Zadaci sa progresijom - teži zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Iz onoga što je dato, znamo da je [tex]b^2=ac[/tex] i [tex]4b=3c+a[/tex]. Ukoliko kvadriramo poslednju jednakost, dobijemo [tex]16b^2=a^2+6ac+9c^2[/tex]. Kada zamenimo [tex]b^2[/tex] sa [tex]ac[/tex], poslednje postaje
[tex]a^2-10ac+9c^2=0[/tex], što znači da je ili [tex]a=c[/tex] ili [tex]a=9c[/tex]. Pretpostavimo da je [tex]a=c[/tex]. Onda aritmetička progresija postaje [tex]c,2b,3c[/tex], iz čega sledi [tex]4b=3c+c=4c[/tex], ili [tex]b=c[/tex], što nije rešenje (pošto geometrijska progresija nije konstantna).
Onda je [tex]a=9c[/tex]. Geometrijska progresija [tex]9c,2b,3c[/tex], što znači da je [tex]4b=9c+3c=12c[/tex], ili [tex]b=3c[/tex]. Geometrijska progresija postaje [tex]9c,3c,c[/tex], što očigledno ima koeficijent [tex]q=\frac{1}{3}[/tex].

Rešenje:
Pošto [tex]a,b,c[/tex] formiraju aritmetičku progresiju, možemo reći da je
[tex]a=b-d[/tex], [tex]c=b+d[/tex]. [tex]b,c,d[/tex] formiraju geometrijsku progresiju, pa možemo reći da je [tex]c=b \cdot q[/tex] i [tex]d=bq^2[/tex]. Kada zapišemo zbir, dobijemo sistem:
[tex]\begin{array}{|l}b-d+bq^2=37\\b+bq=36\\b+d=bq\end{array}[/tex].
Sabiranjem poslednja dva, dobijemo [tex]2b+d+bq=36+bq[/tex], ili [tex]d=36-2b[/tex]. Kada zamenimo u prvoj i trećoj jednačini, dobijemo
[tex]\begin{array}{|l}b+2b-36+bq^2=37\\b+36-2b=bq\end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l}(3+q^2)b=73\\b(q+1)=36\end{array}[/tex].
Podelimo ove dve kako bismo dobili
[tex]\frac{3+q^2}{q+1}=\frac{73}{36}[/tex]
[tex]108+36q^2=73+73q[/tex]
[tex]36q^2-73q+35=0[/tex]. Rešanja su [tex]q_1=\frac{5}{4}[/tex] i [tex]q_2=\frac{7}{9}[/tex]. Ona vode ka [tex]b=\frac{36}{q+1}[/tex]:
[tex]b_1=\frac{36}{1+\frac{5}{4}}=\frac{36 \cdot 4}{9}=16[/tex], [tex]c_1=b_1q=16 \cdot \frac{5}{4}=20[/tex], [tex]a_1=b_1-d=b_1-(c_1-b_1)=16-4=12[/tex] i [tex]d_1=c_1q=20 \cdot \frac{5}{4}=25[/tex]
i takođe [tex]b_2=\frac{36}{1+\frac{7}{9}}=\frac{36 \cdot 9}{16}=\frac{81}{4}[/tex] sa [tex]c_2=b_2q=\frac{81}{4} \cdot \frac{7}{9}=\frac{63}{4}[/tex], [tex]a_2=b_2-(c_2-b_2)=\frac{81}{4}+\frac{18}{4}=\frac{99}{4}[/tex] i [tex]d_2=c_2q_2=\frac{63}{4} \cdot \frac{7}{9}=\frac{49}{4}[/tex]. Tražimo necele brojeve, ali [tex]a_1,b_1,c_1,d_1[/tex] ne ispunjavaju uslove. Stoga, jedino preostalo rešenje je [tex]d_2=\frac{49}{4}[/tex]

Rešenje:
Označimo [tex]b=aq[/tex], [tex]c=aq^2[/tex].
Dobijemo aritmetičku progresiju [tex]a,aq,aq^2-64[/tex] i geometrijsku progresiju [tex]a,aq-8,aq^2-64[/tex]. Koristeći odnosna svojstva srednjeg člana progresija, dobijemo sistem
[tex]\begin{array}{|l}2aq=a+aq^2-64\\(aq-8)^2=a(aq^2-64) \end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l}2aq=a+aq^2-64\\a^2q^2-16aq+64=a^2q^2-64a \end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l}2aq=a+aq^2-64\\aq=4+4a \end{array}[/tex].
Kada poslednji pomnožimo sa q i primenimo ga odnosno, dobijemo [tex]aq^2=4q+4aq=4q+16+16a[/tex]. Kada zamenimo u prvoj jednačini:
[tex]2aq=a+aq^2-64[/tex], ili [tex]8+8a=a+4q+16+16a-64[/tex]
[tex]9a+4q=56[/tex], or [tex]q=-\frac{9a}{4}+14[/tex]. Kada promenimo u [tex]aq=4+4a[/tex], dobijemo
[tex]a(-\frac{9a}{4}+14)=4+4a[/tex]
[tex]-\frac{9a^2}{4}+14a=4+4a[/tex]
[tex]-9a^2+40a-16=0[/tex]
[tex]9a^2-40a+16=0[/tex]: [tex]D=20^2-9 \cdot 16=16 \cdot 25-16 \cdot 9=16(25-9)=16^2[/tex]
[tex]a_{1,2}=\frac{20 \pm 16}{9}[/tex]. Pošto je a ceo broj, jedino preostalo rešenje je
[tex]a=\frac{20+16}{9}=4[/tex]. [tex]q=14-\frac{9a}{4}=14-9=5[/tex] i [tex]c=aq^2=4 \cdot 5^2=100[/tex].

Rešenje:
15(1+4+9+16.........,)
Postaje specijalni niz
15[n(n+1)(2n+1)/6]
15[20(20+1)(40+1) /6] =
5 \cdot 20 \cdot 21 \cdot 41 / 2 =
5 \cdot 10 \cdot 21 \cdot 41 = 50 \cdot 861 = 43050