Racionalni izrazi: monomi, polinomi i algebarski razlomci

Izrazi kao što su $2ab,$ ${4a^2+34x+z^5}$ i $\frac{x+1}{2y+x}$ sastavljeni su od brojeva i slova (promenljivih) pomoću znakova sabiranja, oduzimanja, množenja i deljenja. Takvi izrazi nazivaju se racionalni izrazi. U ovoj lekciji upoznaćete njihove vrste (monome, polinome i algebarske razlomke), naučićete kako se računa njihova vrednost i kako se uprošćavaju. Uz svako pravilo dati su rešeni primeri, a na kraju su zadaci za vežbu sa odgovorima.

Na ovoj stranici: Racionalni izrazi · Vrednost izraza · Dozvoljene vrednosti · Monomi · Slični monomi · Polinomi · Operacije sa polinomima · Identiteti · Algebarski razlomci · Skraćivanje razlomaka · Množenje i deljenje razlomaka · Sabiranje i oduzimanje razlomaka · Zadaci za vežbu

Šta je racionalni izraz?

Racionalni izraz je izraz sastavljen od brojeva i promenljivih pomoću operacija sabiranja, oduzimanja, množenja, deljenja i stepenovanja prirodnim izložiocem.

Primeri: $2ab,$ ${4a^2+34x+z^5},$ $\frac{3a+c}{5},$ $\frac{4}{5xy+12},$ $\frac{x+1}{2y+x}.$ Sam broj, na primer $7,$ i sama promenljiva, na primer $x,$ takođe su racionalni izrazi. Izrazi $\sqrt{x}$ (koren promenljive) i $2^x$ (promenljiva u izložiocu) nisu racionalni.

Celi i razlomljeni izrazi

U prva tri primera ne delimo izrazom koji sadrži promenljivu. Takvi izrazi nazivaju se celi racionalni izrazi. U poslednja dva primera delimo izrazom sa promenljivom; to su razlomljeni racionalni izrazi.

• Celi: $2ab,$ ${4a^2+34x+z^5},$ $\frac{3a+c}{5}.$
• Razlomljeni: $\frac{4}{5xy+12},$ $\frac{x+1}{2y+x}.$

Deljenje brojem dozvoljeno je i u celom izrazu: $\frac{3a+c}{5}$ je isto što i ${\frac{1}{5}(3a+c)}.$ Izraz možemo posmatrati i u odnosu na samo jednu promenljivu: $\frac{3x+2}{a-1}$ je ceo u odnosu na $x$ (u imeniocu nema $x$), ali je razlomljen u odnosu na $a.$

Vrednost izraza

Ako promenljive zamenimo brojevima i izvršimo naznačene operacije, dobićemo broj. Taj broj je vrednost izraza za date vrednosti promenljivih.

Primer 1. Izračunaj vrednost izraza ${x^2y+2y^2}$ za ${x=2}$ i ${y=3}.$

Rešenje. ${x^2y+2y^2}={2^2\cdot3+2\cdot3^2}={12+18}={{30}.}$

Primer 2. Izračunaj vrednost izraza ${3a^2-a}$ za ${a=-2}.$

Rešenje. Negativan broj pišemo u zagradi: ${3a^2-a}={3\cdot(-2)^2-(-2)}={12+2}={{14}.}$

Dozvoljene vrednosti

Deljenje nulom nije moguće, pa razlomljeni izraz nema vrednost kada je neki imenilac jednak $0.$ Vrednosti promenljivih za koje izraz ima vrednost nazivaju se njegove dozvoljene vrednosti (one čine oblast definisanosti izraza). Ceo izraz ima vrednost za sve vrednosti promenljivih.

Primer 3. Za koje vrednosti promenljive $x$ izraz $\frac{x+1}{x-3}$ ima vrednost?

Rešenje. Imenilac je jednak $0$ kada je ${x-3=0},$ tj. za ${x=3}.$ Dakle, izraz ima vrednost za svako $x$ osim $3.$ Pišemo ${x\ne3}.$

Primer 4. Odredi dozvoljene vrednosti izraza $\frac{5}{x^2-4x}.$

Rešenje. ${x^2-4x}={x(x-4)}.$ Ovaj proizvod je jednak $0$ za ${x=0}$ i za ${x=4}.$ Dozvoljene vrednosti su svi brojevi osim $0$ i $4\text{:}$ ${x\ne0},$ ${x\ne4}.$

Monomi

Monom je proizvod brojeva, promenljivih i stepena promenljivih sa prirodnim izložiocima. Sam broj i sama promenljiva takođe su monomi.

Monomi: $2ab,$ $a^3,$ ${7x^2y^4},$ $-5,$ $x,$ ${\frac{2}{3}m^2n}.$

Nisu monomi: ${x+3}$ (zbir), ${a^2-b}$ (razlika) i $\frac{2x}{y}$ (u njemu se deli promenljivom, pa je to razlomljeni izraz).

Standardni oblik, koeficijent i stepen

Monom je u standardnom obliku (sređen) ako ima samo jedan brojni činilac (koeficijent), napisan na prvom mestu, i ako se svaka promenljiva u njemu javlja samo jednom, kao stepen. Koeficijent $1$ se ne piše, a promenljive se obično pišu po abecednom redu. Da bismo monom napisali u standardnom obliku, pomnožimo brojeve, a stepene iste promenljive množimo po pravilu ${a^m\cdot a^n=a^{m+n}}$ (videti lekciju Eksponenti).

Primer 5. Napiši u standardnom obliku: a) ${3x\cdot5a\cdot y\cdot x};$ b) ${-2a^2b\cdot4ab^3};$ v) ${14(xy)xy^2}.$

Rešenje. a) ${3x\cdot5a\cdot y\cdot x}={(3\cdot5)\cdot a\cdot(x\cdot x)\cdot y}={{15ax^2y}.}$

b) ${-2a^2b\cdot4ab^3}={(-2\cdot4)}\cdot {(a^2\cdot a)\cdot(b\cdot b^3)}={{-8a^3b^4}.}$

v) Ovde se $x$ i $y$ javljaju po dva puta: ${14(xy)xy^2}={14x^2y^3}.$

Kod monoma u standardnom obliku brojni činilac je njegov koeficijent, a zbir izložilaca svih promenljivih je njegov stepen.

Monom	Koeficijent	Stepen
${-8a^3b^4}$	$-8$	${3+4=7}$
${14x^2y^3}$	$14$	${2+3=5}$
${x^2y}$	$1$	${2+1=3}$
${-ab}$	$-1$	${1+1=2}$
$7$	$7$	$0$

Koeficijent $-1$ piše se samo kao znak minus. Broj različit od $0$ je monom stepena $0.$

Primer 6. Stepenuj: a) ${(2x^3)^3};$ b) ${(-3a^2b)^2}.$

Rešenje. Stepenuje se svaki činilac, a ${(a^m)^n=a^{m\cdot n}}\text{:}$ a) ${(2x^3)^3}={2^3\cdot(x^3)^3}={{8x^9};}$ b) ${(-3a^2b)^2}={(-3)^2\cdot(a^2)^2\cdot b^2}={{9a^4b^2}.}$

Slični monomi

Monomi koji imaju iste promenljive sa istim izložiocima nazivaju se slični monomi (slični članovi). Mogu se razlikovati samo po koeficijentima. Pre nego što ih uporedimo, monome treba napisati u standardnom obliku:

• $2a^2$ i $10a^2$ su slični monomi;
• $5xy$ i $xy$ su slični monomi;
• $a^3b^2c$ i $20a^2b^2ac$ su slični monomi, jer je ${20a^2b^2ac=20a^3b^2c};$
• $2a^2$ i $2a^3$ nisu slični (izložioci su različiti), a nisu ni $x^2y$ i $xy^2.$

Slični monomi se sabiraju tako što se saberu njihovi koeficijenti, a deo sa promenljivama se prepiše.

Primer 7. a) ${3x^2-5x^2+8x^2}={(3-5+8)x^2}={{6x^2};}$ b) ${7ab+2ab-ab}={8ab};$ v) ${4x^2+3x-x^2+2x}={{3x^2+5x}.}$

Monomi koji nisu slični ne mogu se sabrati u jedan monom: ${2x+3y}$ i ${3x^2+5x}$ ostaju takvi kakvi jesu.

Polinomi

Polinom je zbir monoma. Ti monomi su članovi polinoma.

Primeri: ${2x+3},$ ${2ab+a^3},$ ${c^2-2xa+93y^2b^5}.$ I razlika je zbir: članovi polinoma ${c^2-2xa+93y^2b^5}$ su $c^2,$ ${-2ax}$ i ${93b^5y^2}.$ Polinom sa dva člana naziva se binom, a polinom sa tri člana trinom. Monom je polinom sa jednim članom.

Standardni oblik i stepen polinoma

Polinom je u standardnom obliku ako je svaki njegov član monom u standardnom obliku i ako među članovima nema sličnih. Na primer, ${5x^2+7x}$ i ${60xy^2+34x-10}$ su u standardnom obliku. Stepen polinoma u standardnom obliku je najveći od stepena njegovih članova: članovi polinoma ${60xy^2+34x-10}$ imaju stepene $3,$ $1$ i $0,$ pa je njegov stepen $3.$

Primer 8. Napiši polinom ${3x^2+2x-5x^2+4-x}$ u standardnom obliku i odredi njegov stepen.

Rešenje. Saberemo slične članove: ${3x^2-5x^2=-2x^2}$ i ${2x-x=x}.$ Dakle, ${3x^2+2x-5x^2+4-x}={{-2x^2+x+4},}$ a to je polinom stepena $2.$ Članovi se obično pišu od najvećeg stepena ka najmanjem.

Operacije sa polinomima

Sabiranje i oduzimanje

Zatim saberemo slične članove.

Primer 9. Odredi zbir i razliku polinoma ${3x^2-2x+1}$ i ${x^2+5x-4}.$

Rešenje. Zbir:

${(3x^2-2x+1)}+{(x^2+5x-4)}$

$={3x^2-2x+1}+{x^2+5x-4}={4x^2+3x-3.}$

Razlika: članovi polinoma ${x^2+5x-4}$ menjaju znak.

${(3x^2-2x+1)}-{(x^2+5x-4)}$

$={3x^2-2x+1}-{x^2-5x+4}={2x^2-7x+5.}$

Množenje

Monom množimo polinomom tako što ga pomnožimo sa svakim članom polinoma. Dva polinoma množimo tako što svaki član prvog pomnožimo sa svakim članom drugog, a zatim saberemo slične članove.

Primer 10. ${2x(3x^2-x+4)}={{6x^3-2x^2+8x}.}$

Primer 11. ${(x+3)(2x-5)}={2x^2-5x+6x-15}={{2x^2+x-15}.}$

Primer 12. ${(a-2)(a^2+2a+4)}={a^3+2a^2+4a}-{2a^2-4a-8}={{a^3-8}.}$

Neki proizvodi se javljaju toliko često da ih vredi zapamtiti, na primer ${(a+b)^2=a^2+2ab+b^2},$ ${(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}$ i ${(a-b)(a+b)=a^2-b^2}.$ Sakupljeni su u lekciji Formule skraćenog množenja.

Deljenje polinoma monomom

Polinom delimo monomom (različitim od $0$) tako što svaki član polinoma podelimo tim monomom. Pri deljenju stepena izložioce oduzimamo: ${\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}}$ $(a\ne0).$

Primer 13. a) ${\frac{12x^5y^2}{4x^2y}}={3x^3y}$ (za ${x\ne0},$ ${y\ne0}$); b) ${\frac{6x^3-4x^2+2x}{2x}}={\frac{6x^3}{2x}-\frac{4x^2}{2x}+\frac{2x}{2x}}={3x^2-2x+1}$ (za ${x\ne0}$).

Polinom se deli polinomom postupkom pismenog deljenja; videti lekciju Pismeno deljenje polinoma.

Identički jednaki izrazi i identiteti

Dva izraza su identički jednaka ako imaju jednake vrednosti za sve dozvoljene vrednosti promenljivih. Jednakost dva identički jednaka izraza naziva se identitet.

Na primer, ${(x-y)^2=x^2-2xy+y^2}$ je identitet. Proverimo to za ${x=5}$ i ${y=2}\text{:}$ leva strana je ${(5-2)^2=9},$ a desna ${25-20+4=9}.$

Provera za nekoliko vrednosti nije dokaz, jer identitet mora da važi za sve dozvoljene vrednosti. Da bismo dokazali identitet, transformišemo jednu njegovu stranu dok ne dobijemo drugu.

Primer 14. Dokaži da je ${(a+b)^2-(a-b)^2=4ab}.$

Rešenje. Transformišemo levu stranu:

${(a+b)^2-(a-b)^2}={a^2+2ab+b^2}-{(a^2-2ab+b^2)}$

$={a^2+2ab+b^2}-{a^2+2ab-b^2}={4ab.}$

Dobili smo desnu stranu, pa je identitet dokazan.

Da bismo pokazali da jednakost nije identitet, dovoljan nam je jedan primer. Jednakost ${(x-y)^2=x^2-y^2}$ nije identitet: za ${x=3}$ i ${y=1}$ leva strana je ${(3-1)^2=4},$ a desna ${3^2-1^2=8}.$

Izrazi sa razlomcima porede se samo za dozvoljene vrednosti promenljivih. Na primer, ${\frac{x^2-1}{x-1}=x+1}$ za svako ${x\ne1};$ za ${x=1}$ leva strana nema vrednost.

Algebarski razlomci

Algebarski razlomak (racionalni razlomak) je razlomak čiji su brojilac i imenilac polinomi, na primer $\frac{x+1}{x-3}$ ili $\frac{5}{x^2-4x}.$ Svaki razlomljeni racionalni izraz može se napisati kao jedan algebarski razlomak. Za algebarske razlomke važe ista pravila kao za obične razlomke.

Osnovno svojstvo razlomka. Brojilac i imenilac možemo pomnožiti ili podeliti istim izrazom, ako on nije jednak $0\text{:}$ ${\frac{A}{B}=\frac{A\cdot C}{B\cdot C}},$ gde je ${B\ne0}$ i ${C\ne0}.$

Skraćivanje algebarskih razlomaka

1. Rastavimo brojilac i imenilac na činioce: izvučemo zajednički činilac ispred zagrade ili primenimo formule skraćenog množenja.
2. Odredimo vrednosti za koje je imenilac jednak $0\text{:}$ one se isključuju.
3. Skratimo zajedničke činioce.

Primer 15. ${\frac{6x^2y}{9xy^3}}={\frac{3xy\cdot2x}{3xy\cdot3y^2}}={\frac{2x}{3y^2}}$ za ${x\ne0},$ ${y\ne0}.$

Primer 16. ${\frac{x^2-9}{x^2+3x}}={\frac{(x-3)(x+3)}{x(x+3)}}={\frac{x-3}{x}}$ za ${x\ne0},$ ${x\ne-3}.$

Primer 17. ${\frac{a^2-4a+4}{2a-4}}={\frac{(a-2)^2}{2(a-2)}}={\frac{a-2}{2}}$ za ${a\ne2}.$

Skraćuju se samo zajednički činioci, nikada sabirci. U razlomku $\frac{x+3}{x}$ slovo $x$ u brojiocu je sabirak, a ne činilac, pa se ovaj razlomak ne može skratiti.

Ponekad se dva činioca razlikuju samo po znaku: ${3-x=-(x-3)},$ pa je ${\frac{3-x}{x-3}=-1}$ za ${x\ne3}.$

Množenje i deljenje

${\frac{A}{B}\cdot\frac{C}{D}=\frac{A\cdot C}{B\cdot D}}$ i ${\frac{A}{B}:\frac{C}{D}=\frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}}$

Najpre rastavimo na činioce i skratimo, pa tek onda množimo: tako izrazi ostaju kratki.

Primer 18. ${\frac{x^2-1}{3x}\cdot\frac{6x^2}{x+1}}={\frac{(x-1)(x+1)\cdot6x^2}{3x\cdot(x+1)}}={2x(x-1)}$ za ${x\ne0},$ ${x\ne-1}.$

Primer 19. ${\frac{a^2-4}{a}:\frac{a+2}{a^2}}={\frac{(a-2)(a+2)}{a}\cdot\frac{a^2}{a+2}}={a(a-2)}$ za ${a\ne0},$ ${a\ne-2}.$

Sabiranje i oduzimanje

Razlomke sa jednakim imeniocima sabiramo ili oduzimamo tako što saberemo ili oduzmemo brojioce, a imenilac prepišemo.

Primer 20. ${\frac{3x}{x+2}+\frac{6}{x+2}}={\frac{3x+6}{x+2}}={\frac{3(x+2)}{x+2}}={3}$ za ${x\ne-2}.$

Razlomke sa različitim imeniocima najpre svodimo na zajednički imenilac. Najjednostavniji je najmanji zajednički imenilac: rastavimo imenioce na činioce i uzmemo svaki činilac sa najvećim izložiocem sa kojim se javlja u nekom od imenilaca.

Primer 21. ${\frac{1}{x}+\frac{2}{x+1}}={\frac{x+1}{x(x+1)}+\frac{2x}{x(x+1)}}={{\frac{3x+1}{x(x+1)}}.}$

Primer 22. Uprosti izraz ${\frac{x}{x-2}-\frac{8}{x^2-4}}.$

Rešenje. ${x^2-4=(x-2)(x+2)},$ pa je zajednički imenilac ${(x-2)(x+2)}.$ Brojilac i imenilac prvog razlomka pomnožimo sa ${x+2}\text{:}$

${\frac{x}{x-2}-\frac{8}{x^2-4}}={\frac{x(x+2)-8}{(x-2)(x+2)}}$

$=\frac{x^2+2x-8}{(x-2)(x+2)}$

$={\frac{(x-2)(x+4)}{(x-2)(x+2)}}={\frac{x+4}{x+2}.}$

Brojilac smo rastavili na činioce grupisanjem: ${x^2+2x-8}={(x^2-4)+(2x-4)}={(x-2)(x+2)}+{2(x-2)}={{(x-2)(x+4)}.}$ Rezultat važi za ${x\ne2}$ i ${x\ne-2}.$

Zadaci za vežbu

1. Koji su od ovih izraza celi, a koji razlomljeni? a) $\frac{a+b}{2};$ b) $\frac{2}{a+b};$ v) ${x^2-\frac{x}{3}};$ g) ${\frac{1}{x}+x}.$

Odgovor

a) i v) su celi: u njima se deli samo brojevima. b) i g) su razlomljeni: u njima se deli izrazom sa promenljivom.

2. Izračunaj vrednost izraza ${2a^2-3ab}$ za ${a=-1}$ i ${b=2}.$

Odgovor

${2a^2-3ab}={2\cdot(-1)^2}-{3\cdot(-1)\cdot2}={2+6}={{8}.}$

3. Za koje vrednosti promenljive $x$ izraz $\frac{2x+1}{x^2-9}$ nema vrednost?

Odgovor

Kada je ${x^2-9=0}.$ Kako je ${x^2-9=(x-3)(x+3)},$ to se dešava za ${x=3}$ i za ${x=-3}.$

4. Napiši u standardnom obliku i odredi koeficijent i stepen: a) ${-2x\cdot3xy\cdot y^2};$ b) ${(-2a^2b)^3}.$

Odgovor

a) ${-2x\cdot3xy\cdot y^2}={-6x^2y^3\text{:}}$ koeficijent je $-6,$ stepen je $5.$

b) ${(-2a^2b)^3=-8a^6b^3}\text{:}$ koeficijent je $-8,$ stepen je $9.$

5. Uprosti izraz ${(4x^2-3x+2)}-{(x^2-3x-5).}$

Odgovor

${(4x^2-3x+2)}-{(x^2-3x-5)}={4x^2-3x+2}-{x^2+3x+5}={{3x^2+7}.}$

6. Pomnoži: a) ${-3a(a^2-2a+5)};$ b) ${(2a-3)(a+4)}.$

Odgovor

a) ${-3a(a^2-2a+5)}={{-3a^3+6a^2-15a}.}$

b) ${(2a-3)(a+4)}={2a^2+8a-3a-12}={{2a^2+5a-12}.}$

7. Podeli: ${\frac{9a^3b-6a^2b^2}{3a^2b}}.$

Odgovor

${\frac{9a^3b-6a^2b^2}{3a^2b}}={\frac{9a^3b}{3a^2b}-\frac{6a^2b^2}{3a^2b}}={3a-2b}$ za ${a\ne0},$ ${b\ne0}.$

8. Dokaži identitet ${x(x+2)-(x+1)^2=-1}.$

Odgovor

${x(x+2)-(x+1)^2}={x^2+2x-(x^2+2x+1)}={x^2+2x-x^2-2x-1}={{-1}.}$

9. Skrati razlomke: a) $\frac{15a^3b}{10ab^2};$ b) $\frac{5x+10}{x^2-4};$ v) $\frac{x^2-6x+9}{x^2-9}.$

Odgovor

a) ${\frac{15a^3b}{10ab^2}}={\frac{5ab\cdot3a^2}{5ab\cdot2b}}={\frac{3a^2}{2b}}$ za ${a\ne0},$ ${b\ne0}.$

b) ${\frac{5x+10}{x^2-4}}={\frac{5(x+2)}{(x-2)(x+2)}}={\frac{5}{x-2}}$ za ${x\ne2},$ ${x\ne-2}.$

v) ${\frac{x^2-6x+9}{x^2-9}}={\frac{(x-3)^2}{(x-3)(x+3)}}={\frac{x-3}{x+3}}$ za ${x\ne3},$ ${x\ne-3}.$

10. Uprosti: a) ${\frac{a^2-ab}{b^2}\cdot\frac{b}{a^2-b^2}};$ b) ${\frac{x^2-4}{x}:\frac{x-2}{3x}}.$

Odgovor

a) ${\frac{a(a-b)}{b^2}}\cdot {\frac{b}{(a-b)(a+b)}}={\frac{a}{b(a+b)}}$ za ${b\ne0},$ ${a\ne b},$ ${a\ne-b}.$

b) ${\frac{(x-2)(x+2)}{x}\cdot\frac{3x}{x-2}}={3(x+2)}$ za ${x\ne0},$ ${x\ne2}.$

11. Uprosti: a) ${\frac{2}{x-1}-\frac{1}{x+1}};$ b) ${\frac{a}{a-b}+\frac{b}{b-a}}.$

Odgovor

a) ${\frac{2}{x-1}-\frac{1}{x+1}}={\frac{2(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}}={{\frac{x+3}{(x-1)(x+1)}}.}$

b) Kako je ${b-a=-(a-b)},$ dobijamo: ${\frac{a}{a-b}+\frac{b}{b-a}}={\frac{a}{a-b}-\frac{b}{a-b}}={\frac{a-b}{a-b}}={1}$ za ${a\ne b}.$

12. Uprosti izraz ${\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right):\frac{b-a}{ab}}.$

Odgovor

Najpre je ${\frac{1}{a}-\frac{1}{b}}={\frac{b-a}{ab}}.$ Zatim je ${\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right):\frac{b-a}{ab}}={\frac{b-a}{ab}\cdot\frac{ab}{b-a}}={1}$ za ${a\ne0},$ ${b\ne0},$ ${a\ne b}.$

Još zadataka

• Racionalni izrazi: zadaci sa rešenjima (1. deo): celi i razlomljeni izrazi, monomi, polinomi, množenje i deljenje.
• 2. deo: potpuni kvadrati, rastavljanje na činioce i dokazivanje identiteta.
• Kalkulator faktorizacije polinoma (rešenje korak po korak).