Zadaci sa Vijetovim formulama - teški zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Prvo, zapišemo [tex]x_1^2+x_2^2u[/tex] u obliku osnovnog simetričnog polinoma:

[tex]x_1^2+x_2^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2[/tex].

Pomoću Vijetove formule dobijemo [tex]x_1+x_2=-5[/tex] i [tex]x_1x_2=-3[/tex].

Zamenimo u izrazu kako bismo dobili [tex]x_1^2+x_2^2=(-5)^2-2\cdot(-3)=25+6=31[/tex].

Rešenje:
Prvo, zapišemo [tex]x_1^2+x_2^2[/tex] u obliku osnovnog simetričnog polinoma:

[tex]x_1^2+x_2^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2[/tex].

Pomoću Vijetovih formula dobijemo [tex]x_1+x_2=-11[/tex] i [tex]x_1x_2=12[/tex].

Zamenimo u izrazu da bismo dobili [tex]x_1^2+x_2^2=(-11)^2-2\cdot 12=121-24=97[/tex].

Rešenje:
[tex]\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_2}{x_1x_2}+\frac{x_1}{x_1x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}[/tex].

Iz Vijetovih formula imamo [tex]x_1+x_2=-9[/tex], [tex]x_1x_2=33[/tex].

Zamenimo i dobijemo: [tex]\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{-9}{33}=-\frac{3}{11}[/tex]

Rešenje:
Pošto je [tex]n[/tex] rešenje, važi [tex]n^2-n-2018=0[/tex], tj. [tex]n^2=n+2018[/tex].
Tada je [tex]m+n^2=m+n+2018[/tex].
Po Vijetovim formulama [tex]m+n=1[/tex], pa je [tex]m+n^2=1+2018=2019[/tex].

Rešenje:
Zapišemo izraz kao [tex]x_1-x_1^2+x_2-x_2^2=x_1+x_2-(x_1^2+x_2^2)=x_1+x_2-(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2)=x_1+x_2-((x_1+x_2)^2-2x_1x_2)=(x_1+x_2)-(x_1+x_2)^2+2x_1x_2=(x_1+x_2)(1-(x_1+x_2))+2x_1x_2[/tex].

Iz Vijetovih formula znamo da su [tex]x_1+x_2=12[/tex] i [tex]x_1x_2=19[/tex].

Zamenimo i dobijemo [tex]12(1-12)+2\cdot 19=-12\cdot 11+38=-132+38=-94[/tex]

Rešenje:
Prvo ćemo upoterbiti identitet: [tex]|a|=\sqrt{a^2}[/tex].

To nas dovodi do [tex]|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2}=\sqrt{x_1^2-2x_1x_2+x_2^2}=\sqrt{x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-4x_1x_2}=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}[/tex].

Potom, koristimo Vijetove formule da bismo dobili [tex]x_1+x_2=15[/tex], [tex]x_1x_2=36[/tex].

Rezultat je [tex]\sqrt{15^2-4 \cdot 36}=\sqrt{225-144}=\sqrt{81}=9[/tex]

Rešenje:
Neka je [tex]x_1=x_2+3[/tex]. Po Vijetovim formulama [tex]x_1+x_2=15[/tex], tj. [tex]2x_2+3=15[/tex], [tex]x_2=6[/tex], [tex]x_1=9[/tex].
Tada je [tex]x_1x_2=54=k^2-10[/tex], odakle [tex]k^2=64[/tex] i [tex]k=\pm 8[/tex].
Provera: za [tex]k=\pm 8[/tex] jednačina glasi [tex]x^2-15x+54=0[/tex] i ima rešenja [tex]6[/tex] i [tex]9[/tex].

Rešenje:
[tex]D=9-4=5>0[/tex], [tex]x_1+x_2=3>0[/tex], [tex]x_1x_2=1>0[/tex], pa su oba rešenja pozitivna i koreni postoje.
Neka je [tex]A=\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}>0[/tex]. Kvadriramo:
[tex]A^2=x_1+x_2+2\sqrt{x_1x_2}=3+2\sqrt{1}=5[/tex].
Pošto je [tex]A>0[/tex], [tex]A=\sqrt{5}[/tex].

Rešenje:
Suprotna rešenja imaju zbir [tex]0[/tex]: [tex]x_1+x_2=\frac{m^2-m-12}{m}=0[/tex], tj. [tex]m^2-m-12=0[/tex], odakle [tex]m=4[/tex] ili [tex]m=-3[/tex].
Za realna suprotna rešenja [tex]x[/tex] i [tex]-x[/tex] proizvod je [tex]-x^2\le 0[/tex]; ovde ne može biti [tex]0[/tex], pa je [tex]x_1x_2=\frac{37}{m}<0[/tex], tj. [tex]m<0[/tex].
Za [tex]m=4[/tex] dobijamo [tex]4x^2+37=0[/tex] — nema realnih rešenja.
Za [tex]m=-3[/tex] dobijamo [tex]-3x^2+37=0[/tex] sa rešenjima [tex]\pm\sqrt{\frac{37}{3}}[/tex].
Odgovor: [tex]m=-3[/tex].

Rešenje:
Uklonimo zagradu i izrazimo u obliku osnovnog simetričnog polinoma:

[tex]x_1^2-2x_1\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_1^2}+x_2^2-2x_2\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_2^2}=x_1^2+x_2^2+\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}-4=x_1^2+x_2^2+\frac{x_1^2+x_2^2}{(x_1x_2)^2}-4=(x_1^2+x_2^2)(1+\frac{1}{(x_1x_2)^2})-4=((x_1+x_2)^2-2x_1x_2)(1+\frac{1}{(x_1x_2)^2})-4[/tex].

Pomoću vijetovih formula dobijamo [tex]x_1+x_2=4[/tex] and [tex]x_1x_2=1[/tex].

Zamenimo i dobijemo: [tex](4^2-2)(1+1)-4=(16-2)\cdot 2-4=28-4=24[/tex]

Rešenje:
Prvo zapišemo željene izraze u oliku osnovnog simetričnog polinoma.

[tex](x_1^3+x_2^3)+(x_1^2+x_2^2)+(x_1+x_2)=(x_1+x_2)(x_1^2+x_2^2-x_1x_2)+(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2)+(x_1+x_2) = (x_1+x_2)(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-3x_1x_2)+(x_1+x_2)^2-2x_1x_2+(x_1+x_2)=(x_1+x_2)((x_1+x_2)^2-3x_1x_2)+(x_1+x_2)^2+(x_1+x_2)-2x_1x_2[/tex].

Iz Vijetovih formula znamo da je [tex]x_1+x_2=8[/tex] i [tex]x_2x_2=11[/tex].

Zamenimo: [tex]8(8^2-3 \cdot 11)+8^2+8-2 \cdot 11=8(64-33)+64+8-22=8 \cdot 31+50=8 \cdot 31+8 \cdot 6 +2=8 \cdot 37 + 2=298[/tex]

Rešenje:
[tex]\frac{D}{4}=36-28=8>0[/tex]. Po Vijetovim formulama [tex]x_1+x_2=\frac{12}{7}[/tex], [tex]x_1x_2=\frac{4}{7}[/tex].
Zbir novih rešenja: [tex]x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\frac{144}{49}-\frac{56}{49}=\frac{88}{49}[/tex].
Proizvod novih rešenja: [tex]x_1^2x_2^2=(x_1x_2)^2=\frac{16}{49}[/tex].
Jednačina je [tex]x^2-\frac{88}{49}x+\frac{16}{49}=0[/tex], tj. [tex]49x^2-88x+16=0[/tex].

Rešenje:
Iz Vijetovih formula imamo [tex]x_1x_2=a^2-2a+1=(a-1)^2[/tex]. S ozirom da je u pitanju kvadrat, [tex](a-1)^2 \ge 0[/tex], uz jednakost [tex]a=1[/tex]. Dakle, odgovor je [tex]a=1[/tex] i minimalna vrednost je 0.

Rešenje:
Dva različita pozitivna rešenja postoje tačno kada je [tex]D>0[/tex], [tex]x_1+x_2>0[/tex] i [tex]x_1x_2>0[/tex].
[tex]D=(2m-1)^2+4(m+3)=4m^2+13>0[/tex] za svako [tex]m[/tex].
[tex]x_1+x_2=1-2m>0[/tex] daje [tex]m\lt \frac{1}{2}[/tex].
[tex]x_1x_2=-m-3>0[/tex] daje [tex]m\lt -3[/tex].
Sva tri uslova važe za [tex]m\lt -3[/tex].

Rešenje:
Po Vijetovim formulama [tex]x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=k^2-2[/tex].
Uslov [tex]k^2-2\le 2[/tex] daje [tex]k^2\le 4[/tex].
Ali rešenja moraju biti realna: [tex]D=k^2-4\ge 0[/tex], tj. [tex]k^2\ge 4[/tex].
Oba uslova važe samo za [tex]k^2=4[/tex], tj. [tex]k=\pm 2[/tex] (tada jednačina ima dvostruko rešenje [tex]\mp 1[/tex]).

Rešenje:
Po obrnutoj Vijetovoj teoremi [tex]x[/tex] i [tex]y[/tex] su rešenja jednačine [tex]t^2-2at+a^2-1=0[/tex].
Broj [tex]1[/tex] je strogo između njih tačno kada je [tex](x-1)(y-1)\lt 0[/tex]:
[tex](x-1)(y-1)=xy-(x+y)+1=a^2-1-2a+1=a^2-2a\lt 0[/tex].
Dakle, [tex]a(a-2)\lt 0[/tex], tj. [tex]0\lt a\lt 2[/tex].
Provera: rešenja su [tex]a-1[/tex] i [tex]a+1[/tex], a [tex]a-1\lt 1\lt a+1[/tex] znači [tex]0\lt a\lt 2[/tex].

Rešenje:
Iz uslova [tex]x_1=2x_2+3[/tex]. Po Vijetovim formulama [tex]x_1x_2=5[/tex]:
[tex](2x_2+3)x_2=5[/tex], tj. [tex]2x_2^2+3x_2-5=0[/tex], odakle [tex]x_2=1[/tex] ili [tex]x_2=-\frac{5}{2}[/tex].
[tex]x_2=1[/tex]: [tex]x_1=5[/tex] i [tex]a=-(x_1+x_2)=-6[/tex].
[tex]x_2=-\frac{5}{2}[/tex]: [tex]x_1=-2[/tex] i [tex]a=-(x_1+x_2)=\frac{9}{2}[/tex].
Odgovor: [tex]a=-6[/tex] ili [tex]a=\frac{9}{2}[/tex].

Rešenje:
Neka je [tex]x_1=x_2^2[/tex]. Po Vijetovim formulama:
[tex]x_2^2+x_2=\frac{15}{4}[/tex], tj. [tex]4x_2^2+4x_2-15=0[/tex] i [tex]x_2=\frac{-4\pm 16}{8}[/tex], tj. [tex]x_2=\frac{3}{2}[/tex] ili [tex]x_2=-\frac{5}{2}[/tex].
[tex]x_1x_2=x_2^3=a^3[/tex], pa je [tex]a=x_2[/tex].
Provera za [tex]a=\frac{3}{2}[/tex]: rešenja [tex]\frac{3}{2}[/tex] i [tex]\frac{9}{4}[/tex]; za [tex]a=-\frac{5}{2}[/tex]: rešenja [tex]-\frac{5}{2}[/tex] i [tex]\frac{25}{4}[/tex]. Obe vrednosti odgovaraju.
Odgovor: [tex]a=\frac{3}{2}[/tex] ili [tex]a=-\frac{5}{2}[/tex].

Rešenje:
[tex]D=(p-3)^2+4>0[/tex], tj. rešenja su uvek realna, a njihov proizvod je [tex]-1\ne 0[/tex].
Po Vijetovim formulama [tex]x_1+x_2=3-p[/tex], [tex]x_1x_2=-1[/tex]:
[tex]\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=\frac{(p-3)^2+2}{-1}[/tex].
Uslov postaje [tex]-(p-3)^2-2+3=0[/tex], tj. [tex](p-3)^2=1[/tex], odakle [tex]p=2[/tex] ili [tex]p=4[/tex].
Za [tex]p=2[/tex]: [tex]x^2-x-1=0[/tex], [tex]x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}[/tex]; za [tex]p=4[/tex]: [tex]x^2+x-1=0[/tex], [tex]x_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}[/tex].

Rešenje:
Po Vijetovim formulama [tex]S=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=4-2a^2[/tex].
Rešenja su realna samo ako je [tex]\frac{D}{4}=1-a^2\ge 0[/tex], tj. [tex]0\le a^2\le 1[/tex].
Tada je [tex]2\le 4-2a^2\le 4[/tex].
Najveća vrednost [tex]S=4[/tex] za [tex]a=0[/tex] (rešenja [tex]0[/tex] i [tex]2[/tex]); najmanja vrednost [tex]S=2[/tex] za [tex]a=\pm 1[/tex] (dvostruko rešenje [tex]1[/tex]).
Napomena: bez uslova [tex]D\ge 0[/tex] pogrešno bismo zaključili da [tex]S[/tex] nema najmanju vrednost.

Rešenje:
Realna rešenja: [tex]D=a^2-4a-12=(a-6)(a+2)\ge 0[/tex], tj. [tex]a\le -2[/tex] ili [tex]a\ge 6[/tex].
Obe strane nejednakosti [tex]|x_1-x_2|\le 3[/tex] su nenegativne, pa smemo da kvadriramo:
[tex](x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=a^2-4(a+3)=a^2-4a-12\le 9[/tex].
[tex]a^2-4a-21\le 0[/tex], tj. [tex](a-7)(a+3)\le 0[/tex], odakle [tex]-3\le a\le 7[/tex].
Presek sa prvim uslovom: [tex]a\in[-3; -2]\cup[6; 7][/tex].

Rešenje:
[tex]x_1x_2=-(m^2+2m+2)=-\left((m+1)^2+1\right)<0[/tex] za svako [tex]m[/tex], pa su rešenja realna i suprotnog znaka.
Neka je [tex]x_1>x_2[/tex] i [tex]x_1-x_2=6[/tex]. Tada je [tex](x_1-x_2)^2=36[/tex]:
[tex](x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=4(m+1)^2+4\left((m+1)^2+1\right)=8(m+1)^2+4[/tex].
[tex]8(m+1)^2+4=36[/tex], tj. [tex](m+1)^2=4[/tex] i [tex]m+1=\pm 2[/tex].
Odgovor: [tex]m=1[/tex] ili [tex]m=-3[/tex].

Rešenje:
Pošto su [tex]\alpha[/tex] i [tex]\beta[/tex] rešenja: [tex]\alpha^2=1-\alpha[/tex], [tex]\beta^2=1-\beta[/tex]. Po Vijetovim formulama [tex]\alpha+\beta=-1[/tex], tj. [tex]\beta=-1-\alpha[/tex] i [tex]\beta^2=1-\beta=2+\alpha[/tex].
[tex]f(\alpha)=\beta^2[/tex]: [tex]1-\alpha+P\alpha+Q=2+\alpha[/tex], tj. [tex](P-2)\alpha+(Q-1)=0[/tex].
Analogno [tex]f(\beta)=\alpha^2[/tex] daje [tex](P-2)\beta+(Q-1)=0[/tex].
Oduzimanjem: [tex](P-2)(\alpha-\beta)=0[/tex]. Pošto je [tex]D=5>0[/tex], [tex]\alpha\ne\beta[/tex], pa je [tex]P=2[/tex], a zatim [tex]Q=1[/tex].

Rešenje:
Po Vijetovim formulama: [tex](k+1)x_2=-\frac{b}{a}[/tex] i [tex]kx_2^2=\frac{c}{a}[/tex].
Ako je [tex]k\ne -1[/tex], onda je [tex]x_2=-\frac{b}{a(k+1)}[/tex]; zamenimo u drugu jednakost:
[tex]k\cdot\frac{b^2}{a^2(k+1)^2}=\frac{c}{a}[/tex], tj. [tex]kb^2=(k+1)^2ac[/tex].
Ako je [tex]k=-1[/tex] (suprotna rešenja), onda je [tex]b=0[/tex], što se takođe slaže sa [tex]kb^2=(k+1)^2ac[/tex].
Odgovor: [tex]kb^2=(k+1)^2ac[/tex].
Primer: za [tex]x^2-3x+2=0[/tex] (rešenja [tex]2[/tex] i [tex]1[/tex], [tex]k=2[/tex]): [tex]2\cdot 9=9\cdot 2[/tex].

Rešenje:
Pošto je [tex]x_1[/tex] rešenje, važi [tex]ax_1^2+bx_1+c=0[/tex]. Pomnožimo sa [tex]x_1^{n-2}[/tex]:
[tex]ax_1^n+bx_1^{n-1}+cx_1^{n-2}=0[/tex].
Analogno [tex]ax_2^n+bx_2^{n-1}+cx_2^{n-2}=0[/tex].
Saberemo dve jednakosti: [tex]a(x_1^n+x_2^n)+b(x_1^{n-1}+x_2^{n-1})+c(x_1^{n-2}+x_2^{n-2})=0[/tex], tj. [tex]aS_n+bS_{n-1}+cS_{n-2}=0[/tex].
To omogućava da se zbirovi stepena računaju korak po korak. Na primer, za [tex]x^2-x-1=0[/tex]: [tex]S_0=2[/tex], [tex]S_1=1[/tex], [tex]S_n=S_{n-1}+S_{n-2}[/tex], odakle [tex]S_2=3[/tex], [tex]S_3=4[/tex], [tex]S_4=7[/tex], [tex]S_5=11[/tex].