Zadaci sa progresijom - srednje teški zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Pošto [tex]a,b,c[/tex] formiraju aritmetičku progresiju, [tex]c=b+d=a+2d[/tex] i [tex]a+b+c=a+a+d+a+2d=3a+3d=9[/tex], pa je [tex]a+d=b=3[/tex] i [tex]a+c=6 => c=6-a[/tex]. Pošto [tex]a+1,b+1,c+3[/tex] formiraju geometrijsku progresiju, imamo [tex](b+1)^2=(a+1)(c+3)[/tex], ili [tex]16=(a+1)(6-a+3)=(a+1)(9-a)[/tex]
[tex]16=9a+9-a^2-a[/tex]
[tex]a^2-8a+7=0[/tex], stoga je [tex]a=7[/tex] ili [tex]a=1[/tex]. Ako ako je [tex]a=7[/tex], [tex]c=6-a=6-7=-1<0[/tex] i po definiciji c je pozitivno, pa [tex]a=7[/tex] nije rešenje. Stoga je [tex]a=1[/tex] i [tex]c=6-a=6-1=5[/tex].

Rešenje:
Iz svojstava aritmetičke i geometrijske progresije imamo [tex]2a=3+b[/tex] i [tex](a-6)^2=3b[/tex]. Zamenimo [tex]b=2a-3[/tex] u poslednju jednačinu da bismo dobili
[tex]a^2-12a+36=6a-9[/tex]
[tex]a^2-18a+45=0[/tex]
Rešenja ove kvadratne jednačine su [tex]a=3[/tex] i [tex]a=15[/tex]. Ali ako je [tex]a=3[/tex], aritmetička progresija postaje [tex]3,3,b[/tex], što znači da je [tex]b=3[/tex], što je u kontradikciji sa činjenicom da je [tex]b>3[/tex]. Stoga, jedino rešenje ostaje [tex]a=15[/tex].

Rešenje:
[tex]\{a_n\}[/tex] ima devet članova i iz formule za zbir aritmetičke progresije, znamo [tex]S_a=\frac{a_1+a_9}{2} \cdot 9=369[/tex], stoga je [tex]a_1+a_9=82[/tex], ili [tex]a_9=81[/tex]. Što znači da je [tex]b_9=81[/tex]. Pošto je [tex]b_9=b_1 \cdot q^8[/tex], ili [tex]81=3^4=q^8[/tex], imamo [tex]q^2=3[/tex].
[tex]b_7=b_1 \cdot q^6=1 \cdot (q^2)^3=3^3=27[/tex]

Rešenje:
Znamo da je [tex]b=\frac{a+c}{2}[/tex] i [tex]a^2=bc=\frac{a+c}{2}.c[/tex]
[tex]2a^2=c(a+c)=ac+c^2[/tex]. Podelimo jednačinu sa [tex]a^2[/tex]:
[tex]2=\frac{c}{a}+(\frac{c}{a})^2[/tex], ili
[tex](\frac{c}{a})^2-\frac{c}{a}-2=0[/tex]. Ali je [tex]\frac{c}{a}=q[/tex] (dva uzastopna člana geometrijske progresije). Pa je
[tex]q^2-q-2=0[/tex] sa korenima [tex]q_1=-1[/tex] i [tex]q_2=-2[/tex]. Ali [tex]q=-1[/tex] implicira [tex]b=q^2c=1 \cdot c=c[/tex], što je u kontradikciji sa [tex]b \ne c[/tex]. Stoga je [tex]q=-2[/tex].

Rešenje:
Označimo [tex]b=a+d, c=a+2d[/tex]. Pošto je [tex]a+b+c=a+a+d+a+2d=3a+3d=21[/tex], možemo zaključiti da je [tex]b=a+d=7[/tex]. Geometrijska progresija postaje [tex]a+2, 10, c+9[/tex] i aritmetička postaje [tex]a,7,c[/tex]. Što zanči da je [tex]a+c=14[/tex] i [tex](a+2)(c+9)=100[/tex]. Kada zamenimo [tex]a[/tex] sa [tex]14-c[/tex], dobijemo
[tex](16-c)(9+c)=100[/tex]
[tex]144-9c+16c-c^2=100[/tex]
[tex]c^2-7c+44=0[/tex], iz čega imamo [tex]c_1=-4[/tex] i [tex]c_2=11[/tex], ali je [tex]c>0[/tex] jedino moguće rešenje je [tex]c=11[/tex].

Rešenje:
Možemo označiti [tex]b=a+3d[/tex], [tex]c=a+7d[/tex], gde je [tex]d[/tex] razlika aritmetičke progresije u kojoj su brojevi. Po namenskom svojsvtu geometrijske progresije, imamo
[tex](a+3d)^2=a(a+7d)[/tex]
[tex]a^2+6ad+9d^2=a^2=7ad[/tex]
[tex]ad=9d^2[/tex]. Pošto je aritmetička progresija nekonstantna, [tex]d \ne 0[/tex]. Podelimo sa d da bismo dobili
[tex]a=9d[/tex]. Onda je [tex]b=9d+3d=12d[/tex] i [tex]c=9d+7d=16d[/tex]. Ali pošto je [tex]a,b,c,64[/tex] geometrijska progresija,
[tex]\frac{64}{c}=\frac{b}{a}[/tex]
[tex]\frac{64}{16d}=\frac{12d}{9d}=\frac{4}{3}[/tex]
[tex]d=\frac{64 \cdot 3}{16 \cdot 4}=3[/tex], odnosno [tex]a=27[/tex], [tex]b=36[/tex] i [tex]c=48[/tex] i rešenje je [tex]a+b-c=36+27-48=15[/tex]