Osobine neprekidnih funkcija

Intuitivno, funkcija je neprekidna ako njen grafik može da se nacrta bez podizanja olovke sa papira: bez rupa, bez skokova, bez prekida. U ovoj lekciji tu intuitivnu predstavu pretvaramo u preciznu definiciju zasnovanu na graničnim vrednostima (pogledajte Granične vrednosti i metode izračunavanja) i učimo koje su funkcije neprekidne i čemu nam neprekidnost služi.

Na ovoj stranici: Neprekidnost u tački · Vrste prekida · Na intervalu · Polinomi i racionalne funkcije · Složene funkcije · Jednostrana neprekidnost · Teorema o međuvrednosti · Zadaci za vežbu

Neprekidnost u tački

Da li je funkcija neprekidna u tački $c,$ lako se vidi na njenom grafiku. Evo četiri tipična načina na koja grafik može da se prekine u tački ${x=c}\text{:}$

• Na prvoj slici funkcija $f$ nije definisana u tački $c\text{:}$ grafik ima rupu.

• Na drugoj slici leva i desna granična vrednost su različite, pa ${\lim_{x\to c}f(x)}$ ne postoji: grafik skače.

• Na trećoj slici je vrednost $f(c)$ definisana, ali vrednosti $f(x)$ neograničeno rastu u blizini tačke $c\text{:}$ granična vrednost ne postoji (beskonačna je).

• Na četvrtoj slici granična vrednost postoji i vrednost $f(c)$ je definisana, ali su ta dva broja različita.

Funkcija je neprekidna u tački $c$ kada se ne dešava ništa od ovoga:

Ako nije ispunjen bar jedan od ovih uslova, funkcija $f$ je prekidna u tački $c$ (ima prekid u toj tački), a $c$ je tačka prekida funkcije $f.$ Ukratko, $f$ je neprekidna u tački $c$ ako granična vrednost u tački $c$ može da se nađe prostom zamenom ${x=c}.$

Primer 1. Funkcija ${f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}}$ ima prekid u tački ${x=2},$ jer vrednost $f(2)$ nije definisana (nije ispunjen uslov 1). Definišimo sada novu funkciju tako što ćemo rupu popuniti vrednošću $3\text{:}$

$$g(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-4}{x-2}, & \text{za } x\ne2,\\ 3, & \text{za } x=2.\end{cases}$$

Sada je vrednost ${g(2)=3}$ definisana i

${\lim_{x\to2}g(x)}={\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}}={\lim_{x\to2}(x+2)}={{4}.}$

Granična vrednost postoji, ali ${\lim_{x\to2}g(x)\ne g(2)},$ pa funkcija $g$ i dalje ima prekid u tački $2$ (nije ispunjen uslov 3). Da smo izabrali ${g(2)=4},$ funkcija bi bila neprekidna u tački $2.$

Vrste prekida

Vrsta	Ponašanje u tački $c$	Primer
otklo­njiv	granična vrednost postoji, ali vrednost $f(c)$ nije definisana ili se od nje razlikuje	${\frac{x^2-4}{x-2}}$ u tački ${x=2}$
skok	obe jednostrane granične vrednosti postoje, ali su različite	${\frac{|x|}{x}}$ u tački ${x=0}$
beskona­čan	bar jedna jednostrana granična vrednost je $+\infty$ ili $-\infty$	${\frac{1}{x^2}}$ u tački ${x=0}$

Otklonjiv prekid može da se „popravi“ tako što se jedna vrednost funkcije definiše ili promeni, kao u primeru 1. Skok i beskonačan prekid ne mogu tako da se otklone. Otklonjivi prekidi i skokovi zajedno se nazivaju prekidi prve vrste.

Nije svaki prekid jedne od ove tri vrste. Na primer, funkcija ${\sin\frac{1}{x}}$ beskonačno mnogo puta osciluje između $-1$ i $1$ u blizini tačke $0,$ pa u tački $0$ ne postoji nijedna od jednostranih graničnih vrednosti (pogledajte sledeću lekciju).

Neprekidnost na intervalu

Funkcija je neprekidna na otvorenom intervalu $(a,\,b)$ ako je neprekidna u svakoj tački intervala $(a,\,b).$ Za funkciju koja je neprekidna u svakoj tački brojevne prave, tj. na ${(-\infty,\,+\infty)},$ kažemo da je neprekidna svuda ili, jednostavno, da je neprekidna funkcija.

Neprekidnost polinoma i racionalnih funkcija

Primer 2. Neka je ${f(x)=x^2-2x+1}$ i neka je $c$ bilo koji realan broj. Prema osobinama graničnih vrednosti,

${\lim_{x\to c}f(x)}={\lim_{x\to c}(x^2-2x+1)}={c^2-2c+1}={{f(c)}.}$

Dakle, $f$ je neprekidna u svakoj tački $c\text{:}$ to je neprekidna funkcija. Isto rasuđivanje važi za svaki polinom:

Teorema. Polinomi su neprekidne funkcije: ako je $p$ polinom i $c$ bilo koji realan broj, onda je ${\lim_{x\to c}p(x)=p(c)}.$

Primer 3. Pokažite da je funkcija ${f(x)=|x|}$ neprekidna svuda.

$$|x|=\begin{cases}x, & \text{za } x\ge0,\\ -x, & \text{za } x\lt0.\end{cases}$$

• Ako je ${c\gt0},$ onda su u blizini tačke $c$ i vrednosti $x$ pozitivne, pa je tu ${f(x)=x}$ i ${\lim_{x\to c}|x|}={\lim_{x\to c}x}={c}={{f(c)}.}$

• Ako je ${c\lt0},$ onda su u blizini tačke $c$ vrednosti $x$ negativne, pa je tu ${f(x)=-x}$ i ${\lim_{x\to c}|x|}={\lim_{x\to c}(-x)}={-c}={{f(c)}.}$

• Ako je ${c=0},$ posmatramo obe strane: ${\lim_{x\to+0}|x|}={\lim_{x\to+0}x}={0}$ i ${\lim_{x\to-0}|x|}={\lim_{x\to-0}(-x)}={{0}.}$ Obe jednostrane granične vrednosti jednake su $0,$ pa je ${\lim_{x\to0}|x|}={0}={f(0)}.$

Dakle, $|x|$ je neprekidna u svakoj tački, čak i u temenu svog grafika.

Neprekidnost se čuva pri četiri računske operacije:

Dokaz (za proizvod; ostali slučajevi su slični). Pošto su $f$ i $g$ neprekidne u tački $c,$ važi ${\lim_{x\to c}f(x)=f(c)}$ i ${\lim_{x\to c}g(x)=g(c)}.$ Prema osobini graničnih vrednosti za proizvod,

${\lim_{x\to c}[f(x)\cdot g(x)]}={\lim_{x\to c}f(x)\cdot\lim_{x\to c}g(x)}={{f(c)\cdot g(c)},}$

a to je vrednost funkcije ${f\cdot g}$ u tački $c.$

Racionalna funkcija je količnik dva polinoma, a polinomi su neprekidni. Zato je racionalna funkcija neprekidna u svakoj tački u kojoj njen imenilac nije jednak $0$, a prekidna u nulama imenioca.

Primer 4. Gde je funkcija ${h(x)=\frac{x^2-9}{x^2-5x+6}}$ neprekidna?

Imenilac je ${x^2-5x+6}={(x-2)(x-3)}$ i jednak je $0$ za ${x=2}$ i ${x=3}.$ Dakle, $h$ je neprekidna svuda osim u tačkama ${x=2}$ i ${x=3}.$ Ta dva prekida su različitih vrsta. Za ${x\ne3}$ važi

${h(x)}={\frac{(x-3)(x+3)}{(x-2)(x-3)}}={{\frac{x+3}{x-2}},}$

pa je ${\lim_{x\to3}h(x)=6}\text{:}$ u tački ${x=3}$ prekid je otklonjiv (rupa u tački $(3,\,6)$). U tački ${x=2}$ brojilac ${x+3}$ teži ka $5,$ a imenilac ka $0\text{:}$ prekid je beskonačan, a prava ${x=2}$ je vertikalna asimptota.

Neprekidnost složene funkcije

Rečima: znak limesa može da se „unese“ u neprekidnu funkciju. Na primer, funkcije ${f(x)=|x|}$ i ${g(x)=5-x^2}$ neprekidne su svuda, pa je i funkcija ${|5-x^2|}$ neprekidna svuda, a

${\lim_{x\to3}|5-x^2|}={\left|\lim_{x\to3}(5-x^2)\right|}={|{-4}|}={{4}.}$

Kvadratni koren ${\sqrt{x}}$ neprekidan je za svako ${x\gt0}$ (a u tački $0$ neprekidan je zdesna, pogledajte sledeći odeljak). Zato je

${\lim_{x\to3}\sqrt{x^2+7}}={\sqrt{\lim_{x\to3}(x^2+7)}}={\sqrt{16}}={{4}.}$

Jednostrana neprekidnost i neprekidnost na zatvorenom intervalu

Krajnjoj tački intervala promenljiva $x$ može da se približava samo sa jedne strane. Za to koristimo jednostrane granične vrednosti.

Sleva u tački $c$	Zdesna u tački $c$
vrednost $f(c)$ je definisana	vrednost $f(c)$ je definisana
${\lim_{x\to c-0}f(x)}$ postoji	${\lim_{x\to c+0}f(x)}$ postoji
${\lim_{x\to c-0}f(x)}={f(c)}$	${\lim_{x\to c+0}f(x)}={f(c)}$

Funkcija je neprekidna u tački $c$ ako i samo ako je u tački $c$ neprekidna i sleva i zdesna.

Na prvoj slici nije ispunjen uslov 2, na drugoj slici nije ispunjen uslov 3, a funkcija na trećoj slici neprekidna je na $[a,\,b].$

Primer 5. Pokažite da je funkcija ${f(x)=\sqrt{9-x^2}}$ neprekidna na $[-3,\,3].$

Funkcija je definisana za ${9-x^2\ge0},$ tj. za ${-3\le x\le3}.$ Za svako $c$ iz intervala $(-3,\,3),$ prema teoremi o neprekidnosti složene funkcije,

${\lim_{x\to c}\sqrt{9-x^2}}={\sqrt{\lim_{x\to c}(9-x^2)}}={\sqrt{9-c^2}}={{f(c)},}$

pa je $f$ neprekidna na $(-3,\,3).$ Na krajevima koristimo jednostrane granične vrednosti (funkcija nije definisana desno od $3$ ni levo od $-3$). Kada ${x\to3-0}$ ili ${x\to-3+0},$ broj ${9-x^2}$ teži ka $0$ uzimajući pozitivne vrednosti, pa i njegov kvadratni koren teži ka $0\text{:}$

${\lim_{x\to3-0}\sqrt{9-x^2}}={0}={{f(3)},}$   ${\lim_{x\to-3+0}\sqrt{9-x^2}}={0}={{f(-3)}.}$

Dakle, $f$ je neprekidna sleva u tački $3$ i zdesna u tački $-3,$ pa je neprekidna na $[-3,\,3].$ Njen grafik je gornja polovina kružnice ${x^2+y^2=9}.$

Teorema o međuvrednosti

Teorema o međuvrednosti. Ako je $f$ neprekidna na zatvorenom intervalu $[a,\,b]$ i ako je $k$ bilo koji broj između $f(a)$ i $f(b),$ uključujući i te dve vrednosti, onda postoji bar jedan broj $c$ u intervalu $[a,\,b]$ takav da je ${f(c)=k}.$

Geometrijski: grafik neprekidne funkcije koji ide od visine $f(a)$ do visine $f(b)$ mora bar jednom da preseče svaku horizontalnu pravu ${y=k}$ između te dve visine (na slici tri puta). Neprekidnost je ovde bitna: funkcija sa skokom može da preskoči neku vrednost. Na primer, ${\frac{|x|}{x}}$ uzima vrednosti $-1$ i $1$ na intervalu $[-1,\,1],$ ali nikada ne uzima vrednost $0;$ ta funkcija nije neprekidna na $[-1,\,1].$

Najvažniji poseban slučaj je vrednost ${k=0}\text{:}$

Bolcanova teorema (o nulama neprekidne funkcije). Ako je $f$ neprekidna na $[a,\,b],$ a $f(a)$ i $f(b)$ imaju suprotne znakove, onda jednačina ${f(x)=0}$ ima bar jedno rešenje u intervalu $(a,\,b).$

Primer 6. Pokažite da jednačina ${x^3-x-1=0}$ ima rešenje između $1$ i $2$ i nađite ga približno.

Leva strana ne može lako da se rastavi na činioce, pa jednačinu ne možemo da rešimo na taj način. Ali ${f(x)=x^3-x-1}$ je polinom, dakle neprekidna funkcija, i

${f(1)}={1-1-1}={-1}\lt{0},$   ${f(2)=8-2-1=5\gt0}.$

Prema Bolcanovoj teoremi postoji rešenje u intervalu $(1,\,2).$

Možemo da ga nađemo sa proizvoljnom tačnošću tako što interval iznova i iznova delimo na pola: to je metod polovljenja intervala (bisekcija). Počinjemo od intervala $[1,\,2],$ računamo vrednost funkcije $f$ u njegovom središtu i zadržavamo onu polovinu na kojoj $f$ menja znak:

Središte $m$	$f(m)$	Rešenje je u
1,5	0,875	[1; 1,5]
1,25	−0,297	[1,25; 1,5]
1,375	0,225	[1,25; 1,375]
1,3125	−0,052	[1,3125; 1,375]
1,34375	0,083	[1,3125; 1,34375]

Nastavljajući postupak, dobijamo rešenje ${x\approx1{,}3247}.$ To je jedino rešenje u intervalu $(1,\,2),$ jer je $f$ tamo rastuća: za ${1\le x_1\lt x_2}$ važi ${f(x_2)-f(x_1)}={(x_2-x_1)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2-1)}\gt{{0}.}$

Zadaci za vežbu

1. Da li je funkcija ${f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}}$ neprekidna u tački ${x=1}?$ Kolika treba da bude vrednost $f(1)$ da bi funkcija bila neprekidna?

Odgovor

Nije: vrednost $f(1)$ nije definisana. ${\lim_{x\to1}f(x)}={\lim_{x\to1}(x+1)}={{2},}$ pa ako definišemo ${f(1)=2},$ funkcija $f$ postaje neprekidna u tački $1$ (otklonjiv prekid).

2. Da li je funkcija

$$f(x)=\begin{cases}x+1, & \text{za } x\lt2,\\ 7-x^2, & \text{za } x\ge2\end{cases}$$

neprekidna u tački ${x=2}?$

Odgovor

${\lim_{x\to2-0}f(x)=3}$ i ${\lim_{x\to2+0}f(x)}={7-4}={3}={{f(2)}.}$ Obe jednostrane granične vrednosti jednake su $f(2),$ pa je $f$ neprekidna u tački $2.$

3. Nađite vrednost parametra $a$ za koju je funkcija

$$f(x)=\begin{cases}ax+3, & \text{za } x\lt1,\\ x^2+2a, & \text{za } x\ge1\end{cases}$$

neprekidna svuda.

Odgovor

Oba dela su polinomi, pa treba proveriti samo tačku ${x=1}\text{:}$ leva granična vrednost je ${a+3},$ a desna granična vrednost i $f(1)$ jednake su ${1+2a}.$ Ti izrazi su jednaki kada je ${a+3=1+2a},$ tj. za ${a=2}.$

4. Gde je funkcija ${f(x)=\frac{x}{x^2+1}}$ neprekidna?

Odgovor

Svuda: imenilac ${x^2+1}$ nikada nije jednak $0.$

5. Nađite tačke prekida funkcije ${f(x)=\frac{x+1}{x^2-4x-5}}$ i odredite koji su od tih prekida otklonjivi.

Odgovor

${{x^2-4x-5=(x-5)(x+1)}\text{:}}$ funkcija ima prekide u tačkama ${x=-1}$ i ${x=5}.$ Za ${x\ne-1}$ je ${f(x)=\frac{1}{x-5}},$ pa je granična vrednost u tački $-1$ jednaka ${-\frac{1}{6}}\text{:}$ prekid je otklonjiv. U tački ${x=5}$ prekid je beskonačan.

6. Nađite ${\lim_{x\to2}\sqrt{x^3+1}}$ i ${\lim_{x\to-1}|x^3-3x|}.$

Odgovor

Zbog neprekidnosti: ${\sqrt{8+1}}={3}$ i ${|{-1}+3|}={2}.$

7. Da li je funkcija ${f(x)=\sqrt{x-1}}$ neprekidna na $[1,\,5]?$

Odgovor

Jeste. Na $(1,\,5)$ je neprekidna prema teoremi o neprekidnosti složene funkcije, jer je tamo ${x-1\gt0},$ a koren $\sqrt{x}$ je neprekidan za sve pozitivne vrednosti argumenta; na levom kraju je ${\lim_{x\to1+0}\sqrt{x-1}}={0}={{f(1)},}$ a na desnom kraju ${\lim_{x\to5-0}\sqrt{x-1}}={2}={{f(5)}.}$

8. Pokažite da jednačina ${x^3+2x-5=0}$ ima rešenje u intervalu $(1,\,2).$

Odgovor

Funkcija ${f(x)=x^3+2x-5}$ je neprekidna, ${f(1)=-2\lt0}$ i ${f(2)=7\gt0}.$ Prema Bolcanovoj teoremi postoji rešenje u intervalu $(1,\,2)$ (to je ${x\approx1{,}3283}$).

9. Pokažite da jednačina ${x^5=x+3}$ ima rešenje.

Odgovor

Neka je ${f(x)=x^5-x-3};$ to je neprekidna funkcija. ${f(1)=-3\lt0}$ i ${f(2)}={32-2-3}={27}\gt{0},$ pa postoji rešenje u intervalu $(1,\,2).$

Sledeća lekcija: Granične vrednosti i neprekidnost trigonometrijskih funkcija. Prethodna lekcija: Granične vrednosti i metode izračunavanja.