Determinanta

Svakoj kvadratnoj matrici pridružen je jedan broj: njena determinanta. Taj jedan broj pokazuje da li matrica ima inverznu matricu, da li sistem linearnih jednačina ima tačno jedno rešenje i kako matrica menja površine i zapremine. U ovoj lekciji naučićete šta su minori i kofaktori, kako se računaju determinante reda 2, 3 i 4 (formulom, Sarusovim pravilom, razvojem po vrsti ili koloni i transformacijama vrsta) i koje osobine znatno skraćuju računanje.

Na ovoj stranici: Definicija · Obeležavanje i red · Determinante 2×2 i 3×3 · Minori · Kofaktori · Razvoj po vrsti ili koloni · Osobine · Računanje pomoću osobina · Kada je determinanta 0 · Rešeni zadaci · Zadaci za vežbu

Šta je determinanta?

Za matricu 1×1 determinanta je njen jedini element. Za matricu 2×2 to je proizvod dva elementa na glavnoj dijagonali minus proizvod druga dva elementa:

$$\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$$

Za veću matricu determinanta se definiše pomoću determinanti reda za jedan manjeg (razvojem po vrsti ili koloni, koji je objašnjen u nastavku), pa se na kraju svaka determinanta svodi na determinante 2×2. Rezultat može biti bilo koji broj: pozitivan, negativan, nula ili razlomak.

Primer. $\det\begin{pmatrix}3&1\\1&2\end{pmatrix}=3\cdot2-1\cdot1=5$ i $\det\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2}&1\\1&3\end{pmatrix}=\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}.$

Zašto su determinante važne:

• Kvadratna matrica ima inverznu matricu tačno onda kada njena determinanta nije 0 (videti lekciju Inverzna matrica).
• Sistem od $n$ linearnih jednačina sa $n$ nepoznatih ima tačno jedno rešenje ako i samo ako determinanta njegove matrice koeficijenata nije 0. Kramerovo pravilo to rešenje čak izražava pomoću determinanti (videti lekciju Rešavanje sistema linearnih jednačina).
• Geometrija: vrste $(3,1)$ i $(1,2)$ prve matrice iz gornjeg primera su dva vektora u ravni. Paralelogram koji oni obrazuju ima površinu 5, a to je apsolutna vrednost determinante. Za matricu 3×3, $|\det A|$ je zapremina paralelopipeda koji obrazuju njene tri vrste.

Obeležavanje

Element u vrsti $i$ i koloni $j$ matrice $A$ označava se sa $a_{ij}.$ Determinanta matrice $A$ označava se sa $\det A$ ili tako što se elementi matrice $A$ napišu između dve uspravne crte. Na primer, za

$$A=\begin{pmatrix}1&4&2\\5&3&7\\6&2&1\end{pmatrix}$$

pišemo

$$\det A=\begin{vmatrix}1&4&2\\5&3&7\\6&2&1\end{vmatrix}$$

Oble zagrade označavaju matricu, tj. tabelu brojeva. Uspravne crte označavaju njenu determinantu, tj. jedan broj (u primeru 9 dobićemo da je ova determinanta jednaka 121). Crte ne označavaju apsolutnu vrednost: determinanta može biti negativna. U drugim knjigama piše se $\det(A),$ $|A|$ ili $\Delta.$

Red determinante

Red determinante je broj njenih vrsta, koji je jednak broju njenih kolona. Determinanta matrice ${n\times n}$ ima red $n.$

Na primer, $\begin{vmatrix}1&4\\6&2\end{vmatrix}$ ima 2 vrste i 2 kolone, pa je njen red 2, a $\begin{vmatrix}4&7&9\\6&3&2\\7&1&4\end{vmatrix}$ ima red 3. Matrica koja nije kvadratna, na primer matrica 2×3, nema determinantu.

Računanje determinanti 2×2 i 3×3

Za determinante reda 2 i 3 postoje kratke formule. Veće determinante računaju se razvojem po vrsti ili koloni i pomoću osobina determinanti, koje su objašnjene u nastavku.

Računanje determinante 2×2

Primer 1. $\begin{vmatrix}2&5\\3&8\end{vmatrix}=2\cdot8-5\cdot3=16-15=1$

Primer 2. Kada je neki element negativan, stavite ga u zagradu:

$\begin{vmatrix}-4&7\\-2&9\end{vmatrix}=(-4)\cdot9-7\cdot(-2)=-36+14=-22$

Računanje determinante 3×3: Sarusovo pravilo

Ovih šest proizvoda lako se pamti pomoću Sarusovog pravila. Prve dve kolone prepišite još jednom desno od determinante. Tri proizvoda duž linija koje idu nadole udesno dobijaju znak plus (boje pokazuju koja se tri elementa množe):

$$\begin{vmatrix}\textcolor{#c0392b}{a_{11}}&\textcolor{#1e8449}{a_{12}}&\textcolor{#1b64a8}{a_{13}}\\a_{21}&\textcolor{#c0392b}{a_{22}}&\textcolor{#1e8449}{a_{23}}\\a_{31}&a_{32}&\textcolor{#c0392b}{a_{33}}\end{vmatrix}\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\\textcolor{#1b64a8}{a_{21}}&a_{22}\\\textcolor{#1e8449}{a_{31}}&\textcolor{#1b64a8}{a_{32}}\end{matrix}$$

Tri proizvoda duž linija koje idu nagore udesno dobijaju znak minus:

$$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\textcolor{#c0392b}{a_{13}}\\a_{21}&\textcolor{#c0392b}{a_{22}}&\textcolor{#1e8449}{a_{23}}\\\textcolor{#c0392b}{a_{31}}&\textcolor{#1e8449}{a_{32}}&\textcolor{#1b64a8}{a_{33}}\end{vmatrix}\begin{matrix}\textcolor{#1e8449}{a_{11}}&\textcolor{#1b64a8}{a_{12}}\\\textcolor{#1b64a8}{a_{21}}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{matrix}$$

Umesto dve kolone sa desne strane, možete ispod determinante prepisati prve dve vrste i na isti način množiti duž dijagonala: dobija se istih šest proizvoda. Sarusovo pravilo važi samo za determinante 3×3. Odakle potiče ova formula, pokazano je u odeljku o razvoju po vrsti ili koloni.

Primer 3. Izračunajte $\det A$ za ${A=\begin{pmatrix}1&4&3\\2&1&5\\3&2&1\end{pmatrix}}.$

Prve dve kolone prepisujemo još jednom sa desne strane:

$$\begin{vmatrix}1&4&3\\2&1&5\\3&2&1\end{vmatrix}\begin{matrix}1&4\\2&1\\3&2\end{matrix}$$

${\det A}={1\cdot1\cdot1+4\cdot5\cdot3}+{3\cdot2\cdot2-3\cdot1\cdot3}-{1\cdot5\cdot2-4\cdot2\cdot1}$

$={1+60+12-9-10-8}={73-27}={46}$

Kalkulator matrica prikazuje Sarusovo pravilo za ovaj primer.

Primer 4. Izračunajte determinantu matrice ${B=\begin{pmatrix}3&5&1\\1&4&2\\7&1&9\end{pmatrix}}.$

${\det B}={3\cdot4\cdot9+5\cdot2\cdot7}+{1\cdot1\cdot1-1\cdot4\cdot7}-{3\cdot2\cdot1-5\cdot1\cdot9}$

$={108+70+1}-{28-6-45}={179-79}={100}$

Minori

Minori matrice reda $n$ su determinante reda ${n-1}.$ U nekim knjigama piše se $\Delta_{ij}$ umesto $M_{ij}.$ U primerima su izbrisani elementi obojeni sivo.

Primer 5. Odredite minor elementa 2 u matrici ${A=\begin{pmatrix}4&7\\2&9\end{pmatrix}}.$

Element 2 nalazi se u vrsti 2 i koloni 1, pa je to element $a_{21}.$ Brišemo vrstu 2 i kolonu 1:

$$\begin{pmatrix}\textcolor{#aaa}{4}&7\\\textcolor{#aaa}{2}&\textcolor{#aaa}{9}\end{pmatrix}$$

Ostaje samo element 7, pa je ${M_{21}=7}.$

Primer 6. Odredite minore $M_{23},$ $M_{33}$ i $M_{22}$ matrice ${A=\begin{pmatrix}1&4&2\\5&3&7\\6&2&1\end{pmatrix}}$ iz odeljka o obeležavanju.

Za $M_{23}$ brišemo vrstu 2 i kolonu 3:

$$\begin{pmatrix}1&4&\textcolor{#aaa}{2}\\\textcolor{#aaa}{5}&\textcolor{#aaa}{3}&\textcolor{#aaa}{7}\\6&2&\textcolor{#aaa}{1}\end{pmatrix}$$

$M_{23}=\begin{vmatrix}1&4\\6&2\end{vmatrix}=1\cdot2-4\cdot6=-22$

Na isti način brišemo vrstu 3 i kolonu 3, a zatim vrstu 2 i kolonu 2:

$M_{33}=\begin{vmatrix}1&4\\5&3\end{vmatrix}=3-20=-17$

$M_{22}=\begin{vmatrix}1&2\\6&1\end{vmatrix}=1-12=-11$

Primer 7. Odredite minor elementa 5 u matrici ${B=\begin{pmatrix}2&5&1&3\\4&1&7&9\\6&8&3&2\\7&8&1&4\end{pmatrix}}.$

Element 5 je $a_{12}.$ Brišemo vrstu 1 i kolonu 2:

$$\begin{pmatrix}\textcolor{#aaa}{2}&\textcolor{#aaa}{5}&\textcolor{#aaa}{1}&\textcolor{#aaa}{3}\\4&\textcolor{#aaa}{1}&7&9\\6&\textcolor{#aaa}{8}&3&2\\7&\textcolor{#aaa}{8}&1&4\end{pmatrix}$$

Minor je determinanta 3×3, a njenu vrednost daje Sarusovo pravilo:

$M_{12}=\begin{vmatrix}4&7&9\\6&3&2\\7&1&4\end{vmatrix}=48+98+54-189-8-168=-165$

Uopštenije, bilo kojih $k$ vrsta i bilo kojih $k$ kolona matrice (kvadratne ili ne) daju minor reda $k\text{:}$ determinantu elemenata koji se nalaze u preseku tih vrsta i kolona. Na primer, vrste 2 i 3 i kolone 2 i 3 matrice $B$ iz prethodnog primera daju minor $\begin{vmatrix}1&7\\8&3\end{vmatrix}=3-56=-53$ reda 2: izbrisali smo vrste 1 i 4 i kolone 1 i 4. Minori svih redova koriste se za određivanje ranga matrice.

Kofaktori

Kada je ${i+j}$ paran broj, kofaktor je jednak minoru; kada je ${i+j}$ neparan broj, kofaktor je minor sa suprotnim znakom. Znaci se smenjuju kao polja šahovske table, sa ${+}$ u gornjem levom uglu:

$$\begin{pmatrix}+&-&+\\-&+&-\\+&-&+\end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix}+&-&+&-\\-&+&-&+\\+&-&+&-\\-&+&-&+\end{pmatrix}$$

Na primer, kofaktor elementa $a_{25}$ (u matrici reda 5 ili većeg) je ${C_{25}}={(-1)^{2+5}M_{25}}={-M_{25}}.$

Primer 8. Odredite kofaktore elemenata vrste 2 matrice ${A=\begin{pmatrix}1&4&2\\5&3&7\\6&2&1\end{pmatrix}}.$

$C_{21}=-\begin{vmatrix}4&2\\2&1\end{vmatrix}=-(4-4)=0$

$C_{22}=+\begin{vmatrix}1&2\\6&1\end{vmatrix}=1-12=-11$

$C_{23}=-\begin{vmatrix}1&4\\6&2\end{vmatrix}=-(2-24)=22$

Uporedite sa primerom 6: ${C_{22}=M_{22}}$ jer je ${2+2}$ paran broj, a ${C_{23}=-M_{23}}$ jer je ${2+3}$ neparan broj.

Razvoj determinante po vrsti ili koloni

Ovaj postupak naziva se i Laplasov razvoj. On determinantu reda $n$ svodi na $n$ determinanti reda ${n-1},$ pa se primenjuje na determinante svakog reda i predstavlja definiciju determinante velike matrice. Za $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ kofaktori prve vrste su ${C_{11}=d}$ i ${C_{12}=-c},$ a razvoj daje poznatu formulu ${a\cdot d+b\cdot(-c)}={ad-bc}.$ Za matricu 3×3 razvoj po prvoj vrsti glasi

$\det A=a_{11}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}$

$+a_{13}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}$

Kada se izračunaju ove tri determinante 2×2, dobija se upravo onih šest proizvoda iz Sarusovog pravila.

Primer 9. Izračunajte determinantu matrice ${A=\begin{pmatrix}1&4&2\\5&3&7\\6&2&1\end{pmatrix}}$ razvojem po prvoj vrsti.

$C_{11}=+\begin{vmatrix}3&7\\2&1\end{vmatrix}=3-14=-11$

$C_{12}=-\begin{vmatrix}5&7\\6&1\end{vmatrix}=-(5-42)=37$

$C_{13}=+\begin{vmatrix}5&3\\6&2\end{vmatrix}=10-18=-8$

${\det A}={1\cdot(-11)}+{4\cdot37+2\cdot(-8)}={-11+148-16}={121}$

Razvoj po vrsti 2, sa kofaktorima iz primera 8, daje istu vrednost:

${\det A}={5\cdot0}+{3\cdot(-11)+7\cdot22}={-33+154}={121}$

Kalkulator matrica prikazuje ovaj razvoj korak po korak.

Element jednak nuli pomnožen svojim kofaktorom daje 0, pa njegov kofaktor nije potrebno računati. Zato determinantu treba razvijati po vrsti ili koloni sa najviše nula.

Primer 10. Izračunajte $\begin{vmatrix}2&0&1\\3&0&-1\\4&5&2\end{vmatrix}.$

Kolona 2 ima dve nule, pa razvijamo po koloni 2. Ostaje samo element ${a_{32}=5}.$ Brišemo vrstu 3 i kolonu 2; znak je ${(-1)^{3+2}=-1}\text{:}$

$\begin{vmatrix}2&\textcolor{#aaa}{0}&1\\3&\textcolor{#aaa}{0}&-1\\\textcolor{#aaa}{4}&\textcolor{#c0392b}{5}&\textcolor{#aaa}{2}\end{vmatrix}=5\cdot(-1)^{3+2}\begin{vmatrix}2&1\\3&-1\end{vmatrix}$

$$=-5\cdot(-2-3)=25$$

Kalkulator matrica može da razvije determinantu po bilo kojoj vrsti ili koloni koju izaberete.

Primer 11. Izračunajte determinantu 4×4 $\begin{vmatrix}4&3&2&2\\0&1&-3&3\\0&-1&3&3\\0&3&1&1\end{vmatrix}.$

Kolona 1 ima samo jedan element različit od 0, pa razvijamo po koloni 1 i potreban nam je samo jedan kofaktor. Brišemo vrstu 1 i kolonu 1:

$$\begin{vmatrix}\textcolor{#c0392b}{4}&\textcolor{#aaa}{3}&\textcolor{#aaa}{2}&\textcolor{#aaa}{2}\\\textcolor{#aaa}{0}&1&-3&3\\\textcolor{#aaa}{0}&-1&3&3\\\textcolor{#aaa}{0}&3&1&1\end{vmatrix}$$ $$=4\cdot(-1)^{1+1}\begin{vmatrix}1&-3&3\\-1&3&3\\3&1&1\end{vmatrix}$$

Po Sarusovom pravilu:

$={4}\cdot {(3-27-3-27-3-3)}={4\cdot(-60)}={-240}$

Osobine determinante

Neka je $A$ kvadratna matrica reda $n.$ Sa $V_i$ označavamo vrstu $i,$ a sa $C_j$ kolonu $j$ (kolona ima jedan indeks, a kofaktor $C_{ij}$ ima dva).

1. Transponovana matrica ima istu determinantu: ${\det A^T=\det A}.$ Zato se vrste i kolone ponašaju na isti način, pa svaka osobina u nastavku koja govori o vrstama važi i za kolone. Na primer, $\begin{vmatrix}1&5\\3&8\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&3\\5&8\end{vmatrix}=-7.$
2. Vrsta od samih nula daje determinantu 0: razvijte determinantu po toj vrsti. Na primer, $\begin{vmatrix}1&4&2\\0&0&0\\3&9&5\end{vmatrix}=0,$ a sa kolonom od samih nula $\begin{vmatrix}1&4&0\\4&2&0\\3&9&0\end{vmatrix}=0.$
3. Zamena mesta dve vrste menja znak determinante: $\begin{vmatrix}3&8\\1&5\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}1&5\\3&8\end{vmatrix}=7.$
4. Dve jednake vrste daju determinantu 0. Zamena mesta tih vrsta ne menja matricu, ali menja znak determinante, pa je ${\det A=-\det A},$ a to je moguće samo kada je ${\det A=0}.$ Na primer, $\begin{vmatrix}1&4&2\\1&4&2\\3&9&5\end{vmatrix}=0$ (vrste 1 i 2 su jednake) i $\begin{vmatrix}1&4&1\\4&2&4\\3&9&3\end{vmatrix}=0$ (kolone 1 i 3 su jednake).
5. Zajednički činilac svih elemenata jedne vrste može se izvući ispred determinante. U nastavku izvlačimo 3 iz vrste 1, a zatim 2 iz kolone 3: $$\begin{vmatrix}3&9&12\\5&1&8\\7&4&2\end{vmatrix}=3\begin{vmatrix}1&3&4\\5&1&8\\7&4&2\end{vmatrix}$$ $$=6\begin{vmatrix}1&3&2\\5&1&4\\7&4&1\end{vmatrix}$$ Pročitana obrnuto, ova osobina kaže: kada se jedna vrsta pomnoži brojem $k,$ determinanta se množi sa $k.$
6. Proporcionalne vrste daju determinantu 0: kada se izvuče činilac, dve vrste postaju jednake. Na primer, $\begin{vmatrix}1&4&2\\2&8&4\\3&9&5\end{vmatrix}=0$ jer je ${V_2=2V_1},$ a $\begin{vmatrix}8&4&7\\4&2&3\\18&9&8\end{vmatrix}=0$ jer je ${C_1=2C_2}.$
7. Dodavanje jednoj vrsti druge vrste pomnožene brojem ne menja determinantu. Za $\begin{vmatrix}1&5\\3&8\end{vmatrix}=-7,$ transformacije ${V_1\to V_1+V_2},$ ${V_1\to V_1+3V_2}$ i ${C_1\to C_1+C_2}$ daju

   $\begin{vmatrix}4&13\\3&8\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}10&29\\3&8\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}6&5\\11&8\end{vmatrix}=-7$

   Pazite: vrsta koja se menja ne sme biti pomnožena. Transformacija ${V_1\to 2V_1+3V_2}$ udvostručuje i vrstu 1, pa udvostručuje i determinantu: $\begin{vmatrix}11&34\\3&8\end{vmatrix}=-14.$
8. Vrsta koja je zbir drugih vrsta, ili uopštenije njihova linearna kombinacija, daje determinantu 0: oduzimanjem tih vrsta dobija se vrsta od samih nula. Na primer, $\begin{vmatrix}1&4&2\\7&2&3\\8&6&5\end{vmatrix}=0$ jer je ${V_3=V_1+V_2},$ a $\begin{vmatrix}9&12&3\\1&8&7\\5&7&2\end{vmatrix}=0$ jer je ${C_2=C_1+C_3}.$
9. Zbir u jednoj vrsti rastavlja determinantu na dve determinante:

   $\begin{vmatrix}a+p&b+q\\c&d\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}p&q\\c&d\end{vmatrix}$

   Rastavlja se uvek samo jedna vrsta. Za cele matrice je u opštem slučaju ${\det(A+B)\ne\det A+\det B}.$
10. Trougaona matrica (svi elementi ispod glavne dijagonale ili svi elementi iznad nje jednaki su 0) ima determinantu jednaku proizvodu elemenata na dijagonali: determinantu uzastopno razvijamo po prvoj koloni (kada su nule ispod dijagonale) ili po prvoj vrsti (kada su iznad nje). Na primer, $\begin{vmatrix}2&7&-1\\0&3&5\\0&0&4\end{vmatrix}=2\cdot3\cdot4=24.$ Posebno, za jediničnu matricu je ${\det I_n=1}.$
11. Determinanta proizvoda jednaka je proizvodu determinanti: ${\det(AB)=\det A\cdot\det B}.$ Na primer, za ${A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}$ i ${B=\begin{pmatrix}2&0\\1&3\end{pmatrix}}$ imamo ${\det A=-2}$ i ${\det B=6},$ a

    $AB=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&0\\1&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&6\\10&12\end{pmatrix}$

    $\det(AB)=\begin{vmatrix}4&6\\10&12\end{vmatrix}=48-60=-12=(-2)\cdot6$

    Odavde sledi da je ${\det(A^m)=(\det A)^m}$ i da je za regularnu matricu ${\det(A^{-1})=\frac{1}{\det A}}.$ Takođe je ${\det(AB)=\det(BA)},$ iako je u opštem slučaju ${AB\ne BA}$ (videti lekciju Množenje matrica).
12. Brojni činilac izlazi ispred determinante podignut na stepen $n\text{:}$ ${\det(kA)=k^n\det A}$ za matricu reda $n,$ jer se svaka od $n$ vrsta množi sa $k.$ Na primer, $\det\begin{pmatrix}3&6\\9&12\end{pmatrix}=36-54=-18=3^2\cdot(-2).$

Računanje determinanti pomoću osobina

Za direktan razvoj determinante 4×4 potrebne su četiri determinante 3×3, a za determinantu 5×5 pet determinanti 4×4. Osobine znatno skraćuju računanje. Postoje dva načina da se one iskoriste.

Dobijanje nula, pa razvoj

Izaberite vrstu ili kolonu, po mogućnosti onu koja sadrži nule ili element 1. Transformacijama ${V_i\to V_i+kV_j}$ (ili istim transformacijama kolona) svedite na 0 sve njene elemente osim jednog. Zatim razvijte determinantu po njoj: ostaje samo jedan kofaktor. Nule u koloni dobijaju se kombinovanjem vrsta, a nule u vrsti kombinovanjem kolona.

Primer 12. Izračunajte $\begin{vmatrix}1&2&-1\\3&7&2\\-2&1&4\end{vmatrix}.$

Kolona 1 počinje jedinicom. Transformacije ${V_2\to V_2-3V_1}$ i ${V_3\to V_3+2V_1}$ svode ostala dva elementa kolone 1 na 0 i ne menjaju determinantu:

$$\begin{vmatrix}1&2&-1\\3&7&2\\-2&1&4\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&2&-1\\0&1&5\\0&5&2\end{vmatrix}$$

Razvijamo po koloni 1:

$$=1\cdot\begin{vmatrix}1&5\\5&2\end{vmatrix}=2-25=-23$$

Svođenje na trougaoni oblik

Transformacijama vrsta svedite matricu na trougaoni oblik i pratite kako svaka transformacija menja determinantu (videti okvir iznad): zamena mesta menja znak, činilac izvučen iz vrste ide ispred determinante, a ${V_i\to V_i+kV_j}$ ne menja ništa. Na kraju pomnožite elemente na dijagonali. To je ideja Gausovog metoda eliminacije, a tako i računari izračunavaju velike determinante.

Primer 13. Izračunajte $\det A$ za ${A=\begin{pmatrix}0&2&1\\1&3&2\\2&4&7\end{pmatrix}}.$

Element u gornjem levom uglu je 0, pa najpre zamenjujemo mesta vrstama 1 i 2, ${V_1\leftrightarrow V_2}.$ Znak se menja:

$$\det A=\begin{vmatrix}0&2&1\\1&3&2\\2&4&7\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}1&3&2\\0&2&1\\2&4&7\end{vmatrix}$$

Transformacija ${V_3\to V_3-2V_1}$ ne menja determinantu:

$$=-\begin{vmatrix}1&3&2\\0&2&1\\0&-2&3\end{vmatrix}$$

${V_3\to V_3+V_2}\text{:}$

$$=-\begin{vmatrix}1&3&2\\0&2&1\\0&0&4\end{vmatrix}$$

Determinanta je trougaona, pa množimo elemente na dijagonali:

$$=-1\cdot2\cdot4=-8$$

Računanje determinante 4×4

Sarusovo pravilo ne važi za determinante 4×4. Pre nego što počnete da računate, pogledajte determinantu:

1. Da li je odmah jasno da je jednaka 0? Potražite vrstu ili kolonu od samih nula, dve jednake ili proporcionalne vrste ili kolone, ili vrstu koja je zbir drugih vrsta.
2. Da li se iz neke vrste ili kolone može izvući zajednički činilac?
3. Da li svaka vrsta sadrži iste brojeve u drugačijem redosledu? Tada dodavanje svih ostalih vrsta jednoj od njih daje zajednički činilac (videti zadatak 7 u nastavku).
4. Koja vrsta ili kolona ima nule ili element 1? Tu napravite nule i razvijte determinantu ili je svedite na trougaoni oblik.

Na primer, za sledeće tri determinante bez ikakvog računanja vidi se da su jednake 0. U prvoj se vrsta 3 sastoji od samih nula; u drugoj su kolone 1 i 3 jednake; u trećoj je vrsta 3 jednaka vrsti 2 pomnoženoj sa 2.

$$\begin{vmatrix}1&3&9&2\\5&8&4&3\\0&0&0&0\\2&3&1&8\end{vmatrix}=0$$ $$\begin{vmatrix}1&3&1&2\\5&8&5&3\\0&4&0&0\\2&3&2&8\end{vmatrix}=0$$ $$\begin{vmatrix}1&3&9&2\\5&8&4&3\\10&16&8&6\\2&3&1&8\end{vmatrix}=0$$

Primer 14. Izračunajte

$$\begin{vmatrix}4&3&2&2\\0&1&0&-2\\1&-1&3&3\\2&3&1&1\end{vmatrix}$$

Vrsta 2 već ima dve nule i element 1. Transformacija kolona ${C_4\to C_4+2C_2}$ svodi njen poslednji element na 0. Zatim razvijamo po vrsti 2, pa brišemo vrstu 2 i kolonu 2:

$$=\begin{vmatrix}4&\textcolor{#aaa}{3}&2&8\\\textcolor{#aaa}{0}&\textcolor{#c0392b}{1}&\textcolor{#aaa}{0}&\textcolor{#aaa}{0}\\1&\textcolor{#aaa}{-1}&3&1\\2&\textcolor{#aaa}{3}&1&7\end{vmatrix}$$ $$=1\cdot(-1)^{2+2}\begin{vmatrix}4&2&8\\1&3&1\\2&1&7\end{vmatrix}$$

$={84+4+8-48-4-14}={30}$

Primer 15. Izračunajte

$$\begin{vmatrix}2&5&1&4\\4&1&6&3\\5&3&7&2\\1&0&2&4\end{vmatrix}$$

Vrsta 4 počinje jedinicom, pa nule u koloni 1 dobijamo transformacijama ${V_1\to V_1-2V_4},$ ${V_2\to V_2-4V_4}$ i ${V_3\to V_3-5V_4}.$ Zatim razvijamo po koloni 1, pa brišemo vrstu 4 i kolonu 1:

$$=\begin{vmatrix}\textcolor{#aaa}{0}&5&-3&-4\\\textcolor{#aaa}{0}&1&-2&-13\\\textcolor{#aaa}{0}&3&-3&-18\\\textcolor{#c0392b}{1}&\textcolor{#aaa}{0}&\textcolor{#aaa}{2}&\textcolor{#aaa}{4}\end{vmatrix}$$ $$=1\cdot(-1)^{4+1}\begin{vmatrix}5&-3&-4\\1&-2&-13\\3&-3&-18\end{vmatrix}$$

Izvlačimo ${-1}$ iz kolone 2 i ${-1}$ iz kolone 3. Pošto je ${(-1)\cdot(-1)=1},$ znak minus ispred determinante ostaje:

$$=-\begin{vmatrix}5&3&4\\1&2&13\\3&3&18\end{vmatrix}$$

$={-180-117-12}+{24+195+54}={-36}$

Primer 16. Izračunajte svođenjem na trougaoni oblik:

$$\begin{vmatrix}1&2&-1&3\\2&5&0&4\\-1&1&7&-4\\3&5&-3&12\end{vmatrix}$$

Nule ispod jedinice u koloni 1: ${V_2\to V_2-2V_1},$ ${V_3\to V_3+V_1}$ i ${V_4\to V_4-3V_1}.$ Determinanta se ne menja:

$$=\begin{vmatrix}1&2&-1&3\\0&1&2&-2\\0&3&6&-1\\0&-1&0&3\end{vmatrix}$$

Nule ispod jedinice u koloni 2: ${V_3\to V_3-3V_2}$ i ${V_4\to V_4+V_2}\text{:}$

$$=\begin{vmatrix}1&2&-1&3\\0&1&2&-2\\0&0&0&5\\0&0&2&1\end{vmatrix}$$

Zamena mesta ${V_3\leftrightarrow V_4}$ daje trougaonu determinantu i menja njen znak:

$$=-\begin{vmatrix}1&2&-1&3\\0&1&2&-2\\0&0&2&1\\0&0&0&5\end{vmatrix}$$ $$=-1\cdot1\cdot2\cdot5=-10$$

Kalkulator matrica prikazuje isti metod sa svim koracima.

Kada je determinanta jednaka 0?

Primer. Za ${A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}$ Sarusovo pravilo daje

$\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}=45+84+96-105-48-72=0$

Razlog je to što je ${V_1+V_3=2V_2},$ pa transformacija ${V_3\to V_3+V_1-2V_2}$ daje vrstu od samih nula. Ova matrica nema inverznu matricu, njen rang je 2, a sistem jednačina sa ovom matricom koeficijenata nema nijedno rešenje ili ima beskonačno mnogo rešenja (videti lekcije Rang matrice i Rešavanje sistema linearnih jednačina).

Kada je ${\det A\ne 0},$ sve je obrnuto: $A$ ima inverznu matricu, njen rang je $n,$ a svaki sistem ${AX=B}$ sa ovom matricom ima tačno jedno rešenje, koje Kramerovo pravilo izražava pomoću determinanti. Geometrijski, ${\det A=0}$ znači da vrste matrice $A,$ posmatrane kao vektori, leže na jednoj pravoj (za matricu 2×2) ili u jednoj ravni (za matricu 3×3), pa je paralelogram ili paralelopiped koji one obrazuju „spljošten“ i ima površinu ili zapreminu 0.

Rešeni zadaci

Zadatak 1. Rešite jednačinu $\begin{vmatrix}x-1&2\\4&x+1\end{vmatrix}=0.$

Rešenje:

$\begin{vmatrix}x-1&2\\4&x+1\end{vmatrix}=(x-1)(x+1)-2\cdot4=x^2-9$

Iz ${x^2-9=0}$ dobijamo ${x=3}$ ili ${x=-3}.$

Zadatak 2. $A$ i $B$ su matrice 3×3 za koje je ${\det A=3}$ i ${\det B=-2}.$ Odredite ${\det(2A)},$ ${\det(A^TB)},$ ${\det(A^{-1})}$ i ${\det(-B)}.$

Rešenje: Kada se matrica reda 3 pomnoži brojem $k,$ njena determinanta se množi sa ${k^3}.$

${\det(2A)=2^3\cdot3=24}$

${\det(A^TB)}={\det A^T\cdot\det B}={3\cdot(-2)}={-6}$

${\det(A^{-1})=\frac{1}{\det A}=\frac{1}{3}}$

${\det(-B)}={(-1)^3\cdot(-2)}={2}$

Zadatak 3. Matrica $A$ dimenzije 3×3 je kososimetrična: ${A^T=-A}.$ Dokažite da je ${\det A=0}.$ Proverite to za ${A=\begin{pmatrix}0&2&-1\\-2&0&3\\1&-3&0\end{pmatrix}}.$

Rešenje: Prema osobinama transponovane matrice i brojnog činioca,

${\det A}={\det A^T}={\det(-A)}={(-1)^3\det A}={-\det A}$

Jedini broj koji je jednak svom suprotnom broju je 0, pa je ${\det A=0}.$ Za datu matricu to potvrđuje Sarusovo pravilo:

$\begin{vmatrix}0&2&-1\\-2&0&3\\1&-3&0\end{vmatrix}=0+6-6-0-0-0=0$

Za matrice parnog reda ovo ne važi, na primer $\begin{vmatrix}0&1\\-1&0\end{vmatrix}=1.$

Zadatak 4. Rešite jednačinu ${D=0},$ gde je ${D=\begin{vmatrix}x&1&1\\1&x&1\\1&1&x\end{vmatrix}}.$

Rešenje: Zbir elemenata svake vrste je isti i iznosi ${x+2}.$ Vrsti 1 dodajemo vrste 2 i 3, ${V_1\to V_1+V_2+V_3},$ i izvlačimo ${x+2}$ iz vrste 1:

$$D=\begin{vmatrix}x+2&x+2&x+2\\1&x&1\\1&1&x\end{vmatrix}$$ $$=(x+2)\begin{vmatrix}1&1&1\\1&x&1\\1&1&x\end{vmatrix}$$

Sada transformacije ${V_2\to V_2-V_1}$ i ${V_3\to V_3-V_1}$ daju trougaonu determinantu:

$$=(x+2)\begin{vmatrix}1&1&1\\0&x-1&0\\0&0&x-1\end{vmatrix}$$ $$=(x+2)(x-1)^2$$

Dakle, ${D=0}$ za ${x=-2}$ ili ${x=1}.$

Zadatak 5. Izračunajte $\begin{vmatrix}4&7&2&3\\1&3&1&2\\2&5&3&4\\1&4&2&3\end{vmatrix}.$

Rešenje: Vrsta 2 ima element 1 u koloni 3. Transformacije kolona ${C_1\to C_1-C_3},$ ${C_2\to C_2-3C_3}$ i ${C_4\to C_4-2C_3}$ svode ostale elemente vrste 2 na 0. Zatim razvijamo po vrsti 2, pa brišemo vrstu 2 i kolonu 3:

$$\begin{vmatrix}2&1&\textcolor{#aaa}{2}&-1\\\textcolor{#aaa}{0}&\textcolor{#aaa}{0}&\textcolor{#c0392b}{1}&\textcolor{#aaa}{0}\\-1&-4&\textcolor{#aaa}{3}&-2\\-1&-2&\textcolor{#aaa}{2}&-1\end{vmatrix}$$ $$=1\cdot(-1)^{2+3}\begin{vmatrix}2&1&-1\\-1&-4&-2\\-1&-2&-1\end{vmatrix}$$

Izvlačimo ${-1}$ iz vrste 2 i ${-1}$ iz vrste 3. Pošto je ${(-1)\cdot(-1)=1},$ znak minus ispred determinante ostaje:

$$=-\begin{vmatrix}2&1&-1\\1&4&2\\1&2&1\end{vmatrix}$$

$={-(8+2-2+4-8-1)}={-3}$

Zadatak 6. Izračunajte ${D=\begin{vmatrix}1&-2&3&2\\2&3&1&-1\\3&3&3&3\\-1&4&2&1\end{vmatrix}}.$

Rešenje: Svi elementi vrste 3 jednaki su 3, pa izvlačimo 3 iz vrste 3:

$$D=3\begin{vmatrix}1&-2&3&2\\2&3&1&-1\\1&1&1&1\\-1&4&2&1\end{vmatrix}$$

Sada se vrsta 3 sastoji od samih jedinica. Transformacije ${C_1\to C_1-C_4},$ ${C_2\to C_2-C_4}$ i ${C_3\to C_3-C_4}$ ostavljaju u vrsti 3 samo jedan element različit od 0, pa razvijamo po vrsti 3:

$$=3\begin{vmatrix}-1&-4&1&\textcolor{#aaa}{2}\\3&4&2&\textcolor{#aaa}{-1}\\\textcolor{#aaa}{0}&\textcolor{#aaa}{0}&\textcolor{#aaa}{0}&\textcolor{#c0392b}{1}\\-2&3&1&\textcolor{#aaa}{1}\end{vmatrix}$$ $$=3\cdot1\cdot(-1)^{3+4}\begin{vmatrix}-1&-4&1\\3&4&2\\-2&3&1\end{vmatrix}$$

Po Sarusovom pravilu:

$={-3(-4+16+9+8+6+12)}={-3\cdot47}={-141}$

Ne zaboravite činilac 3 koji je izvučen na početku.

Zadatak 7. Izračunajte ${D=\begin{vmatrix}2&1&3&4\\1&3&4&2\\3&4&2&1\\4&2&1&3\end{vmatrix}}.$

Rešenje: Svaka vrsta i svaka kolona sadrži brojeve 1, 2, 3 i 4, pa je zbir elemenata svake kolone 10. Transformacija ${V_1\to V_1+V_2+V_3+V_4}$ daje vrstu u kojoj su svi elementi jednaki 10, pa izvlačimo 10:

$$D=\begin{vmatrix}10&10&10&10\\1&3&4&2\\3&4&2&1\\4&2&1&3\end{vmatrix}$$ $$=10\begin{vmatrix}1&1&1&1\\1&3&4&2\\3&4&2&1\\4&2&1&3\end{vmatrix}$$

Primenjujemo ${C_1\to C_1-C_4},$ ${C_2\to C_2-C_4}$ i ${C_3\to C_3-C_4},$ a zatim razvijamo po vrsti 1:

$$=10\begin{vmatrix}\textcolor{#aaa}{0}&\textcolor{#aaa}{0}&\textcolor{#aaa}{0}&\textcolor{#c0392b}{1}\\-1&1&2&\textcolor{#aaa}{2}\\2&3&1&\textcolor{#aaa}{1}\\1&-1&-2&\textcolor{#aaa}{3}\end{vmatrix}$$ $$=10\cdot1\cdot(-1)^{1+4}\begin{vmatrix}-1&1&2\\2&3&1\\1&-1&-2\end{vmatrix}$$

U poslednjoj determinanti vrsta 3 jednaka je vrsti 1 pomnoženoj sa ${-1}.$ Proporcionalne vrste daju 0:

$$=-10\cdot0=0$$

Zadatak 8. Dokažite da je $\begin{vmatrix}a&b&c\\c&a&b\\b&c&a\end{vmatrix}=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca).$

Rešenje: Neka je $D$ determinanta sa leve strane. Zbir elemenata svake vrste je ${a+b+c}.$ Transformacija ${C_1\to C_1+C_2+C_3}$ daje taj zbir na svakom mestu u koloni 1, pa ga izvlačimo:

$$D=\begin{vmatrix}a+b+c&b&c\\a+b+c&a&b\\a+b+c&c&a\end{vmatrix}$$ $$=(a+b+c)\begin{vmatrix}1&b&c\\1&a&b\\1&c&a\end{vmatrix}$$

Primenjujemo ${V_2\to V_2-V_1}$ i ${V_3\to V_3-V_1},$ a zatim razvijamo po koloni 1:

$$=(a+b+c)\begin{vmatrix}1&b&c\\0&a-b&b-c\\0&c-b&a-c\end{vmatrix}$$ $$=(a+b+c)\begin{vmatrix}a-b&b-c\\c-b&a-c\end{vmatrix}$$

Determinanta 2×2 jednaka je ${(a-b)(a-c)}-{(b-c)(c-b)}={a^2+b^2+c^2}-{ab-bc-ca,}$ pa je $D$ jednaka proizvodu ${a+b+c}$ i ovog izraza, čime je formula dokazana.

Drugi činilac jednak je

${\frac{1}{2}\left((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right),}$

pa nikada nije negativan, a jednak je 0 samo kada je ${a=b=c}.$ Kada se ceo proizvod izmnoži, dobija se ${a^3+b^3+c^3-3abc}.$

Zadatak 9. Dokažite da je $\begin{vmatrix}1&1&1\\a&b&c\\a^2&b^2&c^2\end{vmatrix}=(b-a)(c-a)(c-b).$

Rešenje: Neka je $D$ determinanta sa leve strane. Transformacije ${C_2\to C_2-C_1}$ i ${C_3\to C_3-C_1}$ daju dve nule u vrsti 1:

$$D=\begin{vmatrix}1&0&0\\a&b-a&c-a\\a^2&b^2-a^2&c^2-a^2\end{vmatrix}$$

Razvijamo po vrsti 1:

$$=\begin{vmatrix}b-a&c-a\\b^2-a^2&c^2-a^2\end{vmatrix}$$

Pošto je ${b^2-a^2=(b-a)(b+a)}$ i ${c^2-a^2=(c-a)(c+a)},$ izvlačimo ${b-a}$ iz kolone 1 i ${c-a}$ iz kolone 2:

$$=(b-a)(c-a)\begin{vmatrix}1&1\\b+a&c+a\end{vmatrix}$$

$={(b-a)(c-a)(c+a-b-a)}={(b-a)(c-a)(c-b)}$

Ovo je Vandermondova determinanta. Ona je jednaka 0 tačno onda kada su dva od brojeva $a,$ $b$ i $c$ jednaka.

Zadaci za vežbu

Prvo pokušajte sami, a zatim otvorite odgovor.

1. Izračunajte $\begin{vmatrix}7&3\\2&1\end{vmatrix}.$

${7\cdot1-3\cdot2=1}$

2. Izračunajte $\begin{vmatrix}5&-2\\3&4\end{vmatrix}.$

${5\cdot4-(-2)\cdot3=26}$

3. Izračunajte $\begin{vmatrix}2&1&3\\0&-1&4\\1&2&1\end{vmatrix}$ pomoću Sarusovog pravila.

${-2+4+0+3-16-0}={-11}$

4. Odredite kofaktore $C_{21}$ i $C_{32}$ matrice $\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&10\end{pmatrix}.$

$C_{21}=-\begin{vmatrix}2&3\\8&10\end{vmatrix}=-(20-24)=4$ i $C_{32}=-\begin{vmatrix}1&3\\4&6\end{vmatrix}=-(6-12)=6.$

5. Izračunajte $\begin{vmatrix}3&0&2\\1&0&5\\4&2&-1\end{vmatrix}$ razvojem po koloni 2.

Samo element ${a_{32}=2}$ je različit od 0: $2\cdot(-1)^{3+2}\begin{vmatrix}3&2\\1&5\end{vmatrix}=-2\cdot13=-26.$

6. Objasnite bez računanja zašto je $\begin{vmatrix}2&4&6\\1&5&3\\3&6&9\end{vmatrix}=0.$

Kolona 3 jednaka je koloni 1 pomnoženoj sa 3. Determinanta sa dve proporcionalne kolone jednaka je 0.

7. Izračunajte $\begin{vmatrix}3&1&-2&7\\0&-2&5&1\\0&0&1&4\\0&0&0&5\end{vmatrix}.$

Matrica je trougaona, pa je determinanta jednaka proizvodu elemenata na dijagonali: ${3\cdot(-2)\cdot1\cdot5=-30}.$

8. $A$ je matrica 4×4 za koju je ${\det A=2}.$ Odredite ${\det(3A)},$ ${\det A^T},$ ${\det(A^{-1})}$ i ${\det(A^3)}.$

${\det(3A)=3^4\cdot2=162},$ ${\det A^T=2},$ ${\det(A^{-1})=\frac{1}{2}}$ i ${\det(A^3)=2^3=8}.$

9. Rešite jednačinu $\begin{vmatrix}1&2&3\\0&x&4\\0&0&x-2\end{vmatrix}=0.$

Determinanta je trougaona i jednaka je ${1\cdot x\cdot(x-2)}.$ Ona je jednaka 0 za ${x=0}$ i za ${x=2}.$

10. Izračunajte $\begin{vmatrix}1&2&0&1\\2&5&1&3\\-1&0&3&1\\3&6&1&5\end{vmatrix}.$

${V_2\to V_2-2V_1},$ ${V_3\to V_3+V_1},$ ${V_4\to V_4-3V_1},$ a zatim ${V_3\to V_3-2V_2}$ i ${V_4\to V_4-V_3}$ daju trougaonu determinantu sa elementima 1, 1, 1, 2 na dijagonali. Odgovor je 2.

Svoje primere možete proveriti kalkulatorom matrica. On računa determinante korak po korak: Sarusovim pravilom, razvojem po bilo kojoj vrsti ili koloni ili Gausovim metodom eliminacije.