MeniGranične vrednosti (intuitivni uvod)
Granična vrednost (limes) je ključni pojam matematičke analize. Grubo rečeno, granična vrednost funkcije u tački je vrednost kojoj se funkcija približava kada se $x$ približava toj tački. Na ovoj stranici videćemo odakle potiču granične vrednosti (iz dva stara geometrijska problema), kako se granična vrednost može naslutiti iz tabele ili sa grafika, gde se pri tome može pogrešiti i šta znače beskonačne granične vrednosti i granične vrednosti u beskonačnosti. Kako se granične vrednosti tačno izračunavaju, objašnjeno je u sledećoj lekciji, Granične vrednosti i metode izračunavanja.
Na ovoj stranici: Dva problema · Tangente · Površine · Granična vrednost iz tabele · Jednostrane granične vrednosti · Numeričke zamke · Beskonačne granične vrednosti · Limesi u beskonačnosti · Pregled oznaka · Zadaci za vežbu
Dva problema koja vode do graničnih vrednosti
Problem tangente. Dati su funkcija $f$ i tačka $P(x_0,\,y_0)$ na njenom grafiku. Treba odrediti jednačinu tangente na grafik u tački $P.$
Problem površine. Data je funkcija $f$ za koju je ${f(x)\ge0}.$ Treba odrediti površinu između grafika funkcije $f$ i intervala $[a,\,b]$ na $x$-osi.
Oba problema izgledaju jednostavno, ali nijedan od njih ne može se rešiti samo algebrom i geometrijom pravih i mnogouglova. Oba se rešavaju pomoću iste nove ideje: granične vrednosti.
Problem tangente
Za kružnicu je tangentu lako definisati: prava je tangenta kružnice ako sa kružnicom ima tačno jednu zajedničku tačku. Takva prava je normalna na poluprečnik povučen do dodirne tačke.
Za druge krive ova definicija ne važi. Na prvoj slici ispod horizontalna prava ima sa parabolom ${x=y^2}$ samo jednu zajedničku tačku $P,$ ali nije tangenta: ona ne dodiruje krivu u tački $P,$ već je seče. Krivu u tački $P$ dodiruje vertikalna prava. Na drugoj slici prava dodiruje krivu u tački $P$ i tu je tangenta, a ipak ima sa krivom još dve zajedničke tačke.
Definicija koja važi i za druge krive koristi sečice. Uzmimo na krivoj još jednu tačku $Q$ i povucimo pravu $PQ.$ Neka se sada tačka $Q$ kreće po krivoj prema tački $P.$ Sečica se okreće i, kako se $Q$ sve više približava tački $P,$ teži nekom graničnom položaju, ako takav položaj postoji. Prava u tom graničnom položaju je tangenta u tački $P.$
Primer 1. Nađite tangentu parabole ${y=x^2}$ u tački $P(1,\,1).$
Uzmimo na paraboli tačku $Q(x,\,x^2),$ gde je ${x\ne1}.$ Koeficijent pravca sečice $PQ$ je
${m_{PQ}}={\frac{x^2-1}{x-1}}={\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}}={{x+1}.}$
Evo koeficijenata pravca sečica za tačke $Q$ koje su sve bliže tački $P,$ sa obe strane:
| $Q$ desno od $P$ | $Q$ levo od $P$ | ||
|---|---|---|---|
| $x$ | ${m_{PQ}}$ | $x$ | ${m_{PQ}}$ |
| 3 | 4 | 0 | 1 |
| 2 | 3 | 0,5 | 1,5 |
| 1,5 | 2,5 | 0,9 | 1,9 |
| 1,1 | 2,1 | 0,99 | 1,99 |
| 1,01 | 2,01 | 0,999 | 1,999 |
| 1,001 | 2,001 | 0,9999 | 1,9999 |
Što je $Q$ bliže tački $P,$ to je koeficijent pravca bliži broju $2.$ Kažemo da je koeficijent pravca tangente granična vrednost koeficijenata pravca sečica kada $x$ teži ka $1,$ i pišemo
$$m=\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=2.$$Tangenta prolazi kroz tačku $P(1,\,1)$ i ima koeficijent pravca $2,$ pa je njena jednačina ${y-1=2(x-1)},$ odnosno ${y=2x-1}.$ Primetite da razlomak ${\frac{x^2-1}{x-1}}$ nije definisan za ${x=1}$ (dobija se ${\frac{0}{0}}$). Granična vrednost zavisi samo od vrednosti u blizini broja $1,$ a nikad od vrednosti u samoj tački $1.$ Koeficijent pravca tangente u nekoj tački naziva se izvod funkcije u toj tački.
Problem površine
Površine nekih ravnih figura mogu se naći tako što ih podelimo na konačno mnogo pravougaonika ili trouglova i saberemo površine delova: ${A=A_1+A_2}$ na levoj slici i ${A=A_1+A_2+A_3}$ na desnoj.
Za oblast sa krivolinijskom stranom, kao što je oblast ispod grafika funkcije $f$ između ${x=a}$ i ${x=b},$ to nije moguće: nju ne možemo tačno popuniti konačnim brojem pravougaonika ili trouglova.
Umesto toga, površinu računamo približno. Podelimo interval $[a,\,b]$ na $n$ delova jednake širine i nad svakim delom postavimo pravougaonik što je moguće viši, ali tako da i dalje bude ispod krive (upisani pravougaonik). Zbir površina tih pravougaonika nešto je manji od površine oblasti. Kako $n$ raste, pravougaonici postaju sve uži, praznine između njih i krive se smanjuju, a zbirovi se približavaju tačnoj površini kao graničnoj vrednosti.
Primer 2. Nađite površinu ispod grafika ${y=x^2}$ između ${x=0}$ i ${x=1}.$
Podelimo interval $[0,\,1]$ na $n$ delova širine ${\frac{1}{n}}.$ Upisani pravougaonici imaju visine ${(k/n)^2}$ za ${k=0},$ $1,$ …, ${n-1}.$ Pravougaonici koji pokrivaju oblast imaju visine ${(k/n)^2}$ za ${k=1},$ $2,$ …, $n;$ njihova ukupna površina nešto je veća od površine oblasti. Pomoću formule
${1^2+2^2+\ldots+m^2}={{\frac{m(m+1)(2m+1)}{6}},}$
nalazimo zbir $s_n$ površina upisanih pravougaonika i zbir $S_n$ površina pravougaonika koji pokrivaju oblast:
${s_n=\frac{(n-1)(2n-1)}{6n^2}}$ i ${S_n=\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}}.$
| $n$ | $s_n$ (ispod krive) | $S_n$ (pokrivaju oblast) |
|---|---|---|
| 4 | 0,21875 | 0,46875 |
| 10 | 0,285 | 0,385 |
| 100 | 0,32835 | 0,33835 |
| 1000 | 0,3328335 | 0,3338335 |
Za svako $n$ površina je između $s_n$ i $S_n,$ a oba zbira teže ka ${\frac{1}{3}}.$ Dakle, površina je tačno ${\frac{1}{3}}.$ Broj dobijen kao ovakva granična vrednost zbirova naziva se (određeni) integral; ovde je to integral funkcije $x^2$ od $0$ do $1.$
Naslućivanje granične vrednosti iz tabele
Posmatrajmo funkciju
$$f(x)=\frac{\sin x}{x},$$gde je $x$ izraženo u radijanima. Ova funkcija nije definisana za ${x=0},$ jer se tu dobija ${\frac{0}{0}}.$ Šta se dešava sa $f(x)$ kada je $x$ blizu $0?$ Pomoću kalkulatora podešenog na radijane dobijamo:
| $x$ | ${\frac{\sin x}{x}}$ | $x$ | ${\frac{\sin x}{x}}$ |
|---|---|---|---|
| 1,0 | 0,84147 | −1,0 | 0,84147 |
| 0,8 | 0,89670 | −0,8 | 0,89670 |
| 0,6 | 0,94107 | −0,6 | 0,94107 |
| 0,4 | 0,97355 | −0,4 | 0,97355 |
| 0,2 | 0,99335 | −0,2 | 0,99335 |
| 0,01 | 0,99998 | −0,01 | 0,99998 |
Vrednosti za $x$ i $-x$ su jednake, jer je ${\frac{\sin(-x)}{-x}}={\frac{-\sin x}{-x}}={\frac{\sin x}{x}}.$ Kada se $x$ približava broju $0$ sleva ili zdesna, $f(x)$ se približava broju $1.$
Kažemo da je granična vrednost funkcije $f(x)$ kada $x$ teži ka $0$ jednaka $1,$ i pišemo
$$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1.$$Tabela samo nagoveštava ovaj rezultat; on se dokazuje u matematičkoj analizi. To je jedna od najvažnijih graničnih vrednosti i u udžbenicima se naziva „prva značajna granična vrednost“ (prvi značajni limes). Primetite da $f(0)$ nije definisano: na grafiku je tačka $(0,\,1)$ izostavljena. Granična vrednost opisuje vrednosti funkcije $f$ u blizini tačke $0,$ a ne u samoj tački $0.$
Granična vrednost (neformalna definicija). Pišemo ${\lim_{x\to a}f(x)=L}$ i kažemo „granična vrednost funkcije $f(x)$ kada $x$ teži ka $a$ jednaka je $L$“ ako se vrednosti $f(x)$ mogu proizvoljno približiti broju $L$ tako što uzmemo $x$ dovoljno blizu $a,$ ali različito od $a.$
Funkcija čak ne mora biti definisana u tački $a;$ dovoljno je da bude definisana u tačkama u blizini $a.$ A ako je definisana i u samoj tački, vrednost $f(a)$ ne igra nikakvu ulogu: promena vrednosti $f(a)$ ne menja graničnu vrednost.
Jednostrane i dvostrane granične vrednosti
Ponekad je važno sa koje se strane $x$ približava broju $a.$ Ako se $x$ približava broju $a$ uzimajući vrednosti veće od $a$ (zdesna), pišemo ${x\to a+0}.$ Ako se $x$ približava broju $a$ uzimajući vrednosti manje od $a$ (sleva), pišemo ${x\to a-0}.$
| Oznaka | Kako se čita |
|---|---|
| ${\lim_{x\to a+0}f(x)=L_1}$ | Granična vrednost funkcije $f(x)$ kada $x$ teži ka $a$ zdesna jednaka je $L_1$ (desna granična vrednost) |
| ${\lim_{x\to a-0}f(x)=L_2}$ | Granična vrednost funkcije $f(x)$ kada $x$ teži ka $a$ sleva jednaka je $L_2$ (leva granična vrednost) |
| ${\lim_{x\to a}f(x)=L}$ | Granična vrednost funkcije $f(x)$ kada $x$ teži ka $a$ jednaka je $L$ (dvostrana granična vrednost) |
Za funkciju iz prethodnog odeljka tabela nagoveštava da je ${\lim_{x\to+0}\frac{\sin x}{x}=1}$ (desna granična vrednost) i ${\lim_{x\to-0}\frac{\sin x}{x}=1}$ (leva granična vrednost).
Dvostrana granična vrednost ${\lim_{x\to a}f(x)}$ postoji i jednaka je $L$ ako i samo ako obe jednostrane granične vrednosti postoje i jednake su $L.$
Primer 3. Neka je ${f(x)=\frac{|x|}{x}}.$ Za ${x\gt0}$ je ${|x|=x},$ pa je ${f(x)=1}.$ Za ${x\lt0}$ je ${|x|=-x},$ pa je ${f(x)=-1}.$ Prema tome,
${\lim_{x\to+0}\frac{|x|}{x}=1},$ ${\lim_{x\to-0}\frac{|x|}{x}=-1}.$
Jednostrane granične vrednosti su različite, pa granična vrednost ${\lim_{x\to0}\frac{|x|}{x}}$ ne postoji. Grafik „skače“ u tački $0.$
Numeričke zamke
Tabela vrednosti može samo da nagovesti graničnu vrednost, a može da nagovesti i pogrešnu. Posmatrajmo
$$f(x)=\sin\frac{\pi}{x}.$$Za ${x=1};$ $0{,}1;$ $0{,}01;$ … broj ${\frac{\pi}{x}}$ je $\pi,$ $10\pi,$ $100\pi,$ …, dakle celobrojni umnožak broja $\pi,$ a sinus takvog broja jednak je $0\text{:}$
| $x$ | $f(x)$ | $x$ | $f(x)$ |
|---|---|---|---|
| 1 | 0 | −1 | 0 |
| 0,1 | 0 | −0,1 | 0 |
| 0,01 | 0 | −0,01 | 0 |
| 0,001 | 0 | −0,001 | 0 |
| 0,0001 | 0 | −0,0001 | 0 |
Tabela nagoveštava da je ${\lim_{x\to0}\sin\frac{\pi}{x}=0}.$ To je pogrešno. Za ${x=\frac{2}{5}},$ ${\frac{2}{9}},$ ${\frac{2}{13}},$ …, odnosno za ${x=\frac{2}{4k+1}},$ dobijamo ${\frac{\pi}{x}}={\frac{\pi}{2}+2k\pi},$ a sinus tog broja je $1.$ I ove vrednosti $x$ (${k=1},$ $2,$ $3,$ …) približavaju se broju $0$ koliko god hoćemo. Isto se dešava levo od $0\text{:}$ za ${x=-\frac{2}{4k+3}}$ (${-\frac{2}{3}},$ ${-\frac{2}{7}},$ …) dobijamo ${\frac{\pi}{x}}={-\frac{3\pi}{2}-2k\pi},$ i sinus je ponovo $1.$ Dakle, u blizini $0$ funkcija iznova i iznova uzima i vrednost $0$ i vrednost $1$ (a takođe i $-1$): njen grafik beskonačno mnogo puta osciluje između $-1$ i $1.$ Vrednosti se ne približavaju nijednom određenom broju, pa ${\lim_{x\to+0}\sin\frac{\pi}{x}},$ ${\lim_{x\to-0}\sin\frac{\pi}{x}}$ i ${\lim_{x\to0}\sin\frac{\pi}{x}}$ ne postoje.
U crvenim tačkama (${x=\pm1},$ ${\pm\frac{1}{2}},$ ${\pm\frac{1}{3}},$ ${\pm\frac{1}{10}}$) je ${f(x)=0},$ kao u tabeli; u zelenim tačkama je ${f(x)=1}.$ U blizini $0$ oscilacije su toliko guste da ne mogu da se nacrtaju.
Tabela, kalkulator ili grafik nacrtan na računaru mogu da nas zavaraju. Pretpostavku dobijenu iz tabele treba proveriti algebarski ili pažljivim ispitivanjem funkcije.
Beskonačne granične vrednosti
Posmatrajmo ${f(x)=\frac{1}{(x-2)^2}}.$ Kada je $x$ blizu $2,$ sa bilo koje strane, ${(x-2)^2}$ je mali pozitivan broj, pa je $f(x)$ veliki pozitivan broj. Na primer, ${f(2{,}01)}={f(1{,}99)}={10\,000}$ i ${f(2{,}001)}={1\,000\,000}.$ Vrednosti neograničeno rastu i pišemo
${\lim_{x\to2-0}f(x)}={\lim_{x\to2+0}f(x)}={\lim_{x\to2}f(x)}={{+\infty}.}$
Slično tome, za ${g(x)=-\frac{1}{(x-2)^2}}$ vrednosti neograničeno opadaju sa obe strane broja $2,$ pa je ${\lim_{x\to2}g(x)=-\infty}.$
Funkcija ${h(x)=\frac{1}{x-2}}$ ponaša se različito sa leve i sa desne strane. Za $x$ nešto veće od $2,$ ${x-2}$ je mali pozitivan broj, a $h(x)$ veliki pozitivan broj. Za $x$ nešto manje od $2,$ ${x-2}$ je mali negativan broj, a $h(x)$ negativan broj velike apsolutne vrednosti:
${\lim_{x\to2-0}h(x)=-\infty},$ ${\lim_{x\to2+0}h(x)=+\infty}.$
Simboli $+\infty$ i $-\infty$ nisu brojevi. Zapis ${\lim_{x\to2}f(x)=+\infty}$ ne znači da granična vrednost postoji; on nam govori kako ona ne postoji: vrednosti postaju veće od svakog broja. Kod funkcije $h$ jednostrane granične vrednosti su različite, pa ${\lim_{x\to2}h(x)}$ nije ni $+\infty$ ni $-\infty;$ kažemo samo da ne postoji.
Na sve tri slike isprekidana prava ${x=2}$ je vertikalna asimptota. Uopšte, prava ${x=a}$ je vertikalna asimptota grafika funkcije $f$ ako je bar jedna od jednostranih graničnih vrednosti funkcije $f$ u tački $a$ jednaka $+\infty$ ili $-\infty.$
Granične vrednosti u beskonačnosti
Možemo se zapitati i šta se dešava sa $f(x)$ kada $x$ neograničeno raste (${x\to+\infty}$) ili neograničeno opada (${x\to-\infty}$). Pišemo ${\lim_{x\to+\infty}f(x)=L}$ ako se $f(x)$ može proizvoljno približiti broju $L$ tako što uzmemo dovoljno veliko $x,$ i slično za ${x\to-\infty}.$ Tada je prava ${y=L}$ horizontalna asimptota grafika.
Primer 4. Za funkciju na slici ispod je
${\lim_{x\to-\infty}f(x)=-1},$ ${\lim_{x\to+\infty}f(x)=4}.$
Obe granične vrednosti postoje. Različite su, ali to nije problem: one opisuju dva različita kraja grafika. Prave ${y=-1}$ i ${y=4}$ su horizontalne asimptote.
Primer 5. Za funkciju na slici ispod, kada ${x\to-\infty},$ onda ${f(x)\to+\infty},$ odnosno ${\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty}.$ Kada ${x\to+\infty},$ grafik osciluje oko prave ${y=-2},$ ali su oscilacije sve manje, pa se $f(x)$ približava broju $-2\text{:}$
${\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty},$ ${\lim_{x\to+\infty}f(x)=-2}.$
Prava ${y=-2}$ je horizontalna asimptota, iako je grafik seče iznova i iznova.
Primer 6. Za funkciju na slici ispod, kada ${x\to-\infty},$ onda ${f(x)\to-\infty}.$ Kada ${x\to+\infty},$ $f(x)$ stalno osciluje između $-3$ i $3$ i ne približava se nijednom broju. Prema tome, ${\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty},$ a ${\lim_{x\to+\infty}f(x)}$ ne postoji (nije ni $+\infty$ ni $-\infty$). Ovaj grafik nema horizontalnu asimptotu.
Pregled oznaka
| Oznaka | Značenje |
|---|---|
| ${\lim_{x\to a}f(x)=L}$ | $f(x)$ je proizvoljno blizu broja $L$ za svako ${x\ne a}$ dovoljno blizu $a$ |
| ${\lim_{x\to a+0}f(x)=L}$ | isto, ali samo za ${x\gt a}$ |
| ${\lim_{x\to a-0}f(x)=L}$ | isto, ali samo za ${x\lt a}$ |
| ${\lim_{x\to a}f(x)=+\infty}$ | $f(x)$ je veće od bilo kog zadatog broja za svako ${x\ne a}$ dovoljno blizu $a$ |
| ${\lim_{x\to a}f(x)=-\infty}$ | $f(x)$ je manje od bilo kog zadatog broja za svako ${x\ne a}$ dovoljno blizu $a$ |
| ${\lim_{x\to+\infty}f(x)=L}$ | $f(x)$ je proizvoljno blizu broja $L$ za svako dovoljno veliko $x$ |
| ${\lim_{x\to-\infty}f(x)=L}$ | $f(x)$ je proizvoljno blizu broja $L$ za svako negativno $x$ sa dovoljno velikim $|x|$ |
Zadaci za vežbu
1. Pomoću kalkulatora podešenog na radijane naslutite ${\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}}$ na osnovu vrednosti za ${x=0{,}5};$ $0{,}1$ i $0{,}01.$
Odgovor
Vrednosti su približno $0{,}489670;$ $0{,}499583$ i $0{,}499996$ (iste su i za $-x$). Izgleda da je granična vrednost ${\frac{1}{2}},$ i to je zaista tako.
2. Pomoću sečica nađite koeficijent pravca tangente na parabolu ${y=x^2}$ u tački $P(3,\,9)$ i jednačinu te tangente.
Odgovor
Za ${x\ne3}$ koeficijent pravca sečice $PQ$ je ${\frac{x^2-9}{x-3}}={x+3},$ što teži ka $6$ kada ${x\to3}.$ Jednačina tangente je ${y-9=6(x-3)},$ odnosno ${y=6x-9}.$
3. Nađite približnu vrednost površine ispod grafika ${y=x}$ između ${x=0}$ i ${x=1}$ pomoću $n$ upisanih pravougaonika. Njihova ukupna površina je ${\frac{n-1}{2n}}.$ Izračunajte je za ${n=10},$ $100,$ $1000.$ Kolika je granična vrednost?
Odgovor
$0{,}45;$ $0{,}495;$ $0{,}4995.$ Granična vrednost je ${\frac{1}{2}},$ što je površina pravouglog trougla sa katetama $1$ i $1.$
4. Neka je ${f(x)=\frac{x^2-x}{|x-1|}}.$ Nađite ${\lim_{x\to1+0}f(x)}$ i ${\lim_{x\to1-0}f(x)}.$ Da li postoji ${\lim_{x\to1}f(x)}?$
Odgovor
${x^2-x=x(x-1)}.$ Za ${x\gt1}\text{:}$ ${f(x)=x},$ što teži ka $1.$ Za ${x\lt1}\text{:}$ ${f(x)=-x},$ što teži ka $-1.$ Jednostrane granične vrednosti su $1$ i $-1,$ pa granična vrednost ne postoji.
5. Funkcija $g$ zadata je ovako: ${g(x)=x+1}$ za ${x\lt2},$ ${g(x)=5-x}$ za ${x\gt2}$ i ${g(2)=7}.$ Nađite ${\lim_{x\to2-0}g(x)},$ ${\lim_{x\to2+0}g(x)},$ ${\lim_{x\to2}g(x)}$ i $g(2).$
Odgovor
$3,$ $3,$ $3$ i $7.$ Granična vrednost postoji i jednaka je $3,$ iako je ${g(2)=7}\text{:}$ vrednost u samoj tački nije važna.
6. Nađite ${\lim_{x\to3-0}\frac{1}{x-3}},$ ${\lim_{x\to3+0}\frac{1}{x-3}}$ i ${\lim_{x\to3}\frac{1}{(x-3)^2}}.$
Odgovor
$-\infty,$ $+\infty$ i $+\infty.$ Prava ${x=3}$ je vertikalna asimptota oba grafika.
7. Nađite ${\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}}$ i ${\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}}.$ Koja prava je horizontalna asimptota grafika ${y=\frac{1}{x}}?$
Odgovor
Obe granične vrednosti jednake su $0$ (na primer, ${\frac{1}{1000}=0{,}001}$ i ${\frac{1}{-1000}=-0{,}001}$). Horizontalna asimptota je $x$-osa, odnosno prava ${y=0}.$
8. Naslutite ${\lim_{x\to+\infty}\frac{2x+1}{x}}$ na osnovu vrednosti za ${x=10},$ $100,$ $1000,$ a zatim objasnite rezultat.
Odgovor
$2{,}1;$ $2{,}01;$ $2{,}001\text{:}$ granična vrednost je $2,$ jer je ${\frac{2x+1}{x}}={2+\frac{1}{x}},$ a ${\frac{1}{x}}$ teži ka $0.$
9. Da li postoji ${\lim_{x\to0}\cos\frac{\pi}{x}}?$
Odgovor
Ne postoji. Za ${x=\frac{1}{2k}}$ vrednost je ${\cos2k\pi=1},$ a za ${x=\frac{1}{2k+1}}$ ona je ${\cos(2k+1)\pi=-1}.$ I jedne i druge vrednosti $x$ približavaju se broju $0$ koliko god hoćemo, pa se vrednosti funkcije ne približavaju jednom određenom broju.
Sledeća lekcija: Granične vrednosti i metode izračunavanja, u kojoj se granične vrednosti izračunavaju tačno, pomoću osobina graničnih vrednosti. Granične vrednosti nizova objašnjene su u lekciji Granična vrednost niza.
Granična vrednost funkcije (lim)