Rešavanje sistema linearnih jednačina

Autor Catalin David

Opšti oblik sistema linearnih jednačina je:

$ \begin{cases} a_{1,1}\cdot x_{1} + a_{1,2}\cdot x_{2} + a_{1,3}\cdot x_{3} + \cdots a_{1,n} \cdot x_{n} =b_{1} \\ a_{2,1}\cdot x_{1} + a_{2,2}\cdot x_{2}+ a_{2,3}\cdot x_{3} + \cdots + a_{2,n}\cdot x_{n} = b_{2} \\ a_{3,1}\cdot x_{1} + a_{3,2}\cdot x_{2}+a_{3,3}\cdot x_{3}+ \cdots + a_{3,n}\cdot x_{n}=b_{3} \\ \cdots\\ a_{m,1}\cdot x_{1}+ a_{m,2}\cdot x_{2}+a_{m,3}\cdot x_{3}+\cdots + a_{m,n}\cdot x_{n} =b_{m} \end{cases}$

$ A= \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & . & . & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & . & . & a_{2,n} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & . & . & a_{3,n} \\ \cdots \\ a_{m,1} & a_{m,2} & a_{m,3} & . & . & a_{m,n} \end{pmatrix}$ je matrica polaznog sistema, a $b_{1}, b_{2},b_{3} \cdots b_{m}$ su slobodni članovi sistema.

Sistem jednačina je homogen ako su svi slobodni članovi sistema jednaki 0.

Matrica sistema je kvadratna ako je (m=n)

Računamo determinantu matrice sistema (koju ćemo ubuduće zvati determinanta sistema).

$\Delta = \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & . & . & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & . & . & a_{2,n} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & . & . & a_{3,n} \\ \cdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & a_{n,3} & . & . & a_{n,n} \end{vmatrix}$

Determinanta sistema je različita od 0

Sistem linearnih jednačina je određen ako ima jedno rešenje. Da bismo odredili rešenje sistema koristimo Kramerovo pravilo.

Računamo $ \Delta_{x_{1}}$, determinantu dobijenu od polazne determinante zamenom kolone sa koeficijentima uz promenljivu $x_{1}$ sa kolonom sobodnih članova sistema.
$\Delta_{x_{1}}= \begin{vmatrix} b_{1} & a_{1,2} & a_{1,3} & . & . & a_{1,n} \\ b_{2} & a_{2,2} & a_{2,3} & . & . & a_{2,n} \\ b_{3} & a_{3,2} & a_{3,3} & . & . & a_{3,n} \\ \cdots \\ b_{n} & a_{n,2} & a_{n,3} & . & . & a_{n,n} \end{vmatrix}$

Dobijamo $ x_{1} = \dfrac{\Delta_{x_{1}}}{\Delta}$

Računamo $ \Delta_{x_{2}}$, determinantu dobijenu od polazne determinante zamenom kolone sa koeficijentima uz promenljivu $x_{2}$ sa kolonom sobodnih članova sistema.
$\Delta_{x_{2}}= \begin{vmatrix} a_{1,1} & b_{1} & a_{1,3} & . & . & a_{1,n} \\ a_{2,1} & b_{2} & a_{2,3} & . & . & a_{2,n} \\ a_{3,1} & b_{3} & a_{3,3} & . & . & a_{3,n} \\ \cdots \\ a_{n,1} & b_{n} & a_{n,3} & . & . & a_{n,n} \end{vmatrix}$

Dobijamo $ x_{2} = \dfrac{\Delta_{x_{2}}}{\Delta}$

Računamo $ \Delta_{x_{3}}$, determinantu dobijenu od polazne determinante zamenom kolone sa koeficijentima uz promenljivu $x_{3}$ sa kolonom sobodnih članova sistema.
$\Delta_{x_{3}}= \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & b_{1} & . & . & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & b_{2} & . & . & a_{2,n} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & b_{3} & . & . & a_{3,n} \\ \cdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & a_{n} & . & . & a_{n,n} \end{vmatrix}$

Dobijamo $ x_{3} = \dfrac{\Delta_{x_{3}}}{\Delta}$

Nastavljamo postupak dok ne odredimo i poslednju promenljivu a onda zapisujemo rešenje sistema.
$x_{n}=\dfrac{\Delta_{x_{n}}}{\Delta}$

Primer 53
$\begin{cases} 2\cdot x + 3\cdot y -5\cdot z = \color{red}{-7}\\ -3 \cdot x + 2\cdot y + z = \color{red}{-9}\\ 4\cdot x - y + 2\cdot z = \color{red}{17} \end{cases}$

Matrica sistema je
$ \begin{pmatrix} 2 & 3 & -5\\ -3 & 2 & 1\\ 4 & -1 & 2 \end{pmatrix}$

Računamo determinantu sistema $\Delta = 8 -15 + 12 +40 +2 + 18 = 65$
Računamo $ \Delta_{x}= \begin{vmatrix} \color{red}{-7} & 3 & -5\\ \color{red}{-9} & 2 & 1\\ \color{red}{17} & -1 & 2 \end{vmatrix}= -28 - 45 + 51 + 170 - 7 +54 = 195$

Računamo $ \Delta_{y}= \begin{vmatrix} 2 & \color{red}{-7} & -5\\ -3 & \color{red}{-9} & 1\\ 4 & \color{red}{17} & 2 \end{vmatrix}=-36 + 255 -28 -180 -34 -42 = -65$

Računamo $ \Delta_{z}= \begin{vmatrix} 2 & 3 &\color{red}{-7}\\ -3 & 2 & \color{red}{-9}\\ 4 & -1 & \color{red}{17} \end{vmatrix}= 68 -21 -108 + 56 -18 + 153 =130$

Rešenje sistema je:
$x = \dfrac{\Delta_{x}}{\Delta} =\dfrac{195}{65} = 3$
$y = \dfrac{\Delta_{y}}{\Delta} = -\dfrac{65}{65}= -1$
$z = \dfrac{\Delta_{z}}{\Delta} =\dfrac{130}{65}= 2$
$S=\{3;-1;2\}$

Primer 54
$\begin{cases} 4\cdot x + 5\cdot y -2\cdot z = \color{red}{3}\\ -2 \cdot x + 3\cdot y - z = \color{red}{-3}\\ -1\cdot x - 2\cdot y + 3\cdot z = \color{red}{-5} \end{cases}$

Matrica sistema je $ \begin{pmatrix} 4 & 5 & -2\\ -2 & 3 & -1\\ -1 & -2 & 3 \end{pmatrix}$

Determinanta sistema je $\Delta = 36 -8 + 5 -6 -8 + 30 = 49$

Računamo $ \Delta_{x}= \begin{vmatrix} \color{red}{3} & 5 & -2\\ \color{red}{-3} & 3 &-1\\ \color{red}{-5} & -2 & 3 \end{vmatrix}= 27 - 12 + 25 - 30 - 6 + 45 = 49$

Računamo $ \Delta_{y}= \begin{vmatrix} 4 & \color{red}{3} & -2\\ -2 & \color{red}{-3} & -1\\ -1 & \color{red}{-5} & 3 \end{vmatrix}=-36 -20+ 3 +6 -20 + 18 = -49$

Računamo $ \Delta_{z}= \begin{vmatrix} 4 & 5 & \color{red}{3}\\ -2 & 3 & \color{red}{-3}\\ -1& -2 & \color{red}{-5} \end{vmatrix}= -60 + 12 + 15 + 9 - 24 -50 = - 98$

Rešenje sistema je:
$x = \dfrac{\Delta_{x}}{\Delta} =\dfrac{49}{49} = 1$
$y = \dfrac{\Delta_{y}}{\Delta} = -\dfrac{-49}{49}= -1$
$z = \dfrac{\Delta_{z}}{\Delta} =\dfrac{-98}{4}= -2$
$S=\{1;-1;-2\}$

Ako je sistem jednačina homogen, njegovo rešenje je {0;0;0} jer u determinantama $\Delta_{x}$,$\Delta_{y}$ and $\Delta_{z}$ postoji kolona sa nulama, pa je i njena vrednost nula.

Primer 55
$\begin{cases} 2\cdot x + 3\cdot y -5\cdot z = \color{red}{0}\\ -3 \cdot x + 2\cdot y + z = \color{red}{0}\\ 4\cdot x - y + 2\cdot z = \color{red}{0} \end{cases}$

Matrica ovog sistema je
$ \begin{pmatrix} 2 & 3 & -5\\ -3 & 2 & 1\\ 4 & -1 & 2 \end{pmatrix}$

Računajući determinantu ove matrice dobijamo $\Delta = 8 -15 + 12 +40 +2 + 18 = 65 $

$\Delta_{x}= \begin{vmatrix} \color{red}{0} & 3 & -5\\ \color{red}{0} & 2 & 1\\ \color{red}{0} & -1 & 2 \end{vmatrix}= 0 $

$\Delta_{y}= \begin{vmatrix} 2 & \color{red}{0} & -5\\ -3 & \color{red}{0} & 1\\ 4 & \color{red}{0} & 2 \end{vmatrix}= 0$

$\Delta_{z}= \begin{vmatrix} 2 & 3 &\color{red}{0}\\ -3 & 2 & \color{red}{0}\\ 4 & -1 & \color{red}{0} \end{vmatrix}= 0$

Rešenje ovog sistema je:
$x = \dfrac{\Delta_{x}}{\Delta} =\dfrac{0}{65} = 0$
$y = \dfrac{\Delta_{y}}{\Delta} = -\dfrac{0}{65}= 0$
$z = \dfrac{\Delta_{z}}{\Delta} =\dfrac{0}{65}= 0$
$S = \{0;0;0\}$

Determinanta matrice sistema je 0

Računamo rang matrice sistema i rang proširene matrice (matrica koja se dobija od matrice sistema kada se njoj doda kolona slobodnih članova).

Imamo sledeće moguće situacije:

  • Ako su rangovi ove dve matrice različiti, tada sistem nema rešenje. Tada je reč o nemogućem sistemu.
  • Ako su rangovi ove dve matrice jednaki, tada je sistem saglasan i ima beskonačno mnogo rešenja.

    Napomenimo da je sistem saglasan ako ima bar jedno rešenje (jedno ili beskonačno), sistem koji nije saglasan tj. nema rešenje zovemo nemogućim sistemom.
    Da bismo rešili ovakav sistem pratimo sledeće korake:
    • Minor koji odgovara rangu postaje glavni minor.
    • Promenljive čiji su koeficijenti u primarnom minoru postaju zavisne promenljive. Ostale promenljive postaju nezavisne promenljive, obeležavaju se drugim slovima i prebacuju na desnu stranu jednačine.
    • Jednačine koje odgovaraju glavnom minoru postaju primarne jednačine.
    • Rešavamo sistem formiran samo od primarnih jednačina određujemo njegovo rešenje u kojem će se nalaziti samo nezavisne promenljive.
    • Zapisujemo rešenje.

Primer 56
$\begin{cases} 2\cdot x + 3\cdot y +2\cdot z = \color{red}{5}\\ -3 \cdot x + 2\cdot y -3 \cdot z = \color{red}{-1}\\ 4\cdot x - y + 4\cdot z = \color{red}{3} \end{cases}$

Matrica ovog sistema je:
$\begin{pmatrix} 2 & 3 & 2\\ -3 & 2 & -3\\ 4 & -1 & 4 \end{pmatrix}$

Odredićemo rang ove matrice.
Biramo $ 2\neq 0$

$\begin{vmatrix} 2 & 3\\ -3 & 2 \end{vmatrix}= 4 + 9 =13 \neq0$

$\begin{vmatrix} 2 & 3 & 2\\ -3 & 2 & -3\\ 4 & -1 & 4 \end{vmatrix}=0 $ (jer ima dve jednake kolone; rang ove matrice je 2.)

Proširena matrica je:
$\begin{pmatrix} 2 & 3 & 2 & \color{red}{5}\\ -3 & 2 & -3 & \color{red}{-1}\\ 4 & -1 & 4 & \color{red}{3} \end{pmatrix}$

Određujemo rang proširene matrice.
$ 2\neq 0$

$\begin{vmatrix} 2 & 3\\ -3 & 2 \end{vmatrix}= 4 + 9 =13 \neq0$

$\begin{vmatrix} 2 & 3 & 2\\ -3 & 2 & -3\\ 4 & -1 & 4 \end{vmatrix}=0$
$\begin{vmatrix} 2 & 3 & \color{red}{5}\\ -3 & 2 & \color{red}{-1}\\ 4 & -1 & \color{red}{3} \end{vmatrix}=0 $ (jer ima 2 jednake kolone; rang ove matrice je 2.)

Kako su rangovi ove dve matrice jednaki, sistem je saglasan sa beskonačno mnogo rešenja. Minor koji odgovara rangu, tj. minor reda 2, postaje glavni minor.
$ \Delta_{p} = \begin{vmatrix} 2 & 3\\ -3 & 2 \end{vmatrix}$

Promenljive x i y imaju koeficijente u glavnom minoru pa one postaju zavisne promenljive, a pomenljiva z postaje nezavisna promenljiva. Neka je $z=\alpha$. Prve dve jednačine koje odgovaraju minoru postaju primarne jednačine. Rešavamo sistem koji je formiran od primarnih jednačina.
$\begin{cases} 2\cdot x + 3\cdot y +2\cdot \alpha = 5\\ -3 \cdot x + 2\cdot y -3 \cdot\alpha = -1\\ \end{cases}=$ $\begin{cases} 2\cdot x + 3\cdot y = 5 - 2\cdot \alpha\\ -3 \cdot x + 2\cdot y = -1 + 3\cdot\alpha\\ \end{cases}$

Pomnožićemo prvu jednačinu sa 3 a drugu sa 2.
$\begin{cases} 6\cdot x + 9\cdot y = 15 - 6\cdot \alpha\\ -6 \cdot x + 4\cdot y = -2 + 6 \cdot \alpha \\ \end{cases}$

Sabraćemo prve dve jednačine. Dobijamo:
$ 13\cdot y = 13 \Rightarrow y = \dfrac{13}{13} = 1$

Pomnožićemo prvu jednačinu sa -2 a drugu sa 3.
$ \begin{cases} -4\cdot x - 6\cdot y = -10 + 4\cdot \alpha\\ -9 \cdot x + 6\cdot y = -3 + 9 \cdot \alpha \\ \end{cases}$

Sabraćemo prve dve jednačine. Dobijamo:
$ -13\cdot x = 13 \Rightarrow y = \dfrac{13\cdot\alpha -13}{13} = \alpha -1$
Rešenje sistema je $\{\alpha-1;1;\alpha \}$

Primer 57
$\begin{cases} 2\cdot x + y +5\cdot z = \color{red}{3}\\ 3 \cdot x + 2\cdot y +2 \cdot z = \color{red}{1}\\ 7\cdot x +y + 12\cdot z = \color{red}{2} \end{cases}$

Matrica koja odgovara sistemu je:
$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 5\\ 3 & 2 & 2\\ 7 & 4 & 12 \end{pmatrix}$

Određijemo rang matrice sistema.
$ 2\neq 0$
$\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 3 & 2 \end{vmatrix}= 4 - 3 =1 \neq0$

$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 5\\ 3 & 2 & 2\\ 7 & 4 & 12 \end{vmatrix}= 48 + 60 + 14 - 70 -16 -36 =0 $ (iz ovoga sledi da je rang 2)

Proširena matrica je:
$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 5 & \color{red}{3}\\ 3 & 2 & 2 & \color{red}{1}\\ 7 & 4 & 12 & \color{red}{2} \end{pmatrix}$

Odredićemo rang proširene matrice.
$ 2\neq 0$
$\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 3 & 2 \end{vmatrix}= 4 -3 =1 \neq0$

$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 5\\ 3 & 2 & 2\\ 7 & 4 & 12 \end{vmatrix}=0$

$\begin{vmatrix} 2 & 1 & \color{red}{3}\\ 3 & 2 & \color{red}{1}\\ 7 & 4 & \color{red}{2} \end{vmatrix}= 8 + 36 + 7 - 42 -8 -6 = -5\neq 0 $

Rang proširene matrice je 3.

Kako su rangovi ove dve matrice različiti, sistem nema rešenje. Ovaj sistem je nemoguć. Homogen sistem će uvek biti saglasan sa beskonačno mnogo rešenja jer će njegova proširena matrica, čija će dodata kolona biti kolona nula, biti istog ranga kao matrica sistema.

Primer 58
$\begin{cases} 2\cdot x + 3\cdot y +2\cdot z = \color{red}{0}\\ -3 \cdot x + 2\cdot y -3 \cdot z = \color{red}{0}\\ 4\cdot x - y + 4\cdot z = \color{red}{0} \end{cases}$

Matrica sistema je:
$\begin{pmatrix} 2 & 3 & 2\\ -3 & 2 & -3\\ 4 & -1 & 4 \end{pmatrix}$

Odredićemo rang ove matrice.
$ 2\neq 0$
$\begin{vmatrix} 2 & 3\\ -3 & 2 \end{vmatrix}= 4 + 9 = 13 \neq0$

$ \begin{vmatrix} 2 & 3 & 2\\ -3 & 2 & -3\\ 4 & -1 & 4 \end{vmatrix}=0 $ (jer ima dve jednake kolone, odavde sledi da je rang matrice 2)

Proširena matrica je:
$\begin{pmatrix} 2 & 3 & 2 & \color{red}{0}\\ -3 & 2 & -3 & \color{red}{0}\\ 4 & -1 & 4 & \color{red}{0} \end{pmatrix}$

Odredićemo rang proširene matrice.
$ 2\neq 0$
$\begin{vmatrix} 2 & 3\\ -3 & 2 \end{vmatrix}= 4 + 9 =13 \neq0$

$\begin{vmatrix} 2 & 3 & 2\\ -3 & 2 & -3\\ 4 & -1 & 4 \end{vmatrix}=0$

$ \begin{vmatrix} 2 & 3 & \color{red}{0}\\ -3 & 2 & \color{red}{0}\\ 4 & -1 & \color{red}{0} \end{vmatrix}=0 $ (jer ima kolonu čiji su svi elementi jednaki 0; odavde sledi da je rang ove matrice takođe 2)

Kako su rangovi matrice sistema i proširene matrice jednaki, sistem je saglasan sa beskonačno mnogo rešenja. Minor koji odgovara rangu 2, tj. minor reda 2 postaje glavni minor.
$\Delta_{p} = \begin{vmatrix} 2 & 3\\ -3 & 2 \end{vmatrix}$

Promenljive x i y imaju koeficijente u glavnom minoru i postaju zavisne promenljive, a z postaje nezavisna promenljiva. Neka je $z=\alpha$. Prve dve jednačine u kojima učestvuju koeficijenti iz minora postaju primarne jednačine. Rešavamo sistem koji formiramo od primarnih jednačina.
$\begin{cases} 2\cdot x + 3\cdot y +2\cdot \alpha = 0\\ -3 \cdot x + 2\cdot y -3 \cdot\alpha = 0\\ \end{cases}=$ $\begin{cases} 2\cdot x + 3\cdot y = - 2\cdot \alpha\\ -3 \cdot x + 2\cdot y = 3\cdot\alpha\\ \end{cases}$

Pomnožićemo prvu jednačinu sa 3 i drugu jednačinu sa 2.
$\begin{cases} 6\cdot x + 9\cdot y = -6\cdot \alpha\\ -6 \cdot x + 4\cdot y = 6 \cdot \alpha \\ \end{cases}$

Sabraćemo ove dve jednačine. Dobijamo:
$13\cdot y = 0 \Rightarrow y = \dfrac{0}{13} = 0$
Radimo isto da bismo odredili x. Množimo prvu jednačinu sa -2 i drugu jednčinu sa 3.
$ \begin{cases} -4\cdot x - 6\cdot y = 4\cdot \alpha\\ -9 \cdot x + 6\cdot y =9 \cdot \alpha \\ \end{cases}$

Sabraćemo ove dve jednačine da dobijemo:
$ -13\cdot x = 13 \Rightarrow y = \dfrac{13\cdot\alpha}{-13} = -\alpha$
Rešenje ovog sistema je $ \{-\alpha;0;\alpha \}$

Matrica sistema nije kvadratna $(m\neq n)$

Određujemo rang matrice sistema i i proširene matrice (matrica koja se dobija od matrice sistema kada se njoj doda kolona slobodnih članova).

Imamo sledeće moguće situacije:

  • Ako su rangovi ove dve matrice različiti, tada sistem nema rešenje. To je nemoguć sistem.
  • Ako su rangovi ove dve matrice jednaki, tada je sistem saglasan sa beskonačno mnogo rešenja.
    Da bismo rešili sistem pratimo sledeće korake:
    • Minor koji odgovara rangu postaje glavni minor.
    • Promenljive čiji su koeficijenti u glavnom minoru postaju zavisne promenljive. Ostale promenljive zovemo nezavisnim promenljivama. Nezavisne promenljive obeležićemo sa nekim drugim slovom i prebaciti ih na desnu stranu jednačine.
    • Jednačine koje sadrže zavisne promenljive zovemo primarne jednačine.
    • Rešavamo sistem sastavljen samo od primarnih jednačina i određujemo rešenje sistema u kojem će figurirati nezavisne promenljive.
    • Zapisujemo rešenje sistema.

Primer 59
$\begin{cases} 2\cdot x + 3\cdot y +2\cdot z = \color{red}{5}\\ -3 \cdot x + 2\cdot y -3 \cdot z = \color{red}{-1}\\ \end{cases}$

Matrica sistema je:
$\begin{pmatrix} 2 & 3 & 2\\ -3 & 2 & -3\\ \end{pmatrix}$

Odredićemo njen rang.
$ 2\neq 0$
$\begin{vmatrix} 2 & 3\\ -3 & 2 \end{vmatrix}= 4 + 9 =13 \neq0$ (rang je 2)

Proširena matrica je:
$\begin{pmatrix} 2 & 3 & 2 & \color{red}{5}\\ -3 & 2 & -3 & \color{red}{-1}\\ \end{pmatrix}$

Odredićemo rang proširene matrice.
$ 2\neq 0$
$\begin{vmatrix} 2 & 3\\ -3 & 2 \end{vmatrix}= 4 + 9 =13 \neq0$ (rang je takođe 2)

Kako su rangovi matrica jednaki, sistem je saglasan sa beskonačno mnogo rešenja. Minor koji odgovara ovom rangu, tj. minor reda 2 postaje glavni minor.

$ \Delta_{p} = \begin{vmatrix} 2 & 3\\ -3 & 2 \end{vmatrix}$

Promenljive x i y imaju koeficijente u glavnom minoru pa ih zovemo zavisnim promenljivama, a promenljiva z postaje nezavisna promenljiva. Neka je $z=\alpha$. Prve dve jednačine koje odgovaraju glavnom minoru postaju primarne jednačine. Rešavamo sistem koji je formiran samo od primarnih jednačina.

$\begin{cases} 2\cdot x + 3\cdot y +2\cdot \alpha = 5\\ -3 \cdot x + 2\cdot y -3 \cdot\alpha = -1\\ \end{cases}=$ $\begin{cases} 2\cdot x + 3\cdot y = 5 - 2\cdot \alpha\\ -3 \cdot x + 2\cdot y = -1 + 3\cdot\alpha\\ \end{cases}$

Pomnožićemo prvu jednačinu sa 3 i drugu jednačinu sa 2.
$\begin{cases} 6\cdot x + 9\cdot y = 15 - 6\cdot \alpha\\ -6 \cdot x + 4\cdot y = -2 + 6 \cdot \alpha \\ \end{cases}$

Sabraćemo ove dve jednačine. Dobijamo:
$ 13\cdot y = 13 \Rightarrow y = \dfrac{13}{13} = 1$
Radimo isto da bismo odredili x. Množimo prvu jednačinu sa -2 i drugu jednačinu sa 3.
$ \begin{cases} -4\cdot x - 6\cdot y = -10 + 4\cdot \alpha\\ -9 \cdot x + 6\cdot y = -3 + 9 \cdot \alpha \\ \end{cases}$

Sabraćemo ove dve jednačine. Dobijamo:
$-13\cdot x = 13 \Rightarrow y = \dfrac{13\cdot\alpha -13}{13} = \alpha -1$
Rešenje ovog sistema je $\{\alpha-1;1;\alpha \}$

Primer 60
$\begin{cases} 2\cdot x + 3\cdot y = \color{red}{5}\\ -3 \cdot x + 2\cdot y = \color{red}{-1}\\ 4\cdot x - y = \color{red}{3} \end{cases}$

Matrica sistema je:
$\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -3 & 2 \\ 4 & -1 \end{pmatrix}$

Odredićemo rang ove matrice.
$2\neq 0$
$\begin{vmatrix} 2 & 3\\ -3 & 2 \end{vmatrix}= 4 + 9 =13 \neq0$ (the rank is 2)

Proširena matrica je:
$\begin{pmatrix} 2 & 3 & \color{red}{5}\\ -3 & 2 & \color{red}{-1}\\ 4 & -1 & \color{red}{3} \end{pmatrix}$

Odredićemo rang proširene matrice.
$2\neq 0$
$\begin{vmatrix} 2 & 3\\ -3 & 2 \end{vmatrix}= 4 + 9 =13 \neq0$
$\begin{vmatrix} 2 & 3 & \color{red}{5}\\ -3 & 2 & \color{red}{-1}\\ 4 & -1 & \color{red}{3} \end{vmatrix}=0 $ (jer ima dve jednake kolone; odavde sledi da je rang matrice 2)

Kako su rangovi matrica jednaki, sistem je saglasan sa beskonačno mnogo rešenja. Minor reda 2 postaje glavni minor.
$\Delta_{p} = \begin{vmatrix} 2 & 3\\ -3 & 2 \end{vmatrix}$

Promenljive x i y imaju koeficijente u glavnom minoru pa postaju zavisne promenljive, a promenljiva z postaje nezavisna promenljiva. Ovde nemamo nezavisne promenljive. Prve dve jednačine koje odgovaraju glavnom minoru postaju primarne jednačine. Rešavamo sistem formiran od primarnih jednačina.
$\begin{cases} 2\cdot x + 3\cdot y = 5\\ -3 \cdot x + 2\cdot y = -1\\ \end{cases}$

Množimo prvu jednačinu sa 3 i drugu jednačinu sa 2.
$\begin{cases} 6\cdot x + 9\cdot y = 15\\ -6 \cdot x + 4\cdot y = -2 \\ \end{cases}$

Sabiramo ove dve jednačine i dobijamo:
$13\cdot y = 13 \Rightarrow y = \dfrac{13}{13} = 1$
Radimo analogni postupak da bismo odredili x. Množimo prvu jednačinu sa -2 i drugu jednačinu sa 3.
$ \begin{cases} -4\cdot x - 6\cdot y = -10\\ -9 \cdot x + 6\cdot y = -3\\ \end{cases}$

Sabiramo ove dve jednačine:
$ -13\cdot x = -13 \Rightarrow y = \dfrac{-13}{-13} = 1$
Proveravamo da li ovo rešenje zadovoljava treću jednačinu.
$4\cdot1 -1\cdot1 = 3$
Rešenje sistema je $\{1;1 \}$


Kontakt imejl:
Copyright © 2005 - 2019