Rang matrice
Autor Catalin David
Rang matrice koja ima m vrsta i n kolona je broj r koji zadovoljava sledeće:
- r je manji ili jednak manjem broju od brojeva m i n.
- r je jednak redu najvećeg minora matrice koji je različit od nule.
Određivanje ranga matrice
- Biramo element matrice koji je različit od 0.
- Izračunavamo minore reda 2 koji sadrže odabrani element sve dok ne nađemo minor različit od nule.
- Ako je svaki minor reda 2 jednak nuli tada je rang matrice 1.
- Ako postoji bilo koji minor reda 2 različit od nule tada računamo minore reda 3 koji sadrže minor reda 2 različit od nule, sve dok ne nađemo neki koji je različit od 0.
- Ako je svaki minor reda 3 jednak nuli tada je rang matrice 2.
- Ako postoji minor reda 3 koji je različit od nule, tada računamo minore reda 4 koji sadrže minor reda 3 različit od nule, sve dok ne nađemo minor koji je različit od nule.
- Nastavljamo sa opisanim postupkom sve dok ne dobijemo minor čiji je red jednak manjem od ova dva: broj vrsta, broj kolona.
Primer 42
$A=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 4\\
3 & 6 & 5
\end{pmatrix}$
Posmatrana matrica ima 2 vrste i 3 kolone, pa je najveća moguća vrednost minora 2 ( min{2,3}=2 ). Biramo element različit od 0.
$\begin{pmatrix} \color{red}{1} & 2 & 4\\ 3 & 6 & 5 \end{pmatrix}$
Formiramo minor reda 2 koji sadrži 1.
$\begin{pmatrix}
\color{red}{1} & \color{red}{2} & 4\\
\color{red}{3} & \color{red}{6} & 5
\end{pmatrix}$
Izračunavamo minor.
$\begin{vmatrix}
\color{red}{1} & \color{red}{2}\\
\color{red}{3} & \color{red}{6}
\end{vmatrix}=6 - 6 = 0$
Formiramo drugi minor reda 2 koji sadrži 1. $A=\begin{pmatrix} \color{blue}{1} & 2 & \color{blue}{4}\\ \color{blue}{3} & 6 & \color{blue}{5} \end{pmatrix}$
Izračunavamo ovaj minor.
$\begin{vmatrix}
\color{blue}{1} & \color{blue}{4}\\
\color{blue}{3} & \color{blue}{5}
\end{vmatrix}= 5 - 12 = -7 \neq 0.$
Rang je 2.
Primer 43
$B=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1\\
\end{pmatrix}$
Biramo element različit od 0.
$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1\\
1 & \color{red}{1} & 1
\end{pmatrix}$
Računamo minore reda 2 koji sadrže ovaj element. $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ \color{red}{1} & \color{red}{1} & 1\\ \color{red}{1} & \color{red}{1} & 1 \end{pmatrix}$
$\begin{vmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{1} \\ \color{red}{1} & \color{red}{1} \end{vmatrix}=0 $ (because it has two equal rows)
Svaki minor reda 2 je 0, (svi su isti kao ovaj navedeni). Znači da je rang matrice 1.
Primer 44
$B=\begin{pmatrix}
3 & 8 & 2\\
2 & 1 & 1\\
5 & 3 & 4\\
7 & 4 & 5
\end{pmatrix}$
Data matrica ima 4 vrste i tri kolone pa je najveća moguća vrednost ranga 3.
Biramo element različit od nule.
$\begin{pmatrix}
3 & 8 & 2\\
2 & 1 & 1\\
5 & 3 & \color{red}{4}\\
7 & 4 & 5
\end{pmatrix}$
Računamo minore reda 2 koji sadrži element 4.
$ \begin{pmatrix}
3 & 8 & 2\\
2 & \color{red}{1} & \color{red}{1}\\
5 & \color{red}{3} & \color{red}{4}\\
7 & 4 & 5
\end{pmatrix}$
$\begin{vmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{1}\\ \color{red}{3} & \color{red}{4}\\ \end{vmatrix} = 4 - 3 = 1$
Biramo minor reda 3 koji sadrži prethodno odabrani minor reda 2. $\begin{pmatrix} 3 & 8 & 2\\ \color{red}{2} & \color{red}{1} & \color{red}{1}\\ \color{red}{5} & \color{red}{3} & \color{red}{4}\\ \color{red}{7} & \color{red}{4} & \color{red}{5} \end{pmatrix}$
Izračunavamo ovaj minor.
$\begin{pmatrix}
\color{red}{2} & \color{red}{1} & \color{red}{1}\\
\color{red}{5} & \color{red}{3} & \color{red}{4}\\
\color{red}{7} & \color{red}{4} & \color{red}{5}
\end{pmatrix}=0 $ because $ R_{1}+R_{2}=R_{3}$
Izračunaćemo drugi minor koji sadrži odabrani minor reda 2.
$\begin{pmatrix}
\color{blue}{3} & \color{blue}{8} & \color{blue}{2}\\
\color{blue}{2} & \color{blue}{1} & \color{blue}{1}\\
\color{blue}{5} & \color{blue}{3} & \color{blue}{4}\\
7 & 4 & 5
\end{pmatrix}$
$\begin{vmatrix}
\color{blue}{3} & \color{blue}{8} & \color{blue}{2}\\
\color{blue}{2} & \color{blue}{1} & \color{blue}{1}\\
\color{blue}{5} & \color{blue}{3} & \color{blue}{4}
\end{vmatrix} =$ $12 + 12 +40 -10 -9 -64 =-19 \neq 0 $
Iz ovoga sledi da je rang matrice 3.
Primer 45
$D=\begin{pmatrix}
1 & 5 & 1 & 6\\
2 & 3 & 2 & 5\\
6 & 1 & 6 & 7
\end{pmatrix}$
D je marica koja ima 3 vrste i 4 kolone pa je najveća moguća vrednost ranga 3.
Biramo element različit od nule.
$\begin{pmatrix}
1 & \color{red}{5} & 1 & 6\\
2 & 3 & 2 & 5\\
6 & 1 & 6 & 7
\end{pmatrix}$
Biramo minor koji sadrži element 5.
$\begin{pmatrix}
\color{red}{1} & \color{red}{5} & 1 & 6\\
\color{red}{2} & \color{red}{3} & 2 & 5\\
6 & 1 & 6 & 7
\end{pmatrix}$
$\begin{vmatrix} 1 & 5\\ 2 & 3 \end{vmatrix}= 3 - 10 = -7 \neq 0$
Biramo minor reda 3 koji sadrži prethodni minor.
$\begin{pmatrix}
\color{red}{1} & \color{red}{5} & \color{red}{1} & 6\\
\color{red}{2} & \color{red}{3} & \color{red}{2} & 5\\
\color{red}{6} & \color{red}{1} & \color{red}{6} & 7
\end{pmatrix}$
$\begin{vmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{5} & \color{red}{1}\\ \color{red}{2} & \color{red}{3} & \color{red}{2}\\ \color{red}{6} & \color{red}{1} & \color{red}{6} \end{vmatrix} = 0 $ (jer ima dve jednake kolone)
Biramo novi minor reda 3 koji sadrži odabrani minor reda 2.
$\begin{pmatrix}
\color{blue}{1} & \color{blue}{5} & 1 & \color{blue}{6}\\
\color{blue}{2} & \color{blue}{3} & 2 & \color{blue}{5}\\
\color{blue}{6} & \color{blue}{1} & 6 & \color{blue}{7}
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} \color{blue}{1} & \color{blue}{5} & \color{blue}{6}\\ \color{blue}{2} & \color{blue}{3} & \color{blue}{5}\\ \color{blue}{6} & \color{blue}{1} & \color{blue}{7} \end{pmatrix} = 0 $ because $ C_{1} + C_{2}=C_{3}$
Kako su svi minori reda 3 jednaki nuli, rang matrice D je 2.