Granične vrednosti i neprekidnost trigonometrijskih funkcija

U ovoj lekciji dokazujemo da su sinus i kosinus neprekidne funkcije, određujemo gde su neprekidne ostale trigonometrijske funkcije i izračunavamo dve granične vrednosti koje se u matematičkoj analizi stalno koriste:

${\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1}$   i   ${\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x}=0}.$

Definicija neprekidnosti i njene osobine objašnjene su u prethodnoj lekciji, Osobine neprekidnih funkcija.

Na ovoj stranici: Sinus i kosinus · Ostale trigonometrijske funkcije · Teorema o dva policajca · Limes sin x / x · Limes (1 − cos x) / x · Primena dve granične vrednosti · Zadaci za vežbu

Neprekidnost sinusa i kosinusa

Za oštar ugao $\theta$ pravouglog trougla sinus i kosinus su odnosi stranica:

${\sin\theta}={\frac{\text{naspramna kateta}}{\text{hipotenuza}}},$   ${\cos\theta=\frac{\text{nalegla kateta}}{\text{hipotenuza}}}.$

Za uglove proizvoljne veličine koristimo jediničnu kružnicu ${x^2+y^2=1}.$ Od sada uglove merimo u radijanima i pišemo $x$ umesto $\theta.$ Ako poluprava iz koordinatnog početka koja sa pozitivnim delom $x$-ose zaklapa ugao $x$ (meren u smeru suprotnom od kretanja kazaljke na satu, a za negativno $x$ u smeru kretanja kazaljke) seče kružnicu u tački $P,$ onda tačka $P$ ima koordinate ${(\cos x,\,\sin x)}.$

Ovo su grafici funkcija ${f(x)=\sin x}$ i ${g(x)=\cos x}.$ Nijedan od njih nema prekid.

Granične vrednosti u tački 0. Kada $x$ teži ka $0,$ tačka ${P(\cos x,\,\sin x)}$ kreće se po kružnici ka tački $B(1,\,0),$ pa njene koordinate teže ka koordinatama tačke $B\text{:}$

${\lim_{x\to0}\sin x=0},$   ${\lim_{x\to0}\cos x=1}.$

To su upravo vrednosti ovih funkcija u tački $0\text{:}$ ${\sin0=0}$ i ${\cos0=1}.$ Podsetimo se definicije neprekidnosti:

Prema ovoj definiciji, sinus i kosinus su neprekidni u tački $0.$

Teorema. Funkcije ${\sin x}$ i ${\cos x}$ neprekidne su u svakoj tački skupa realnih brojeva.

Dokaz. Neka je $c$ proizvoljan realan broj i neka je ${h=x-c},$ odnosno ${x=c+h}.$ Tada ${x\to c}$ znači isto što i ${h\to0},$ a neprekidnost funkcije $f$ u tački $c$ znači da je

${\lim_{h\to0}f(c+h)=f(c)}.$

Funkcija ${\sin x}$ definisana je za svaki realan broj. Iz adicione formule, osobina graničnih vrednosti i već nađenih graničnih vrednosti u tački $0$ dobijamo

${\lim_{h\to0}\sin(c+h)}={\lim_{h\to0}(\sin c\cos h+\cos c\sin h)}$

$={\sin c\cdot\lim_{h\to0}\cos h}+{\cos c\cdot\lim_{h\to0}\sin h}={\sin c\cdot1+\cos c\cdot0}={{\sin c}.}$

Na isti način, pomoću formule ${\cos(c+h)}={\cos c\cos h-\sin c\sin h},$ dobijamo

${\lim_{h\to0}\cos(c+h)}={\cos c\cdot1-\sin c\cdot0}={{\cos c}.}$

Neprekidnost ostalih trigonometrijskih funkcija

Ostale trigonometrijske funkcije izražavaju se pomoću sinusa i kosinusa kao količnici:

${\operatorname{tg} x=\frac{\sin x}{\cos x}},$   ${\operatorname{ctg} x=\frac{\cos x}{\sin x}},$   ${\sec x=\frac{1}{\cos x}},$   ${\operatorname{cosec} x=\frac{1}{\sin x}}.$

Količnik neprekidnih funkcija neprekidan je u svakoj tački u kojoj imenilac nije jednak $0.$ Kosinus je jednak $0$ za ${x=\frac{\pi}{2}+k\pi},$ tj. za ${x=\pm\frac{\pi}{2}},$ ${\pm\frac{3\pi}{2}},$ ${\pm\frac{5\pi}{2}},$ …, a sinus je jednak $0$ za ${x=k\pi}$ ($k$ je ceo broj). Prema tome:

Funkcija	Neprekidna za svako $x$ osim
${\operatorname{tg} x},$ ${\sec x}$	${x=\frac{\pi}{2}+k\pi}$
${\operatorname{ctg} x},$ ${\operatorname{cosec} x}$	${x=k\pi}$

U tim tačkama ove funkcije nisu definisane, a njihovi grafici imaju vertikalne asimptote. Na primer, ${\lim_{x\to\frac{\pi}{2}-0}\operatorname{tg} x=+\infty}$ i ${\lim_{x\to\frac{\pi}{2}+0}\operatorname{tg} x=-\infty}.$

U svakoj tački u kojoj je trigonometrijska funkcija neprekidna, njena granična vrednost nalazi se zamenom.

Primer 1. Nađite granične vrednosti:

${\lim_{x\to\pi/4}\operatorname{tg} x}={\operatorname{tg}\frac{\pi}{4}}={1},$   ${\lim_{x\to\pi}x\cos x}={\pi\cos\pi}={-\pi},$   ${\lim_{x\to0}\cos(x^2+x)}={\cos0}={1}.$

Kod poslednje granične vrednosti koristimo teoremu o neprekidnosti složene funkcije: ${\cos(x^2+x)}$ je kosinus neprekidne funkcije ${x^2+x},$ a kosinus je neprekidna funkcija.

Granične vrednosti i teorema o dva policajca

Posmatrajmo sada granične vrednosti ${\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}}$ i ${\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x}}.$ Ovde zamena ne pomaže: za ${x=0}$ oba razlomka imaju oblik ${\frac{0}{0}}.$ Kada $x$ teži ka $0,$ brojilac teži ka $0,$ što razlomak vuče ka $0,$ ali i imenilac teži ka $0,$ što razlomak čini velikim. Koji uticaj preovlađuje? Ne postoji algebarski postupak kojim bi se skratio zajednički činilac, kao što smo radili kod racionalnih funkcija. Grafici nagoveštavaju odgovore $1$ i $0\text{:}$

Da bismo dokazali ovakve granične vrednosti, koristimo sledeću teoremu.

Teorema o dva policajca. Neka su $f,$ $g$ i $h$ funkcije za koje važi ${g(x)\le f(x)\le h(x)}$ za svako $x$ iz nekog otvorenog intervala koji sadrži tačku $c,$ osim možda u samoj tački $c.$ Ako je ${\lim_{x\to c}g(x)}={\lim_{x\to c}h(x)}={L},$ onda je i ${\lim_{x\to c}f(x)=L}.$

Funkcija $f$ je zarobljena između funkcija $g$ i $h,$ a obe one teže ka istom broju $L,$ pa $f$ nema kuda da pobegne: i ona teži ka $L.$

Primer 2. Pomoću teoreme o dva policajca nađite ${\lim_{x\to0}x^2\sin^2\frac{1}{x}}.$

Osobinu za proizvod ne možemo da primenimo, jer ${\lim_{x\to0}\sin^2\frac{1}{x}}$ ne postoji (funkcija osciluje između $0$ i $1$). Ali za svako ${x\ne0}$ važi ${-1\le\sin\frac{1}{x}\le1},$ pa je ${0\le\sin^2\frac{1}{x}\le1}.$ Množenjem nejednakosti sa ${x^2\ge0}$ dobijamo

${0}\le{x^2\sin^2\frac{1}{x}}\le{x^2}.$

Pošto je ${\lim_{x\to0}0=\lim_{x\to0}x^2=0},$ prema teoremi o dva policajca je ${\lim_{x\to0}x^2\sin^2\frac{1}{x}=0}.$

Na isti način možemo strogo da obrazložimo granične vrednosti sinusa i kosinusa u tački $0\text{:}$ duž od tačke $P$ do $x$-ose, dužine ${|\sin x|},$ kraća je od luka $BP,$ dužine $|x|,$ pa je ${-|x|\le\sin x\le|x|},$ a teorema o dva policajca daje ${\lim_{x\to0}\sin x=0}.$

Granična vrednost sin x / x

U dokazu koristimo površinu kružnog isečka. Isečak sa centralnim uglom $\theta$ (u radijanima) zauzima deo ${\frac{\theta}{2\pi}}$ celog kruga, čija je površina ${\pi r^2},$ pa je njegova površina

${A}={\frac{\theta}{2\pi}\cdot\pi r^2}={\frac{1}{2}r^2\theta}.$

Teorema. ${\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1}.$

Dokaz. Neka je prvo ${0\lt x\lt\frac{\pi}{2}}.$ Posmatrajmo jediničnu kružnicu i tačke $O(0,\,0),$ $B(1,\,0),$ ${P(\cos x,\,\sin x)}$ i ${Q(1,\,\operatorname{tg} x)},$ tačku u kojoj poluprava $OP$ seče vertikalnu pravu kroz tačku $B$ (ta prava dodiruje kružnicu u tački $B;$ u pravouglom trouglu $OBQ$ je ${BQ=OB\cdot\operatorname{tg} x=\operatorname{tg} x}$). Trougao $OBP$ leži unutar isečka $OBP,$ a isečak leži unutar trougla $OBQ\text{:}$

Njihove površine su (osnovica je ${OB=1};$ visine trouglova su $\sin x$ i ${BQ=\operatorname{tg} x}$):

${A_{\triangle OBP}}={\frac{1}{2}\cdot1\cdot\sin x}={\frac{1}{2}\sin x},$   ${A_{\text{isečka}}}={\frac{1}{2}\cdot1^2\cdot x}={\frac{1}{2}x},$   ${A_{\triangle OBQ}}={\frac{1}{2}\cdot1\cdot\operatorname{tg} x}={\frac{1}{2}\operatorname{tg} x},$

pa je

${0}\lt{\frac{1}{2}\sin x}\lt{\frac{1}{2}x}\lt{\frac{1}{2}\operatorname{tg} x}.$

Kada nejednakosti podelimo pozitivnim brojem ${\frac{1}{2}\sin x},$ dobijamo ${1\lt\frac{x}{\sin x}\lt\frac{1}{\cos x}},$ a kada pređemo na recipročne vrednosti (pri čemu se smer nejednakosti menja), dobijamo

${\cos x}\lt{\frac{\sin x}{x}}\lt{1}.$

Ako je ${-\frac{\pi}{2}\lt x\lt0},$ onda je ${0\lt-x\lt\frac{\pi}{2}},$ pa upravo dokazana nejednakost važi za $-x\text{:}$ ${\cos(-x)\lt\frac{\sin(-x)}{-x}\lt1}.$ Pošto je ${\cos(-x)=\cos x}$ i ${\frac{\sin(-x)}{-x}}={\frac{-\sin x}{-x}}={\frac{\sin x}{x}},$ ponovo dobijamo nejednakost ${\cos x\lt\frac{\sin x}{x}\lt1}.$ Dakle, nejednakost važi za svako $x$ za koje je ${0\lt|x|\lt\frac{\pi}{2}}.$ Najzad, ${\lim_{x\to0}\cos x=1}$ i ${\lim_{x\to0}1=1},$ pa je prema teoremi o dva policajca

$$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1.$$

Zapamtite: ovo važi za $x$ izraženo u radijanima, jer je formula za površinu ${\frac{1}{2}r^2\theta}$ tačna samo za ugao meren u radijanima.

Granična vrednost (1 − cos x) / x

Teorema. ${\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x}=0}.$

Dokaz. Brojilac i imenilac pomnožimo izrazom ${1+\cos x}$ i iskoristimo jednakost ${1-\cos^2x=\sin^2x}\text{:}$

${\frac{1-\cos x}{x}}={\frac{1-\cos^2x}{x(1+\cos x)}}={\frac{\sin^2x}{x(1+\cos x)}}={{\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{\sin x}{1+\cos x}}.}$

Kada ${x\to0},$ prvi činilac teži ka $1,$ a drugi ka ${\frac{0}{1+1}=0},$ pa je granična vrednost ${1\cdot0=0}.$

Primena dve granične vrednosti

Primer 3. Nađite ${\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{tg} x}{x}}.$

${\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{tg} x}{x}}={\lim_{x\to0}\left(\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1}{\cos x}\right)}={1\cdot1}={{1}.}$

Primer 4. Nađite ${\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}}.$

Razlomak zapišimo tako da se argument sinusa pojavi i u imeniocu, i uvedimo smenu ${t=3x}$ (${t\to0}$ kada ${x\to0}$):

${\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}}={\lim_{x\to0}3\cdot\frac{\sin3x}{3x}}={3\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}}={{3}.}$

Primer 5. Nađite ${\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}}.$

Kao u prethodnom dokazu, brojilac i imenilac pomnožimo izrazom ${1+\cos x}\text{:}$

${\frac{1-\cos x}{x^2}}={\frac{\sin^2x}{x^2(1+\cos x)}}={{\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2\cdot\frac{1}{1+\cos x}},}$

a ovaj izraz teži ka ${1^2\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}}.$

Zadaci za vežbu

1. Nađite ${\lim_{x\to\pi/6}(\sin x+\cos2x)}.$

Odgovor

Obe funkcije su neprekidne: ${\sin\frac{\pi}{6}+\cos\frac{\pi}{3}}={\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}={1}.$

2. Gde je funkcija ${f(x)=\frac{\operatorname{tg} x}{x}}$ neprekidna?

Odgovor

Za svako $x$ osim ${x=0}$ (imenilac je jednak $0$) i ${x=\frac{\pi}{2}+k\pi}$ (tangens nije definisan). Prekid u tački $0$ je otklonjiv: granična vrednost u toj tački je $1$ (primer 3).

3. Nađite ${\lim_{x\to0}\frac{\sin5x}{x}}.$

Odgovor

${5\lim_{x\to0}\frac{\sin5x}{5x}=5}.$

4. Nađite ${\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{tg}2x}{x}}.$

Odgovor

${\frac{\operatorname{tg}2x}{x}}={{2\cdot\frac{\sin2x}{2x}\cdot\frac{1}{\cos2x}},}$ a ovaj izraz teži ka ${2\cdot1\cdot1=2}.$

5. Nađite ${\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{\sin3x}}.$

Odgovor

${\frac{\sin2x}{\sin3x}}={\frac{\sin2x}{2x}\cdot\frac{3x}{\sin3x}\cdot\frac{2}{3}},$ a ovaj izraz teži ka ${1\cdot1\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{3}}.$

6. Nađite ${\lim_{x\to0}\frac{1-\cos2x}{x^2}}.$

Odgovor

${1-\cos2x=2\sin^2x},$ pa je razlomak jednak ${2\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2},$ a to teži ka $2.$

7. Pomoću teoreme o dva policajca nađite ${\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}}.$

Odgovor

${\left|x\sin\frac{1}{x}\right|\le|x|},$ pa je ${-|x|\le x\sin\frac{1}{x}\le|x|}.$ I ${-|x|}$ i $|x|$ teže ka $0,$ pa je granična vrednost $0.$

8. Nađite ${\lim_{x\to+\infty}\frac{\sin x}{x}}.$

Odgovor

Za ${x\gt0}$ važi ${-\frac{1}{x}\le\frac{\sin x}{x}\le\frac{1}{x}},$ a oba krajnja izraza teže ka $0.$ Prema teoremi o dva policajca (koja važi i kada ${x\to+\infty}$) granična vrednost je $0.$

Prethodna lekcija: Osobine neprekidnih funkcija. Pogledajte i lekciju Granične vrednosti (intuitivni uvod), u kojoj smo ${\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1}$ prvi put naslutili na osnovu tabele.