu pravu. Svaka njena tačka je rešenje: ${x=3-t},$ ${y=t}$ za bilo koji broj $t.$

Drugih slučajeva nema. Na primer, sistem ne može imati tačno dva rešenja: ako su $X_1$ i $X_2$ dva različita rešenja, onda za svaki broj $t$ važi

${A\bigl(X_1+t(X_2-X_1)\bigr)}={B+t(B-B)}={B,}$

pa je i ${X_1+t(X_2-X_1)}$ rešenje, i to različito za svako $t.$ U nastavku lekcije videćemo kako da utvrdimo koji od ova tri slučaja nastupa i kako da odredimo rešenja.

Kvadratni sistemi (m = n)

Kada je broj jednačina jednak broju nepoznatih, matrica $A$ je kvadratna i ima determinantu, koja se naziva determinanta sistema:

$$\Delta=\det A$$

Zašto je tako: ako je ${\Delta\ne 0},$ matrica $A$ ima inverznu matricu. Množenjem jednačine ${AX=B}$ sa ${A^{-1}}$ sleva dobijamo ${X=A^{-1}B}\text{:}$ za $X$ nema druge mogućnosti, a ova kolona zaista jeste rešenje. Ako je ${\Delta=0},$ rang matrice $A$ manji je od $n,$ a Kroneker–Kapelijeva teorema u nastavku pokazuje da sistem tada ne može imati tačno jedno rešenje.

Determinanta je različita od 0: Kramerovo pravilo

Neka je $\Delta_k$ determinanta matrice koju dobijamo iz $A$ kada njenu kolonu $k$ (koeficijente uz $x_k$) zamenimo kolonom $B$ slobodnih članova.

Za tri nepoznate $x,$ $y,$ $z$ pišemo $\Delta_x,$ $\Delta_y,$ $\Delta_z$ i ${x=\frac{\Delta_x}{\Delta}},$ ${y=\frac{\Delta_y}{\Delta}},$ ${z=\frac{\Delta_z}{\Delta}}.$ Kolona slobodnih članova (obojena) zauzima mesto kolone koeficijenata uz $x,$ $y$ ili $z\text{:}$

$$\Delta_x=\begin{vmatrix}\textcolor{#c0392b}{b_1}&a_{12}&a_{13}\\\textcolor{#c0392b}{b_2}&a_{22}&a_{23}\\\textcolor{#c0392b}{b_3}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}$$ $$\Delta_y=\begin{vmatrix}a_{11}&\textcolor{#c0392b}{b_1}&a_{13}\\a_{21}&\textcolor{#c0392b}{b_2}&a_{23}\\a_{31}&\textcolor{#c0392b}{b_3}&a_{33}\end{vmatrix}$$ $$\Delta_z=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\textcolor{#c0392b}{b_1}\\a_{21}&a_{22}&\textcolor{#c0392b}{b_2}\\a_{31}&a_{32}&\textcolor{#c0392b}{b_3}\end{vmatrix}$$

Pokažimo zašto pravilo važi u slučaju dve jednačine. Posmatrajmo sistem

$$\begin{cases}a_{11}x+a_{12}y=b_1\\a_{21}x+a_{22}y=b_2\end{cases}$$

Prvu jednačinu pomnožimo sa $a_{22},$ drugu sa $a_{12}$ i oduzmimo ih. Članovi sa $y$ se potiru:

${(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})\,x}={b_1a_{22}-a_{12}b_2}$

Izraz u zagradi na levoj strani je $\Delta,$ a desna strana je ${\Delta_x=\begin{vmatrix}b_1&a_{12}\\b_2&a_{22}\end{vmatrix}}.$ Dakle, ${\Delta\cdot x=\Delta_x},$ a na isti način se dobija ${\Delta\cdot y=\Delta_y}.$ Kada je ${\Delta\ne 0},$ možemo deliti sa $\Delta.$ Za više nepoznatih ideja je ista, samo se umesto dva proizvoda koristi razvoj determinante pomoću kofaktora.

Primer 2. Rešite sistem Kramerovim pravilom:

$$\begin{cases}2x+3y=8\\5x-y=3\end{cases}$$

$\Delta=\begin{vmatrix}2&3\\5&-1\end{vmatrix}=2\cdot(-1)-3\cdot5=-17$

$\Delta_x=\begin{vmatrix}\textcolor{#c0392b}{8}&3\\\textcolor{#c0392b}{3}&-1\end{vmatrix}=8\cdot(-1)-3\cdot3=-17$

$\Delta_y=\begin{vmatrix}2&\textcolor{#c0392b}{8}\\5&\textcolor{#c0392b}{3}\end{vmatrix}=2\cdot3-8\cdot5=-34$

${x=\frac{\Delta_x}{\Delta}=\frac{-17}{-17}=1}$

${y=\frac{\Delta_y}{\Delta}=\frac{-34}{-17}=2}$

Rešenje je ${x=1},$ ${y=2}.$ Provera: ${2\cdot1+3\cdot2=8}$ i ${5\cdot1-2=3}.$

Primer 3. Rešite sistem Kramerovim pravilom:

$$\begin{cases}2x+3y-5z=-7\\-3x+2y+z=-9\\4x-y+2z=17\end{cases}$$

Četiri determinante računamo Sarusovim pravilom. Kolona slobodnih članova je obojena.

$\Delta=\begin{vmatrix}2&3&-5\\-3&2&1\\4&-1&2\end{vmatrix}=8+12-15+40+2+18=65$

Determinanta nije 0, pa sistem ima tačno jedno rešenje.

$\Delta_x=\begin{vmatrix}\textcolor{#c0392b}{-7}&3&-5\\\textcolor{#c0392b}{-9}&2&1\\\textcolor{#c0392b}{17}&-1&2\end{vmatrix}=-28+51-45+170-7+54=195$

$\Delta_y=\begin{vmatrix}2&\textcolor{#c0392b}{-7}&-5\\-3&\textcolor{#c0392b}{-9}&1\\4&\textcolor{#c0392b}{17}&2\end{vmatrix}=-36-28+255-180-34-42=-65$

$\Delta_z=\begin{vmatrix}2&3&\textcolor{#c0392b}{-7}\\-3&2&\textcolor{#c0392b}{-9}\\4&-1&\textcolor{#c0392b}{17}\end{vmatrix}=68-108-21+56-18+153=130$

${x=\frac{\Delta_x}{\Delta}=\frac{195}{65}=3}$

${y=\frac{\Delta_y}{\Delta}=\frac{-65}{65}=-1}$

${z=\frac{\Delta_z}{\Delta}=\frac{130}{65}=2}$

Rešenje je ${(x,y,z)=(3,-1,2)}.$ Provera: ${2\cdot3+3\cdot(-1)-5\cdot2}={-7},$ ${-3\cdot3+2\cdot(-1)+2}={-9}$ i ${4\cdot3-(-1)+2\cdot2=17}.$ Sve korake ovog primera prikazuje kalkulator matrica.

Primer 4. Rešite sistem Kramerovim pravilom:

$$\begin{cases}4x+5y-2z=3\\-2x+3y-z=-3\\-x-2y+3z=-5\end{cases}$$

$\Delta=\begin{vmatrix}4&5&-2\\-2&3&-1\\-1&-2&3\end{vmatrix}=36+5-8-6-8+30=49$

$\Delta_x=\begin{vmatrix}\textcolor{#c0392b}{3}&5&-2\\\textcolor{#c0392b}{-3}&3&-1\\\textcolor{#c0392b}{-5}&-2&3\end{vmatrix}=27+25-12-30-6+45=49$

$\Delta_y=\begin{vmatrix}4&\textcolor{#c0392b}{3}&-2\\-2&\textcolor{#c0392b}{-3}&-1\\-1&\textcolor{#c0392b}{-5}&3\end{vmatrix}=-36+3-20+6-20+18=-49$

$\Delta_z=\begin{vmatrix}4&5&\textcolor{#c0392b}{3}\\-2&3&\textcolor{#c0392b}{-3}\\-1&-2&\textcolor{#c0392b}{-5}\end{vmatrix}=-60+15+12+9-24-50=-98$

${x=\frac{\Delta_x}{\Delta}=\frac{49}{49}=1}$

${y=\frac{\Delta_y}{\Delta}=\frac{-49}{49}=-1}$

${z=\frac{\Delta_z}{\Delta}=\frac{-98}{49}=-2}$

Rešenje je ${(x,y,z)=(1,-1,-2)}.$ Provera: ${4\cdot1}+{5\cdot(-1)-2\cdot(-2)}={3},$ ${-2\cdot1}+{3\cdot(-1)-(-2)}={-3}$ i ${-1-2\cdot(-1)}+{3\cdot(-2)}={-5}.$ U svakoj determinanti ima šest proizvoda, pa se lako pogreši u znaku; zato se provera isplati.

Determinanta je različita od 0: metod inverzne matrice

Ako je ${\Delta\ne 0},$ matrica $A$ je regularna, tj. ima inverznu matricu. Množenjem obe strane jednačine ${AX=B}$ sa ${A^{-1}}$ sleva dobijamo ${A^{-1}AX=A^{-1}B},$ tj. ${IX=A^{-1}B}\text{:}$

Redosled je važan: $B$ je kolona, a proizvod ${BA^{-1}}$ za ${n\gt 1}$ uopšte ne postoji. Metod se isplati kada nekoliko sistema ima istu matricu $A$ i različite kolone $B\text{:}$ inverznu matricu računamo samo jednom.

Primer 5. Rešite sistem pomoću inverzne matrice:

$$\begin{cases}x+2y+z=1\\2x+5y+3z=3\\x+3y+3z=4\end{cases}$$

Ovde je

$$A=\begin{pmatrix}1&2&1\\2&5&3\\1&3&3\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1\\3\\4\end{pmatrix}$$

${\det A}={15+6+6-5-9-12}={1}$

Determinanta nije 0, pa je $A$ regularna. Matricu ${A^{-1}}$ određujemo kao u lekciji o inverznoj matrici, pomoću adjungovane matrice ili Gaus–Žordanovim metodom:

$$A^{-1}=\begin{pmatrix}6&-3&1\\-3&2&-1\\1&-1&1\end{pmatrix}$$

$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=A^{-1}B=\begin{pmatrix}6&-3&1\\-3&2&-1\\1&-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\3\\4\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}6-9+4\\-3+6-4\\1-3+4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}$

Rešenje je ${x=1},$ ${y=-1},$ ${z=2}.$ Kalkulator matrica rešava ovaj sistem pomoću inverzne matrice i pokazuje kako se inverzna matrica određuje.

Determinanta je jednaka 0

Ako je ${\Delta=0},$ ne možemo primeniti ni Kramerovo pravilo ni metod inverzne matrice: sa 0 se ne može deliti, a $A$ nema inverznu matricu. Sistem tada nema rešenja ili ima beskonačno mnogo rešenja. Koji od ta dva slučaja nastupa, saznajemo poređenjem dva ranga (Kroneker–Kapelijeva teorema) ili jednostavno Gausovim metodom; oba načina objašnjena su u nastavku.

Za dve jednačine već pomažu jednakosti ${\Delta\cdot x=\Delta_x}$ i ${\Delta\cdot y=\Delta_y}$ iz dokaza Kramerovog pravila: ako je ${\Delta=0},$ a $\Delta_x$ ili $\Delta_y$ nije 0, jedna od njih tvrdi da je 0 jednako broju različitom od 0, pa rešenja nema.

Primer. Za sistem ${x+2y=3},$ ${2x+4y=5}$ dobijamo

$\Delta=\begin{vmatrix}1&2\\2&4\end{vmatrix}=4-4=0$

$\Delta_x=\begin{vmatrix}3&2\\5&4\end{vmatrix}=12-10=2$

Dakle, ${0\cdot x=2}\text{:}$ rešenja nema. Zaista, druga jednačina podeljena sa 2 glasi ${x+2y=\frac{5}{2}},$ što je u suprotnosti sa prvom. Kada bi druga jednačina bila ${2x+4y=6},$ ona bi bila prva pomnožena sa 2, pa bi sistem imao beskonačno mnogo rešenja: ${x=3-2t},$ ${y=t}.$

Za tri ili više nepoznatih jednakost ${\Delta=\Delta_x=\Delta_y=\Delta_z=0}$ ne znači da rešenja ima beskonačno mnogo. Sistem ${x+y+z=1},$ ${x+y+z=2},$ ${x+y+z=3}$ ima sve četiri determinante jednake 0 (svaka od njih ima dve jednake kolone), ali uopšte nema rešenja.

Gausov metod

Gausov metod može se primeniti na svaki sistem: kvadratni ili ne, sa jednim rešenjem, bez rešenja ili sa beskonačno mnogo rešenja. On menja proširenu matricu pomoću tri elementarne transformacije vrsta:

• zamena mesta dve vrste: ${V_i\leftrightarrow V_j};$
• množenje vrste brojem ${k\ne 0}\text{:}$ ${V_i\to kV_i};$
• dodavanje jednoj vrsti druge vrste pomnožene brojem: ${V_i\to V_i+kV_j}.$

Svaka vrsta matrice ${(A\,|\,B)}$ predstavlja jednu jednačinu, pa ove transformacije menjaju mesta dvema jednačinama, množe jednačinu brojem različitim od 0 ili jednoj jednačini dodaju drugu jednačinu pomnoženu nekim brojem. Svako rešenje starog sistema zadovoljava i novi, a svaka transformacija može se poništiti transformacijom istog tipa, pa je novi sistem ekvivalentan starom: jednačine se menjaju, a rešenja ne. Dozvoljena je i kombinacija kao što je ${V_2\to 2V_2+3V_1}$ (vrstu 2 pomnožimo sa 2, a zatim joj dodamo vrstu 1 pomnoženu sa 3); ona često omogućava da izbegnemo razlomke.

Za sistem od 3 jednačine sa tačno jednim rešenjem stepenasti oblik izgleda ovako (${\ast}$ je bilo koji broj, a vodeći elementi na dijagonali nisu 0):

$$\left(\begin{array}{ccc|c}\ast&\ast&\ast&\ast\\0&\ast&\ast&\ast\\0&0&\ast&\ast\end{array}\right)$$

1. Napišite proširenu matricu ${(A\,|\,B)}.$
2. Izaberite vodeći element u koloni 1 (ako je gornji element 0, zamenite mesta prvoj vrsti i nekoj vrsti koja u toj koloni ima element različit od nule) i sve elemente ispod njega svedite na 0.
3. Isto uradite u koloni 2 sa vrstama ispod vrste 1, zatim u koloni 3, i tako redom.
4. Napišite jednačine stepenaste matrice i rešite ih od poslednje ka prvoj.

Primer 6. Rešite sistem iz primera 3 Gausovim metodom.

Proširena matrica je

$$\left(\begin{array}{ccc|c}2&3&-5&-7\\-3&2&1&-9\\4&-1&2&17\end{array}\right)$$

Potrebne su nam nule ispod dvojke u koloni 1. Da bismo u vrsti 2 izbegli razlomke, koristimo ${V_2\to 2V_2+3V_1},$ a za vrstu 3 ${V_3\to V_3-2V_1}\text{:}$

$$\left(\begin{array}{ccc|c}2&3&-5&-7\\0&13&-13&-39\\0&-7&12&31\end{array}\right)$$

Svi elementi vrste 2 deljivi su sa 13: ${V_2\to \frac{1}{13}V_2}.$

$$\left(\begin{array}{ccc|c}2&3&-5&-7\\0&1&-1&-3\\0&-7&12&31\end{array}\right)$$

Nula ispod jedinice u koloni 2: ${V_3\to V_3+7V_2}.$

$$\left(\begin{array}{ccc|c}2&3&-5&-7\\0&1&-1&-3\\0&0&5&10\end{array}\right)$$

To je stepenasti oblik. On predstavlja sistem

$$\begin{cases}2x+3y-5z=-7\\y-z=-3\\5z=10\end{cases}$$

Povratna smena: poslednja jednačina daje ${z=2},$ druga ${y}={-3+z}={-3+2}={-1},$ a prva

${2x}={-7-3y+5z}={-7+3+10}={6}$

pa je ${x=3}.$ Rešenje ${(3,-1,2)}$ isto je kao kod Kramerovog pravila, a računanja je manje.

Gaus–Žordanov metod

Gaus–Žordanov metod ide dalje: pošto napravi nule ispod vodećih elemenata, pravi nule i iznad njih, a svaku vrstu deli njenim vodećim elementom. Rezultat je redukovani stepenasti oblik: svaki vodeći element jednak je 1 i jedini je element različit od nule u svojoj koloni. Rešenje se tada direktno očitava, bez povratne smene.

Primer 7. Rešite sistem Gaus–Žordanovim metodom:

$$\begin{cases}x+y+z=6\\2x-y+z=3\\x+2y-z=2\end{cases}$$ $$\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\2&-1&1&3\\1&2&-1&2\end{array}\right)$$

Nule u koloni 1: ${V_2\to V_2-2V_1}$ i ${V_3\to V_3-V_1}.$ Zatim ${V_2\leftrightarrow V_3},$ da bi sledeći vodeći element bio 1:

$$\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\0&1&-2&-4\\0&-3&-1&-9\end{array}\right)$$

${V_3\to V_3+3V_2},$ zatim ${V_3\to -\frac{1}{7}V_3}\text{:}$

$$\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\0&1&-2&-4\\0&0&1&3\end{array}\right)$$

Sada pravimo nule iznad vodećih elemenata, odozdo naviše: ${V_2\to V_2+2V_3}$ i ${V_1\to V_1-V_3},$ zatim ${V_1\to V_1-V_2}\text{:}$

$$\left(\begin{array}{ccc|c}1&0&0&1\\0&1&0&2\\0&0&1&3\end{array}\right)$$

Levi deo je $I_3,$ pa je ${x=1},$ ${y=2},$ ${z=3}.$ Provera: ${1+2+3=6},$ ${2\cdot1-2+3=3}$ i ${1+2\cdot2-3=2}.$ Kalkulator matrica rešava ovaj sistem Gaus–Žordanovim metodom korak po korak.

Koji metod izabrati? Kramerovim pravilom brzo se rešavaju sistemi 2×2 i 3×3 sa ${\Delta\ne 0},$ a ono je pogodno i kada koeficijenti sadrže parametar. Inverzna matrica se isplati kada nekoliko sistema ima istu matricu $A.$ Gausov i Gaus–Žordanov metod mogu se primeniti na svaki sistem, zahtevaju najmanje računanja kada ima 4 ili više nepoznatih i odmah pokazuju kada rešenja nema ili ih ima beskonačno mnogo. Računarski programi koriste metod eliminacije.

Saglasnost sistema: Kroneker–Kapelijeva teorema

Rang matrice je najveći red minora različitog od nule; on je jednak i broju nenultih vrsta u stepenastom obliku matrice. Proširena matrica ima jednu kolonu više od $A,$ pa je njen rang ili ${\operatorname{rang}A}$ ili ${\operatorname{rang}A+1}.$

Zašto je tako: svedimo ${(A\,|\,B)}$ na stepenasti oblik. Ako je njena poslednja nenulta vrsta ${(0\;\dots\;0\,|\,c)}$ sa ${c\ne 0},$ onda je ${\operatorname{rang}(A\,|\,B)}={\operatorname{rang}A+1},$ a ta vrsta je jednačina ${0=c}\text{:}$ rešenja nema. U suprotnom su oba ranga jednaka broju $r$ nenultih vrsta. Svaka od tih vrsta ima vodeći element; $r$ nepoznatih iz kolona vodećih elemenata određuje se povratnom smenom, a ostalih ${n-r}$ nepoznatih može imati bilo koje vrednosti.

Kada je ${r\lt n},$ sva rešenja se na klasičan način zapisuju ovako:

1. Odredite minor reda $r$ matrice $A$ koji je različit od nule; on se naziva glavni minor. Jednačine koje odgovaraju njegovim vrstama su glavne jednačine; ostale jednačine slede iz njih i mogu se izostaviti.
2. Nepoznate koje odgovaraju njegovim kolonama su glavne nepoznate. Preostale ${n-r}$ nepoznate su slobodne: označavamo ih novim slovima (parametrima), kao što su $t$ i $s,$ i prebacujemo ih na desnu stranu.
3. Rešite glavne jednačine po glavnim nepoznatim, Kramerovim pravilom ili eliminacijom.
4. Napišite opšte rešenje. Svaki izbor parametara daje jedno rešenje.

Beskonačno mnogo rešenja

Primer 8. Rešite sistem

$$\begin{cases}2x+3y+2z=5\\-3x+2y-3z=-1\\4x-y+4z=3\end{cases}$$

1. Rangovi. Prva i treća kolona matrice $A$ su jednake, pa je ${\det A=0}$ i ${\operatorname{rang}A\lt 3}.$ Minor u gornjem levom uglu nije 0:

$\begin{vmatrix}2&3\\-3&2\end{vmatrix}=4+9=13$

pa je ${\operatorname{rang}A=2}.$ Proširena matrica je

$$\left(\begin{array}{ccc|c}2&3&2&5\\-3&2&-3&-1\\4&-1&4&3\end{array}\right)$$

Da bismo videli da li je njen rang 3, dovoljno je proveriti minore reda 3 koji sadrže naš minor reda 2 (metod oivičavanja minora). Takva su dva minora. Minor iz kolona 1, 2, 3 je upravo ${\det A=0}.$ U minoru iz kolona 1, 2, 4 poslednja kolona je zbir prve dve, pa je i on jednak 0:

$\begin{vmatrix}2&3&5\\-3&2&-1\\4&-1&3\end{vmatrix}=0$

Dakle, i ${\operatorname{rang}(A\,|\,B)=2}.$ Sistem je saglasan, a ${3-2=1}$ nepoznata je slobodna.

2. Glavni minor. Uzimamo minor jednak 13. Njegove vrste pripadaju jednačinama 1 i 2, glavnim jednačinama; treća jednačina sledi iz njih i izostavljamo je. Njegove kolone pripadaju nepoznatim $x$ i $y,$ glavnim nepoznatim, a $z$ je slobodna. Pišemo ${z=t}$ i prebacujemo je na desnu stranu:

$$\begin{cases}2x+3y=5-2t\\-3x+2y=-1+3t\end{cases}$$

3. Rešavamo ovaj sistem Kramerovim pravilom. Njegova determinanta je glavni minor, jednak 13:

$\Delta_x=\begin{vmatrix}5-2t&3\\-1+3t&2\end{vmatrix}=10-4t+3-9t=13-13t$

$\Delta_y=\begin{vmatrix}2&5-2t\\-3&-1+3t\end{vmatrix}=-2+6t+15-6t=13$

Dakle, ${x=\frac{13-13t}{13}=1-t}$ i ${y=\frac{13}{13}=1}.$

4. Opšte rešenje je ${(x,y,z)=(1-t,\,1,\,t)},$ gde je $t$ bilo koji realan broj. Na primer, ${t=0}$ daje rešenje ${(1,1,0)},$ a ${t=1}$ daje ${(0,1,1)}.$ Izostavljena treća jednačina takođe važi: ${4(1-t)-1+4t=3}.$

Gausov metod daje isti rezultat brže. Transformacije ${V_2\to 2V_2+3V_1},$ ${V_3\to V_3-2V_1},$ ${V_2\to \frac{1}{13}V_2}$ i ${V_3\to V_3+7V_2}$ primenjene na gornju proširenu matricu daju

$$\left(\begin{array}{ccc|c}2&3&2&5\\0&1&0&1\\0&0&0&0\end{array}\right)$$

Postoje dve nenulte vrste, pa su oba ranga jednaka 2. Vrsta od samih nula je jednačina ${0=0}$ i ne nosi nikakvu informaciju. Vrsta 2 daje ${y=1},$ a vrsta 1 daje ${2x+3+2z=5},$ tj. ${x=1-z}.$ Kalkulator matrica prikazuje ove korake.

Sistem nema rešenja

Primer 9. Rešite sistem

$$\begin{cases}2x+y+5z=3\\3x+2y+2z=1\\7x+4y+12z=2\end{cases}$$

Determinanta sistema je 0,

$\det A=\begin{vmatrix}2&1&5\\3&2&2\\7&4&12\end{vmatrix}=48+14+60-70-16-36=0$

a minor ${\begin{vmatrix}2&1\\3&2\end{vmatrix}=4-3=1}$ nije 0, pa je ${\operatorname{rang}A=2}.$ U proširenoj matrici ovaj minor oivičavamo kolonom slobodnih članova:

$\begin{vmatrix}2&1&3\\3&2&1\\7&4&2\end{vmatrix}=8+7+36-42-8-6=-5$

Ovaj minor reda 3 nije 0, pa je ${\operatorname{rang}(A\,|\,B)=3}.$ Rangovi su različiti: sistem nema rešenja.

Gausov metod pokazuje i razlog. Proširena matrica je

$$\left(\begin{array}{ccc|c}2&1&5&3\\3&2&2&1\\7&4&12&2\end{array}\right)$$

Vrsta 3 matrice $A$ jednaka je zbiru vrste 1 pomnožene sa 2 i vrste 2, ali za slobodne članove to ne važi: ${2\cdot3+1=7},$ a ne 2. Transformacija ${V_3\to V_3-2V_1-V_2}$ daje

$$\left(\begin{array}{ccc|c}2&1&5&3\\3&2&2&1\\0&0&0&-5\end{array}\right)$$

Poslednja vrsta je jednačina ${0\cdot x+0\cdot y+0\cdot z=-5},$ koju ne zadovoljavaju nikakvi brojevi.

Homogeni sistemi

Homogeni sistem ${AX=O}$ uvek ima rešenje ${x_1=x_2=\dots=x_n=0},$ nulto (trivijalno) rešenje, pa je uvek saglasan: kolona nula ne menja rang. Pitanje je da li ima i druga, nenulta rešenja.

Primer 10. Rešite homogeni sistem

$$\begin{cases}2x+3y-5z=0\\-3x+2y+z=0\\4x-y+2z=0\end{cases}$$

Njegova matrica je matrica iz primera 3, sa ${\Delta=65}.$ Determinanta nije 0, pa je nulto rešenje jedino. To potvrđuje i Kramerovo pravilo: $\Delta_x,$ $\Delta_y$ i $\Delta_z$ imaju kolonu nula, pa su jednake 0, na primer

$\Delta_x=\begin{vmatrix}\textcolor{#c0392b}{0}&3&-5\\\textcolor{#c0392b}{0}&2&1\\\textcolor{#c0392b}{0}&-1&2\end{vmatrix}=0$

i ${x=\frac{0}{65}=0},$ ${y=\frac{0}{65}=0},$ ${z=\frac{0}{65}=0}.$ Rešenje je ${(0,0,0)}.$

Primer 11. Rešite homogeni sistem

$$\begin{cases}2x+3y+2z=0\\-3x+2y-3z=0\\4x-y+4z=0\end{cases}$$

Njegova matrica je matrica iz primera 8, pa je ${\det A=0}$ i postoje nenulta rešenja. Kod homogenog sistema dovoljno je na stepenasti oblik svesti samu matricu $A\text{:}$ kolona nula se ne menja pri transformacijama vrsta.

$$A=\begin{pmatrix}2&3&2\\-3&2&-3\\4&-1&4\end{pmatrix}$$

Iste transformacije kao u primeru 8, ${V_2\to 2V_2+3V_1},$ ${V_3\to V_3-2V_1},$ ${V_2\to \frac{1}{13}V_2}$ i ${V_3\to V_3+7V_2},$ daju

$$\begin{pmatrix}2&3&2\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}$$

Dakle, ${y=0}$ i ${2x+2z=0}.$ Za ${z=t}$ dobijamo ${(x,y,z)=(-t,\,0,\,t)},$ ${t\in\mathbb{R}}.$

Još dve činjenice o homogenim sistemima. Zbir dva rešenja i rešenje pomnoženo brojem ponovo su rešenja, jer je ${A(X_1+X_2)}={AX_1+AX_2}={O}$ i ${A(kX_1)=k\,AX_1=O}.$ Osim toga, ako je $X_0$ jedno rešenje sistema ${AX=B},$ onda su sva njegova rešenja oblika ${X_0+Y},$ gde $Y$ prolazi kroz sva rešenja sistema ${AY=O}.$ Uporedite primere 8 i 11:

$$\begin{pmatrix}1-t\\1\\t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-t\\0\\t\end{pmatrix}$$

Nekvadratni sistemi (m ≠ n)

Kada je broj jednačina $m$ različit od broja nepoznatih $n,$ matrica $A$ nije kvadratna. Ona nema ni determinantu ni inverznu matricu, pa se Kramerovo pravilo i metod inverzne matrice ne mogu direktno primeniti. Kroneker–Kapelijeva teorema i dalje važi, a Gausov metod se primenjuje kao i ranije.

• Manje jednačina nego nepoznatih ${(m\lt n)}\text{:}$ ${\operatorname{rang}A\le m\lt n},$ pa sistem nikada nema tačno jedno rešenje. On nema rešenja ili ima beskonačno mnogo rešenja, sa najmanje ${n-m}$ slobodnih nepoznatih.
• Više jednačina nego nepoznatih ${(m\gt n)}\text{:}$ moguća su sva tri slučaja. Često rešenja nema, jer ima previše uslova; kada rešenja ima, neke jednačine slede iz ostalih.

Primer 12. Rešite sistem

$$\begin{cases}2x+3y+2z=5\\-3x+2y-3z=-1\end{cases}$$

Ovde je ${m=2}$ i ${n=3}.$ Minor iz kolona nepoznatih $x$ i $y$ je

$\begin{vmatrix}2&3\\-3&2\end{vmatrix}=4+9=13$

pa je ${\operatorname{rang}A=2}.$ Proširena matrica ima samo 2 vrste, tako da je i njen rang 2. Sistem je saglasan, sa ${3-2=1}$ slobodnom nepoznatom. To su glavne jednačine iz primera 8, pa je i rešenje isto: ${(x,y,z)=(1-t,\,1,\,t)},$ ${t\in\mathbb{R}}.$ Treća jednačina iz primera 8 nije donela nikakav novi uslov.

Primer 13. Rešite sistem

$$\begin{cases}2x+3y=5\\-3x+2y=-1\\4x-y=3\end{cases}$$

Sada je ${m=3}$ i ${n=2}.$ Opet je ${\operatorname{rang}A=2},$ zbog istog minora 13. Proširena matrica je kvadratna, a njena determinanta je 0 (njena treća kolona je zbir prve dve):

$\begin{vmatrix}2&3&5\\-3&2&-1\\4&-1&3\end{vmatrix}=0$

Dakle, i ${\operatorname{rang}(A\,|\,B)=2}.$ Zajednički rang jednak je broju nepoznatih, pa postoji tačno jedno rešenje. Glavne jednačine, prve dve, rešavamo Kramerovim pravilom:

$x=\frac{1}{13}\begin{vmatrix}5&3\\-1&2\end{vmatrix}=\frac{10+3}{13}=1$

$y=\frac{1}{13}\begin{vmatrix}2&5\\-3&-1\end{vmatrix}=\frac{-2+15}{13}=1$

Treća jednačina takođe mora da važi, i zaista važi: ${4\cdot1-1=3}.$ Rešenje je ${(x,y)=(1,1)}.$ Kada bi treća jednačina bila ${4x-y=4},$ determinanta proširene matrice bila bi

$\begin{vmatrix}2&3&5\\-3&2&-1\\4&-1&4\end{vmatrix}=13$

i sistem ne bi imao rešenja: zajednička tačka ${(1,1)}$ prve dve prave ne leži na trećoj pravoj.

Rešeni zadaci

Zadatak 1. Rešite sistem Kramerovim pravilom: ${3x+4y=2},$ ${5x+6y=1}.$

Rešenje:

$\Delta=\begin{vmatrix}3&4\\5&6\end{vmatrix}=18-20=-2$

$\Delta_x=\begin{vmatrix}2&4\\1&6\end{vmatrix}=12-4=8$

$\Delta_y=\begin{vmatrix}3&2\\5&1\end{vmatrix}=3-10=-7$

${x=\frac{\Delta_x}{\Delta}=\frac{8}{-2}=-4}$

${y=\frac{\Delta_y}{\Delta}=\frac{-7}{-2}=\frac{7}{2}}$

Provera: ${3\cdot(-4)+4\cdot\frac{7}{2}}={-12+14}={2}$ i ${5\cdot(-4)+6\cdot\frac{7}{2}}={-20+21}={1}.$

Zadatak 2. Za koje vrednosti $k$ sistem ${kx+y=1},$ ${x+ky=1}$ ima tačno jedno rešenje, nema rešenja, ima beskonačno mnogo rešenja? Odredite rešenje kada je ono jedinstveno.

Rešenje:

$\Delta=\begin{vmatrix}k&1\\1&k\end{vmatrix}=k^2-1=(k-1)(k+1)$

$\Delta_x=\begin{vmatrix}1&1\\1&k\end{vmatrix}=k-1$

$\Delta_y=\begin{vmatrix}k&1\\1&1\end{vmatrix}=k-1$

• ${k\ne 1}$ i ${k\ne -1}\text{:}$ ${\Delta\ne 0},$ tačno jedno rešenje, ${x}={y}={\frac{k-1}{(k-1)(k+1)}}={\frac{1}{k+1}}.$
• ${k=1}\text{:}$ obe jednačine glase ${x+y=1},$ pa rešenja ima beskonačno mnogo: ${x=1-t},$ ${y=t}.$
• ${k=-1}\text{:}$ ${\Delta=0}$ i ${\Delta_x=-2},$ pa rešenja nema. Zaista, sabiranjem jednačina ${-x+y=1}$ i ${x-y=1}$ dobijamo ${0\cdot x+0\cdot y=2}.$

Zadatak 3. Rešite sistem Gausovim metodom:

$$\begin{cases}x_1+2x_2-x_3+x_4=3\\2x_1+4x_2+x_3-x_4=12\\x_1+3x_2+x_3+2x_4=6\\-x_1-x_2+2x_3+3x_4=-4\end{cases}$$

Rešenje:

$$\left(\begin{array}{cccc|c}1&2&-1&1&3\\2&4&1&-1&12\\1&3&1&2&6\\-1&-1&2&3&-4\end{array}\right)$$

${V_2\to V_2-2V_1},$ ${V_3\to V_3-V_1},$ ${V_4\to V_4+V_1}\text{:}$

$$\left(\begin{array}{cccc|c}1&2&-1&1&3\\0&0&3&-3&6\\0&1&2&1&3\\0&1&1&4&-1\end{array}\right)$$

Element u vrsti 2 i koloni 2 sada je 0, pa menjamo mesta vrstama: ${V_2\leftrightarrow V_3}.$ Zatim ${V_4\to V_4-V_2}\text{:}$

$$\left(\begin{array}{cccc|c}1&2&-1&1&3\\0&1&2&1&3\\0&0&3&-3&6\\0&0&-1&3&-4\end{array}\right)$$

${V_3\to \frac{1}{3}V_3},$ zatim ${V_4\to V_4+V_3}\text{:}$

$$\left(\begin{array}{cccc|c}1&2&-1&1&3\\0&1&2&1&3\\0&0&1&-1&2\\0&0&0&2&-2\end{array}\right)$$

Povratna smena: ${x_4=-1},$ zatim ${x_3=2+x_4=1},$

${x_2}={3-2x_3-x_4}={3-2+1}={2}$

${x_1}={3-2x_2+x_3-x_4}={3-4+1+1}={1}$

Rešenje je ${(x_1,x_2,x_3,x_4)}={(1,2,1,-1)}.$

Zadatak 4. Rešite sistem

$$\begin{cases}x_1-x_2+2x_3+x_4=1\\2x_1-2x_2+5x_3+3x_4=4\\x_1-x_2+3x_3+2x_4=3\end{cases}$$

Rešenje: Koristimo Gaus–Žordanov metod.

$$\left(\begin{array}{cccc|c}1&-1&2&1&1\\2&-2&5&3&4\\1&-1&3&2&3\end{array}\right)$$

${V_2\to V_2-2V_1}$ i ${V_3\to V_3-V_1},$ zatim ${V_3\to V_3-V_2}$ i ${V_1\to V_1-2V_2}\text{:}$

$$\left(\begin{array}{cccc|c}1&-1&0&-1&-3\\0&0&1&1&2\\0&0&0&0&0\end{array}\right)$$

Oba ranga su jednaka 2, a nepoznatih ima 4, pa sistem ima beskonačno mnogo rešenja sa ${4-2=2}$ slobodne nepoznate. Vodeći elementi su u kolonama nepoznatih $x_1$ i $x_3,$ pa su $x_2$ i $x_4$ slobodne: ${x_2=s},$ ${x_4=t}.$ Te dve vrste daju jednačine ${x_1-s-t=-3}$ i ${x_3+t=2},$ pa je

${(x_1,x_2,x_3,x_4)}={(-3+s+t,\;s,\;2-t,\;t)}$

gde su $s$ i $t$ bilo koji realni brojevi. Kao što vidite, slobodne nepoznate ne moraju biti poslednje.

Zadatak 5. Za koje vrednosti $a$ i $b$ sistem ima tačno jedno rešenje, nema rešenja, ima beskonačno mnogo rešenja?

$$\begin{cases}x+y+z=1\\x+2y+3z=2\\x+3y+az=b\end{cases}$$

Rešenje:

$$\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\\1&2&3&2\\1&3&a&b\end{array}\right)$$

${V_2\to V_2-V_1},$ ${V_3\to V_3-V_1},$ zatim ${V_3\to V_3-2V_2}\text{:}$

$$\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\\0&1&2&1\\0&0&a-5&b-3\end{array}\right)$$

• ${a\ne 5}\text{:}$ postoje tri vodeća elementa i ${\operatorname{rang}A}={\operatorname{rang}(A\,|\,B)}={3},$ pa sistem ima tačno jedno rešenje, za svako $b.$
• ${a=5},$ ${b\ne 3}\text{:}$ poslednja vrsta je ${(0\;0\;0\,|\,b-3)}$ sa ${b-3\ne 0}.$ Tada je ${\operatorname{rang}A=2}$ i ${\operatorname{rang}(A\,|\,B)=3}\text{:}$ rešenja nema.
• ${a=5},$ ${b=3}\text{:}$ poslednja vrsta se sastoji od samih nula i oba ranga su 2, pa rešenja ima beskonačno mnogo. Neka je ${z=t}\text{:}$ tada je ${y=1-2t},$ ${x=1-y-z=t},$ tj. ${(x,y,z)}={(t,\,1-2t,\,t)}.$

Zadatak 6. Odredite $a$ tako da homogeni sistem ${x+y+z=0},$ ${x+2y+3z=0},$ ${2x+3y+az=0}$ ima nenulta rešenja, a zatim odredite ta rešenja.

Rešenje: Kvadratni homogeni sistem ima nenulta rešenja tačno onda kada je njegova determinanta 0:

$\begin{vmatrix}1&1&1\\1&2&3\\2&3&a\end{vmatrix}=2a+6+3-4-9-a=a-4$

Dakle, ${a=4},$ a matrica sistema je

$$\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&3\\2&3&4\end{pmatrix}$$

${V_2\to V_2-V_1},$ ${V_3\to V_3-2V_1},$ zatim ${V_3\to V_3-V_2}\text{:}$

$$\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&2\\0&0&0\end{pmatrix}$$

Odavde je ${y=-2z}$ i ${x=-y-z=z}.$ Za ${z=t}$ dobijamo ${(x,y,z)=(t,\,-2t,\,t)},$ ${t\in\mathbb{R}}.$ Za ${a\ne 4}$ jedino rešenje je ${(0,0,0)}.$

Zadatak 7. Rešite sisteme ${3x+y=1},$ ${5x+2y=1}$ i ${3x+y=4},$ ${5x+2y=7}$ pomoću inverzne matrice.

Rešenje: Oba sistema imaju matricu ${A=\begin{pmatrix}3&1\\5&2\end{pmatrix}}$ sa ${\det A=3\cdot2-1\cdot5=1},$ pa je

$$A^{-1}=\begin{pmatrix}2&-1\\-5&3\end{pmatrix}$$

$X_1=A^{-1}B_1=\begin{pmatrix}2&-1\\-5&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}$

$X_2=A^{-1}B_2=\begin{pmatrix}2&-1\\-5&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4\\7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$

Prvi sistem ima rešenje ${x=1},$ ${y=-2},$ a drugi ${x=1},$ ${y=1}.$ Inverzna matrica izračunata je jednom i upotrebljena dva puta.

Zadatak 8. Odredite parabolu ${y=ax^2+bx+c}$ koja prolazi kroz tačke ${(1,2)},$ ${(2,3)}$ i ${(3,6)}.$

Rešenje: Svaka tačka daje jednu linearnu jednačinu po nepoznatim $a,$ $b,$ $c\text{:}$

$$\begin{cases}a+b+c=2\\4a+2b+c=3\\9a+3b+c=6\end{cases}$$

Koristimo Kramerovo pravilo:

$\Delta=\begin{vmatrix}1&1&1\\4&2&1\\9&3&1\end{vmatrix}=2+9+12-18-3-4=-2$

$\Delta_a=\begin{vmatrix}2&1&1\\3&2&1\\6&3&1\end{vmatrix}=4+6+9-12-6-3=-2$

$\Delta_b=\begin{vmatrix}1&2&1\\4&3&1\\9&6&1\end{vmatrix}=3+18+24-27-6-8=4$

$\Delta_c=\begin{vmatrix}1&1&2\\4&2&3\\9&3&6\end{vmatrix}=12+27+24-36-9-24=-6$

Dakle, ${a=\frac{-2}{-2}=1},$ ${b=\frac{4}{-2}=-2},$ ${c=\frac{-6}{-2}=3},$ pa je tražena parabola ${y=x^2-2x+3}.$ Provera: ${1-2+3=2},$ ${4-4+3=3},$ ${9-6+3=6}.$

Zadatak 9. Da li sistem ${x+y=3},$ ${x-y=1},$ ${2x+y=6}$ ima rešenje?

Rešenje: Matrica $A$ je dimenzije 3×2, a njen minor $\begin{vmatrix}1&1\\1&-1\end{vmatrix}=-2$ nije 0, pa je ${\operatorname{rang}A=2}.$ Proširena matrica je dimenzije 3×3:

$\begin{vmatrix}1&1&3\\1&-1&1\\2&1&6\end{vmatrix}=-6+2+3+6-1-6=-2$

Ova determinanta nije 0, pa je ${\operatorname{rang}(A\,|\,B)=3}.$ Rangovi su različiti: sistem nema rešenja. Geometrijski: prve dve prave seku se u tački ${(2,1)},$ ali ${2\cdot2+1=5},$ a ne 6, pa treća prava ne prolazi kroz tu tačku.

Zadaci za vežbu

Prvo pokušajte sami, a zatim otvorite odgovor.

1. Napišite proširenu matricu sistema ${x-2y=5},$ ${3y+z=1},$ ${x+z=0}.$

$\left(\begin{array}{ccc|c}1&-2&0&5\\0&3&1&1\\1&0&1&0\end{array}\right)$

2. Rešite sistem Kramerovim pravilom: ${4x+y=9},$ ${3x-2y=4}.$

${\Delta=-11},$ ${\Delta_x=-22},$ ${\Delta_y=-11},$ pa je ${x=2},$ ${y=1}.$

3. Rešite sistem Kramerovim pravilom: ${x+y+z=2},$ ${2x-y+z=6},$ ${x+3y-2z=-3}.$

${\Delta=11},$ ${\Delta_x=22},$ ${\Delta_y=-11},$ ${\Delta_z=11},$ pa je ${x=2},$ ${y=-1},$ ${z=1}.$

4. Rešite sistem ${2x+y=3},$ ${7x+4y=11}$ pomoću inverzne matrice.

${\det A=1}$ i ${A^{-1}=\begin{pmatrix}4&-1\\-7&2\end{pmatrix}},$ pa je $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&-1\\-7&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\11\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}.$

5. Rešite sistem Gausovim metodom: ${x-y+z=0},$ ${2x+y-z=6},$ ${x+2y+3z=1}.$

Transformacije ${V_2\to V_2-2V_1},$ ${V_3\to V_3-V_1}$ i ${V_3\to V_3-V_2}$ daju

$$\left(\begin{array}{ccc|c}1&-1&1&0\\0&3&-3&6\\0&0&5&-5\end{array}\right)$$

pa je ${z=-1},$ ${y=2+z=1}$ i ${x=y-z=2}.$

6. Koliko rešenja ima sistem ${x+y+z=3},$ ${x-y+z=1},$ ${2x+2z=4}?$ Odredite ih.

Beskonačno mnogo: treća jednačina je zbir prve dve, a ${\operatorname{rang}A}={\operatorname{rang}(A\,|\,B)}={2},$ što je manje od 3. Oduzimanjem druge jednačine od prve dobijamo ${y=1},$ a zatim ${x=2-z}\text{:}$ ${(x,y,z)=(2-t,\,1,\,t)},$ ${t\in\mathbb{R}}.$

7. Pokažite da sistem ${x+2y-z=1},$ ${2x+4y-2z=3}$ nema rešenja.

${\operatorname{rang}A=1},$ jer je druga vrsta matrice $A$ jednaka dvostrukoj prvoj. Proširena matrica ima minor $\begin{vmatrix}-1&1\\-2&3\end{vmatrix}=-1$ različit od nule, pa je ${\operatorname{rang}(A\,|\,B)=2}.$ Drugim rečima, transformacija ${V_2\to V_2-2V_1}$ daje vrstu ${(0\;0\;0\,|\,1)}.$

8. Za koje $a$ sistem ${x+2y=0},$ ${3x+ay=0}$ ima nenulta rešenja? Odredite ih.

Determinanta ${a-6}$ mora biti 0, pa je ${a=6}.$ Tada je druga jednačina prva pomnožena sa 3, a rešenja su ${(x,y)=(-2t,\,t)},$ ${t\in\mathbb{R}}.$

9. Rešite sistem ${x+y=5},$ ${x-y=1},$ ${3x+y=11}.$

Prve dve jednačine daju ${x=3},$ ${y=2},$ a treća je zadovoljena: ${3\cdot3+2=11}.$ Dakle, ${(x,y)=(3,2)}$ je jedino rešenje; oba ranga su jednaka 2.

10. Može li sistem od 3 jednačine sa 5 nepoznatih imati tačno jedno rešenje?

Ne može. ${\operatorname{rang}A\le 3},$ što je manje od 5, pa ako je sistem saglasan, najmanje ${5-3=2}$ nepoznate su slobodne i rešenja ima beskonačno mnogo.

Svoje sisteme možete proveriti kalkulatorom matrica. On rešava sistem Kramerovim pravilom, pomoću inverzne matrice, Gausovim ili Gaus–Žordanovim metodom i prikazuje sve korake.