Zadaci sa Vijetovim formulama - veoma teški zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Slučaj [tex]m=2[/tex]: jednačina je linearna, [tex]-4x-1=0[/tex], [tex]x=-\frac{1}{4}\lt 0[/tex]. Dakle, [tex]m=2[/tex] odgovara.
Slučaj [tex]m\ne 2[/tex]: potrebna su realna rešenja, oba negativna:
[tex]\frac{D}{4}=m^2+(m-2)=(m+2)(m-1)\ge 0[/tex], tj. [tex]m\le -2[/tex] ili [tex]m\ge 1[/tex];
[tex]x_1x_2=-\frac{1}{m-2}>0[/tex], tj. [tex]m\lt 2[/tex];
[tex]x_1+x_2=\frac{2m}{m-2}\lt 0[/tex], tj. [tex]0\lt m\lt 2[/tex].
Ukupno: [tex]1\le m\lt 2[/tex] (za [tex]m=1[/tex] postoji dvostruko rešenje [tex]x=-1[/tex]).
Odgovor: [tex]m\in[1; 2][/tex].

Rešenje:
Po Vijetovim formulama [tex]x_1+x_2=1-a[/tex], [tex]x_1x_2=\frac{2a^2-5a}{6}[/tex].
[tex]x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)\left((x_1+x_2)^2-3x_1x_2\right)=(1-a)\left((1-a)^2-\frac{2a^2-5a}{2}\right)=\frac{(1-a)(a+2)}{2}=\frac{-a^2-a+2}{2}[/tex].
Rešenja moraju biti realna: [tex]\frac{D}{4}=9(a-1)^2-6(2a^2-5a)=-3a^2+12a+9\ge 0[/tex], tj. [tex]a^2-4a-3\le 0[/tex], [tex]2-\sqrt{7}\le a\le 2+\sqrt{7}[/tex].
Parabola [tex]\frac{-a^2-a+2}{2}[/tex] je okrenuta nadole i ima teme u [tex]a=-\frac{1}{2}[/tex], koje leži u ovom intervalu jer je [tex]2-\sqrt{7}<-\frac{1}{2}[/tex].
Dakle, zbir kubova je najveći za [tex]a=-\frac{1}{2}[/tex], a najveća vrednost je [tex]\frac{9}{8}[/tex].

Rešenje:
Neka je [tex]f(t)=t^2-2kt+4[/tex]. Broj je strogo između rešenja od [tex]f[/tex] tačno kada je [tex]f[/tex] u njemu negativna. Dakle, potrebna su dva različita broja [tex]y_1, y_2[/tex] sa [tex]f(y_1)\lt 0[/tex] i [tex]f(y_2)\lt 0[/tex].
Ako je [tex]y[/tex] rešenje druge jednačine, onda je [tex]y^2+4=2(k-1)y[/tex], pa je
[tex]f(y)=y^2+4-2ky=2(k-1)y-2ky=-2y[/tex].
Dakle, [tex]f(y_i)\lt 0[/tex] tačno kada je [tex]y_i>0[/tex]: druga jednačina mora imati dva različita pozitivna rešenja.
[tex]\frac{D}{4}=(k-1)^2-4>0[/tex] daje [tex]k\lt -1[/tex] ili [tex]k>3[/tex]; [tex]y_1+y_2=2(k-1)>0[/tex] daje [tex]k>1[/tex]; [tex]y_1y_2=4>0[/tex] uvek.
Odgovor: [tex]k>3[/tex].

Rešenje:
Iz prve jednačine: [tex]x_1+x_2=-p[/tex], [tex]x_1x_2=q[/tex].
Iz druge jednačine:
[tex](x_1+1)+(x_2+1)=p^2[/tex], tj. [tex]-p+2=p^2[/tex], odakle [tex]p^2+p-2=0[/tex] i [tex]p=1[/tex] ili [tex]p=-2[/tex];
[tex](x_1+1)(x_2+1)=x_1x_2+x_1+x_2+1=pq[/tex], tj. [tex]q-p+1=pq[/tex].
[tex]p=-2[/tex]: [tex]q+3=-2q[/tex], [tex]q=-1[/tex]; jednačina [tex]x^2-2x-1=0[/tex] ima realna rešenja.
[tex]p=1[/tex]: [tex]q=q[/tex] važi za svako [tex]q[/tex], ali [tex]x^2+x+q=0[/tex] mora imati realna rešenja: [tex]D=1-4q\ge 0[/tex], tj. [tex]q\le\frac{1}{4}[/tex].
Odgovor: [tex]p=-2, q=-1[/tex] ili [tex]p=1[/tex] i proizvoljno [tex]q\le\frac{1}{4}[/tex].

Rešenje:
[tex](x_1-b)(x_2-b)=x_1x_2-b(x_1+x_2)+b^2[/tex]. Po Vijetovim formulama:
[tex](x_1-b)(x_2-b)=\frac{2a-1}{a-1}-b\cdot\frac{a+1}{a-1}+b^2=\frac{(2-b)a-(1+b)}{a-1}+b^2[/tex].
Razlomak ne zavisi od [tex]a[/tex] tačno kada je brojilac konstanta puta [tex]a-1[/tex]: [tex](2-b)a-(1+b)=\lambda(a-1)[/tex], tj. [tex]\lambda=2-b[/tex] i [tex]\lambda=1+b[/tex].
Dakle, [tex]2-b=1+b[/tex] i [tex]b=\frac{1}{2}[/tex]. Tada je razlomak [tex]\frac{3}{2}[/tex] i [tex](x_1-b)(x_2-b)=\frac{3}{2}+\frac{1}{4}=\frac{7}{4}[/tex] za svako dopustivo [tex]a[/tex].
(Dopustive vrednosti [tex]a[/tex] postoje: na primer, za [tex]a=\frac{3}{2}[/tex] dobijamo [tex]D=\frac{9}{4}>0[/tex].)
Odgovor: [tex]b=\frac{1}{2}[/tex].

Rešenje:
Pošto [tex]a, b, c[/tex] obrazuju aritmetički niz, [tex]2b=a+c[/tex].
[tex]\frac{D}{4}=b^2-ac=\frac{(a+c)^2}{4}-ac=\frac{(a-c)^2}{4}\ge 0[/tex], pa su rešenja realna.
Neka je [tex]x_1=3x_2[/tex]. Po Vijetovim formulama: [tex]4x_2=\frac{2b}{a}[/tex], tj. [tex]x_2=\frac{b}{2a}[/tex]; i [tex]3x_2^2=\frac{c}{a}[/tex], tj. [tex]\frac{3b^2}{4a^2}=\frac{c}{a}[/tex], odnosno [tex]3b^2=4ac[/tex].
Zamenimo [tex]c=2b-a[/tex]: [tex]3b^2=8ab-4a^2[/tex], tj. [tex]3b^2-8ab+4a^2=0[/tex], [tex](3b-2a)(b-2a)=0[/tex].
[tex]b=2a[/tex]: [tex]c=3a[/tex] i [tex]a:b:c=1:2:3[/tex].
[tex]b=\frac{2a}{3}[/tex]: [tex]c=\frac{a}{3}[/tex] i [tex]a:b:c=3:2:1[/tex].
U oba slučaja brojevi su pozitivni, pa su oba odnosa rešenje.

Rešenje:
Po Vijetovim formulama [tex]x_1x_2=2012[/tex] i [tex]m=-(x_1+x_2)[/tex].
Dakle, celobrojna rešenja su par celih brojeva sa proizvodom [tex]2012=2^2\cdot 503[/tex], gde je [tex]503[/tex] prost broj. Oba rešenja su istog znaka.
Pozitivni parovi: [tex](1; 2012)[/tex], [tex](2; 1006)[/tex], [tex](4; 503)[/tex] sa zbirovima [tex]2013[/tex], [tex]1008[/tex], [tex]507[/tex]; negativni parovi daju suprotne zbirove.
Dakle, [tex]m\in\{\pm 2013; \pm 1008; \pm 507\}[/tex], i obrnuto — za svako od tih [tex]m[/tex] rešenja su cela.
Odgovor: [tex]6[/tex] vrednosti.

Rešenje:
Po Vijetovim formulama: [tex]c+d=10a[/tex] i [tex]a+b=10c[/tex].
Oduzimanjem: [tex](c+d)-(a+b)=10a-10c[/tex], tj. [tex]b-d=11(c-a)[/tex].
Pošto je [tex]c[/tex] rešenje prve jednačine, a [tex]a[/tex] rešenje druge:
[tex]c^2-10ac-11b=0[/tex] i [tex]a^2-10ac-11d=0[/tex].
Oduzimanjem: [tex]c^2-a^2=11(b-d)=121(c-a)[/tex].
Pošto je [tex]c\ne a[/tex], delimo sa [tex]c-a[/tex]: [tex]a+c=121[/tex].
Tada je [tex]a+b+c+d=10c+10a=10\cdot 121=1210[/tex].

Rešenje:
Proizvod rešenja je [tex]-\frac{1}{2p^2}<0[/tex], pa su rešenja realna. Po Vijetovim formulama [tex]x_1+x_2=2p[/tex], [tex]x_1x_2=-\frac{1}{2p^2}[/tex].
[tex]x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=4p^2+\frac{1}{p^2}[/tex]
[tex]x_1^4+x_2^4=(x_1^2+x_2^2)^2-2x_1^2x_2^2=16p^4+8+\frac{1}{p^4}-\frac{1}{2p^4}=16p^4+\frac{1}{2p^4}+8[/tex].
Po nejednakosti između aritmetičke i geometrijske sredine [tex]16p^4+\frac{1}{2p^4}\ge 2\sqrt{16p^4\cdot\frac{1}{2p^4}}=2\sqrt{8}=4\sqrt{2}[/tex].
Dakle, [tex]x_1^4+x_2^4\ge 4\sqrt{2}+8[/tex], a jednakost važi za [tex]16p^4=\frac{1}{2p^4}[/tex], tj. [tex]p^8=\frac{1}{32}[/tex].

Rešenje:
Pošto je [tex]1, x_1, x_2[/tex] geometrijski niz, [tex]x_1^2=1\cdot x_2[/tex], tj. [tex]x_2=t^2[/tex], gde je [tex]t=x_1[/tex].
Po Vijetovim formulama: [tex]q=x_1x_2=t^3[/tex] i [tex]t+t^2=-p[/tex], tj. [tex]t^2=-p-t[/tex].
Tada je [tex]t^3=t\cdot t^2=-pt-t^2=-pt+p+t[/tex], tj. [tex]q=(1-p)t+p[/tex].
Ako je [tex]p=1[/tex], onda [tex]t^2+t+1=0[/tex], što nema realna rešenja — nemoguće. Dakle, [tex]p\ne 1[/tex] i [tex]t=\frac{q-p}{1-p}[/tex] je racionalan broj.
Neka je [tex]t=\frac{r}{s}[/tex] neskrativ razlomak, [tex]s>0[/tex]. Iz [tex]t^2+t+p=0[/tex]: [tex]r^2+rs+ps^2=0[/tex], pa [tex]s[/tex] deli [tex]r^2[/tex]. Pošto su [tex]r[/tex] i [tex]s[/tex] uzajamno prosti, [tex]s=1[/tex], tj. [tex]t[/tex] je ceo broj.
Dakle, [tex]q=t^3[/tex] je kub celog broja [tex]t[/tex].

Rešenje:
Neka je [tex]S_n=x_1^n+x_2^n[/tex]. Po Vijetovim formulama [tex]S_1=x_1+x_2=2001[/tex] i [tex]x_1x_2=1[/tex], pa je [tex]S_2=S_1^2-2x_1x_2=2001^2-2[/tex]. Oba su cela broja.
Pošto je [tex]x_1^2=2001x_1-1[/tex], množenjem sa [tex]x_1^{n-2}[/tex] dobijamo [tex]x_1^n=2001x_1^{n-1}-x_1^{n-2}[/tex]; isto važi i za [tex]x_2[/tex]. Sabiranjem:
[tex]S_n=2001S_{n-1}-S_{n-2}[/tex] za [tex]n\ge 3[/tex].
Indukcija: ako su [tex]S_{n-1}[/tex] i [tex]S_{n-2}[/tex] celi, onda je i [tex]S_n[/tex] ceo. Pošto su [tex]S_1[/tex] i [tex]S_2[/tex] celi, svako [tex]S_n[/tex] je ceo broj.