Rang matrice

Autor Catalin David

Rang matrice koja ima m vrsta i n kolona je broj r koji zadovoljava sledeće:

  • r je manji ili jednak manjem broju od brojeva m i n.
  • r je jednak redu najvećeg minora matrice koji je različit od nule.

Određivanje ranga matrice

  • Biramo element matrice koji je različit od 0.
  • Izračunavamo minore reda 2 koji sadrže odabrani element sve dok ne nađemo minor različit od nule.
  • Ako je svaki minor reda 2 jednak nuli tada je rang matrice 1.
  • Ako postoji bilo koji minor reda 2 različit od nule tada računamo minore reda 3 koji sadrže minor reda 2 različit od nule, sve dok ne nađemo neki koji je različit od 0.
  • Ako je svaki minor reda 3 jednak nuli tada je rang matrice 2.
  • Ako postoji minor reda 3 koji je različit od nule, tada računamo minore reda 4 koji sadrže minor reda 3 različit od nule, sve dok ne nađemo minor koji je različit od nule.
  • Nastavljamo sa opisanim postupkom sve dok ne dobijemo minor čiji je red jednak manjem od ova dva: broj vrsta, broj kolona.

Primer 42
$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4\\ 3 & 6 & 5 \end{pmatrix}$

Posmatrana matrica ima 2 vrste i 3 kolone, pa je najveća moguća vrednost minora 2 ( min{2,3}=2 ). Biramo element različit od 0.

$\begin{pmatrix} \color{red}{1} & 2 & 4\\ 3 & 6 & 5 \end{pmatrix}$

Formiramo minor reda 2 koji sadrži 1.
$\begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{2} & 4\\ \color{red}{3} & \color{red}{6} & 5 \end{pmatrix}$

Izračunavamo minor.
$\begin{vmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{2}\\ \color{red}{3} & \color{red}{6} \end{vmatrix}=6 - 6 = 0$

Formiramo drugi minor reda 2 koji sadrži 1. $A=\begin{pmatrix} \color{blue}{1} & 2 & \color{blue}{4}\\ \color{blue}{3} & 6 & \color{blue}{5} \end{pmatrix}$

Izračunavamo ovaj minor.
$\begin{vmatrix} \color{blue}{1} & \color{blue}{4}\\ \color{blue}{3} & \color{blue}{5} \end{vmatrix}= 5 - 12 = -7 \neq 0.$

Rang je 2.

Primer 43
$B=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ \end{pmatrix}$

Biramo element različit od 0.
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & \color{red}{1} & 1 \end{pmatrix}$

Računamo minore reda 2 koji sadrže ovaj element. $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ \color{red}{1} & \color{red}{1} & 1\\ \color{red}{1} & \color{red}{1} & 1 \end{pmatrix}$

$\begin{vmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{1} \\ \color{red}{1} & \color{red}{1} \end{vmatrix}=0 $ (because it has two equal rows)

Svaki minor reda 2 je 0, (svi su isti kao ovaj navedeni). Znači da je rang matrice 1.

Primer 44
$B=\begin{pmatrix} 3 & 8 & 2\\ 2 & 1 & 1\\ 5 & 3 & 4\\ 7 & 4 & 5 \end{pmatrix}$

Data matrica ima 4 vrste i tri kolone pa je najveća moguća vrednost ranga 3.

Biramo element različit od nule.
$\begin{pmatrix} 3 & 8 & 2\\ 2 & 1 & 1\\ 5 & 3 & \color{red}{4}\\ 7 & 4 & 5 \end{pmatrix}$

Računamo minore reda 2 koji sadrži element 4.
$ \begin{pmatrix} 3 & 8 & 2\\ 2 & \color{red}{1} & \color{red}{1}\\ 5 & \color{red}{3} & \color{red}{4}\\ 7 & 4 & 5 \end{pmatrix}$

$\begin{vmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{1}\\ \color{red}{3} & \color{red}{4}\\ \end{vmatrix} = 4 - 3 = 1$

Biramo minor reda 3 koji sadrži prethodno odabrani minor reda 2. $\begin{pmatrix} 3 & 8 & 2\\ \color{red}{2} & \color{red}{1} & \color{red}{1}\\ \color{red}{5} & \color{red}{3} & \color{red}{4}\\ \color{red}{7} & \color{red}{4} & \color{red}{5} \end{pmatrix}$

Izračunavamo ovaj minor.
$\begin{pmatrix} \color{red}{2} & \color{red}{1} & \color{red}{1}\\ \color{red}{5} & \color{red}{3} & \color{red}{4}\\ \color{red}{7} & \color{red}{4} & \color{red}{5} \end{pmatrix}=0 $ because $ R_{1}+R_{2}=R_{3}$

Izračunaćemo drugi minor koji sadrži odabrani minor reda 2.
$\begin{pmatrix} \color{blue}{3} & \color{blue}{8} & \color{blue}{2}\\ \color{blue}{2} & \color{blue}{1} & \color{blue}{1}\\ \color{blue}{5} & \color{blue}{3} & \color{blue}{4}\\ 7 & 4 & 5 \end{pmatrix}$

$\begin{vmatrix} \color{blue}{3} & \color{blue}{8} & \color{blue}{2}\\ \color{blue}{2} & \color{blue}{1} & \color{blue}{1}\\ \color{blue}{5} & \color{blue}{3} & \color{blue}{4} \end{vmatrix} =$ $12 + 12 +40 -10 -9 -64 =-19 \neq 0 $
Iz ovoga sledi da je rang matrice 3.

Primer 45
$D=\begin{pmatrix} 1 & 5 & 1 & 6\\ 2 & 3 & 2 & 5\\ 6 & 1 & 6 & 7 \end{pmatrix}$

D je marica koja ima 3 vrste i 4 kolone pa je najveća moguća vrednost ranga 3.

Biramo element različit od nule.
$\begin{pmatrix} 1 & \color{red}{5} & 1 & 6\\ 2 & 3 & 2 & 5\\ 6 & 1 & 6 & 7 \end{pmatrix}$

Biramo minor koji sadrži element 5.
$\begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{5} & 1 & 6\\ \color{red}{2} & \color{red}{3} & 2 & 5\\ 6 & 1 & 6 & 7 \end{pmatrix}$

$\begin{vmatrix} 1 & 5\\ 2 & 3 \end{vmatrix}= 3 - 10 = -7 \neq 0$

Biramo minor reda 3 koji sadrži prethodni minor.
$\begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{5} & \color{red}{1} & 6\\ \color{red}{2} & \color{red}{3} & \color{red}{2} & 5\\ \color{red}{6} & \color{red}{1} & \color{red}{6} & 7 \end{pmatrix}$

$\begin{vmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{5} & \color{red}{1}\\ \color{red}{2} & \color{red}{3} & \color{red}{2}\\ \color{red}{6} & \color{red}{1} & \color{red}{6} \end{vmatrix} = 0 $ (jer ima dve jednake kolone)

Biramo novi minor reda 3 koji sadrži odabrani minor reda 2.
$\begin{pmatrix} \color{blue}{1} & \color{blue}{5} & 1 & \color{blue}{6}\\ \color{blue}{2} & \color{blue}{3} & 2 & \color{blue}{5}\\ \color{blue}{6} & \color{blue}{1} & 6 & \color{blue}{7} \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} \color{blue}{1} & \color{blue}{5} & \color{blue}{6}\\ \color{blue}{2} & \color{blue}{3} & \color{blue}{5}\\ \color{blue}{6} & \color{blue}{1} & \color{blue}{7} \end{pmatrix} = 0 $ because $ C_{1} + C_{2}=C_{3}$

Kako su svi minori reda 3 jednaki nuli, rang matrice D je 2.


Kontakt imejl:
Copyright © 2005 - 2019