Rang matrice

Neke matrice sadrže manje informacija nego što bi se reklo po njihovoj dimenziji. U matrici $\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}$ druga vrsta je samo dvostruka prva, pa nam ne govori ništa novo. Rang matrice meri koliko informacija ona zaista sadrži: to je najveći broj vrsta od kojih nijedna nije kombinacija ostalih, a za kolone je taj broj isti. Od ranga zavisi da li kvadratna matrica ima inverznu matricu i da li sistem linearnih jednačina nema rešenja, ima tačno jedno rešenje ili ima beskonačno mnogo rešenja. U ovoj lekciji naučićete definiciju ranga pomoću minora, njegove osobine i dva načina da se on odredi: metod oivičavanja minora i svođenje matrice na stepenasti oblik.

Na ovoj stranici: Definicija · Osobine · Oivičavanje minora · Elementarne transformacije · Rang i inverzna matrica · Rang i sistemi · Rešeni zadaci · Zadaci za vežbu

Šta je rang matrice?

Rang se definiše pomoću minora. Neka je $A$ matrica sa $m$ vrsta i $n$ kolona. Izaberimo bilo kojih $k$ njenih vrsta i bilo kojih $k$ njenih kolona. Elementi koji se nalaze u presecima tih vrsta i kolona obrazuju kvadratnu matricu reda $k$ (elementi zadržavaju svoj raspored). Njena determinanta naziva se minor reda $k$ matrice $A.$

Minori reda 1 su upravo elementi matrice $A.$ Za minor reda $k$ potrebno je $k$ vrsta i $k$ kolona, pa je $k$ najviše jednako manjem od brojeva $m$ i $n.$ Kvadratna matrica reda $n$ ima jedan minor reda $n,$ svoju determinantu $\det A,$ a minori $M_{ij}$ iz lekcije o determinantama su njeni minori reda ${n-1}.$

Primer. Neka je ${A=\begin{pmatrix}1&2&0&3\\4&-1&2&5\\0&3&1&-2\end{pmatrix}}.$ Vrste 1, 3 i kolone 2, 4 (elementi označeni crvenom bojom) daju minor reda 2:

$$\begin{pmatrix}1&\textcolor{#c0392b}{2}&0&\textcolor{#c0392b}{3}\\4&-1&2&5\\0&\textcolor{#c0392b}{3}&1&\textcolor{#c0392b}{-2}\end{pmatrix}$$

$\begin{vmatrix}2&3\\3&-2\end{vmatrix}=2\cdot(-2)-3\cdot3=-13$

Ova matrica dimenzije 3×4 ima 12 minora reda 1, ${3\cdot6=18}$ minora reda 2 (dve vrste mogu se izabrati na 3 načina, a dve kolone na 6 načina) i 4 minora reda 3, a minora reda 4 nema. Jedan od minora reda 3, iz kolona 1, 2, 3, jeste

$\begin{vmatrix}1&2&0\\4&-1&2\\0&3&1\end{vmatrix}=1\cdot(-1-6)-2\cdot(4-0)+0$

${=-7-8=-15}$

Dakle, ${\operatorname{rang}A=r}$ znači dve stvari: neki minor reda $r$ različit je od 0, a svaki minor reda ${r+1}$ jednak je 0 (ili minora reda ${r+1}$ nema). Tada su i minori viših redova jednaki 0: razvojem po vrsti minor reda ${r+2}$ zapisuje se kao zbir minora reda ${r+1}$ pomnoženih brojevima, a svi oni su jednaki 0. U gornjem primeru jedan minor reda 3 nije 0, a minora reda 4 nema, pa je za tu matricu ${\operatorname{rang}A=3}.$

Primer 1. Odredite rang matrice ${A=\begin{pmatrix}1&-2&3\\-2&4&-6\end{pmatrix}}.$

Nisu svi elementi jednaki 0, pa je rang najmanje 1. Matrica $A$ ima tri minora reda 2, po jedan za svaki par kolona:

$\begin{vmatrix}1&-2\\-2&4\end{vmatrix}=4-4=0$

$\begin{vmatrix}1&3\\-2&-6\end{vmatrix}=-6+6=0$

$\begin{vmatrix}-2&3\\4&-6\end{vmatrix}=12-12=0$

Svi minori reda 2 jednaki su 0, pa je ${\operatorname{rang}A=1}.$ Razlog se lako vidi: druga vrsta jednaka je prvoj pomnoženoj sa ${-2}.$

Šta nam rang govori

Vrsta je linearna kombinacija drugih vrsta ako se dobija kada se one pomnože brojevima i rezultati saberu. Takva vrsta ne donosi nikakvu novu informaciju. Vrste matrice su linearno nezavisne ako nijedna od njih nije kombinacija ostalih. Isti nazivi koriste se i za kolone.

U primeru 1 druga vrsta je prva vrsta pomnožena brojem, pa je samo jedna vrsta nezavisna i rang je 1. To što vrste i kolone uvek daju isti broj izuzetna je činjenica: matrica dimenzije 3×100 ranga 3 među svojih 100 kolona ima samo 3 nezavisne kolone. Kod sistema linearnih jednačina rang matrice sistema (zajedno sa kolonom slobodnih članova) pokazuje koliko je među jednačinama zaista različitih; ostale slede iz njih.

Osobine ranga

Neka je $A$ matrica dimenzije ${m\times n},$ a $k$ broj različit od 0.

Osobina	Formula
Rang nije veći ni od broja vrsta ni od broja kolona	${0\le\operatorname{rang}A\le\min(m,n)}$
Samo nula-matrica $O$ ima rang 0	${\operatorname{rang}O=0}$
Transponovanje ne menja rang	${\operatorname{rang}A^T=\operatorname{rang}A}$
Množenje brojem ne menja rang	${\operatorname{rang}(kA)=\operatorname{rang}A}$
Jedinična matrica	${\operatorname{rang}I_n=n}$
Kvadratna matrica reda $n$	${\operatorname{rang}A=n}$ tačno onda kada je ${\det A\ne 0}$
Elementarne transformacije vrsta i kolona ne menjaju rang	ako je ${A\sim B},$ onda je ${\operatorname{rang}A=\operatorname{rang}B}$
Rang proizvoda	${\operatorname{rang}(AB)}\le{\min(\operatorname{rang}A,\operatorname{rang}B)}$

Zašto je ${\operatorname{rang}A^T=\operatorname{rang}A}\text{:}$ svaki minor transponovane matrice $A^T$ (videti uvod u matrice) je determinanta transponovanog kvadratnog dela matrice $A,$ a transponovanje ne menja determinantu. Dakle, $A$ i $A^T$ imaju iste minore. Matrica-vrsta ili matrica-kolona koja nije nula-matrica ima rang 1, jer ima element različit od nule, a nema minora reda 2.

Primer 2. Odredite rang matrice ${A=\begin{pmatrix}2&-1&3\\4&0&1\end{pmatrix}}$ i rang njene transponovane matrice.

$A$ je matrica dimenzije 2×3, pa njen rang nije veći od 2. Minor iz kolona 1 i 2 nije 0:

$\begin{vmatrix}2&-1\\4&0\end{vmatrix}=0+4=4$

Dakle, ${\operatorname{rang}A=2}.$ Transponovana matrica ${A^T=\begin{pmatrix}2&4\\-1&0\\3&1\end{pmatrix}}$ je dimenzije 3×2 i ima isti rang 2: njen minor iz vrsta 1 i 2 je $\begin{vmatrix}2&4\\-1&0\end{vmatrix}=4,$ isti broj.

Određivanje ranga metodom oivičavanja minora

Računanje svih minora traje dugo: matrica dimenzije 4×5 ima 60 minora reda 2, 40 minora reda 3 i 5 minora reda 4. Metod oivičavanja minora zahteva mnogo manje računanja. Minor reda ${r+1}$ oivičava minor $M$ reda $r$ ako sadrži $M\text{:}$ obuhvata vrste i kolone minora $M$ i još jednu vrstu i još jednu kolonu. U matrici dimenzije ${m\times n}$ postoji ${(m-r)(n-r)}$ minora koji oivičavaju $M.$

Ideja dokaza: kada je ${M\ne 0},$ a svi oivičavajući minori jednaki 0, svaka vrsta matrice $A$ je linearna kombinacija $r$ vrsta koje prolaze kroz $M,$ pa ostale vrste ništa ne dodaju rangu. Odatle sledi metod, korak po korak:

1. Ako su svi elementi jednaki 0, rang je 0. U suprotnom izaberite element različit od 0. On je minor reda 1, pa je rang najmanje 1.
2. Računajte minore reda 2 koji sadrže taj element dok ne nađete jedan koji nije 0. Ako su svi oni jednaki 0, rang je 1.
3. Uzmite minor $M$ reda $r$ različit od nule i računajte minore reda ${r+1}$ koji ga oivičavaju. Čim neki od njih bude različit od 0, on postaje novi $M,$ a rang je najmanje ${r+1};$ ponovite ovaj korak. Ako su svi oni jednaki 0, rang je $r.$
4. Kada $r$ dostigne manji od brojeva $m$ i $n,$ zaustavite se: većih minora nema, pa je rang $r.$

Ne zaustavljajte se kod prvog minora koji je jednak 0: jedan minor jednak nuli ništa ne dokazuje. Rang je određen tek kada su svi oivičavajući minori jednaki 0.

Primer 3. Odredite rang matrice ${A=\begin{pmatrix}1&2&4\\3&6&5\end{pmatrix}}.$

Matrica $A$ ima 2 vrste i 3 kolone, pa njen rang nije veći od 2. Element ${a_{11}=1}$ nije 0. Minori reda 2 koji ga sadrže obuhvataju obe vrste, kolonu 1 i još jednu kolonu. Sa kolonom 2:

$$\begin{pmatrix}\textcolor{#c0392b}{1}&\textcolor{#c0392b}{2}&4\\\textcolor{#c0392b}{3}&\textcolor{#c0392b}{6}&5\end{pmatrix}$$

$\begin{vmatrix}1&2\\3&6\end{vmatrix}=1\cdot6-2\cdot3=0$

Ovaj minor je 0, ali iz toga se još ništa ne može zaključiti. Proveravamo drugi oivičavajući minor, iz kolona 1 i 3:

$$\begin{pmatrix}\textcolor{#c0392b}{1}&2&\textcolor{#c0392b}{4}\\\textcolor{#c0392b}{3}&6&\textcolor{#c0392b}{5}\end{pmatrix}$$

$\begin{vmatrix}1&4\\3&5\end{vmatrix}=1\cdot5-4\cdot3=-7$

Jedan minor reda 2 nije 0, a minora reda 3 matrica $A$ nema, pa je ${\operatorname{rang}A=2}.$

Primer 4. Odredite rang matrice ${B=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}}.$

Biramo element ${b_{32}=1}$ u vrsti 3 i koloni 2. Jedan od minora reda 2 koji ga sadrže nalazi se u vrstama 2, 3 i kolonama 1, 2:

$$\begin{pmatrix}1&1&1\\\textcolor{#c0392b}{1}&\textcolor{#c0392b}{1}&1\\\textcolor{#c0392b}{1}&\textcolor{#c0392b}{1}&1\end{pmatrix}$$

$\begin{vmatrix}1&1\\1&1\end{vmatrix}=1-1=0$

Svi elementi matrice $B$ jednaki su 1, pa je svaki minor reda 2 matrice $B$ upravo ova determinanta, a ona je 0. Posebno, sva ${(3-1)(3-1)=4}$ minora koja oivičavaju ${b_{32}}$ jednaka su 0, pa je ${\operatorname{rang}B=1}.$ Sve tri vrste su jednake: samo jedna od njih je nezavisna.

Primer 5. Odredite rang matrice ${C=\begin{pmatrix}3&8&2\\2&1&1\\5&3&4\\7&4&5\end{pmatrix}}.$

$C$ je matrica dimenzije 4×3, pa njen rang nije veći od 3. Biramo element ${c_{33}=4}$ i minor reda 2 koji ga sadrži, iz vrsta 2, 3 i kolona 2, 3:

$$\begin{pmatrix}3&8&2\\2&\textcolor{#c0392b}{1}&\textcolor{#c0392b}{1}\\5&\textcolor{#c0392b}{3}&\textcolor{#c0392b}{4}\\7&4&5\end{pmatrix}$$

$\begin{vmatrix}1&1\\3&4\end{vmatrix}=4-3=1$

On nije 0, pa je rang najmanje 2. Minori reda 3 koji ga oivičavaju dodaju kolonu 1 i još jednu vrstu, vrstu 4 ili vrstu 1: to su ${(4-2)(3-2)=2}$ minora. Sa vrstom 4 (vrste 2, 3, 4):

$$\begin{pmatrix}3&8&2\\\textcolor{#c0392b}{2}&\textcolor{#c0392b}{1}&\textcolor{#c0392b}{1}\\\textcolor{#c0392b}{5}&\textcolor{#c0392b}{3}&\textcolor{#c0392b}{4}\\\textcolor{#c0392b}{7}&\textcolor{#c0392b}{4}&\textcolor{#c0392b}{5}\end{pmatrix}$$

$\begin{vmatrix}2&1&1\\5&3&4\\7&4&5\end{vmatrix}=0$

Ovaj minor je 0 jer je njegova treća vrsta zbir prve dve: ${2+5=7},$ ${1+3=4},$ ${1+4=5}.$ Proveravamo drugi, iz vrsta 1, 2, 3:

$$\begin{pmatrix}\textcolor{#c0392b}{3}&\textcolor{#c0392b}{8}&\textcolor{#c0392b}{2}\\\textcolor{#c0392b}{2}&\textcolor{#c0392b}{1}&\textcolor{#c0392b}{1}\\\textcolor{#c0392b}{5}&\textcolor{#c0392b}{3}&\textcolor{#c0392b}{4}\\7&4&5\end{pmatrix}$$

$\begin{vmatrix}3&8&2\\2&1&1\\5&3&4\end{vmatrix}=3\cdot(4-3)-8\cdot(8-5)+2\cdot(6-5)$

${=3-24+2=-19}$

Jedan minor reda 3 nije 0, a minora reda 4 matrica $C$ nema, pa je ${\operatorname{rang}C=3}.$ Kalkulator matrica određuje ovaj rang metodom oivičavanja minora korak po korak (možda će početi od drugog elementa, ali rang je isti).

Primer 6. Odredite rang matrice ${D=\begin{pmatrix}1&5&1&6\\2&3&2&5\\6&1&6&7\end{pmatrix}}.$

Matrica $D$ ima 3 vrste i 4 kolone, pa njen rang nije veći od 3. Biramo element ${d_{12}=5}$ i minor reda 2 iz vrsta 1, 2 i kolona 1, 2:

$$\begin{pmatrix}\textcolor{#c0392b}{1}&\textcolor{#c0392b}{5}&1&6\\\textcolor{#c0392b}{2}&\textcolor{#c0392b}{3}&2&5\\6&1&6&7\end{pmatrix}$$

$\begin{vmatrix}1&5\\2&3\end{vmatrix}=3-10=-7$

Minori reda 3 koji ga oivičavaju dodaju vrstu 3 i još jednu kolonu, kolonu 3 ili kolonu 4: to su ${(3-2)(4-2)=2}$ minora. Sa kolonama 1, 2, 3:

$$\begin{pmatrix}\textcolor{#c0392b}{1}&\textcolor{#c0392b}{5}&\textcolor{#c0392b}{1}&6\\\textcolor{#c0392b}{2}&\textcolor{#c0392b}{3}&\textcolor{#c0392b}{2}&5\\\textcolor{#c0392b}{6}&\textcolor{#c0392b}{1}&\textcolor{#c0392b}{6}&7\end{pmatrix}$$

$\begin{vmatrix}1&5&1\\2&3&2\\6&1&6\end{vmatrix}=0$

On je 0 jer su njegova prva i treća kolona jednake. Sa kolonama 1, 2, 4:

$$\begin{pmatrix}\textcolor{#c0392b}{1}&\textcolor{#c0392b}{5}&1&\textcolor{#c0392b}{6}\\\textcolor{#c0392b}{2}&\textcolor{#c0392b}{3}&2&\textcolor{#c0392b}{5}\\\textcolor{#c0392b}{6}&\textcolor{#c0392b}{1}&6&\textcolor{#c0392b}{7}\end{pmatrix}$$

$\begin{vmatrix}1&5&6\\2&3&5\\6&1&7\end{vmatrix}=0$

On je 0 jer je njegova treća kolona zbir prve dve: ${1+5=6},$ ${2+3=5},$ ${6+1=7}.$ Oba minora koja oivičavaju minor reda 2 različit od nule jednaka su 0, pa je prema gornjem pravilu ${\operatorname{rang}D=2}.$ Preostala dva minora reda 3 (iz kolona 1, 3, 4 i iz kolona 2, 3, 4) nismo morali da računamo: pravilo garantuje da su i oni jednaki 0.

Određivanje ranga elementarnim transformacijama

Kod većih matrica obično je brže da se matrica najpre uprosti. Elementarne transformacije vrsta su:

• zamena mesta dve vrste: ${V_i\leftrightarrow V_j};$
• množenje vrste brojem ${k\ne 0}\text{:}$ ${V_i\to kV_i};$
• dodavanje jednoj vrsti druge vrste pomnožene brojem: ${V_i\to V_i+kV_j}.$

Elementarne transformacije kolona su iste transformacije primenjene na kolone.

Zašto je tako: posle zamene mesta dve vrste dobijaju se isti minori kao pre, neki sa suprotnim znakom. Posle ${V_i\to kV_i}$ neki minori se množe sa ${k\ne 0}.$ Posle ${V_i\to V_i+kV_j}$ svaki novi minor je ili stari minor, ili zbir starog minora i drugog starog minora istog reda pomnoženog sa $k$ (eventualno sa suprotnim znakom). Dakle, ako su svi minori reda ${r+1}$ bili jednaki 0, oni ostaju jednaki 0, pa rang ne može da se poveća. Svaka transformacija može se poništiti drugom elementarnom transformacijom, pa rang ne može ni da se smanji.

Pišemo ${A\sim B}$ („$A$ je ekvivalentna sa $B$“) kada se $B$ dobija iz $A$ elementarnim transformacijama. Te dve matrice su različite, pa je znak između njih $\sim,$ a nikako znak jednakosti; jednaki su samo njihovi rangovi.

Stepenasti oblik

Matrica je u stepenastom obliku ako

• su njene vrste od samih nula, ako ih ima, na dnu;
• se prvi element različit od nule u svakoj vrsti (njen vodeći element) nalazi desno od vodećeg elementa vrste iznad nje.

Ispod svakog vodećeg elementa nalaze se samo nule, pa elementi različiti od nule obrazuju stepenice. Na primer:

$$\begin{pmatrix}2&1&0&3&1\\0&0&5&1&2\\0&0&0&4&3\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}$$

Zašto je tako: vrste i kolone vodećih elemenata daju trougaoni minor sa brojevima različitim od nule na dijagonali, pa taj minor nije 0. Svaki veći minor mora da sadrži vrstu od samih nula, pa je jednak 0. U gornjoj matrici vodeći elementi 2, 5 i 4 nalaze se u kolonama 1, 3 i 4:

$\begin{vmatrix}2&0&3\\0&5&1\\0&0&4\end{vmatrix}=2\cdot5\cdot4=40$

Dakle, rang te matrice je 3, koliko ona ima nenultih vrsta. Rang bilo koje matrice određujemo ovako (to je Gausov metod):

1. Nađite prvu kolonu koja se ne sastoji od samih nula. Ako je potrebno, zamenite mesta vrstama tako da njen gornji element ne bude 0; najpogodniji je element 1 ili ${-1}.$
2. Sve elemente ispod njega svedite na 0 tako što ćete ostalim vrstama dodavati gornju vrstu pomnoženu odgovarajućim brojevima.
3. Gornju vrstu ostavite kakva jeste i ponovite postupak sa vrstama ispod nje.
4. Kada matrica bude u stepenastom obliku, prebrojte njene nenulte vrste. Taj broj je rang.

Primer 7. Odredite rang matrice $D$ iz primera 6 elementarnim transformacijama vrsta.

$$D=\begin{pmatrix}1&5&1&6\\2&3&2&5\\6&1&6&7\end{pmatrix}$$

Nule ispod jedinice u koloni 1: ${V_2\to V_2-2V_1}$ i ${V_3\to V_3-6V_1}.$

$$\sim\begin{pmatrix}1&5&1&6\\0&-7&0&-7\\0&-29&0&-29\end{pmatrix}$$

Da bi vodeći element u vrsti 2 bio jednostavniji: ${V_2\to -\frac{1}{7}V_2}.$

$$\sim\begin{pmatrix}1&5&1&6\\0&1&0&1\\0&-29&0&-29\end{pmatrix}$$

Nula ispod jedinice u koloni 2: ${V_3\to V_3+29V_2}.$

$$\sim\begin{pmatrix}1&5&1&6\\0&1&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}$$

Ostale su dve nenulte vrste, pa je ${\operatorname{rang}D=2},$ isto kao u primeru 6.

Primer 8. Odredite rang matrice

$$A=\begin{pmatrix}1&2&-1&3&0\\2&4&-1&7&2\\-1&-2&3&-1&5\\3&6&-2&10&3\end{pmatrix}$$

Kolona 1 ima jedinicu na vrhu. ${V_2\to V_2-2V_1},$ ${V_3\to V_3+V_1}$ i ${V_4\to V_4-3V_1}\text{:}$

$$\sim\begin{pmatrix}1&2&-1&3&0\\0&0&1&1&2\\0&0&2&2&5\\0&0&1&1&3\end{pmatrix}$$

Ispod vrste 1 kolona 2 ima samo nule, pa je sledeći vodeći element u koloni 3: jedinica u vrsti 2. ${V_3\to V_3-2V_2}$ i ${V_4\to V_4-V_2}\text{:}$

$$\sim\begin{pmatrix}1&2&-1&3&0\\0&0&1&1&2\\0&0&0&0&1\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}$$

${V_4\to V_4-V_3}\text{:}$

$$\sim\begin{pmatrix}1&2&-1&3&0\\0&0&1&1&2\\0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}$$

To je stepenasti oblik sa tri nenulte vrste (vodeći elementi su u kolonama 1, 3 i 5), pa je ${\operatorname{rang}A=3}.$ Četvrta vrsta se svela na same nule, što znači da je četvrta vrsta matrice $A$ linearna kombinacija ostale tri. Kalkulator matrica prikazuje svođenje ove matrice na stepenasti oblik.

Koji metod izabrati? Kod malih matrica, kao što su 2×3 ili 3×3, minori se brzo računaju, a često jedna determinanta sve odlučuje. Kod većih matrica svođenje na stepenasti oblik zahteva mnogo manje posla. Kada je potreban samo rang, mogu se koristiti i transformacije kolona, na primer da bi se dvema kolonama zamenila mesta ili da bi se na same nule svela kolona koja je jednaka drugoj koloni pomnoženoj brojem.

Rang i inverzna matrica

Jedini minor reda $n$ je sama determinanta $\det A,$ pa je ${\operatorname{rang}A=n}$ tačno onda kada je ${\det A\ne 0},$ a to je tačno onda kada $A$ ima inverznu matricu. Kvadratna matrica čiji je rang manji od njenog reda je singularna.

Primer 9. Odredite rang matrice $A$ date ispod. Da li je matrica $A$ regularna?

$$A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}$$

${V_2\to V_2-4V_1}$ i ${V_3\to V_3-7V_1}\text{:}$

$$\sim\begin{pmatrix}1&2&3\\0&-3&-6\\0&-6&-12\end{pmatrix}$$

${V_3\to V_3-2V_2}\text{:}$

$$\sim\begin{pmatrix}1&2&3\\0&-3&-6\\0&0&0\end{pmatrix}$$

Dve nenulte vrste, pa je ${\operatorname{rang}A=2}.$ To je manje od 3, pa je ${\det A=0}$ i $A$ nema inverznu matricu. Zaista, treća vrsta matrice $A$ jednaka je dvostrukoj drugoj vrsti umanjenoj za prvu: ${2\cdot4-1=7},$ ${2\cdot5-2=8},$ ${2\cdot6-3=9}.$

Rang i sistemi linearnih jednačina

Sistem od $m$ linearnih jednačina sa $n$ nepoznatih ima matricu koeficijenata dimenzije ${m\times n},$ koju označavamo sa $A.$ Njegova proširena matrica ${(A\,|\,B)}$ je matrica $A$ kojoj je dopisana kolona $B$ slobodnih članova. Jedna kolona više može povećati rang najviše za 1, pa je ${\operatorname{rang}(A\,|\,B)}$ jednak ili ${\operatorname{rang}A}$ ili ${\operatorname{rang}A+1}.$

Zašto je tako: svedimo ${(A\,|\,B)}$ na stepenasti oblik. Ako je ${\operatorname{rang}(A\,|\,B)\gt\operatorname{rang}A},$ jedna od njenih vrsta je $\left(\begin{array}{ccc|c}0&\dots&0&c\end{array}\right)$ sa ${c\ne 0},$ a ta vrsta je nemoguća jednačina ${0=c}.$ U suprotnom svaka nenulta vrsta ima vodeći element u koloni neke nepoznate, a ${n-r}$ nepoznatih bez vodećeg elementa su slobodne.

Primer 10. Pomoću rangova utvrdite da li sistem ima rešenja i odredite ih.

$$\begin{cases}x+y+z=2\\x+2y+3z=5\\2x+3y+4z=7\end{cases}$$

Svodimo proširenu matricu na stepenasti oblik:

$$\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&2\\1&2&3&5\\2&3&4&7\end{array}\right)$$

${V_2\to V_2-V_1}$ i ${V_3\to V_3-2V_1}\text{:}$

$$\sim\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&2\\0&1&2&3\\0&1&2&3\end{array}\right)$$

${V_3\to V_3-V_2}\text{:}$

$$\sim\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&2\\0&1&2&3\\0&0&0&0\end{array}\right)$$

I ${\operatorname{rang}A}$ i ${\operatorname{rang}(A\,|\,B)}$ jednaki su 2, pa sistem ima rešenja. Sistem ima 3 nepoznate, pa je ${3-2=1}$ od njih slobodna. Neka je ${z=t}.$ Druga vrsta daje ${y+2t=3},$ pa je ${y=3-2t},$ a prva vrsta daje ${x=2-y-z=-1+t}.$ Rešenja su

$$x=-1+t,\quad y=3-2t,\quad z=t$$

za svaki broj $t.$ Na primer, ${t=0}$ daje ${x=-1},$ ${y=3},$ ${z=0}.$

Kada bi poslednji slobodni član bio 8 umesto 7, iste transformacije bi se završile vrstom $\left(\begin{array}{ccc|c}0&0&0&1\end{array}\right).$ Tada je ${\operatorname{rang}A=2},$ ali ${\operatorname{rang}(A\,|\,B)=3},$ pa sistem nema rešenja: poslednja vrsta znači ${0x+0y+0z=1},$ što je nemoguće.

Svaki homogeni sistem ${AX=O}$ (svi slobodni članovi su 0) ima rešenje ${X=O},$ pa je uvek saglasan; jezikom teoreme: dodavanje kolone nula ne menja rang. On ima i druga rešenja tačno onda kada je ${\operatorname{rang}A\lt n}.$ Kako se sistemi rešavaju korak po korak, objašnjeno je u lekciji Rešavanje sistema linearnih jednačina.

Rešeni zadaci

Zadatak 1. Odredite rang matrice

$$A=\begin{pmatrix}1&3&-2\\2&6&-4\\-3&-9&6\end{pmatrix}$$

Rešenje: ${V_2\to V_2-2V_1}$ i ${V_3\to V_3+3V_1}\text{:}$

$$\sim\begin{pmatrix}1&3&-2\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$$

Ostala je jedna nenulta vrsta, pa je ${\operatorname{rang}A=1}.$ Svaka vrsta matrice $A$ jednaka je prvoj vrsti pomnoženoj nekim brojem.

Zadatak 2. Odredite rang matrice metodom oivičavanja minora:

$$E=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&4&6&8\\3&5&7&9\end{pmatrix}$$

Rešenje: Polazimo od ${e_{11}=1}.$ Minori reda 2 iz vrsta 1, 2 koji ga sadrže svi su jednaki 0, jer je vrsta 2 jednaka dvostrukoj vrsti 1; na primer, $\begin{vmatrix}1&2\\2&4\end{vmatrix}=0.$ Minor iz vrsta 1, 3 i kolona 1, 2 nije 0:

$\begin{vmatrix}1&2\\3&5\end{vmatrix}=5-6=-1$

Njega oivičavaju dva minora reda 3: iz vrsta 1, 2, 3 sa kolonama 1, 2, 3 i sa kolonama 1, 2, 4.

$\begin{vmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&5&7\end{vmatrix}=0$

$\begin{vmatrix}1&2&4\\2&4&8\\3&5&9\end{vmatrix}=0$

U oba minora druga vrsta jednaka je dvostrukoj prvoj. Svi oivičavajući minori reda 3 jednaki su 0, pa je ${\operatorname{rang}E=2}.$

Zadatak 3. Odredite rang matrice

$$F=\begin{pmatrix}0&2&4&2\\1&1&3&2\\2&3&7&5\end{pmatrix}$$

Rešenje: Element u gornjem levom uglu je 0, pa počinjemo zamenom mesta vrsta: ${V_1\leftrightarrow V_2}.$

$$\sim\begin{pmatrix}1&1&3&2\\0&2&4&2\\2&3&7&5\end{pmatrix}$$

${V_3\to V_3-2V_1}\text{:}$

$$\sim\begin{pmatrix}1&1&3&2\\0&2&4&2\\0&1&1&1\end{pmatrix}$$

Da bi vodeći element u vrsti 2 bio 1: ${V_2\leftrightarrow V_3},$ a zatim ${V_3\to V_3-2V_2}\text{:}$

$$\sim\begin{pmatrix}1&1&3&2\\0&1&1&1\\0&0&2&0\end{pmatrix}$$

Tri nenulte vrste, pa je ${\operatorname{rang}F=3},$ što je najveći mogući rang matrice dimenzije 3×4.

Zadatak 4. Odredite rang proizvoda $C=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&-1&4\end{pmatrix}.$

Rešenje: Prema pravilima množenja matrica, proizvod matrice dimenzije 3×1 i matrice dimenzije 1×3 je matrica dimenzije 3×3:

$C=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&-1&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-1&4\\4&-2&8\\6&-3&12\end{pmatrix}$

Svaka vrsta matrice $C$ jednaka je vrsti $\begin{pmatrix}2&-1&4\end{pmatrix}$ pomnoženoj nekim brojem, a $C$ nije nula-matrica, pa je ${\operatorname{rang}C=1}.$ To je u skladu sa nejednakošću ${\operatorname{rang}(AB)}\le{\min(\operatorname{rang}A,\operatorname{rang}B)},$ jer oba činioca imaju rang 1. Proizvod kolone i vrste nikada nema rang veći od 1.

Zadatak 5. Za koje vrednosti $a$ matrica ${A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&a&1\\1&1&a\end{pmatrix}}$ ima rang 3, rang 2, odnosno rang 1?

Rešenje: Rang je 3 tačno onda kada determinanta nije 0. Razvojem po prvoj vrsti dobijamo:

${\det A}={1\cdot(a^2-1)}-{1\cdot(a-1)+1\cdot(1-a)}$

${=a^2-2a+1=(a-1)^2}$

Dakle, ${\operatorname{rang}A=3}$ za svako ${a\ne 1}.$ Za ${a=1}$ svi elementi su jednaki 1, pa je, kao u primeru 4, ${\operatorname{rang}A=1}.$ Rang nikada nije 2.

Zadatak 6. Za koje vrednosti $k$ sistem ima rešenja? Odredite ih.

$$\begin{cases}x+y+z=1\\x+2y+3z=2\\x+3y+5z=k\end{cases}$$

Rešenje: Proširena matrica je

$$\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\\1&2&3&2\\1&3&5&k\end{array}\right)$$

${V_2\to V_2-V_1}$ i ${V_3\to V_3-V_1},$ zatim ${V_3\to V_3-2V_2}\text{:}$

$$\sim\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\\0&1&2&1\\0&0&0&k-3\end{array}\right)$$

Za svako $k$ je ${\operatorname{rang}A=2}.$ Ako je ${k\ne 3},$ onda je ${\operatorname{rang}(A\,|\,B)=3}$ i sistem nema rešenja. Ako je ${k=3},$ onda je ${\operatorname{rang}A}={\operatorname{rang}(A\,|\,B)}={2}$ i rešenja ima beskonačno mnogo, sa ${3-2=1}$ parametrom. Za ${z=t}$ druga vrsta daje ${y=1-2t},$ a prva vrsta daje ${x=1-y-z=t}\text{:}$

$$x=t,\quad y=1-2t,\quad z=t$$

Zadatak 7. Da li homogeni sistem ima i druga rešenja osim ${x=y=z=0}?$

$$\begin{cases}x+2y-z=0\\2x+4y-2z=0\\3x+y+2z=0\end{cases}$$

Rešenje: Određujemo rang matrice koeficijenata:

$$A=\begin{pmatrix}1&2&-1\\2&4&-2\\3&1&2\end{pmatrix}$$

${V_2\to V_2-2V_1}$ i ${V_3\to V_3-3V_1}\text{:}$

$$\sim\begin{pmatrix}1&2&-1\\0&0&0\\0&-5&5\end{pmatrix}$$

${V_2\leftrightarrow V_3}\text{:}$

$$\sim\begin{pmatrix}1&2&-1\\0&-5&5\\0&0&0\end{pmatrix}$$

${\operatorname{rang}A=2},$ što je manje od broja nepoznatih (3), pa postoje i druga rešenja, sa ${3-2=1}$ parametrom. Druga vrsta daje ${-5y+5z=0},$ pa je ${y=z}.$ Za ${z=t}\text{:}$ ${y=t}$ i ${x=-2y+z=-t}.$ Na primer, ${t=1}$ daje rešenje ${x=-1},$ ${y=1},$ ${z=1}.$

Zadatak 8. Sistem od 4 jednačine sa 6 nepoznatih ima matricu koeficijenata ranga 4. Da li sistem ima rešenja za svaki izbor slobodnih članova? Koliko je nepoznatih slobodno?

Rešenje: Proširena matrica ima 4 vrste, pa njen rang nije veći od 4. Ona sadrži $A,$ pa njen rang nije manji od ${\operatorname{rang}A=4}.$ Dakle, ${\operatorname{rang}(A\,|\,B)}={\operatorname{rang}A}={4}$ za svaki izbor slobodnih članova, pa prema Kroneker–Kapelijevoj teoremi sistem uvek ima rešenja. Rešenja ima beskonačno mnogo, sa ${6-4=2}$ slobodne nepoznate.

Zadaci za vežbu

Prvo pokušajte sami, a zatim otvorite odgovor.

1. Koliki je najveći mogući rang matrice dimenzije 4×7?

Rang nije veći od ${\min(4,7)=4}.$

2. Odredite rang matrice ${A=\begin{pmatrix}2&4\\3&6\end{pmatrix}}.$

${\operatorname{rang}A=1}.$ Determinanta je ${2\cdot6-4\cdot3=0},$ ali nisu svi elementi matrice jednaki 0.

3. Odredite rang matrice ${A=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&4&5\\0&0&6\end{pmatrix}}.$

${\operatorname{rang}A=3}.$ Matrica je u stepenastom obliku sa tri nenulte vrste; njena determinanta je ${1\cdot4\cdot6=24}.$

4. Odredite rang matrice ${A=\begin{pmatrix}1&-1&2\\2&-2&4\\3&1&0\end{pmatrix}}.$

${\operatorname{rang}A=2}.$ Vrsta 2 jednaka je dvostrukoj vrsti 1, pa je ${\det A=0}.$ Minor iz vrsta 1, 3 i kolona 1, 2 nije 0: $\begin{vmatrix}1&-1\\3&1\end{vmatrix}=1+3=4.$

5. Odredite rang matrice ${A=\begin{pmatrix}1&2&1&0\\2&4&3&1\\3&6&4&1\end{pmatrix}}.$

${\operatorname{rang}A=2}.$ Transformacije ${V_2\to V_2-2V_1},$ ${V_3\to V_3-3V_1}$ i ${V_3\to V_3-V_2}$ daju $\begin{pmatrix}1&2&1&0\\0&0&1&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}$ sa dve nenulte vrste.

6. Odredite rang matrice ${A=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&2&3&4\\1&3&6&10\\1&4&10&20\end{pmatrix}}.$

${\operatorname{rang}A=4}.$ Svođenje na stepenasti oblik daje $\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&2&3\\0&0&1&3\\0&0&0&1\end{pmatrix}$ sa četiri nenulte vrste, a ${\det A=1}.$

7. Za koju vrednost $a$ je rang matrice $\begin{pmatrix}1&2\\3&a\end{pmatrix}$ jednak 1?

${a=6}.$ Determinanta ${a-6}$ mora biti 0; za svako drugo $a$ rang je 2.

8. Da li je matrica ${A=\begin{pmatrix}1&2&0\\2&1&3\\3&3&3\end{pmatrix}}$ regularna?

Nije. Vrsta 3 je zbir vrsta 1 i 2, pa je ${\operatorname{rang}A=2},$ što je manje od 3, i ${\det A=0}.$

9. Da li sistem ${x+y=1},$ ${2x+2y=3}$ ima rešenje?

Nema. ${\operatorname{rang}\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}=1},$ ali proširena matrica ima veći rang: ${\operatorname{rang}\left(\begin{array}{cc|c}1&1&1\\2&2&3\end{array}\right)=2}.$

10. Sistem ima 5 nepoznatih i ${\operatorname{rang}A}={\operatorname{rang}(A\,|\,B)}={3}.$ Koliko rešenja ima i koliko je nepoznatih slobodno?

Beskonačno mnogo rešenja, sa ${5-3=2}$ slobodne nepoznate.

Svoje primere možete proveriti kalkulatorom matrica. On određuje rang sa svim koracima, svođenjem na stepenasti oblik ili metodom oivičavanja minora.