Aritmetička progresija - teži zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Po osobinama aritmetičke progresije znamo da je za bilo koji pozitivan ceo broj [tex]m < k[/tex] sledeće tačno: [tex]\frac{a_{k+m}+a_{k-m}}{2}=a_{\frac{k+m+k-m}{2}}=a_k=0[/tex]. Ali je [tex]S_{2k-1}=a_{k-(k-1)}+a_{k-(k-2)}+...+a_{k+(k-2)}+a_{k+(k-1)}=a_{k-(k-1)}+a_{k + (k-1)} +a_{k-(k-2)}+a_{k+(k-2)}+...+a_k=0+0+...+0=0[/tex]

Rešenje:
Označimo niz sa leve strane sa n. Vrednost leve strane je zbir aritmetičke progresije, definisan kao [tex]a_1=1[/tex], [tex]d=3[/tex]. Znamo da je za naše odabrano n, [tex]a_n=x[/tex], ili [tex]1+(n-1)\cdot 3=x[/tex] i [tex]n=\frac{x+2}{3}[/tex].
[tex]S_n=\frac{2a_1+(n-1)\cdot d}{2}\cdot n=\frac{2\cdot 1+(n-1)\cdot 3}{2}\cdot n[/tex]. Sada zamenimo [tex]n-1[/tex] i [tex]n[/tex] sa svojim funkcijama od x:
[tex]S_n=\frac{2+x-1}{2}\cdot \frac{x+2}{3}=\frac{(x+1)(x+2)}{6}[/tex]
[tex]\frac{(x+1)(x+2)}{6}=925[/tex]
[tex]x^2+3x+2=5550[/tex]
[tex]x^2+3x-5548=0[/tex]: [tex]D=9+4\cdot 5548=22201=149^2[/tex]
X je očigledno pozitivno, pa ne računamo negativan koren jednačine i imamo
[tex]x=\frac{-3+149}{2}=\frac{146}{2}=73[/tex]

Rešenje:
Znamo da za bilo koje [tex]k \in [0,99][/tex]: [tex]a_{k+1}=3k+5[/tex] za bilo koje [tex]l[/tex] u istom intervalu, [tex]b_{l+1}=4l+3[/tex]. Tražimo događaje [tex]a_{k+1}=b_{l+1}[/tex] za bilo koje k,l za dati interval. To je jednako
[tex]3k+5=4l+3[/tex]
[tex]4l=3k+2[/tex]
[tex]l=\frac{3k+2}{4}[/tex]. Sada imamo l kao funkciju od k. Za date vrednosti, [tex]l=\frac{3k+2}{4} \le \frac{3\cdot 99+2}{4}<75[/tex], pa nećemo ići van ograničenja za l. Po definiciji, l je ceo broj, i trebalo bi da bude [tex]\frac{3k+2}{4}[/tex]. Pa tragamo za vrednostima od k između 0 i 99, za koje je [tex]\frac{3k+2}{4}[/tex] ceo broj. Odatle sledeće mora biti tačno: [tex]3k+2 \equiv 0 (mod 4)[/tex]
[tex]3k+2-4k \equiv 0 (mod 4)[/tex]
[tex]2-k \equiv 0 (mod 4)[/tex]
[tex]k \equiv 2 (mod 4)[/tex].
Ovi brojevi su u nizu [tex]2,6,10,...,98[/tex] i ima ih ukupno 25.

Rešenje:
Označimo [tex]C=\frac{a_{2n}+a_{2n-1}+...+a_{n+1}}{a_n+a_{n-1}+...+a_1}[/tex]. Sabiranjem [tex]1[/tex] sa obe strane, dobijemo
[tex]C+1=\frac{a_{2n}+a_{2n-1}+...+a_{n+1}}{a_n+a_{n-1}+...+a_1}+\frac{a_n+a_{n-1}+...+a_1}{a_n+a_{n-1}+...+a_1}=\frac{a_{2n}+a_{2n-1}+...+a_1}{a_n+a_{n-1}+...+a_1}=\frac{S_{2n}}{S_n}[/tex]. Pošto je [tex]C[/tex] konstanto, onda je [tex]C+1[/tex] takođe konstanto. Stoga je, [tex]\frac{S_{2n}}{S_n}[/tex] ne sme da zavisi od n. Ali je
[tex]\frac{S_{2n}}{S_n}=\frac{\frac{2a_1+(2n-1)\cdot d}{2}\cdot 2n}{\frac{2a_1+(n-1)\cdot d}{2}n}=2\frac{2+(2n-1)d}{2+(n-1)d}[/tex].
Označimo [tex]\frac{C+1}{2}=R[/tex], koje je takođe konstanta. Imamo
[tex]\frac{2+(2n-1)d}{2+(n-1)d}=R[/tex]
[tex]2R+(n-1)\cdot d\cdot R=2+(2n-1)\cdot d[/tex]
[tex]2R+n\cdot d\cdot R-d\cdot R=2+2n\cdot d-d[/tex]
[tex]n\cdot d(R-2)=d\cdot R-2R-d+2=R(d-2)-(d-2)=(R-1)(d-2)[/tex]. Ovo mora biti tačno za bilo koje n. Pretpostavimo da su obe strane različite od nule. Levu stranu ćemo zameniti sa [tex]n[/tex], dok desnu stranu nećemo, što znači da će u jednom momemntu biti različite. Stoga, obe strane moraju biti nula. [tex]n[/tex] i [tex]d[/tex] su različite od nule (pošto je [tex]\{a_n\}[/tex] je nekonstantna progresija), pa da bi leva strana bila jednaka nuli, R mora biti 2. Što vodi do
[tex]0=1\cdot (d-2)[/tex], što znači da [tex]d[/tex] mora takođe da bude 2. Aritmetička progresija je definisana sa [tex]a_1=1[/tex], [tex]d=2[/tex] i [tex]a_{15}=a_1+14\cdot d=1+14\cdot 2=29[/tex]