Zadaci sa progresijom - teški zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Pošto [tex]a,b,c[/tex] formiraju aritmetičku progresiju, [tex]c=b+d=a+2d[/tex] i [tex]a+b+c=a+a+d+a+2d=3a+3d=9[/tex], pa je [tex]a+d=b=3[/tex] i [tex]a+c=6 => c=6-a[/tex]. Pošto [tex]a+1,b+1,c+3[/tex] formiraju geometrijsku progresiju, imamo [tex](b+1)^2=(a+1)(c+3)[/tex], ili [tex]16=(a+1)(6-a+3)=(a+1)(9-a)[/tex]
[tex]16=9a+9-a^2-a[/tex]
[tex]a^2-8a+7=0[/tex], stoga je [tex]a=7[/tex] ili [tex]a=1[/tex]. Ako ako je [tex]a=7[/tex], [tex]c=6-a=6-7=-1<0[/tex] i po definiciji c je pozitivno, pa [tex]a=7[/tex] nije rešenje. Stoga je [tex]a=1[/tex] i [tex]c=6-a=6-1=5[/tex].

Rešenje:
Iz svojstava aritmetičke i geometrijske progresije imamo [tex]2a=3+b[/tex] i [tex](a-6)^2=3b[/tex]. Zamenimo [tex]b=2a-3[/tex] u poslednju jednačinu da bismo dobili
[tex]a^2-12a+36=6a-9[/tex]
[tex]a^2-18a+45=0[/tex]
Rešenja ove kvadratne jednačine su [tex]a=3[/tex] i [tex]a=15[/tex]. Ali ako je [tex]a=3[/tex], aritmetička progresija postaje [tex]3,3,b[/tex], što znači da je [tex]b=3[/tex], što je u kontradikciji sa činjenicom da je [tex]b>3[/tex]. Stoga, jedino rešenje ostaje [tex]a=15[/tex].

Rešenje:
[tex]\{a_n\}[/tex] ima devet članova i iz formule za zbir aritmetičke progresije, znamo [tex]S_a=\frac{a_1+a_9}{2} \cdot 9=369[/tex], stoga je [tex]a_1+a_9=82[/tex], ili [tex]a_9=81[/tex]. Što znači da je [tex]b_9=81[/tex]. Pošto je [tex]b_9=b_1 \cdot q^8[/tex], ili [tex]81=3^4=q^8[/tex], imamo [tex]q^2=3[/tex].
[tex]b_7=b_1 \cdot q^6=1 \cdot (q^2)^3=3^3=27[/tex]

Rešenje:
Znamo da je [tex]b=\frac{a+c}{2}[/tex] i [tex]a^2=bc=\frac{a+c}{2} \cdot c[/tex]
[tex]2a^2=c(a+c)=ac+c^2[/tex]. Podelimo jednačinu sa [tex]a^2[/tex]:
[tex]2=\frac{c}{a}+(\frac{c}{a})^2[/tex], ili
[tex](\frac{c}{a})^2-\frac{c}{a}-2=0[/tex]. Ali je [tex]\frac{c}{a}=q[/tex] (dva uzastopna člana geometrijske progresije). Pa je
[tex]q^2-q-2=0[/tex] sa korenima [tex]q_1=-1[/tex] i [tex]q_2=-2[/tex]. Ali [tex]q=-1[/tex] implicira [tex]b=q^2c=1 \cdot c=c[/tex], što je u kontradikciji sa [tex]b \ne c[/tex]. Stoga je [tex]q=-2[/tex].

Rešenje:
Označimo [tex]b=a+d, c=a+2d[/tex]. Pošto je [tex]a+b+c=a+a+d+a+2d=3a+3d=21[/tex], možemo zaključiti da je [tex]b=a+d=7[/tex]. Geometrijska progresija postaje [tex]a+2, 10, c+9[/tex] i aritmetička postaje [tex]a,7,c[/tex]. Što zanči da je [tex]a+c=14[/tex] i [tex](a+2)(c+9)=100[/tex]. Kada zamenimo [tex]a[/tex] sa [tex]14-c[/tex], dobijemo
[tex](16-c)(9+c)=100[/tex]
[tex]144-9c+16c-c^2=100[/tex]
[tex]c^2-7c+44=0[/tex], iz čega imamo [tex]c_1=-4[/tex] i [tex]c_2=11[/tex], ali je [tex]c>0[/tex] jedino moguće rešenje je [tex]c=11[/tex].

Rešenje:
Možemo označiti [tex]b=a+3d[/tex], [tex]c=a+7d[/tex], gde je [tex]d[/tex] razlika aritmetičke progresije u kojoj su brojevi. Po namenskom svojsvtu geometrijske progresije, imamo
[tex](a+3d)^2=a(a+7d)[/tex]
[tex]a^2+6ad+9d^2=a^2=7ad[/tex]
[tex]ad=9d^2[/tex]. Pošto je aritmetička progresija nekonstantna, [tex]d \ne 0[/tex]. Podelimo sa d da bismo dobili
[tex]a=9d[/tex]. Onda je [tex]b=9d+3d=12d[/tex] i [tex]c=9d+7d=16d[/tex]. Ali pošto je [tex]a,b,c,64[/tex] geometrijska progresija,
[tex]\frac{64}{c}=\frac{b}{a}[/tex]
[tex]\frac{64}{16d}=\frac{12d}{9d}=\frac{4}{3}[/tex]
[tex]d=\frac{64 \cdot 3}{16 \cdot 4}=3[/tex], odnosno [tex]a=27[/tex], [tex]b=36[/tex] i [tex]c=48[/tex] i rešenje je [tex]a+b-c=36+27-48=15[/tex]

Rešenje:
Geometrijska progresija se sastoji od brojeva [tex]2^{k}; k\ge -3[/tex] ([tex]k[/tex] je ceo broj).
Aritmetička progresija ima [tex]d=16[/tex] i članove [tex]16m-28=4(4m-7); m\ge 1[/tex].
Zajednički član je prirodan broj deljiv sa [tex]4[/tex], pa je jednak [tex]2^{k}[/tex] sa [tex]k\ge 2[/tex], i [tex]4m-7=2^{k-2}[/tex]. Leva strana je neparna, pa je [tex]2^{k-2}=1[/tex], [tex]k=2[/tex] i [tex]m=2[/tex]. Zajednički član je [tex]4[/tex].

Rešenje:
Neka su ti brojevi [tex]A; B; V; G[/tex]. Tada je
[tex]2B=A+V; V^{2}=AG; A+G=10; B+V=7[/tex]
[tex]B=7-V\Rightarrow A=2B-V=14-3V; G=10-A=3V-4[/tex]
[tex]V^{2}=(14-3V)(3V-4)\iff 5V^{2}-27V+28=0\iff V=4[/tex] ili [tex]V=\dfrac{7}{5}[/tex]
Brojevi su celi, pa je [tex]V=4[/tex], [tex]A=2[/tex], [tex]B=3[/tex], [tex]G=8[/tex].

Rešenje:
Zapišimo [tex]a_{1}=a; a_{2}=aq; a_{3}=aq^{2}; a_{4}=aq^{3}[/tex]. Tada je
[tex]2a_{2}=(a_{1}+1)+(a_{3}-4)\Rightarrow a(q-1)^{2}=3[/tex]
[tex]2(a_{3}-4)=a_{2}+(a_{4}-14)\Rightarrow aq(q-1)^{2}=6[/tex]
Deljenjem: [tex]q=2; a=3[/tex]. Brojevi su [tex]3; 6; 12; 24[/tex] (aritmetička progresija je [tex]4; 6; 8; 10[/tex]).

Rešenje:
Neka su brojevi [tex]b; bq; bq^{2}[/tex], [tex]b\gt 0[/tex], [tex]q\gt 0[/tex]. Za aritmetičku progresiju je
[tex]S_{9}=\dfrac{a_{1}+a_{9}}{2}\cdot 9=9a_{5}=9b=bq^{2}\Rightarrow q=3[/tex]
[tex]b(1+3+9)=39\Rightarrow b=3[/tex]
Brojevi su [tex]3; 9; 27[/tex]; tada je [tex]a_{5}=3; a_{8}=9\Rightarrow 3d=6; d=2[/tex], pa je
[tex]a_{1}=a_{5}-4d=-5[/tex]

Rešenje:
Neka su brojevi [tex]a; b; c[/tex], pri čemu je [tex]b^{2}=ac[/tex]. Druga geometrijska progresija daje
[tex](b-4)^{2}=ac=b^{2}\Rightarrow -8b+16=0\Rightarrow b=2; ac=4[/tex]
Brojevi [tex]a; -2; c-9[/tex] čine aritmetičku progresiju, pa je
[tex]-4=a+c-9\Rightarrow a+c=5[/tex]
Zajedno sa [tex]ac=4[/tex] dobijamo [tex]\{a; c\}=\{1; 4\}[/tex]: brojevi su [tex]1; 2; 4[/tex] ili [tex]4; 2; 1[/tex].

Rešenje:
[tex]a_{1}=2; b_{1}=1; 2+5d=3q; 2+14d=4q^{2}[/tex]
[tex]d=\dfrac{3q-2}{5}\Rightarrow 10+14(3q-2)=20q^{2}\iff 10q^{2}-21q+9=0[/tex]
Dakle, [tex]q=\dfrac{3}{2}[/tex] ili [tex]q=\dfrac{3}{5}[/tex]. Progresija je rastuća i [tex]b_{1}\gt 0[/tex], pa je [tex]q=\dfrac{3}{2}[/tex] i [tex]d=\dfrac{1}{2}[/tex].

Rešenje:
Neka je [tex]b_{1}=b[/tex], a [tex]q[/tex] količnik. Iz [tex]2a_{2}=a_{1}+a_{3}[/tex]:
[tex]2(bq+1)=b+bq^{2}-1\iff b(q-1)^{2}=3; b(1+q+q^{2})=21[/tex]
[tex]1+q+q^{2}=7(q-1)^{2}\iff 2q^{2}-5q+2=0\iff q=2[/tex] ili [tex]q=\dfrac{1}{2}[/tex]
Za [tex]q=\dfrac{1}{2}[/tex] geometrijska progresija je opadajuća, pa je [tex]q=2[/tex] i [tex]b=3[/tex]. Aritmetička progresija je [tex]3; 7; 11; \ldots[/tex] sa [tex]d=4[/tex]:
[tex]S_{n}=\dfrac{6+4(n-1)}{2}\cdot n=n(2n+1)=55\iff 2n^{2}+n-55=0\iff n=5[/tex]

Rešenje:
Neka je [tex]d[/tex] razlika, [tex]b_{1}=b[/tex] i [tex]q[/tex] količnik. Oduzimamo uzastopne jednačine:
[tex]d+b(q-1)=0; d+bq(q-1)=12; d+bq^{2}(q-1)=48[/tex]
Ponovo oduzimamo: [tex]b(q-1)^{2}=12; bq(q-1)^{2}=36[/tex]. Deljenjem:
[tex]q=3; b=3; d=-b(q-1)=-6; a_{1}=27-3=24[/tex]
Aritmetička progresija je [tex]24; 18; 12; 6[/tex], a geometrijska [tex]3; 9; 27; 81[/tex].

Rešenje:
Neka su brojevi [tex]x-a; x; x+a[/tex]. Tada je
[tex](x-2)^{2}=(x-a)(x+a)\iff a^{2}=4x-4[/tex]
[tex]x^{2}=(x-a)(x+a+9)\iff a^{2}+9a=9x[/tex]
[tex]x=\dfrac{a^{2}+4}{4}\Rightarrow 5a^{2}-36a+36=0\iff a=6[/tex] ili [tex]a=\dfrac{6}{5}[/tex]
Brojevi su [tex]4; 10; 16[/tex] ili [tex]\dfrac{4}{25}; \dfrac{34}{25}; \dfrac{64}{25}[/tex].

Rešenje:
Neka su brojevi [tex]x_{1}; x_{2}; x_{3}; x_{4}; x_{5}[/tex]. Iz geometrijske progresije je
[tex]x_{1}x_{2}x_{3}=x_{2}^{3}=8\Rightarrow x_{2}=2; x_{1}=\dfrac{4}{x_{3}}[/tex]
[tex]x_{4}=\dfrac{37}{2}-2=\dfrac{33}{2}; x_{5}=2x_{4}-x_{3}=33-x_{3}[/tex]
[tex]\dfrac{4}{x_{3}}+33-x_{3}=30\iff x_{3}^{2}-3x_{3}-4=0\iff x_{3}=4[/tex] ili [tex]x_{3}=-1[/tex]
Rešenja su [tex]1; 2; 4; \dfrac{33}{2}; 29[/tex] i [tex]-4; 2; -1; \dfrac{33}{2}; 34[/tex].

Rešenje:
Neka su cifre [tex]x; y; z[/tex]; one čine geometrijsku progresiju, pa je [tex]y^{2}=xz[/tex] i sve cifre su različite od nule.
Oduzimanje [tex]400[/tex] menja samo cifru stotina, pa su nove cifre [tex]x-4; y; z[/tex], [tex]x\ge 5[/tex], i [tex]2y=x-4+z[/tex]. Tada je
[tex]z=2y-x+4\Rightarrow y^{2}=x(2y-x+4)\iff (x-y)^{2}=4x[/tex]
Dakle, [tex]x[/tex] je potpun kvadrat i [tex]5\le x\le 9[/tex], tj. [tex]x=9[/tex]; iz [tex]|9-y|=6[/tex] dobijamo cifru [tex]y=3[/tex] i [tex]z=1[/tex]. Traženi broj je [tex]931[/tex] (a broj [tex]531[/tex] ima cifre u aritmetičkoj progresiji).

Rešenje:
Neka su logaritmi [tex]u; u+d; u+2d; u+3d; d\gt 0[/tex]. Jedan od srednjih članova je [tex]0[/tex], pa je [tex]u=-d[/tex] ili [tex]u=-2d[/tex]. U oba slučaja
[tex]u(u+3d)=-2d^{2}=-8\Rightarrow d=2[/tex]
Logaritmi su [tex]-2; 0; 2; 4[/tex] ili [tex]-4; -2; 0; 2[/tex], pa su brojevi [tex]\dfrac{1}{4}; 1; 4; 16[/tex] ili [tex]\dfrac{1}{16}; \dfrac{1}{4}; 1; 4[/tex].

Rešenje:
Šesti član je [tex]a_{6}=S_{6}-S_{5}=72-45=27[/tex] (niz je aritmetička progresija [tex]a_{k}=6k-9[/tex]).
Zbir tri broja je [tex]3\cdot 13=39[/tex], pa je zbir druga dva [tex]12[/tex]. Kada bi [tex]27[/tex] bio srednji član, druga dva broja imala bi proizvod [tex]27^{2}=729[/tex] i zbir [tex]12[/tex], što je nemoguće za realne brojeve. Dakle, [tex]27[/tex] je krajnji član:
[tex]27(1+q+q^{2})=39\iff 9q^{2}+9q-4=0\iff q=\dfrac{1}{3}[/tex] ili [tex]q=-\dfrac{4}{3}[/tex]
Za [tex]q=-\dfrac{4}{3}[/tex] treći broj je [tex]48\gt 27[/tex], što je nemoguće. Dakle, brojevi su [tex]27; 9; 3[/tex], a najmanji je [tex]3[/tex].