Aritmetička progresija - veoma teški zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Po osobinama aritmetičke progresije znamo da je za bilo koji pozitivan ceo broj [tex]m < k[/tex] sledeće tačno: [tex]\frac{a_{k+m}+a_{k-m}}{2}=a_{\frac{k+m+k-m}{2}}=a_k=0[/tex]. Ali je [tex]S_{2k-1}=a_{k-(k-1)}+a_{k-(k-2)}+...+a_{k+(k-2)}+a_{k+(k-1)}=a_{k-(k-1)}+a_{k + (k-1)} +a_{k-(k-2)}+a_{k+(k-2)}+...+a_k=0+0+...+0=0[/tex]

Rešenje:
Označimo niz sa leve strane sa [tex]n[/tex]. Vrednost leve strane je zbir aritmetičke progresije, definisan kao [tex]a_1=1[/tex], [tex]d=3[/tex]. Znamo da je za naše odabrano [tex]n[/tex], [tex]a_n=x[/tex], ili [tex]1+(n-1)\cdot 3=x[/tex] i [tex]n=\frac{x+2}{3}[/tex].
[tex]S_n=\frac{2a_1+(n-1)\cdot d}{2}\cdot n=\frac{2\cdot 1+(n-1)\cdot 3}{2}\cdot n[/tex]. Sada zamenimo [tex]n-1[/tex] i [tex]n[/tex] sa svojim funkcijama od x:
[tex]S_n=\frac{2+x-1}{2}\cdot \frac{x+2}{3}=\frac{(x+1)(x+2)}{6}[/tex]
[tex]\frac{(x+1)(x+2)}{6}=925[/tex]
[tex]x^2+3x+2=5550[/tex]
[tex]x^2+3x-5548=0[/tex]: [tex]D=9+4\cdot 5548=22201=149^2[/tex]
X je očigledno pozitivno, pa ne računamo negativan koren jednačine i imamo
[tex]x=\frac{-3+149}{2}=\frac{146}{2}=73[/tex]

Rešenje:
Znamo da za bilo koje [tex]k \in [0,99][/tex]: [tex]a_{k+1}=3k+5[/tex] za bilo koje [tex]l[/tex] u istom intervalu, [tex]b_{l+1}=4l+3[/tex]. Tražimo događaje [tex]a_{k+1}=b_{l+1}[/tex] za bilo koje [tex]k,l[/tex] za dati interval. To je jednako
[tex]3k+5=4l+3[/tex]
[tex]4l=3k+2[/tex]
[tex]l=\frac{3k+2}{4}[/tex]. Sada imamo [tex]l[/tex] kao funkciju od [tex]k[/tex]. Za date vrednosti, [tex]l=\frac{3k+2}{4} \le \frac{3\cdot 99+2}{4}<75[/tex], pa nećemo ići van ograničenja za [tex]l[/tex]. Po definiciji, [tex]l[/tex] je ceo broj, i trebalo bi da bude [tex]\frac{3k+2}{4}[/tex]. Pa tragamo za vrednostima od [tex]k[/tex] između 0 i 99, za koje je [tex]\frac{3k+2}{4}[/tex] ceo broj. Odatle sledeće mora biti tačno: [tex]3k+2 \equiv 0 (mod 4)[/tex]
[tex]3k+2-4k \equiv 0 (mod 4)[/tex]
[tex]2-k \equiv 0 (mod 4)[/tex]
[tex]k \equiv 2 (mod 4)[/tex].
Ovi brojevi su u nizu [tex]2,6,10,...,98[/tex] i ima ih ukupno 25.

Rešenje:
Označimo [tex]C=\frac{a_{2n}+a_{2n-1}+...+a_{n+1}}{a_n+a_{n-1}+...+a_1}[/tex]. Sabiranjem [tex]1[/tex] sa obe strane, dobijemo
[tex]C+1=\frac{a_{2n}+a_{2n-1}+...+a_{n+1}}{a_n+a_{n-1}+...+a_1}+\frac{a_n+a_{n-1}+...+a_1}{a_n+a_{n-1}+...+a_1}=\frac{a_{2n}+a_{2n-1}+...+a_1}{a_n+a_{n-1}+...+a_1}=\frac{S_{2n}}{S_n}[/tex]. Pošto je [tex]C[/tex] konstanto, onda je [tex]C+1[/tex] takođe konstanto. Stoga je, [tex]\frac{S_{2n}}{S_n}[/tex] ne sme da zavisi od [tex]n[/tex]. Ali je
[tex]\frac{S_{2n}}{S_n}=\frac{\frac{2a_1+(2n-1)\cdot d}{2}\cdot 2n}{\frac{2a_1+(n-1)\cdot d}{2}n}=2\frac{2+(2n-1)d}{2+(n-1)d}[/tex].
Označimo [tex]\frac{C+1}{2}=R[/tex], koje je takođe konstanta. Imamo
[tex]\frac{2+(2n-1)d}{2+(n-1)d}=R[/tex]
[tex]2R+(n-1)\cdot d\cdot R=2+(2n-1)\cdot d[/tex]
[tex]2R+n\cdot d\cdot R-d\cdot R=2+2n\cdot d-d[/tex]
[tex]n\cdot d(R-2)=d\cdot R-2R-d+2=R(d-2)-(d-2)=(R-1)(d-2)[/tex]. Ovo mora biti tačno za bilo koje [tex]n[/tex]. Pretpostavimo da su obe strane različite od nule. Levu stranu ćemo zameniti sa [tex]n[/tex], dok desnu stranu nećemo, što znači da će u jednom momemntu biti različite. Stoga, obe strane moraju biti nula. [tex]n[/tex] i [tex]d[/tex] su različite od nule (pošto je [tex]\{a_n\}[/tex] je nekonstantna progresija), pa da bi leva strana bila jednaka nuli, [tex]R[/tex] mora biti 2. Što vodi do
[tex]0=1\cdot (d-2)[/tex], što znači da [tex]d[/tex] mora takođe da bude 2. Aritmetička progresija je definisana sa [tex]a_1=1[/tex], [tex]d=2[/tex] i [tex]a_{15}=a_1+14\cdot d=1+14\cdot 2=29[/tex]

Rešenje:
Neka ima [tex]n[/tex] pumpi. One se uključuju u jednakim razmacima i isključuju istovremeno, pa njihova vremena rada [tex]t_{1}; t_{2}; \ldots; t_{n}=10[/tex] čine aritmetičku progresiju.
Za punjenje tankera potrebno je [tex]15n[/tex] pumpa-sati (sve pumpe zajedno radile bi [tex]15[/tex] sati), pa je
[tex]t_{1}+t_{2}+\ldots+t_{n}=\dfrac{n(t_{1}+10)}{2}=15n\Rightarrow t_{1}+10=30\Rightarrow t_{1}=20[/tex]

Rešenje:
U aritmetičkoj progresiji sa [tex]2k-1[/tex] članova srednji član je [tex]a_{k}[/tex], pa je [tex]S_{2k-1}=(2k-1)a_{k}[/tex].
Za [tex]k=17[/tex]: [tex]S_{33}=33a_{17}; T_{33}=33b_{17}[/tex]. Zato je
[tex]\dfrac{a_{17}}{b_{17}}=\dfrac{S_{33}}{T_{33}}=\dfrac{3\cdot 33+5}{4\cdot 33-1}=\dfrac{104}{131}[/tex]

Rešenje:
Druga progresija daje [tex]S_{n}=2a_{n}-a_{1}[/tex]. Tada nejednakost postaje
[tex](2a_{n}-a_{1})^{2}+7a_{1}^{2}\lt 4a_{n}^{2}\iff 2a_{1}^{2}\lt a_{1}a_{n}[/tex]
Dakle, [tex]a_{1}\ne 0; \dfrac{a_{n}}{a_{1}}\gt 2[/tex].
Iz formule za zbir: [tex]\dfrac{n(a_{1}+a_{n})}{2}=2a_{n}-a_{1}\iff a_{n}(4-n)=a_{1}(n+2)[/tex].
Za [tex]n=4[/tex] dobijamo [tex]a_{1}=0[/tex], što je nemoguće. Inače je
[tex]\dfrac{a_{n}}{a_{1}}=\dfrac{n+2}{4-n}\gt 2\iff 2\lt n\lt 4[/tex]
Dakle, [tex]n=3[/tex] (na primer, [tex]1; 3; 5[/tex]).

Rešenje:
[tex]S_{5}-S_{6}=-a_{6}\ge 6\Rightarrow a_{6}\le -6[/tex]
[tex]S_{5}-S_{4}=a_{5}\ge 6[/tex]
Dakle, [tex]d=a_{6}-a_{5}\le -12[/tex].
Pošto je [tex]a_{k+6}=a_{k}+6d[/tex], zbir sledećih šest članova razlikuje se od [tex]S_{6}[/tex] za [tex]36|d|[/tex]: [tex]36|d|\le 450\Rightarrow |d|\le 12{,} 5[/tex].
Dakle, [tex]d=-12; a_{5}=6; a_{6}=-6[/tex], pa je
[tex]a_{1}=a_{5}-4d=6+48=54[/tex]

Rešenje:
Neka je [tex]a=a_{1}[/tex]. Tada je [tex]a+7d=a^{3}\Rightarrow 7d=a(a-1)(a+1)[/tex]; pošto je [tex]d\ne 0[/tex], važi [tex]a\notin\{-1; 0; 1\}[/tex].
Pošto je [tex]a^{2}[/tex] član progresije, važi [tex]a^{2}=a+kd[/tex] za neki ceo broj [tex]k\ge 1[/tex]. Tada je
[tex]a(a-1)=\dfrac{k\,a(a-1)(a+1)}{7}\Rightarrow k(a+1)=7[/tex]
Pošto je [tex]a[/tex] ceo broj i [tex]k\ge 1[/tex], važi [tex]a+1\in\{1; 7\}[/tex]; kako je [tex]a\ne 0[/tex], [tex]a=6[/tex].
[tex]d=\dfrac{6\cdot 5\cdot 7}{7}=30[/tex]
Provera: [tex]a^{2}=36=a_{2}; a^{4}=1296=6+43\cdot 30=a_{44}[/tex].

Rešenje:
Neka su stranice [tex]a-1; a; a+1[/tex]. Nejednakost trougla [tex](a-1)+a\gt a+1[/tex] daje [tex]a\gt 2[/tex].
Po kosinusnoj teoremi je [tex]\cos\gamma=\dfrac{(a-1)^{2}+a^{2}-(a+1)^{2}}{2a(a-1)}=\dfrac{a-4}{2(a-1)}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2(a-1)}[/tex].
Za [tex]a\gt 2[/tex] to je neprekidna rastuća funkcija koja teži ka [tex]-1[/tex] kada [tex]a\to 2[/tex] i ka [tex]\dfrac{1}{2}[/tex] kada [tex]a\to\infty[/tex], ne dostižući te vrednosti.
[tex]-1\lt\cos\gamma\lt\dfrac{1}{2}\iff 60^{\circ}\lt\gamma\lt 180^{\circ}[/tex]

Rešenje:
Zapišimo elemente u rastućem poretku: [tex]a; a+d; \ldots; a+7d[/tex], gde je [tex]a\ge 1; d\ge 1; a+7d\le 2008[/tex].
Za fiksirano [tex]d[/tex] postoji [tex]2008-7d[/tex] mogućnosti za [tex]a[/tex]; taj broj je pozitivan za [tex]1\le d\le 286[/tex].
[tex]\sum_{d=1}^{286}(2008-7d)=286\cdot 2008-7\cdot \dfrac{286\cdot 287}{2}=574288-287287=287001[/tex]

Rešenje:
[tex]S_{2026}=1013(a_{1}+a_{2026})=2026\Rightarrow a_{1}+a_{2026}=2[/tex]
Ako je [tex]d=0[/tex], svi članovi su jednaki [tex]1[/tex] i drugi zbir je pozitivan, pa je [tex]d\ne 0[/tex].
Pošto je [tex]\dfrac{1}{a_{i}a_{i+1}}=\dfrac{1}{d}\left(\dfrac{1}{a_{i}}-\dfrac{1}{a_{i+1}}\right)[/tex], zbir se skraćuje:
[tex]\dfrac{1}{d}\left(\dfrac{1}{a_{1}}-\dfrac{1}{a_{2026}}\right)=\dfrac{a_{2026}-a_{1}}{d\,a_{1}a_{2026}}=\dfrac{2025}{a_{1}a_{2026}}=-2025[/tex]
Dakle, [tex]a_{1}a_{2026}=-1[/tex], a [tex]a_{1}[/tex] i [tex]a_{2026}[/tex] su koreni jednačine [tex]t^{2}-2t-1=0[/tex]:
[tex]a_{1}=1\pm\sqrt{2}[/tex]

Rešenje:
Uvodimo smenu [tex]t=4^{2x-x^{2}-2}[/tex]; tada je [tex]16^{2x-x^{2}-2}=t^{2}[/tex].
Pošto je [tex]2x-x^{2}-2=-(x-1)^{2}-1\le -1[/tex], [tex]t[/tex] uzima tačno vrednosti iz [tex]\left(0; \dfrac{1}{4}\right][/tex].
Uslov je [tex]2at=3+t^{2}\iff a=f(t)=\dfrac{1}{2}\left(t+\dfrac{3}{t}\right)[/tex].
Funkcija [tex]f[/tex] je opadajuća za [tex]0\lt t\le\sqrt{3}[/tex], pa na [tex]\left(0; \dfrac{1}{4}\right][/tex] uzima sve vrednosti [tex]a\ge f\left(\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{49}{8}[/tex].

Rešenje:
Za proizvoljne brojeve važi [tex](x_{1}+\ldots+x_{m})^{2}-(x_{1}^{2}+\ldots+x_{m}^{2})=2\sum_{i\lt j}x_{i}x_{j}[/tex].
Precrtavanjem [tex]a_{n}[/tex] nestaju proizvodi [tex]a_{n}a_{i}[/tex], pa se razlika smanjuje za [tex]2a_{n}S_{n-1}=1440\iff a_{n}S_{n-1}=720[/tex].
Članovi su rastući prirodni brojevi, pa je [tex]a_{k}\ge k\Rightarrow n\cdot \dfrac{n(n-1)}{2}\le 720\Rightarrow n\le 11[/tex].
Za [tex]n=11[/tex] treba [tex](a_{1}+10d)(2a_{1}+9d)=144[/tex], a za [tex]n=10[/tex] – [tex](a_{1}+9d)(a_{1}+4d)=80[/tex]; proverom malobrojnih mogućnosti [tex]a_{1}\ge 1; d\ge 1[/tex] ne dobijamo rešenja.
Za [tex]n=9[/tex] treba [tex](a_{1}+8d)(2a_{1}+7d)=180[/tex], što važi za [tex]a_{1}=4; d=1[/tex]: progresija [tex]4; 5; \ldots; 12[/tex]. Dakle, maksimum je [tex]9[/tex].

Rešenje:
Uvodimo smenu [tex]t=x^{4}[/tex]: [tex]t^{2}+at+a^{4}=0[/tex].
Četiri realna korena postoje ako postoje dva različita pozitivna korena [tex]0\lt t_{1}\lt t_{2}[/tex]; tada su realni koreni [tex]-q; -p; p; q[/tex], gde je [tex]p=\sqrt[4]{t_{1}}; q=\sqrt[4]{t_{2}}[/tex].
Oni čine aritmetičku progresiju kada je [tex]q-p=2p\iff q=3p\iff t_{2}=81t_{1}[/tex].
Po Vijetovim formulama [tex]t_{1}t_{2}=81t_{1}^{2}=a^{4}\Rightarrow t_{1}=\dfrac{a^{2}}{9}; t_{2}=9a^{2}[/tex].
Takođe je [tex]t_{1}+t_{2}=\dfrac{82a^{2}}{9}=-a\Rightarrow a=-\dfrac{9}{82}[/tex] (jer je [tex]a\ne 0[/tex]).

Rešenje:
Mora biti [tex]x\ge 0[/tex], a za [tex]x=0[/tex] dobijamo [tex]d=0[/tex], pa je [tex]x\gt 0[/tex].
Neka je [tex]x=t^{12}; t\gt 0[/tex]; brojevi su [tex]t^{6}; t^{4}; t^{3}[/tex].
Uslov je [tex]2t^{4}=t^{6}+t^{3}\iff t^{3}-2t+1=0\iff (t-1)(t^{2}+t-1)=0[/tex].
Koren [tex]t=1[/tex] daje [tex]d=0[/tex], pa je [tex]t=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}[/tex].
[tex]t^{2}=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}; t^{4}=\dfrac{7-3\sqrt{5}}{2}[/tex]
[tex]x=\left(t^{4}\right)^{3}=161-72\sqrt{5}[/tex]

Rešenje:
Delimo sa [tex]d^{2}[/tex] i uvodimo [tex]y=\dfrac{a_{1}}{d}[/tex]; tada je [tex]\dfrac{a_{k}}{d}=y+k-1[/tex], pa uslov postaje kvadratna jednačina
[tex](n-2)y^{2}+(n-1)(n-4)y+\dfrac{(n-1)(2n^{2}-13n+12)}{6}=0[/tex]
Njena diskriminanta je [tex]D=-\dfrac{n(n-1)(n^{2}-7n+4)}{3}[/tex], pa realno [tex]y[/tex] postoji samo ako je [tex]n^{2}-7n+4\le 0[/tex], tj. [tex]n\le\dfrac{7+\sqrt{33}}{2}\lt 7[/tex].
Slobodni član nije [tex]0[/tex] ni za jedno prirodno [tex]n[/tex], pa je [tex]y\ne 0[/tex] i [tex]a_{1}\ne 0[/tex]. Dakle, [tex]n\in\{3; 4; 5; 6\}[/tex]; na primer, za [tex]n=3[/tex] odgovara progresija [tex]3; 4; 5[/tex].