Determinanta

Autor Catalin David

Definicija

Determinanta kvadratne matrice A je broj dobijen od elemenata matrice A određenom metodom.

Obeležavanje

Neka je $ A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 5 & 3 & 7 \\ 6 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

$det(A) = \left|A\right| = \begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 5 & 3 & 7 \\ 6 & 2 & 1 \end{vmatrix}$

Osobine determinante

  1. Ako matrica ima vrstu ili kolonu čiji su svi elementi jednaki 0 tada je njena determinanta jednaka 0.

    Primer 12
    $\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2\\ 0 & 0 & 0\\ 3 & 9 & 5 \end{vmatrix}= 0$ ili $\begin{vmatrix} 1 & 4 & 0\\ 4 & 2 & 0\\ 3 & 9 & 0 \end{vmatrix}=0$
  2. Ako matrica ima dve jednake vrste ili dve jednake kolone tada je njena determinanta jednaka 0.

    Primer 13
    $\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2\\ 1 & 4 & 2\\ 3 & 9 & 5 \end{vmatrix}= 0$ ili $\begin{vmatrix} 1 & 4 & 1\\ 4 & 2 & 4\\ 3 & 9 & 3 \end{vmatrix}=0$
  3. Ako matrica ima dve proporcionalne vrste ili dve proporcionalne kolone tada je njena determinanta jednaka 0.

    Primer 14
    $\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2\\ 2 & 8 & 4\\ 3 & 9 & 5 \end{vmatrix}= 0$ (prve dve vrste su proporcionalne)
    ili
    $\begin{vmatrix} 8 & 4 & 7\\ 4 & 2 & 3\\ 18 & 9 & 8 \end{vmatrix}=0$ (prve dve kolone su proporcionalne)
  4. Ako je jedna vrsta ili kolona matrice jednaka sumi druge dve vrste ili kolone, respektivno tada je njena determinanta jednaka 0.

    Primer 15
    $\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2\\ 7 & 2 & 3\\ 8 & 6 & 5 \end{vmatrix}= 0$     $R_{1} +R_{2} =R_{3}$ ili

    $ \begin{vmatrix} 9 & 12 & 3\\ 1 & 8 & 7\\ 5 & 7 & 2 \end{vmatrix}=0$     $C_{1}+C_{3}=C_{2}$
  5. U determinanti, možemo faktorizovati neku vrstu ili kolonu.

    Primer 16

    $\begin{vmatrix} 3 & 9 & 12\\ 5 & 1 & 8 \\ 7 & 4 & 2 \end{vmatrix}$, izvukli smo činilac 3 ispred prve vrste $(R_{1})$ i dobili:
    $3 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4\\ 5 & 1 & 8\\ 7 & 4 & 2 \end{vmatrix}$, sada možemo izvući 2 kao činilac ispred treće kolone 3 $(C_{3})$:
    $6\cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 & 2\\ 5 & 1 & 4\\ 7 & 4 & 1 \end{vmatrix}$
  6. Vrednost determinante se ne menja ako sabiramo ili oduzimamo vrste ili kolone sa drugim vrstama ili kolonama, respektivno.

    Primer 17
    $\begin{vmatrix} 1 & 5\\ 3 & 8 \end{vmatrix}$ $\xlongequal{R_{1}+R_{2}} \begin{vmatrix} 4 & 13\\ 3 & 8 \end{vmatrix}$
    Primer 18
    $\begin{vmatrix} 1 & 5\\ 3 & 8 \end{vmatrix}$ $\xlongequal{C_{1}+C_{2}} \begin{vmatrix} 6 & 5\\ 11 & 8 \end{vmatrix}$
  7. U determinanti možemo sabirati ili oduzimati prethodno pomnožene vrste ili kolone.

    Primer 19
    $\begin{vmatrix} 1 & 5\\ 3 & 8 \end{vmatrix}$ $\xlongequal{2R_{1}+3R_{2}} \begin{vmatrix} 11 & 34\\ 3 & 8 \end{vmatrix}$

    Primer 20
    $\begin{vmatrix} 1 & 5\\ 3 & 8 \end{vmatrix}$ $\xlongequal{5C_{1}-C_{2}} \begin{vmatrix} 0 & 5\\ 7 & 8 \end{vmatrix}$
  8. Determinanta matrice jednaka je determinanti njene transponovane matrice.
  9. Determinanta proizvoda dve kvadratne matrice jednaka je proizvodu determinanti tih matrica.

Minor matrica

Determinanta dobijena od determinante kvadratne matrice eliminisanjem nekih njenih vrsta ili kolona zove se minor te matrice.

Primer 21
$A=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 5 & 3 & 7 \\ 6 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

Jedan minor matrice A je $\begin{vmatrix} 1 & 4\\ 5 & 3 \end{vmatrix}$ (dobijen je brisanjem treće vrste i treće kolone matrice A)

Drugi minor je $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 6 & 1 \end{vmatrix}$ (dobijen je brisanjem druge vrste i druge kolone matrice A)

Primer 22
$B=\begin{pmatrix} 2 & 5 & 1 & 3\\ 4 & 1 & 7 & 9\\ 6 & 8 & 3 & 2\\ 7 & 8 & 1 & 4 \end{pmatrix} $

Jedan minor matrice B je $ \begin{vmatrix} 1 & 7 & 9\\ 8 & 3 & 2\\ 8 & 1 & 4 \end{vmatrix}$ (dobijen je brisanjem prve vrste i prve kolone matrice B)

Još jedan minor matrice B je $\begin{vmatrix} 1 & 7 \\ 8 & 3 \end{vmatrix}$ (dobijen je brisanjem prve i četvrte vrste i prve i četvrte kolone matrice B)

Neka je $A= \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & . & . & a_{1,n}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & . & . & a_{2,n}\\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & . & . & a_{3,n}\\ . & . & . & . & .& .\\ a_{n,1} & a_{n,2} & a_{n,3} & . & . & a_{n,n} \end{pmatrix}$

Kažemo da minor $\Delta_{i,j}$ (dobijen brisanjem i-te vrste i j-te kolone) odgovara elementu $a_{i,j}$ matrice A.

Primer 23
$ A = \begin{pmatrix} 4 & 7\\ 2 & 9 \end{pmatrix}$

Treba da odredimo minor koji odgovara elementu '2'. Kako se element '2' nalazi u drugoj vrsti i prvoj koloni tada je minor $a_{2,1}$ onaj koji odgovara elementu '2'

Ovaj minor dobili smo brisanjem druge vrste i prve kolone matrice A, rezultat je

Minor koji odgovara elementu '2' je $\Delta_{2,1} = 7$.

Primer 24
$B=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 5 & 3 & 7 \\ 6 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

Treba odrediti minor koji odgovara elementu '7'. Kako se ovaj element nalazi u drugoj vrsti i trećoj koloni, tada minor koji odgovara elementu '7' je $a_{2,3}$.

Ovaj minor dobićemo brisanjem druge vrste i treće kolone matrice B, dobijamo

Minor koji odgovara elementu '7' je $\Delta_{2,3}= \begin{vmatrix} 1 & 4\\ 6 & 2 \end{vmatrix}$

Primer 25
$C=\begin{pmatrix} 2 & 5 & 1 & 3\\ 4 & 1 & 7 & 9\\ 6 & 8 & 3 & 2\\ 7 & 8 & 1 & 4 \end{pmatrix}$

Želimo da odredimo minor koji odgovara elementu '5'. Ovaj element se nalazi u prvoj vrsti i drugoj koloni pa ga označavamo sa $a_{1,2}$.

Obrisaćemo prvu vrstu i drugu kolonu matrice C i dobijamo

Minor koji odgovara elementu '5' je $\Delta_{1,2}= \begin{vmatrix} 4 & 7 & 9\\ 6 & 3 & 2\\ 7 & 1 & 4\\ \end{vmatrix}$

Kofaktor elementa matrice

Neka je $A=\begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & . & . & a_{1,n}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & . & . & a_{2,n}\\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & . & . & a_{3,n}\\ . & . & . & . & .& .\\ a_{n,1} & a_{n,2} & a_{n,3} & . & . & a_{n,n}\\ \end{pmatrix}$

Kofaktor $(-1)^{i+j}\cdot\Delta_{i,j}$ odgovara bilo kom elementu $a_{i,j}$ matrice A. Na primer, kofaktor $(-1)^{2+5}\cdot\Delta_{2,5}=(-1)^{7}\cdot\Delta_{2,5}= -\Delta_{2,5} $ odgovara elementu $ a_{2,5}$

Red determinante

Red determinante kvadratne matrice jednak je broju njenih vrsta odnosno kolona.

Primer 26
$\begin{vmatrix} 1 & 4\\ 6 & 2\\ \end{vmatrix}$ (Ova matrica je reda 2 jer ima dve vrste tj. 2 kolone)

Primer 27
$\begin{vmatrix} 4 & 7 & 9\\ 6 & 3 & 2\\ 7 & 1 & 4\\ \end{vmatrix}$ (Ova matrica je reda 3 jer ima 3 vrste tj. 3 kolone)

Računanje determinante matrice

Determinanta matrice jednaka je sumi proizvoda elemenata, bilo koje vrste ili kolone,i njegovih odgovarajućih kofaktora.

$\left| A\right| = \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & . & . & a_{1,n}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & . & . & a_{2,n}\\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & . & . & a_{3,n}\\ . & . & . & . & .& .\\ a_{n,1} & a_{n,2} & a_{n,3} & . & . & a_{n,n}\\ \end{vmatrix}$

Možemo izračunti determinantu koristeći na primer i-tu vrstu:

$\left| A\right| =a_{i,1}\cdot(-1)^{i+1}\cdot\Delta_{i,1}$ $+a_{i,2}\cdot(-1)^{i+2}\cdot\Delta_{i,2}+a_{i,3}\cdot(-1)^{i+3}\cdot\Delta_{i,3}+...$ $+a_{i,n}\cdot(-1)^{i+n}\cdot\Delta_{i,n}$

Možemo odrediti determinantu i koristeći j-tu vrstu j:

$\left| A\right| =a_{1,j}\cdot(-1)^{1+j}\cdot\Delta_{1,j}$ $+a_{2,j}\cdot(-1)^{2+j}\cdot\Delta_{2,j}+a_{3,j}\cdot(-1)^{3+j}\cdot\Delta_{3,j}+...$ $+a_{n,j}\cdot(-1)^{n+j}\cdot\Delta_{n,j}$

Računanje determinante 2x2

Za računanje ove determinante koristićemo prvu vrstu.

$\left| A\right| = \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2}\\ a_{2,1} & a_{2,2}\\ \end{vmatrix} = a_{1,1}\cdot(-1)^{1+1}\cdot\Delta_{1,1}+a_{1,2}\cdot(-1)^{1+2}\cdot\Delta_{1,2}=$

$a_{1,1}\cdot(-1)^{2}\cdot\Delta_{1,1}+a_{1,2}\cdot(-1)^{3}\cdot\Delta_{1,2}=a_{1,1}\cdot\Delta_{1,1}-a_{1,2}\cdot\Delta_{1,2}$

Ovde je $ \Delta_{1,1}= a_{2,2} $ i $ \Delta_{1,2}=a_{2,1}$

$ \left| A\right| =a_{1,1} \cdot a_{2,2}- a_{1,2} \cdot a_{2,1}$

$\color{red}{ \begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix} =a \cdot d - b \cdot c}$

Primer 28
$\begin{vmatrix} 2 & 5\\ 3 & 8 \end{vmatrix} =2 \cdot 8 - 3 \cdot 5 = 16 -15 =1$

Primer 29
$\begin{vmatrix} -4 & 7\\ -2 & 9 \end{vmatrix} =-4 \cdot 9 - 7 \cdot (-2) = -36 -(-14) =-36 + 14 = - 22$

Računanje determinante 3x3

Koristićemo prvu vrstu da izračunamo determinantu.

$ \left| A\right| = \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3}\\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} \end{vmatrix} =$ $a_{1,1}\cdot(-1)^{1+1}\cdot\Delta_{1,1}+a_{1,2}\cdot(-1)^{1+2}\cdot\Delta_{1,2}$ $+a_{1,3}\cdot(-1)^{1+3}\cdot\Delta_{1,3}=$ $=a_{1,1}\cdot(-1)^{2}\cdot\Delta_{1,1}+a_{1.2}\cdot(-1)^{3}\cdot\Delta_{1,2}$ $+a_{1.3}\cdot(-1)^{4}\cdot\Delta_{1,3}=$ $a_{1,1}\cdot\Delta_{1,1}-a_{1,2}\cdot\Delta_{1,2}+a_{1,3}\cdot\Delta_{1,3}$

$\Delta_{1,1}= \begin{vmatrix} a_{2,2} & a_{2,3}\\ a_{3,2} & a_{3,3} \end{vmatrix} = a_{2,2}\cdot a_{3,3}-a_{2,3}\cdot a_{3,2}$

$\Delta_{1,2}= \begin{vmatrix} a_{2,1} & a_{2,3}\\ a_{3,1} & a_{3,3} \end{vmatrix} = a_{2,1}\cdot a_{3,3}-a_{2,3}\cdot a_{3,1}$

$\Delta_{1,3}= \begin{vmatrix} a_{2,1} & a_{2,2}\\ a_{3,1} & a_{3,2} \end{vmatrix} = a_{2,1}\cdot a_{3,2}-a_{2,2}\cdot a_{3,1}$

$\left| A\right| =a_{1,1}\cdot( a_{2,2}\cdot a_{3,3}-a_{2,3}\cdot a_{3,2})-a_{1,2}\cdot(a_{2,1}\cdot a_{3,3}-a_{2,3}\cdot a_{3,1})+$ $a_{1,3}\cdot(a_{2,1}\cdot a_{3,2}-a_{2,2}\cdot a_{3,1})=$ $a_{1,1}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,3}-a_{1,1}\cdot a_{2,3}\cdot a_{3,2}-a_{1,2}\cdot a_{2.1}\cdot a_{3,3}+a_{1,2}\cdot a_{2,3}\cdot a_{3,1}+$ $a_{1,3}\cdot a_{2,1}\cdot a_{3,2}-a_{1,3}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,1}=$ $\color{red}{a_{1,1}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,3}+a_{1,2}\cdot a_{2,3}\cdot a_{3,1}+a_{1,3}\cdot a_{2,1}\cdot a_{3,2}-}$ $\color{red}{(a_{1,1}\cdot a_{2,3}\cdot a_{3,2}+a_{1,2}\cdot a_{2,1}\cdot a_{3,3}+a_{1,3}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,1})}$

Da bismo brže izračunali determinantu koristićemo sledeći metod.

Prvo ćemo prepisati prve dve vrste ispod determinante:

$\begin{vmatrix} \color{red}{a_{1,1}} & a_{1,2} & a_{1,3}\\ \color{red}{a_{2,1}} & \color{red}{a_{2,2}} & a_{2,3}\\ \color{red}{a_{3,1}} & \color{red}{a_{3,2}} & \color{red}{a_{3,3}} \end{vmatrix}$
$\hspace{2mm}\begin{array}{ccc} a_{1,1} & \color{red}{a_{1,2}} & \color{red}{a_{1,3}}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & \color{red}{a_{2,3}}\\ \end{array}$

Množićemo elemenate svake od tri crvene dijagonale (glavna dijagonala i dijagonale ispod nje) i sabraćemo rezultate :
$\color{red}{a_{1,1}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,3}+ a_{2,1}\cdot a_{3,2}\cdot a_{1,3}+a_{3,1}\cdot a_{1,2}\cdot a_{2,3}}$

$\begin{vmatrix} \color{red}{a_{1,1}} & \color{red}{a_{1,2}} & \color{blue}{a_{1,3}}\\ \color{red}{a_{2,1}} & \color{blue}{a_{2,2}} & \color{blue}{a_{2,3}}\\ \color{blue}{a_{3,1}} & \color{blue}{a_{3,2}} & \color{blue}{a_{3,3}} \end{vmatrix}$
$\hspace{2mm} \begin{array}{ccc} \color{blue}{a_{1,1}} & \color{blue}{a_{1,2}} & \color{red}{a_{1,3}}\\ \color{blue}{a_{2,1}} & \color{red}{a_{2,2}} & \color{red}{a_{2,3}}\\ \end{array}$

Sada ćemo množiti elemente svake od tri plave dijagonale (sporedna dijagonala i dijagonale ispod nje) i sabraćemo rezultate:

$\color{blue}{a_{1,3}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,1}+ a_{2,3}\cdot a_{3,2}\cdot a_{1,1}+a_{3,3}\cdot a_{1,2}\cdot a_{2,1}}$

Ako oduzmemo ova dva dobijena rezultata dobićemo sledeću formulu:

$\color{red}{a_{1,1}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,3}+ a_{2,1}\cdot a_{3,2}\cdot a_{1,3}+a_{3,1}\cdot a_{1,2}\cdot a_{2,3}-}$ $\color{red}{(a_{1,3}\cdot a_{2,2}\cdot a_{3,1}+ a_{2,3}\cdot a_{3,2}\cdot a_{1,1}+a_{3,3}\cdot a_{1,2}\cdot a_{2,1})}$

Primer 30
$A=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 3 \\ 2 & 1 & 5\\ 3 & 2 & 1\\ \end{pmatrix}$

$\begin{vmatrix} 1 & 4 & 3 \\ 2 & 1 & 5\\ 3 & 2 & 1\\ \end{vmatrix}$
$\hspace{2mm}\begin{array}{ccc} 1 & 4 & 3\\ 2 & 1 & 5\\ \end{array}$

$ = 1\cdot1\cdot1 + 2\cdot2\cdot3 + 3\cdot4\cdot5 -(3\cdot1\cdot3 + 5\cdot2\cdot1 + 1\cdot4\cdot2) =$ $ 1 + 12 + 60 -(9 + 10 + 8)=73-27=46$

Primer 31
$A=\begin{pmatrix} 3 & 5 & 1 \\ 1 & 4 & 2\\ 7 & 1 & 9\\ \end{pmatrix}$

$\begin{vmatrix} 3 & 5 & 1 \\ 1 & 4 & 2\\ 7 & 1 & 9\\ \end{vmatrix}$
$\hspace{2mm}\begin{array}{ccc} 3 & 5 & 1\\ 1 & 4 & 2\\ \end{array} $

$= 3\cdot4\cdot9 + 1\cdot1\cdot1 + 7\cdot5\cdot2 -(1\cdot4\cdot7 + 2\cdot1\cdot3 + 9\cdot5\cdot1) =$ $ 108 + 1 + 70 -(28 + 6 + 45)=79-79=100$

Postoje determinante čiji su elementi promenljive. One se lakše izračunavaju primenom osobina determinanti. Na primer, možemo izračunati determinantu matrice koja ima iste elemente u vrsti ili koloni, ali sa izmenjenim redosledom.

$\begin{vmatrix} a & b & c\\ c & a & b\\ b & c & a \end{vmatrix}$ $ \xlongequal{C_{1}+C_{2}+C_{3}} \begin{vmatrix} a + b + c & b & c\\ c + a + b & a & b\\ b + c + a & c & a \end{vmatrix} = (a + b + c) \cdot \begin{vmatrix} 1 & b & c\\ 1 & a & b\\ 1 & c & a \end{vmatrix}$

Računamo poslednju determinantu:

$\begin{vmatrix} 1 & b & c\\ 1 & a & b\\ 1 & c & a \end{vmatrix}$
$\hspace{2mm}\begin{array}{ccc} 1 & b & c\\ 1 & a & b \end{array}$

$ = a^{2} + b^{2} + c^{2} -a\cdot c - b\cdot c - a\cdot b =$ $\frac{1}{2}\cdot(2a^{2} +2b^{2}+2c^{2} -2a\cdot b -2a\cdot c-2b\cdot c) =$ $\frac{1}{2}\cdot(a^{2}-2a\cdot b + b^{2}+ a^{2}-2a\cdot c +c^{2}+b^{2}-2b\cdot c + c^{2})=$ $\frac{1}{2}\cdot[(a-b)^{2}+(a-c)^{2}+(b-c)^{2}]$

Zaključujemo

$\begin{vmatrix} a & b & c\\ c & a & b\\ b & c & a \end{vmatrix}=$ $\frac{1}{2}\cdot(a+b+c)\cdot[(a-b)^{2}+(a-c)^{2}+(b-c)^{2}]$

Primer 32
Izračunaćemo determinantu Vandermondove matrice.
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ a & b & c\\ a^{2} & b^{2} & c^{2} \end{vmatrix}$

Primenom osobina determinanti izmenićemo elemente prve vrste da bismo dobili dva koja su jednaka nuli. U tom slučaju nećemo morati računati kofaktore koji odgovaraju tim elementima jer će proizvod tog elementa i kofaktora biti nula.

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ a & b & c\\ a^{2} & b^{2} & c^{2}\\ \end{vmatrix}$ $\xlongequal{C_{1}- C_{3}\\C_{2} -C_{3}} \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1\\ a-c & b-c & c\\ a^{2}- c^{2} & b^{2}-c^{2} & c^{2} \end{vmatrix}=$ $1\cdot(-1)^{1+3}\cdot \begin{vmatrix} a-c & b-c \\ a^{2}- c^{2} & b^{2}-c^{2} \end{vmatrix}= $

$\begin{vmatrix} a-c & b-c \\ (a-c)(a+c) & (b-c)(b+c) \end{vmatrix}=$ $(a-c)(b-c)\begin{vmatrix} 1 & 1\\ a+c & b+c \end{vmatrix}=$

$=(a-c)(b-c)[(b+c)-(a+c)]=$ $(a-c)(b-c)(b+c-a-c)=(a-c)(b-c)(b-a)$

Računanje determinante 4x4

Za računanje determinante 4x4 koristi se opšta formula.

Pre korišćenja formule proveravamo da li se neke od osobina determinanti mogu primeniti:

  1. Proveravamo da li je ispunjen neki od uslova za koje je determinanta jednaka nuli.
  2. Proveravamo da li se neki od faktora može izvući ispred vrste ili kolone.
  3. Proveravamo da li se radi o determinanti Vandermondove matrice ili da li neke od vrsta ili kolona imaju iste elemente ali u izmenjenom redosledu.

Ako je ispunjen poslednji uslov koristimo metod za računanje determinante 3x3. Modifikovaćemo vrstu ili kolonu tako da u njoj budu sve nule sem jednog elementa koji je jednak jedinici. Determinanta će tada biti jednaka proizvodu tog elementa (jedinice) i njemu odgovarajućeg kofaktora. Ovde je kofaktor determinanta 3x3 koja se računa po već navedenoj formuli.

Primer 33
$\begin{vmatrix} 1 & 3 & 9 & 2\\ 5 & 8 & 4 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 2 & 3 & 1 & 8 \end{vmatrix}$

Primetimo da su svi elementi u trećoj vrsti jednaki nuli pa je i determinanta jednaka nuli.

Primer 34
$\begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 & 2\\ 5 & 8 & 5 & 3\\ 0 & 4 & 0 & 0\\ 2 & 3 & 2 & 8 \end{vmatrix}$
Primetimo da su $C_{1}$ i $C_{3}$ jednaki, pa je tada determinanta jednaka 0.

Primer 35
$\begin{vmatrix} 1 & 3 & 9 & 2\\ 5 & 8 & 4 & 3\\ 10 & 16 & 18 & 4\\ 2 & 3 & 1 & 8 \end{vmatrix}$
Primetimo da su druga i treća determinanta proporcionalne, pa je determinanta jednaka 0.

Primer 36
$\begin{vmatrix} \color{red}{4} & 3 & 2 & 2\\ 0 & 1 & -3 & 3\\ 0 & -1 & 3 & 3\\ 0 & 3 & 1 & 1 \end{vmatrix}$

U prvoj koloni je samo jedan element različit od nule pa možemo primeniti opšte pravilo za ovu kolonu. Kofaktore koji odgovaraju elementima '0' nećemo računati jer će njihov proizvod biti 0.

=
$=4(1\cdot3\cdot1 +(-1)\cdot1\cdot3+3\cdot(-3)\cdot3$ $-(3\cdot3\cdot3+3\cdot1\cdot1 +1\cdot(-3)\cdot(-1)))$ $=4(3-3-27-(27+3+3))=4\cdot(-60)=-240$

Primer 37
$\begin{vmatrix} 4 & 3 & 2 & 2\\ 0 & 1 & 0 & -2\\ 1 & -1 & 3 & 3\\ 2 & 3 & 1 & 1 \end{vmatrix}$

Da bismo u vrsti imali još nula izvršićemo neke operacije. Odabraćemo vrstu ili kolonu koja sadrži element '1' jer njegovim množenjem možemo dobiti bilo koji broj.

Primećujemo da u su u drugoj vrsti već dva elementa jednaka muli. U ovoj vrsti napravićemo još jednu nulu kako bismo računali samo kofaktor koji odgovara jedinici.

$\begin{vmatrix} 4 & 3 & 2 & 2\\ 0 & 1 & 0 & -2\\ 1 & -1 & 3 & 3\\ 2 & 3 & 1 & 1 \end{vmatrix} \xlongequal{C_{4}+2C_{2}}$ $\begin{vmatrix} 4 & 3 & 2 & 8\\ 0 & \color{red}{1} & 0 & 0\\ 1 & -1 & 3 & 1\\ 2 & 3 & 1 & 7 \end{vmatrix}=$ $=$

$= 1\cdot(-1)^{2+2}\cdot \begin{vmatrix} 4 & 2 & 8\\ 1 & 3 & 1\\ 2 & 1 & 7 \end{vmatrix}=$
$=4\cdot3\cdot7 + 1\cdot1\cdot8 + 2\cdot2\cdot1$ $-(8\cdot3\cdot2 + 1\cdot1\cdot4 + 7\cdot2\cdot1) =$ $ 84 + 8 + 4- 48-4-14=30$

Primer 38
$\begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 & 2\\ 2 & 3 & 1 & -1\\ 3 & 3 & 3 & 3\\ -1 & 4 & 2 & 1\\ \end{vmatrix}$

Iz treće vrste možemo izdvojiti faktor 3:
$3\cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 & 2\\ 2 & 3 & 1 & -1\\ 1 & 1 & 1 & 1\\ -1 & 4 & 2 & 1\\ \end{vmatrix}$

Kako su svi elementi u trećoj vrsti jednaki jedinici lako možemo napraviti nule..

$\begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 & 2\\ 2 & 3 & 1 & -1\\ 1 & 1 & 1 & 1\\ -1 & 4 & 2 & 1 \end{vmatrix}$ $ \xlongequal{C_{1} - C_{4},C_{2}-C_{4},C_{3}-C_{4}} \begin{vmatrix} -1 & -4 & 1 & 2\\ 3 & 4 & 2 & -1\\ 0 & 0 & 0 & \color{red}{1}\\ -2 & 3 & 1 & 1 \end{vmatrix}$ $=1\cdot(-1)^{3+4}\cdot$ $=(-1)\cdot \begin{vmatrix} -1 & -4 & 1\\ 3 & 4 & 2 \\ -2 & 3 & 1\\ \end{vmatrix}$
$=-((-1)\cdot 4\cdot 1 +3 \cdot 3\cdot1 + (-2)\cdot (-4)\cdot 2$ $- (1\cdot 4\cdot (-2) + 2\cdot 3\cdot (-1) + 1\cdot (-4)\cdot3))$ $=-(-4 + 9 + 16 + 8 + 6 + 12) =-47$

Primer 39
$\begin{vmatrix} 2 & 5 & 1 & 4\\ 4 & 1 & 6 & 3\\ 5 & 3 & 7 & 2\\ 1 & 0 & 2 & 4 \end{vmatrix}$

U ovom primeru, koristićemo poslednju vrstu (u kojoj se nalazi element '1') i napraviti nule u prvoj koloni.

$\begin{vmatrix} 2 & 5 & 1 & 4\\ 4 & 1 & 6 & 3\\ 5 & 3 & 7 & 2\\ 1 & 0 & 2 & 4 \end{vmatrix}$ $\xlongequal{R_{1}-2R_{4},R_{2}-4R_{4}, R_{3}-5R_{4}} \begin{vmatrix} 0 & 5 & -3 & -4\\ 0 & 1 & -2 & -13\\ 0 & 3 & -3 & -18\\ \color{red}{1} & 0 & 2 & 4 \end{vmatrix}=$ $=1\cdot(-1)^{4+1}\cdot \begin{vmatrix} 5 & -3 & -4\\ 1 & -2 & -13\\ 3 & -3 & -18 \end{vmatrix}=$ $(-1)\cdot \begin{vmatrix} 5 & -3 & -4\\ 1 & -2 & -13\\ 3 & -3 & -18 \end{vmatrix}$

Izdvojićemo faktor -1 iz druge kolone i faktor -1 iz treće kolone.
$ (-1)\cdot(-1)\cdot(-1)\cdot \begin{vmatrix} 5 & 3 & 4\\ 1 & 2 & 13\\ 3 & 3 & 18 \end{vmatrix}=$ $(-1)\cdot \begin{vmatrix} 5 & 3 & 4\\ 1 & 2 & 13\\ 3 & 3 & 18 \end{vmatrix}=$ $-[5\cdot 2\cdot 18 + 1\cdot 3\cdot 4+ 3\cdot 3\cdot 13 - (4\cdot 2\cdot 3\cdot + 13\cdot 3\cdot 5 + 18\cdot 3\cdot 1)]=$ $-(180+12+117-24-195-54)=36$

Primer 40
$\begin{vmatrix} 4 & 7 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 1 & 2\\ 2 & 5 & 3 & 4\\ 1 & 4 & 2 & 3 \end{vmatrix}$

Imamo jedinicu u trećoj koloni, pa ćemo napraviti nule u drugoj vrsti.

$\begin{vmatrix} 4 & 7 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 1 & 2\\ 2 & 5 & 3 & 4\\ 1 & 4 & 2 & 3 \end{vmatrix}$ $\xlongequal{C_{1}-C_{3}, C_{2}-3C_{3},C_{4}-2C_{3}} \begin{vmatrix} 2 & 1 & 2 & -1\\ 0 & 0 & \color{red}{1} & 0 \\ -1 & -4 & 3 & -2\\ -1 & -2 & 2 & -1 \end{vmatrix}=$ $=1\cdot(-1)^{2+5}\cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1\\ -1 & -4 & -2\\ -1 & -2 & -1 \end{vmatrix}$

Izdvojićemo faktor -1 iz druge vrste i faktor -1 iz treće vrste.
$ (-1)\cdot(-1)\cdot(-1)\cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1\\ 1 & 4 & 2\\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix}=$ $(-1)\cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1\\ 1 & 4 & 2\\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix}=$ $-[2\cdot 4\cdot 1 + 1\cdot 2\cdot (-1)+ 1\cdot 1\cdot 2 - ((-1)\cdot 4\cdot 1 + 2\cdot 2\cdot 2 + 1\cdot 1\cdot 1)]=$ $-(8-2+2+4-8-1)=-3$

Primer 41
$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 & 4\\ 1 & 3 & 4 & 2\\ 3 & 4 & 2 & 1\\ 4 & 2 & 1 & 3\\ \end{vmatrix}$

Primetimo da Primetimo da sve vrste tj. kolone imaju iste elemente ali u izmenjenom redosledu. U tom slučaju sabraćemo sve vrste ili kolone.

$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 & 4\\ 1 & 3 & 4 & 2\\ 3 & 4 & 2 & 1\\ 4 & 2 & 1 & 3 \end{vmatrix}$ $\xlongequal{L_{1}+L_{2}+L_{3}+L_{4}} \begin{vmatrix} 10 & 10 & 10 & 10\\ 1 & 3 & 4 & 2\\ 3 & 4 & 2 & 1\\ 4 & 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} =$ $10\cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 3 & 4 & 2\\ 3 & 4 & 2 & 1\\ 4 & 2 & 1 & 3 \end{vmatrix}$ $\xlongequal{C_{1} - C_{4},C_{2}-C_{4},C_{3}-C_{4}}10\cdot \begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 & \color{red}{1}\\ -1 & 1 & 2 & 2\\ 2 & 3 & 1 & 1\\ 1 & -1 & -2 & 3 \end{vmatrix}=$

$=10\cdot1\cdot(-1)^{1+4}$

$ = (-10)\cdot \begin{vmatrix} -1 & 1 & 2\\ 2 & 3 & 1\\ 1 & -1 & -2 \end{vmatrix}=$ $(-10)\cdot((-1)\cdot 3\cdot (-2) +2 \cdot (-1)\cdot2 + 1\cdot 1\cdot 1$ $-(2\cdot 3\cdot 1 + 1\cdot (-1)\cdot (-1) + (-2)\cdot1\cdot2))$ $= -10\cdot(6 -4 +1 -6 - 1 + 4) =0$


Kontakt imejl:
Copyright © 2005 - 2019