Granične vrednosti i metode izračunavanja

U lekciji Granične vrednosti (intuitivni uvod) granične vrednosti smo naslućivali na osnovu tabela i grafika. Ovde ćemo ih tačno izračunavati. U ovoj lekciji obrađujemo:

• granične vrednosti dve vrlo jednostavne funkcije: konstantne funkcije i funkcije ${y=x};$
• osobine graničnih vrednosti, pomoću kojih iz ove dve granične vrednosti dobijamo granične vrednosti komplikovanijih funkcija;
• algebarske postupke za slučajeve u kojima osobine ne mogu direktno da se primene: rastavljanje na činioce, množenje konjugovanim izrazom, ispitivanje znaka, vodeći članovi.

Na ovoj stranici: Dve osnovne granične vrednosti · Osobine graničnih vrednosti · Polinomi · Racionalne funkcije · Neodređeni oblik 0/0 · Broj podeljen nulom · Limesi u beskonačnosti · Plan rešavanja · Zadaci za vežbu

Dve osnovne granične vrednosti

Počinjemo od dve funkcije:

• ${f(x)=k},$ konstantna funkcija ($k$ je fiksan broj); njen grafik je horizontalna prava;

• ${g(x)=x};$ njen grafik je prava kroz koordinatni početak sa koeficijentom pravca $1.$

Konstantna funkcija ${f(x)=k}$

Za svako $x$ vrednost konstantne funkcije jednaka je $k.$ Zato, i kada $x$ teži ka bilo kom broju $a,$ i kada neograničeno raste ili neograničeno opada, vrednost funkcije ostaje $k\text{:}$

Granična vrednost	Primeri
${\lim_{x\to a}k=k}$	${\lim_{x\to2}3=3},$   ${\lim_{x\to-2}3=3}$
${\lim_{x\to+\infty}k=k}$	${\lim_{x\to+\infty}3=3},$   ${\lim_{x\to+\infty}0=0}$
${\lim_{x\to-\infty}k=k}$	${\lim_{x\to-\infty}3=3},$   ${\lim_{x\to-\infty}0=0}$

Funkcija ${g(x)=x}$

Vrednost ove funkcije je sam broj $x.$ Ako $x$ teži ka $a,$ vrednost funkcije teži ka $a.$ Ako $x$ neograničeno raste, neograničeno raste i vrednost funkcije, a ako $x$ neograničeno opada, neograničeno opada i vrednost funkcije:

Granična vrednost
${\lim_{x\to a}x=a}$
${\lim_{x\to+\infty}x=+\infty}$
${\lim_{x\to-\infty}x=-\infty}$

Osobine graničnih vrednosti

Rečima: granična vrednost zbira jednaka je zbiru graničnih vrednosti, granična vrednost proizvoda jednaka je proizvodu graničnih vrednosti i tako dalje, pod uslovom da pojedinačne granične vrednosti postoje (a kod količnika i da granična vrednost imenioca nije $0$).

Napomena. Osobine a) i v) formulisane su za dve funkcije, ali važe za bilo koji konačan broj funkcija. Ako postoje sve granične vrednosti ${\lim f_1(x)},$ ${\lim f_2(x)},$ …, ${\lim f_n(x)},$ onda je

${\lim\,[f_1(x)+\ldots+f_n(x)]}={{\lim f_1(x)+\ldots+\lim f_n(x)},}$

${\lim\,[f_1(x)\cdot\ldots\cdot f_n(x)]}={{\lim f_1(x)\cdot\ldots\cdot\lim f_n(x)}.}$

Ako su $f_1,$ $f_2,$ …, $f_n$ jedna te ista funkcija $f,$ druga formula daje graničnu vrednost stepena (za ${n=1},$ $2,$ $3,$ …, ako ${\lim f(x)}$ postoji):

$$\lim\,[f(x)]^n=\left[\lim f(x)\right]^n.$$

Dve korisne posledice:

A) ${\lim_{x\to a}x^n}={\left[\lim_{x\to a}x\right]^n}={a^n},$   za ${n=1},$ $2,$ $3,$ …;

B) ${\lim\,[k\cdot g(x)]}={\lim k\cdot\lim g(x)}={{k\cdot\lim g(x)},}$ gde je $k$ konstanta: konstantni činilac može da se izvuče ispred znaka limesa.

Granične vrednosti polinoma

Polinom je funkcija oblika

${p(x)}={c_0+c_1x+c_2x^2}+{\ldots+c_nx^n,}$

gde su $c_0,$ $c_1,$ …, $c_n$ konstante (brojevi).

Primer 1. Nađite ${\lim_{x\to5}(x^2-4x+3)}.$

${\lim_{x\to5}(x^2-4x+3)}={\lim_{x\to5}x^2-4\lim_{x\to5}x+\lim_{x\to5}3}={5^2-4\cdot5+3}={{8}.}$

Koristili smo osobine a) i b), posledice A i B i graničnu vrednost konstante. Rezultat je vrednost polinoma u tački $5.$ To uvek važi:

Teorema. Za svaki polinom ${p(x)}={c_0+c_1x+\ldots+c_nx^n}$ i svaki realan broj $a$ važi ${\lim_{x\to a}p(x)}={c_0+c_1a+\ldots+c_na^n}={{p(a)}.}$

Dokaz. Primenjujemo osobinu a) za zbir, zatim posledicu B (izvlačenje konstantnog činioca), pa posledicu A:

${\lim_{x\to a}p(x)}={\lim_{x\to a}c_0+\lim_{x\to a}c_1x}+{\ldots+\lim_{x\to a}c_nx^n}={c_0+c_1\lim_{x\to a}x}+{\ldots+c_n\lim_{x\to a}x^n}={c_0+c_1a+\ldots+c_na^n}={{p(a)}.}$

Dakle, granična vrednost polinoma u tački nalazi se zamenom.

Granične vrednosti racionalnih funkcija

Racionalna funkcija je količnik dva polinoma, ${r(x)=\frac{p(x)}{q(x)}}.$ Ako je ${q(a)\ne0},$ iz osobine g) za količnik i gornje teoreme dobijamo

$$\lim_{x\to a}\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{p(a)}{q(a)}.$$

Primer 2.

${\lim_{x\to2}\frac{5x^3+4}{x-3}}={\frac{\lim_{x\to2}(5x^3+4)}{\lim_{x\to2}(x-3)}}={\frac{5\cdot2^3+4}{2-3}}={\frac{44}{-1}}={{-44}.}$

Ako je ${q(a)=0},$ osobina za količnik ne može da se primeni i postoje dva slučaja:

• ${p(a)=0}$ (i brojilac je jednak nuli): „neodređeni oblik ${\frac{0}{0}}$“. Granična vrednost može biti bilo koji broj, $+\infty$ ili $-\infty,$ a može i da ne postoji. Izraz prvo moramo da uprostimo.

• ${p(a)\ne0}\text{:}$ „oblik ${\frac{\text{broj}}{0}}$“. Apsolutne vrednosti razlomka neograničeno rastu, a jednostrane granične vrednosti su $+\infty$ ili $-\infty.$

Neodređeni oblik $0/0\text{:}$ prvo uprostite

Primer 3. Nađite ${\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}}.$

Za ${x=2}$ i brojilac i imenilac jednaki su $0.$ Ali granična vrednost zavisi samo od vrednosti za ${x\ne2},$ pa smemo da skratimo zajednički činilac ${x-2}\text{:}$

${\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}}={\lim_{x\to2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}}={\lim_{x\to2}(x+2)}={{4}.}$

Funkcija nije definisana za ${x=2}\text{:}$ njen grafik je prava ${y=x+2}$ sa izostavljenom tačkom $(2,\,4).$ Ipak, granična vrednost je $4.$

Primer 4.

${\lim_{x\to3}\frac{x^2-5x+6}{x^2-9}}={\lim_{x\to3}\frac{(x-2)(x-3)}{(x-3)(x+3)}}={\lim_{x\to3}\frac{x-2}{x+3}}={{\frac{1}{6}}.}$

Ako je $a$ koren oba polinoma, oba su deljiva sa ${x-a}$ (pogledajte Hornerovu šemu), pa činilac ${x-a}$ uvek može da se skrati. Ako ponovo dobijete ${\frac{0}{0}},$ skratite još jednom činilac ${x-a}.$

Primer 5 (kvadratni koren: množenje konjugovanim izrazom). Nađite ${\lim_{x\to4}\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}}.$

Ponovo dobijamo ${\frac{0}{0}}.$ Brojilac i imenilac množimo konjugovanim izrazom ${\sqrt{x}+2}$ i koristimo ${{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)=x-4}\text{:}}$

${\lim_{x\to4}\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}}={\lim_{x\to4}\frac{x-4}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}}={\lim_{x\to4}\frac{1}{\sqrt{x}+2}}={{\frac{1}{4}}.}$

Broj različit od nule podeljen sa $0\text{:}$ beskonačne granične vrednosti

Najjednostavniji primer je funkcija ${\frac{1}{x}}$ u tački ${x=0}.$ Granične vrednosti navedene ispod naslućujemo na osnovu njenog grafika i tabele.

$x$	${\frac{1}{x}}$	Zaključak
1; 0,1; 0,01; 0,001; …	1; 10; 100; 1000; …	${\lim_{x\to+0}\frac{1}{x}=+\infty}$
−1; −0,1; −0,01; −0,001; …	−1; −10; −100; −1000; …	${\lim_{x\to-0}\frac{1}{x}=-\infty}$
1; 10; 100; 1000; …	1; 0,1; 0,01; 0,001; …	${\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0}$
−1; −10; −100; −1000; …	−1; −0,1; −0,01; −0,001; …	${\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0}$

Za svaki realan broj $a$ grafik funkcije ${g(x)=\frac{1}{x-a}}$ dobija se pomeranjem grafika funkcije ${f(x)=\frac{1}{x}}$ za $a$ jedinica udesno ako je ${a\gt0},$ odnosno za $|a|$ jedinica ulevo ako je ${a\lt0}.$ Zato je

${\lim_{x\to a-0}\frac{1}{x-a}=-\infty},$   ${\lim_{x\to a+0}\frac{1}{x-a}=+\infty},$   ${\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x-a}=0},$   ${\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x-a}=0}.$

Uopšte, ako brojilac teži ka broju ${L\ne0},$ a imenilac ka $0,$ apsolutna vrednost razlomka neograničeno raste. Ako razlomak sa jedne strane tačke $a$ zadržava isti znak (kod racionalne funkcije to je uvek tako), taj znak određuje da li je granična vrednost sa te strane $+\infty$ ili $-\infty.$

Primer 6. Nađite ${\lim_{x\to4+0}\frac{2-x}{(x-4)(x+2)}}.$

Za ${x=4}$ brojilac je ${2-4=-2},$ a imenilac je $0.$ Označimo na brojevnoj pravoj nulu brojioca ($2$) i nule imenioca ($-2$ i $4$). Za velike vrednosti $x$ razlomak je negativan (vodeći članovi brojioca i imenioca daju ${\frac{-x}{x^2}}={-\frac{1}{x}}$), a znak se menja u svakoj označenoj tački, jer svaka od njih potiče od činioca na prvi stepen (činilac kao što je ${(x-2)^2}$ ne bi menjao znak):

Za $x$ nešto veće od $4$ brojilac je blizu $-2$ (negativan je), ${x-4}$ je mali pozitivan broj, a ${x+2}$ je blizu $6$ (pozitivan je). Dakle, imenilac je mali pozitivan broj, a razlomak je negativan broj velike apsolutne vrednosti:

$$\lim_{x\to4+0}\frac{2-x}{(x-4)(x+2)}=-\infty.$$

Za $x$ nešto manje od $4$ činilac ${x-4}$ je negativan, razlomak je pozitivan i ${\lim_{x\to4-0}\frac{2-x}{(x-4)(x+2)}}={+\infty}.$ Jednostrane granične vrednosti su različite, pa dvostrana granična vrednost u tački $4$ ne postoji. Grafik ima vertikalne asimptote ${x=-2}$ i ${x=4}\text{:}$

Granične vrednosti u beskonačnosti

Stepeni promenljive $x$

Za ${n=1},$ $2,$ $3,$ … stepen $x^n$ neograničeno raste kada ${x\to+\infty}.$ Kada ${x\to-\infty},$ paran stepen je pozitivan i neograničeno raste, a neparan stepen je negativan i neograničeno opada:

${\lim_{x\to+\infty}x^n=+\infty},$   ${n=1},$ $2,$ $3,$ …

${\lim_{x\to-\infty}x^n}={\begin{cases}+\infty, & n=2,\ 4,\ 6,\ \ldots\\ -\infty, & n=1,\ 3,\ 5,\ \ldots\end{cases}}$

Množenje pozitivnom konstantom ne menja beskonačnu graničnu vrednost, a množenje negativnom konstantom menja joj znak:

${\lim_{x\to+\infty}2x^5=+\infty},$   ${\lim_{x\to+\infty}(-7x^6)=-\infty},$   ${\lim_{x\to-\infty}2x^5=-\infty},$   ${\lim_{x\to-\infty}(-7x^6)=-\infty}.$

Za ${n=1},$ $2,$ $3,$ … iz formule za graničnu vrednost stepena i gornje tabele dobijamo

${\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^n}}={\left(\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}\right)^n}={{0},}$   ${\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x^n}}={\left(\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}\right)^n}={{0}.}$

U blizini $0$ grafici funkcija ${y=\frac{1}{x^n}}$ izgledaju ovako: za parno $n$ obe grane idu nagore (${\lim_{x\to0}\frac{1}{x^n}=+\infty}$); za neparno $n$ leva grana ide nadole, a desna nagore, kao kod ${y=\frac{1}{x}}$ (${\lim_{x\to-0}\frac{1}{x^n}=-\infty},$ ${\lim_{x\to+0}\frac{1}{x^n}=+\infty}$).

Polinomi u beskonačnosti

Kada ${x\to+\infty}$ ili ${x\to-\infty},$ polinom se ponaša kao svoj član najvišeg stepena (vodeći član). Preciznije, ako je ${c_n\ne0},$ onda je

${\lim_{x\to+\infty}(c_0+c_1x+\ldots+c_nx^n)}={{\lim_{x\to+\infty}c_nx^n},}$

${\lim_{x\to-\infty}(c_0+c_1x+\ldots+c_nx^n)}={{\lim_{x\to-\infty}c_nx^n}.}$

Zašto? Izvucimo $x^n$ ispred zagrade:

${c_0+c_1x+\ldots+c_nx^n}={{x^n\left(\frac{c_0}{x^n}+\ldots+\frac{c_{n-1}}{x}+c_n\right)}.}$

Kada ${x\to\pm\infty},$ svaki razlomak u zagradi teži ka $0,$ pa izraz u zagradi teži ka $c_n,$ a ceo izraz se ponaša kao ${c_nx^n}.$ Na primer, polinom ${p(x)=x^3-6x^2+9x+1}$ i funkcija $x^3$ veoma se razlikuju u blizini koordinatnog početka, ali gledano izdaleka, njihovi grafici se skoro poklapaju:

Razlika ${p(x)-x^3}={-6x^2+9x+1}$ ne teži ka $0\text{:}$ dva grafika se ne približavaju jedan drugom. Razlika je samo mala u poređenju sa $x^3,$ i to je dovoljno da dve funkcije imaju iste granične vrednosti u $+\infty$ i u $-\infty.$

Primer 7. ${\lim_{x\to-\infty}(x^3-6x^2+9x+1)}={\lim_{x\to-\infty}x^3}={-\infty}$   i   ${\lim_{x\to+\infty}(1+5x^3-2x^4)}={\lim_{x\to+\infty}(-2x^4)}={{-\infty}.}$

Racionalne funkcije u beskonačnosti

Ista ideja, primenjena na brojilac i na imenilac, daje brz postupak za racionalne funkcije. Ako je ${c_n\ne0}$ i ${d_m\ne0},$ onda je

${\lim_{x\to\pm\infty}\frac{c_0+c_1x+\ldots+c_nx^n}{d_0+d_1x+\ldots+d_mx^m}}={{\lim_{x\to\pm\infty}\frac{c_nx^n}{d_mx^m}}.}$

Dakle, važni su samo vodeći članovi:

• ako je ${n\lt m}$ (stepen brojioca je manji), granična vrednost je $0;$

• ako je ${n=m},$ granična vrednost je ${\frac{c_n}{d_m}},$ količnik vodećih koeficijenata;

• ako je ${n\gt m},$ granična vrednost je $+\infty$ ili $-\infty;$ koja od njih, određuje znak izraza ${\frac{c_nx^n}{d_mx^m}}.$

Primer 8.

a) ${\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2-x+1}{2x^2+5}}={\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2}{2x^2}}={{\frac{3}{2}}.}$

Isti rezultat dobijamo ako brojilac i imenilac podelimo sa $x^2\text{:}$ izraz ${\frac{3-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}{2+\frac{5}{x^2}}}$ teži ka ${\frac{3-0+0}{2+0}}={\frac{3}{2}}.$

b) ${\lim_{x\to-\infty}\frac{4x+1}{x^2-3}}={\lim_{x\to-\infty}\frac{4x}{x^2}}={\lim_{x\to-\infty}\frac{4}{x}}={{0}.}$

v) ${\lim_{x\to-\infty}\frac{x^3-1}{2x+5}}={\lim_{x\to-\infty}\frac{x^3}{2x}}={\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2}{2}}={{+\infty}.}$

g) ${\lim_{x\to+\infty}\frac{5-2x^3}{x+1}}={\lim_{x\to+\infty}\frac{-2x^3}{x}}={\lim_{x\to+\infty}(-2x^2)}={{-\infty}.}$

Plan za nalaženje granične vrednosti

1. Zamena: stavite ${x=a}.$ Ako je funkcija polinom, racionalna funkcija čiji imenilac nije $0$ u tački $a,$ ili $n$-ti koren ${\sqrt[n]{r(x)}}$ takve funkcije (uz ${r(a)\gt0}$ ako je $n$ paran broj), dobijeni broj je granična vrednost.
2. Ako dobijete ${\frac{\text{broj}}{0}},$ gde je broj ${\ne0},$ jednostrane granične vrednosti su $+\infty$ ili $-\infty\text{:}$ odredite znak razlomka sa svake strane tačke $a.$
3. Ako dobijete ${\frac{0}{0}},$ prvo uprostite izraz: rastavite ga na činioce i skratite ili ga pomnožite konjugovanim izrazom. Zatim ponovo izvršite zamenu.
4. Kada ${x\to\pm\infty},$ zadržite samo vodeće članove (ili brojilac i imenilac podelite najvećim stepenom promenljive $x$ u imeniocu).

Zadaci za vežbu

1. Nađite ${\lim_{x\to-1}(2x^3-x+4)}.$

Odgovor

Zamenom dobijamo ${2(-1)^3-(-1)+4}={-2+1+4}={{3}.}$

2. Nađite ${\lim_{x\to3}\frac{x^2+1}{x-1}}.$

Odgovor

Imenilac nije $0$ u tački $3\text{:}$ ${\frac{9+1}{3-1}}={5}.$

3. Nađite ${\lim_{x\to-3}\frac{x^2+2x-3}{x+3}}.$

Odgovor

Oblik ${\frac{0}{0}}.$ Pošto je ${x^2+2x-3}={(x+3)(x-1)},$ granična vrednost je ${\lim_{x\to-3}(x-1)}={-4}.$

4. Nađite ${\lim_{x\to1}\frac{x^3-1}{x-1}}.$

Odgovor

Pošto je ${x^3-1}={(x-1)(x^2+x+1)},$ granična vrednost je ${1+1+1}={3}.$

5. Nađite ${\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+9}-3}{x}}.$

Odgovor

Brojilac i imenilac pomnožimo konjugovanim izrazom ${\sqrt{x+9}+3}\text{:}$ razlomak postaje ${\frac{x}{x(\sqrt{x+9}+3)}}={{\frac{1}{\sqrt{x+9}+3}},}$ a granična vrednost je ${\frac{1}{3+3}}={\frac{1}{6}}.$

6. Nađite ${\lim_{x\to3-0}\frac{x+1}{x-3}}$ i ${\lim_{x\to3+0}\frac{x+1}{x-3}}.$

Odgovor

Brojilac teži ka $4.$ Za ${x\lt3}$ imenilac je mali negativan broj, pa je granična vrednost $-\infty.$ Za ${x\gt3}$ imenilac je mali pozitivan broj, pa je granična vrednost $+\infty.$

7. Nađite ${\lim_{x\to2}\frac{x+1}{(x-2)^2}}.$

Odgovor

Brojilac teži ka $3,$ a imenilac je sa obe strane mali pozitivan broj, pa je granična vrednost $+\infty.$

8. Nađite ${\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^3-x+7}{5x^3+4x^2}}.$

Odgovor

Stepeni brojioca i imenioca su jednaki, pa je granična vrednost ${\frac{2}{5}}.$

9. Nađite ${\lim_{x\to+\infty}\frac{6x-1}{2x^2+3}}.$

Odgovor

Stepen brojioca je manji, pa je granična vrednost $0.$

10. Nađite ${\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2+1}{x-4}}$ i ${\lim_{x\to-\infty}(1+x^2-4x^5)}.$

Odgovor

${\lim_{x\to-\infty}\frac{x^2}{x}}={\lim_{x\to-\infty}x}={-\infty}.$ ${\lim_{x\to-\infty}(-4x^5)}={+\infty},$ jer je $x^5$ negativno za ${x\lt0}.$

Pogledajte i: Granične vrednosti (intuitivni uvod), Granična vrednost niza i kalkulator asimptota.