MeniBrojevni sistemi
Kalkulator za prevođenje brojeva iz jednog brojevnog sistema u drugi
Unesite ceo broj ili broj sa razlomljenim delom, na primer 156, 101,11 ili 7E9 (u osnovi 16), i izaberite njegovu osnovu i osnovu u koju ga treba prevesti. Cifre veće od 9 označavaju se slovima: A = 10, B = 11, …, Z = 35. Kalkulator prikazuje rešenje korak po korak.
Šta je brojevni sistem?
Brojevni sistem (brojni sistem) je način zapisivanja brojeva pomoću malog skupa znakova koji se nazivaju cifre. Brojeve obično pišemo u dekadnom sistemu. On ima deset cifara, od $0$ do $9,$ verovatno zato što su ljudi isprva brojali na deset prstiju. Isti brojevi mogu da se zapišu i u drugim sistemima. Računari rade u binarnom sistemu, koji ima samo dve cifre, $0$ i $1;$ programeri koriste i sisteme sa osnovom $8$ i $16,$ a minute i sekunde i danas brojimo po šezdeset.
Svi ovi sistemi su pozicioni: vrednost cifre zavisi od njenog mesta u zapisu broja. U broju $555$ tri petice znače $500,$ $50$ i $5.$ Rimski brojevi su drugačiji: u njima X uvek znači deset (u LX se dodaje, u XL se oduzima) i zbog svog mesta nikada ne vredi sto.
Na ovoj stranici: Kalkulator · Mesna vrednost · Bilo koja osnova · Brojanje · Binarni sistem · U dekadni sistem · Iz dekadnog sistema · Razlomci · Binarna aritmetika · Osnove 8 i 16 · Osnove 12 i 60 · Bitovi, bajtovi, BCD · Zadaci
Mesna vrednost cifre u dekadnom sistemu
Svako mesto u dekadnom zapisu broja vredi deset puta više od mesta desno od njega: jedinice, desetice, stotine, hiljade i tako dalje. Zato je broj jednak zbiru svojih cifara, od kojih je svaka pomnožena odgovarajućim stepenom broja $10\text{:}$
${3507}={3\cdot 1000}+{5\cdot 100 + 0\cdot 10 + 7}={3\cdot 10^3 + 5\cdot 10^2}+{0\cdot 10^1 + 7\cdot 10^0.}$
Ovo je razvijeni oblik broja. Nula je ovde važna: ona pokazuje da nema desetica, a bez nje bi od $3507$ nastao broj $357.$ Mesta desno od decimalnog zareza su deseti, stoti, hiljaditi delovi, odnosno negativni stepeni broja $10\text{:}$
${0{,}25}={\frac{2}{10} + \frac{5}{100}}={2\cdot 10^{-1} + 5\cdot 10^{-2}.}$
Brojevi u sistemu sa bilo kojom osnovom
Ništa nas ne primorava da grupišemo po deset. U sistemu sa osnovom $b$ (koja se naziva i baza) postoji $b$ cifara, od $0$ do $b-1,$ i svako mesto vredi $b$ puta više od mesta desno od njega. Mesta vrede $1,$ $b,$ $b^2,$ $b^3$ i tako dalje, pa cifre $a_n\ldots a_2a_1a_0$ znače
${(a_n\ldots a_2a_1a_0)_b}={a_n\cdot b^n + \ldots}+{a_2\cdot b^2 + a_1\cdot b + a_0.}$
Osnova se piše kao mali indeks iza cifara: $1011_2$ je binarni broj, a $1011_{10}$ je dekadni broj hiljadu jedanaest. Broj bez indeksa je dekadni. U sistemima sa osnovom većom od deset, cifre posle $9$ označavaju se slovima: $\mathrm{A} = 10,$ $\mathrm{B} = 11,$ $\mathrm{C} = 12$ i tako dalje do $\mathrm{Z} = 35$ u sistemu sa osnovom $36.$
Primer 1. Iste cifre u različitim osnovama znače različite brojeve:
${1011_2}={1\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2 + 1}={8 + 2 + 1}={11,}$
${1011_3}={1\cdot 3^3 + 0\cdot 3^2 + 1\cdot 3 + 1}={27 + 3 + 1}={31,}$
${1011_{10}}={1000 + 10 + 1}={1011.}$
U svakoj osnovi zapis $10$ (jedan, nula) je sama osnova: $10_2 = 2,$ $10_8 = 8,$ $10_{16} = 16,$ baš kao što je $10$ deset u dekadnom sistemu. Na isti način je $100_b = b^2$ i $1000_b = b^3.$
Najčešće korišćeni sistemi:
| Brojevni sistem | Cifre | Gde se koristi |
|---|---|---|
| Osnova 2, binarni | $0$ i $1$ | računari i svi digitalni uređaji |
| Osnova 8, oktalni | od $0$ do $7$ | prava pristupa datotekama u sistemima Unix i Linux; stariji računari |
| Osnova 10, dekadni | od $0$ do $9$ | svakodnevno brojanje i računanje |
| Osnova 12, duodecimalni | od $0$ do $9,$ $\mathrm{A}$ i $\mathrm{B}$ | tuce i gros; 12 meseci i 12 sati na brojčaniku |
| Osnova 16, heksadekadni (heksadecimalni) | od $0$ do $9$ i od $\mathrm{A}$ do $\mathrm{F}$ | boje na veb-stranicama, memorijske adrese, bajtovi |
| Osnova 60, seksagezimalni | od $0$ do $59$ na svakom mestu | vreme (sati, minuti, sekunde) i uglovi (stepeni, minuti, sekunde) |
Brojanje u drugim sistemima
Mehanički brojači, kao što su brojač pređenih kilometara (odometar) starijeg automobila ili vodomer, imaju male točkiće sa ciframa od $0$ do $9.$ Krajnji desni točkić okrene se za jedan korak pri svakoj jedinici. Kada prođe svoju poslednju cifru, vraća se na $0$ i okreće sledeći točkić za jedan korak: posle $0999$ dolazi $1000.$ Brojač za osnovu $b$ imao bi $b$ cifara na svakom točkiću. Na binarnom brojaču svaki točkić pokazuje samo $0$ ili $1,$ pa se krajnji desni točkić vraća na $0$ pri svakom drugom koraku i okreće sledeći točkić za jedan korak.
Još jedna jedinica na dekadnom i na binarnom brojaču: $0999 + 1 = 1000$ i $0111_2 + 1 = 1000_2,$ tj. $7 + 1 = 8.$
Dakle, u osnovi $b$ broji se isto kao u dekadnom sistemu: kada je na nekom mestu najveća cifra, $b-1,$ sledeća jedinica je pretvara u $0$ i prenosi $1$ na sledeće mesto. Evo brojeva od $0$ do $16$ u četiri sistema:
| Dekadni | Binarni | Oktalni | Heksadekadni |
|---|---|---|---|
| $0$ | $0$ | $0$ | $0$ |
| $1$ | $1$ | $1$ | $1$ |
| $2$ | $10$ | $2$ | $2$ |
| $3$ | $11$ | $3$ | $3$ |
| $4$ | $100$ | $4$ | $4$ |
| $5$ | $101$ | $5$ | $5$ |
| $6$ | $110$ | $6$ | $6$ |
| $7$ | $111$ | $7$ | $7$ |
| $8$ | $1000$ | $10$ | $8$ |
| $9$ | $1001$ | $11$ | $9$ |
| $10$ | $1010$ | $12$ | $\mathrm{A}$ |
| $11$ | $1011$ | $13$ | $\mathrm{B}$ |
| $12$ | $1100$ | $14$ | $\mathrm{C}$ |
| $13$ | $1101$ | $15$ | $\mathrm{D}$ |
| $14$ | $1110$ | $16$ | $\mathrm{E}$ |
| $15$ | $1111$ | $17$ | $\mathrm{F}$ |
| $16$ | $10000$ | $20$ | $10$ |
Najveći broj sa $n$ cifara u osnovi $b$ ima sve cifre jednake $b-1.$ Još jedna jedinica daje $10\ldots0_b = b^n,$ pa je taj broj jednak $b^n-1\text{:}$ $999 = 10^3-1,$ $1111_2 = 2^4-1 = 15$ i $\mathrm{FF}_{16} = 16^2-1 = 255.$
Binarni sistem
Binarni sistem ima osnovu $2$ i samo dve cifre, $0$ i $1.$ Binarna cifra se naziva bit, skraćeno od engleskog binary digit. Mesne vrednosti binarnog broja su stepeni broja $2\text{:}$
| $2^7$ | $2^6$ | $2^5$ | $2^4$ | $2^3$ | $2^2$ | $2^1$ | $2^0$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $128$ | $64$ | $32$ | $16$ | $8$ | $4$ | $2$ | $1$ |
Sledeći stepeni su $2^8 = 256,$ $2^9 = 512$ i $2^{10} = 1024.$ U binarnom sistemu svaki stepen broja $2$ piše se kao jedinica iza koje stoje nule, na primer $2^5 = 100000_2.$
Računari koriste binarni sistem zato što su bitu potrebna samo dva stanja koja se lako razlikuju: prekidač je isključen ili uključen, napon je nizak ili visok. Pošto svako mesto ima samo dve cifre, do prenosa dolazi vrlo brzo: $1 + 1 = 10_2.$ U binarnom sistemu brojimo ovako: $1,$ $10,$ $11,$ $100,$ $101,$ $110,$ $111,$ $1000$ i tako dalje.
Prevođenje broja iz bilo kog sistema u dekadni
Iznad svake cifre napišite njenu mesnu vrednost, pomnožite svaku cifru njenom mesnom vrednošću i saberite. To je ponovo razvijeni oblik broja.
Primer 2. Prevedite $110101_2$ u dekadni sistem.
| Mesna vrednost | $32$ | $16$ | $8$ | $4$ | $2$ | $1$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Cifra | $1$ | $1$ | $0$ | $1$ | $0$ | $1$ |
${110101_2}={32 + 16 + 4 + 1}={53.}$
Primer 3. Prevedite $753_8$ i $\mathrm{2A7}_{16}$ u dekadni sistem. U osnovi $8$ mesta vrede $1,$ $8$ i $8^2 = 64.$ U osnovi $16$ ona vrede $1,$ $16$ i $16^2 = 256,$ a cifra $\mathrm{A}$ je $10\text{:}$
${753_8}={7\cdot 64 + 5\cdot 8 + 3}={448 + 40 + 3}={491,}$
${\mathrm{2A7}_{16}}={2\cdot 256 + 10\cdot 16 + 7}={512 + 160 + 7}={679.}$
Za duge brojeve postoji brži način, a to je zapravo Hornerova šema za polinome: počnite od prve (krajnje leve) cifre, a zatim, za svaku sledeću cifru redom, pomnožite rezultat osnovom i dodajte mu tu cifru. Za $110101_2\text{:}$
| Cifra | $1$ | $1$ | $0$ | $1$ | $0$ | $1$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Rezultat | $1$ | $3$ | $6$ | $13$ | $26$ | $53$ |
Svaki rezultat dobijamo tako što prethodni rezultat pomnožimo sa $2$ i dodamo cifru iznad njega: $1\cdot 2 + 1 = 3,$ $3\cdot 2 + 0 = 6,$ $6\cdot 2 + 1 = 13,$ $13\cdot 2 + 0 = 26,$ $26\cdot 2 + 1 = 53.$ Poslednji rezultat je traženi broj: $110101_2 = 53.$
Prevođenje iz dekadnog sistema u binarni i druge sisteme
Uzastopno deljenje
Podelite broj sa novom osnovom $b$ (deljenje sa ostatkom). Ostatak je poslednja cifra rezultata. Količnik ponovo podelite sa $b\text{:}$ novi ostatak je pretposlednja cifra. Nastavite dok količnik ne postane $0,$ a zatim pročitajte ostatke odozdo nagore.
Primer 4. Prevedite $13$ u binarni sistem.
| Deljenje | Količnik | Ostatak |
|---|---|---|
| $13 : 2$ | $6$ | $1$ |
| $6 : 2$ | $3$ | $0$ |
| $3 : 2$ | $1$ | $1$ |
| $1 : 2$ | $0$ | $1$ |
Kada ostatke pročitamo odozdo nagore, dobijamo $13 = 1101_2.$ Provera: $8 + 4 + 1 = 13.$
Primer 5. Prevedite $2025$ u heksadekadni sistem. Ostatak veći od $9$ piše se slovom: $14 = \mathrm{E}.$
| Deljenje | Količnik | Ostatak |
|---|---|---|
| $2025 : 16$ | $126$ | $9$ |
| $126 : 16$ | $7$ | $14 = \mathrm{E}$ |
| $7 : 16$ | $0$ | $7$ |
Dakle, $2025 = \mathrm{7E9}_{16}.$ Provera: ${7\cdot 256 + 14\cdot 16 + 9}={1792 + 224 + 9}={2025.}$
Zašto ovo važi? Deljenjem sa ostatkom broj zapisujemo u obliku $n = b\cdot q + r,$ gde je $0 \le r < b,$ pa se $r$ u osnovi $b$ zapisuje jednom cifrom. U osnovi $b$ množenje broja $q$ sa $b$ dopisuje nulu na kraj njegovog zapisa, baš kao množenje sa $10$ u dekadnom sistemu, a zatim dodavanje $r$ stavlja $r$ na mesto te nule. Dakle, $r$ je poslednja cifra, a ispred nje stoje cifre broja $q.$
Oduzimanje stepena broja 2
Za binarni sistem postoji i drugi način. Oduzmite od broja najveći stepen broja $2$ koji nije veći od njega, zatim od razlike najveći stepen broja $2$ koji nije veći od nje, i tako dalje, dok ne dobijete $0.$ Svaki iskorišćeni stepen daje $1$ na svom mestu, a na svim ostalim mestima je $0.$ Na primer, $13 - 8 = 5,$ $5 - 4 = 1,$ $1 - 1 = 0,$ pa je $13 = 8 + 4 + 1 = 1101_2,$ kao u primeru 4.
Primer 6. Prevedite $1546$ u binarni sistem. Najveći stepen broja $2$ koji nije veći od $1546$ je $2^{10} = 1024\text{:}$
$1546 - 1024 = 522,$ $522 - 512 = 10,$ $10 - 8 = 2,$ $2 - 2 = 0.$
Dakle, ${1546}={2^{10} + 2^9 + 2^3 + 2^1.}$ Jedinice stoje na mestima $10,$ $9,$ $3$ i $1,$ ako mesta brojimo zdesna, počevši od $0\text{:}$ $1546 = 11000001010_2.$
Da biste broj preveli iz jedne osnove u drugu kada nijedna od njih nije deset, prvo ga prevedite u dekadni sistem, a zatim u novu osnovu. Kalkulator radi isto tako, osim kada su obe osnove stepeni istog broja, kao što su $8$ i $16.$ Za osnove $2,$ $8$ i $16$ postoji prečica, prikazana u odeljku „Oktalni i heksadekadni sistem“.
Razlomci u drugim sistemima
Isto važi i za cifre iza zareza: u osnovi $b$ one vrede $\frac{1}{b},$ $\frac{1}{b^2},$ $\frac{1}{b^3}$ i tako dalje. U binarnom sistemu mesta iza zareza su polovine, četvrtine, osmine:
$$101{,}11_2 = 4 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = 5{,}75.$$Da biste broj između $0$ i $1$ zapisali u osnovi $b,$ pomnožite ga sa $b.$ Celobrojni deo proizvoda je prva cifra iza zareza. Zatim razlomljeni deo proizvoda ponovo pomnožite sa $b$ da biste dobili sledeću cifru, i tako dalje. Ovo važi zato što u osnovi $b$ množenje sa $b$ pomera zarez za jedno mesto udesno: prva cifra iza zareza prelazi ispred njega i postaje celobrojni deo.
Primer 7. Prevedite $0{,}625$ u binarni sistem.
| Množenje | Proizvod | Cifra |
|---|---|---|
| $0{,}625\cdot 2$ | $1{,}25$ | $1$ |
| $0{,}25\cdot 2$ | $0{,}5$ | $0$ |
| $0{,}5\cdot 2$ | $1$ | $1$ |
Razlomljeni deo je postao $0,$ pa se cifre tu završavaju. Pročitajte ih odozgo nadole, a ne odozdo nagore kao kod deljenja: $0{,}625 = 0{,}101_2.$ Provera: $\frac{1}{2} + \frac{1}{8} = 0{,}625.$
Broj koji ima celobrojni i razlomljeni deo prevodi se deo po deo: celobrojni deo uzastopnim deljenjem, a razlomljeni uzastopnim množenjem. Na primer, $13 = 1101_2$ (primer 4) i $0{,}625 = 0{,}101_2,$ pa je $13{,}625 = 1101{,}101_2.$
Primer 8. Prevedite $0{,}1$ u binarni sistem.
| Množenje | Proizvod | Cifra |
|---|---|---|
| $0{,}1\cdot 2$ | $0{,}2$ | $0$ |
| $0{,}2\cdot 2$ | $0{,}4$ | $0$ |
| $0{,}4\cdot 2$ | $0{,}8$ | $0$ |
| $0{,}8\cdot 2$ | $1{,}6$ | $1$ |
| $0{,}6\cdot 2$ | $1{,}2$ | $1$ |
Razlomljeni deo $0{,}2$ već se pojavio u drugom redu, pa se od tog mesta cifre $0011$ ponavljaju beskonačno:
${0{,}1}={0{,}0001100110011\ldots_2}={0{,}0(0011)_2.}$
Cifre u zagradi čine period: one se ponavljaju bez kraja. Računar pamti samo unapred zadat broj bitova, pa broj $0{,}1$ čuva samo približno. Zato u mnogim programskim jezicima 0.1 + 0.2 daje 0.30000000000000004, a ne tačno 0.3.
Da li će razlomak imati konačan zapis, zavisi od osnove. Neskrativ razlomak ima konačan zapis u osnovi $b$ (sa konačno mnogo cifara iza zareza) ako i samo ako svaki prost činilac njegovog imenioca deli $b.$ U osnovi $10 = 2\cdot 5$ razlomci $\frac{1}{2},$ $\frac{1}{4},$ $\frac{1}{5},$ $\frac{1}{8}$ imaju konačan zapis, ali $\frac{1}{3} = 0{,}(3)$ nema. U osnovi $3$ je obrnuto: $\frac{1}{3} = 0{,}1_3.$ U osnovi $7$ je čak $\frac{1}{7} = 0{,}1_7,$ dok je u dekadnom sistemu $\frac{1}{7} = 0{,}(142857).$ U binarnom sistemu konačan zapis imaju samo razlomci čiji je imenilac, kada se razlomak skrati do kraja, stepen broja $2.$
Periodični zapis može se pretvoriti u razlomak: pomnožite ga sa $b^k,$ gde je $k$ dužina perioda, i oduzmite polazni broj. Neka je ${x}={0{,}(01)_2}={0{,}010101\ldots_2.}$ Množenje sa $2^2 = 100_2$ pomera zarez za dva mesta udesno: ${4x}={1{,}010101\ldots_2}={1 + x.}$ Dakle, $3x = 1$ i $x = \frac{1}{3}.$
Binarna aritmetika
Računanje u bilo kojoj osnovi izvodi se istim pismenim postupcima kao u dekadnom sistemu; razlikuju se samo tablice sabiranja i množenja. U binarnom sistemu one su sasvim male.
Sabiranje
$0 + 0 = 0,$ $0 + 1 = 1 + 0 = 1$ i $1 + 1 = 10_2\text{:}$ pišemo $0$ i prenosimo $1.$ Sa prenosom je $1 + 1 + 1 = 11_2\text{:}$ pišemo $1$ i prenosimo $1.$
Primer 9. Saberite $1011_2 + 110_2.$ Prenosi su napisani crvenom bojom iznad kolona.
$$\begin{array}{cr} & \textcolor{#c0392b}{111}\phantom{00} \\ & 1011 \\ + & 110 \\ \hline & 10001 \end{array}$$Zdesna nalevo: $1 + 0 = 1;$ $1 + 1 = 10_2,$ pišemo $0$ i prenosimo $1;$ $0 + 1 + 1 = 10_2,$ pišemo $0$ i prenosimo $1;$ $1 + 1 = 10_2,$ pišemo $0$ i prenosimo $1$ na novo mesto. U dekadnom sistemu to je $11 + 6 = 17,$ i zaista $10001_2 = 16 + 1 = 17.$
Oduzimanje
$0 - 0 = 0,$ $1 - 0 = 1$ i $1 - 1 = 0.$ Za $0 - 1$ pozajmljujemo $1$ sa sledećeg mesta ulevo. Na tekućem mestu ta jedinica vredi $2,$ pa u toj koloni dobijamo $10_2 - 1 = 1.$ Ako je na sledećem mestu $0,$ pozajmljujemo od najbliže jedinice ulevo; nule između njih postaju $1,$ baš kao što je $1000 - 1 = 999$ u dekadnom sistemu.
Primer 10. Oduzmite $1101_2 - 110_2.$
$$\begin{array}{cr} & 1101 \\ - & 110 \\ \hline & 111 \end{array}$$Zdesna nalevo: $1 - 0 = 1.$ Zatim za $0 - 1$ pozajmljujemo sa trećeg mesta: $10_2 - 1 = 1,$ a na trećem mestu ostaje $0.$ Sada je u trećoj koloni $0 - 1$ i pozajmljujemo sa četvrtog mesta: $10_2 - 1 = 1.$ Na četvrtom mestu ostaje $0.$ Rezultat je $111_2,$ a u dekadnom sistemu $13 - 6 = 7.$
Množenje
Binarna tablica množenja je $0\cdot 0 = 0\cdot 1 = 1\cdot 0 = 0$ i $1\cdot 1 = 1.$ Zato je u pismenom množenju svaki red ili red nula ili sam prvi činilac, pomeren ulevo, pa ostaje samo sabiranje. Množenje sa $2 = 10_2$ dopisuje nulu na kraj, baš kao množenje sa $10$ u dekadnom sistemu.
Primer 11. Pomnožite $101_2\cdot 11_2,$ tj. $5\cdot 3.$
$$\begin{array}{cr} & 101 \\ \times & 11 \\ \hline & 101 \\ & 101\phantom{0} \\ \hline & 1111 \end{array}$$Rezultat je ${1111_2}={8 + 4 + 2 + 1}={15.}$
Primer 12. Pomnožite $37\cdot 27$ u binarnom sistemu. Najpre prevedimo činioce: $37 = 100101_2$ i $27 = 11011_2.$ Drugi činilac ima cifre $1,$ $1,$ $0,$ $1,$ $1$ zdesna nalevo, pa redove čine broj $100101$ pomeren za $0,$ $1,$ $3$ i $4$ mesta i red nula za cifru $0\text{:}$
$$\begin{array}{cr} & 100101 \\ \times & 11011 \\ \hline & 100101 \\ & 100101\phantom{0} \\ & 000000\phantom{00} \\ & 100101\phantom{000} \\ & 100101\phantom{0000} \\ \hline & 1111100111 \end{array}$$Proizvod je ${1111100111_2}={512 + 256 + 128}+{64 + 32 + 4 + 2 + 1}={999,}$ i zaista $37\cdot 27 = 999.$ Ovo je zaobilazan put, ali kolo za množenje u računaru radi na sličan način: formira pomerene redove i sabira ih, milijarde puta u sekundi.
Deljenje
Pismeno deljenje u binarnom sistemu jednostavnije je nego u dekadnom. U svakom koraku delilac se ili sadrži u delu deljenika koji smo do tada spustili, pa je sledeća cifra količnika $1,$ ili se ne sadrži, pa je ta cifra $0.$ Tako se deljenje svodi na uzastopno oduzimanje.
Primer 13. Podelite $1111_2 : 101_2,$ tj. $15 : 5.$
$$\begin{array}{cr} & 1111 \\ - & 101\phantom{0} \\ \hline & 101 \\ - & 101 \\ \hline & 0 \end{array}$$Delilac $101$ se ne sadrži ni u $1$ ni u $11,$ ali se sadrži u $111\text{:}$ prva cifra količnika je $1,$ a $111 - 101 = 10.$ Spuštamo poslednju cifru: $101.$ Delilac se u njemu sadrži jednom, a ostatak je $0.$ Dakle, $1111_2 : 101_2 = 11_2,$ tj. $15 : 5 = 3.$
Primer 14. Podelite $4773 : 37,$ tj. ${1001010100101_2 : 100101_2.}$
$$\begin{array}{cr} & 1001010100101 \\ - & 100101\phantom{0000000} \\ \hline & 100101 \\ - & 100101 \\ \hline & 0 \end{array}$$Delilac se u prvih šest cifara sadrži tačno jednom, pa je prva cifra količnika $1,$ a ostatak $0.$ Dok spuštamo sledećih šest cifara, dobijeni brojevi su manji od delioca, pa količnik dobija šest nula. Kada spustimo poslednju cifru, ponovo imamo $100101\text{:}$ poslednja cifra količnika je $1,$ a ostatak je $0.$ Dakle, ${1001010100101_2 : 100101_2}={10000001_2,}$ a ${10000001_2}={128 + 1}={129;}$ zaista, $37\cdot 129 = 4773.$
Oktalni i heksadekadni sistem
Duge binarne brojeve teško je čitati, a lako ih je pogrešno otkucati. Pošto je $8 = 2^3$ i $16 = 2^4,$ svaka oktalna cifra zamenjuje tačno tri bita, a svaka heksadekadna cifra tačno četiri bita:
| Cifra | Bitovi | Cifra | Bitovi |
|---|---|---|---|
| $0$ | $0000$ | $8$ | $1000$ |
| $1$ | $0001$ | $9$ | $1001$ |
| $2$ | $0010$ | $\mathrm{A}$ | $1010$ |
| $3$ | $0011$ | $\mathrm{B}$ | $1011$ |
| $4$ | $0100$ | $\mathrm{C}$ | $1100$ |
| $5$ | $0101$ | $\mathrm{D}$ | $1101$ |
| $6$ | $0110$ | $\mathrm{E}$ | $1110$ |
| $7$ | $0111$ | $\mathrm{F}$ | $1111$ |
Za oktalnu cifru uzmite samo poslednja tri bita iz tabele: $5 = 101_2,$ $7 = 111_2.$ Da biste binarni broj preveli u heksadekadni sistem, podelite njegove bitove u grupe po četiri zdesna, dopišite nule sleva ako je prva grupa nepotpuna i zamenite svaku grupu odgovarajućom cifrom. Za oktalni sistem uzmite grupe po tri. Pri obrnutom prevođenju napišite svaku cifru pomoću četiri bita (ili tri za oktalni sistem).
Primer 15. Prevedite $10110110_2$ u heksadekadni i u oktalni sistem.
${10110110_2}={1011\ 0110_2}={\mathrm{B6}_{16},}$
${10110110_2}={010\ 110\ 110_2}={266_8.}$
Provera: ${\mathrm{B6}_{16}}={11\cdot 16 + 6}={182}$ i ${266_8}={2\cdot 64 + 6\cdot 8 + 6}={182.}$
Primer 16. Zapišite $\mathrm{3F}_{16}$ i $\mathrm{7E9}_{16}$ u binarnom sistemu, a $753_8$ u heksadekadnom.
${\mathrm{3F}_{16}}={0011\ 1111_2}={111111_2,}$
${\mathrm{7E9}_{16}}={0111\ 1110\ 1001_2}={11111101001_2.}$
Između oktalnog i heksadekadnog sistema prevodimo preko binarnog: $753_8 = 111\ 101\ 011_2,$ a u grupama po četiri zdesna to je $1\ 1110\ 1011_2 = \mathrm{1EB}_{16}.$ Oba broja su jednaka $491.$
Zato programeri vole heksadekadni sistem: dve heksadekadne cifre su tačno jedan bajt, osam bitova. Boja na veb-stranici često se zapisuje pomoću tri bajta, za crvenu, zelenu i plavu. Na primer, #FF8800 znači: crvena $\mathrm{FF}_{16} = 255,$ zelena $88_{16} = 136$ i plava $0,$ a to je nijansa narandžaste.
Osnove 12 i 60
Duodecimalni sistem
Brojanje po dvanaest, duodecimalni sistem, sačuvalo se u tucetu ($12$) i grosu ($12^2 = 144$), u $12$ meseci u godini i $12$ sati na brojčaniku sata. Njegova prednost je u tome što $12$ ima više delilaca od $10\text{:}$ $2,$ $3,$ $4$ i $6,$ dok $10$ ima samo $2$ i $5.$ Zato se polovine, trećine, četvrtine i šestine u osnovi $12$ zapisuju kratko: $\frac{1}{2} = 0{,}6_{12},$ $\frac{1}{3} = 0{,}4_{12},$ $\frac{1}{4} = 0{,}3_{12},$ $\frac{1}{6} = 0{,}2_{12},$ dok se u dekadnom sistemu $\frac{1}{3} = 0{,}(3)$ nikada ne završava. Dve dodatne cifre za deset i jedanaest ovde se pišu kao $\mathrm{A}$ i $\mathrm{B};$ u nekim knjigama koriste se drugi znaci, na primer t i e (od engleskih reči ten i eleven).
Primer 17. Prevedite $143.131$ u sistem sa osnovom $12$ i nazad.
| Deljenje | Količnik | Ostatak |
|---|---|---|
| $143.131 : 12$ | $11.927$ | $7$ |
| $11.927 : 12$ | $993$ | $11 = \mathrm{B}$ |
| $993 : 12$ | $82$ | $9$ |
| $82 : 12$ | $6$ | $10 = \mathrm{A}$ |
| $6 : 12$ | $0$ | $6$ |
Dakle, $143.131 = \mathrm{6A9B7}_{12}.$ Nazad: ${\mathrm{6A9B7}_{12}}={6\cdot 12^4 + 10\cdot 12^3}+{9\cdot 12^2 + 11\cdot 12 + 7}={124.416 + 17.280}+{1296 + 132 + 7}={143.131.}$
Seksagezimalni sistem
Vavilonci su brojali u osnovi $60,$ a mi tu osnovu i danas koristimo za merenje vremena i uglova. Ovde je svaka „cifra“ broj od $0$ do $59,$ zapisan u dekadnom sistemu. Vreme od $2$ h $15$ min $30$ s je broj u osnovi $60$ sa ciframa $2,$ $15$ i $30\text{:}$ to je ${2\cdot 60^2 + 15\cdot 60 + 30}={8130}$ sekundi. U obrnutom smeru delimo sa $60\text{:}$ $10.000 = 60\cdot 166 + 40$ i $166 = 60\cdot 2 + 46,$ pa je $10.000$ sekundi isto što i $2$ h $46$ min $40$ s. Uglovi se mere na isti način: $12^\circ 30' = 12{,}5^\circ,$ jer je $30' = \frac{30}{60}$ stepena.
Bitovi, bajtovi i binarno kodirani dekadni brojevi
Grupa od $8$ bitova je bajt. Sa $n$ bitova može se zapisati $2^n$ različitih brojeva, od $0$ do $2^n-1.$ U jedan bajt staju brojevi od $0$ do $255,$ u dva bajta od $0$ do $65.535,$ a $32$ bita daju $2^{32} = 4.294.967.296$ različitih vrednosti, nešto više od četiri milijarde.
Mnogi džepni kalkulatori, digitalni satovi i merni uređaji čuvaju svaku dekadnu cifru u posebnoj grupi od četiri bita. Tako zapisan broj naziva se binarno kodiran dekadni broj (BCD, od engleskog binary-coded decimal). Na primer, $1546$ u BCD zapisu je $0001\ 0101\ 0100\ 0110,$ po jedna grupa za svaku od cifara $1,$ $5,$ $4$ i $6,$ dok je u čistom binarnom zapisu $1546 = 11000001010_2.$ Za BCD zapis potrebno je više bitova, ovde $16$ umesto $11,$ ali se svaka cifra otkucana na tasterima čuva onakva kakva je, broj se lako prikazuje na ekranu cifru po cifru, a decimalni broj kao što je $0{,}1$ čuva se tačno.
Zadaci za vežbanje
Rešite zadatke, a zatim ih otvorite da biste videli odgovore. Rešenja možete da proverite kalkulatorom na vrhu ove stranice.
1. Prevedite $10110_2$ u dekadni sistem.
${10110_2}={16 + 4 + 2}={22.}$ Odgovor: $22.$
2. Prevedite $1111111_2$ u dekadni sistem.
Sedam jedinica: ${1 + 2 + 4 + 8}+{16 + 32 + 64}={127,}$ ili brže: ${1111111_2}={2^7 - 1}={127.}$ Odgovor: $127.$
3. Prevedite $45$ u binarni sistem.
${45}={32 + 8 + 4 + 1}={2^5 + 2^3 + 2^2 + 2^0.}$ Odgovor: $101101_2.$
4. Prevedite $200$ u binarni sistem.
$200 = 128 + 64 + 8.$ Odgovor: $11001000_2.$
5. Prevedite $777_8$ i $\mathrm{1A3}_{16}$ u dekadni sistem.
${777_8}={7\cdot 64 + 7\cdot 8 + 7}={511}={8^3 - 1}$ i ${\mathrm{1A3}_{16}}={256 + 10\cdot 16 + 3}={419.}$ Odgovor: $511$ i $419.$
6. Prevedite $100$ u sistem sa osnovom $3.$
$100 = 3\cdot 33 + 1,$ $33 = 3\cdot 11 + 0,$ $11 = 3\cdot 3 + 2,$ $3 = 3\cdot 1 + 0,$ $1 = 3\cdot 0 + 1.$ Kada ostatke pročitamo odozdo nagore, dobijamo $10201_3.$ Provera: $81 + 2\cdot 9 + 1 = 100.$ Odgovor: $10201_3.$
7. Prevedite $2000$ u heksadekadni sistem.
$2000 = 16\cdot 125 + 0,$ $125 = 16\cdot 7 + 13$ i $7 = 16\cdot 0 + 7,$ pri čemu je $13 = \mathrm{D}.$ Čitamo ostatke odozdo nagore: $7,$ $\mathrm{D},$ $0.$ Provera: ${7\cdot 256 + 13\cdot 16}={1792 + 208}={2000.}$ Odgovor: $\mathrm{7D0}_{16}.$
8. Prevedite $11010111_2$ u oktalni i u heksadekadni sistem.
$011\ 010\ 111_2 = 327_8$ i $1101\ 0111_2 = \mathrm{D7}_{16};$ oba broja su jednaka $215.$ Odgovor: $327_8$ i $\mathrm{D7}_{16}.$
9. Prevedite $\mathrm{3B}_{16}$ i $57_8$ u binarni sistem.
$\mathrm{3B}_{16} = 0011\ 1011_2$ i $57_8 = 101\ 111_2.$ Odgovor: $111011_2$ i $101111_2.$
10. Saberite $1011_2 + 1101_2.$
Zdesna nalevo: $1 + 1 = 10_2,$ pišemo $0$ i prenosimo $1;$ $1 + 0 + 1 = 10_2,$ pišemo $0$ i prenosimo $1;$ $0 + 1 + 1 = 10_2,$ pišemo $0$ i prenosimo $1;$ $1 + 1 + 1 = 11_2,$ pišemo $1$ i prenosimo $1.$ Provera: $11 + 13 = 24 = 16 + 8.$ Odgovor: $11000_2.$
11. Oduzmite $10010_2 - 1011_2.$
Zdesna nalevo: za $0 - 1$ pozajmljujemo sa drugog mesta: $10_2 - 1 = 1.$ Sada je u drugoj koloni $0 - 1,$ a na trećem i četvrtom mestu su nule, pa pozajmljujemo sa petog: ono postaje $0,$ četvrto i treće mesto postaju $1,$ a druga kolona daje $10_2 - 1 = 1.$ Zatim $1 - 0 = 1,$ $1 - 1 = 0,$ $0 - 0 = 0.$ Provera: $18 - 11 = 7.$ Odgovor: $111_2.$
12. Pomnožite $1111_2\cdot 111111_2$ i proverite rezultat u dekadnom sistemu.
Redove čini broj $111111_2$ pomeren za $0,$ $1,$ $2$ i $3$ mesta. Sabiramo ih postepeno: ${111111_2 + 1111110_2}={10111101_2,}$ ${10111101_2}+{11111100_2}={110111001_2,}$ ${110111001_2}+{111111000_2}={1110110001_2.}$ Provera: $1111_2 = 15,$ $111111_2 = 63$ i ${15\cdot 63}={945}={512 + 256 + 128}+{32 + 16 + 1.}$ Odgovor: $1110110001_2.$
13. Podelite $11110000010_2 : 11111_2$ i proverite rezultat u dekadnom sistemu.
$11110000010_2 = 1922,$ $11111_2 = 31$ i ${1922 : 31}={62}={32 + 16 + 8 + 4 + 2.}$ Odgovor: $111110_2.$
14. Prevedite $0{,}375$ i $0{,}8$ u binarni sistem.
$0{,}375\cdot 2 = 0{,}75,$ $0{,}75\cdot 2 = 1{,}5,$ $0{,}5\cdot 2 = 1,$ pa je $0{,}375 = 0{,}011_2.$ Za $0{,}8\text{:}$ $0{,}8\cdot 2 = 1{,}6,$ $0{,}6\cdot 2 = 1{,}2,$ $0{,}2\cdot 2 = 0{,}4,$ $0{,}4\cdot 2 = 0{,}8,$ i $0{,}8$ se ponovo pojavljuje. Odgovor: $0{,}011_2$ i $0{,}(1100)_2.$
15. Koji su razlomci jednaki $0{,}(1)_2$ i $0{,}(011)_2?$
Za $x = 0{,}(1)_2\text{:}$ $2x = 1{,}(1)_2 = 1 + x,$ pa je $x = 1,$ baš kao što je $0{,}(9) = 1$ u dekadnom sistemu. Za $y = 0{,}(011)_2\text{:}$ $8y = 11{,}(011)_2 = 3 + y,$ pa je $7y = 3.$ Odgovor: $1$ i $\frac{3}{7}.$
16. U kojoj osnovi važi jednakost $13 + 5 = 20?$
U osnovi $b$ to znači $(b + 3) + 5 = 2b,$ pa je $b = 8.$ Provera: $13_8 = 11,$ $11 + 5 = 16 = 20_8.$ Odgovor: u osnovi $8.$
17. Koliko različitih brojeva može da se zapiše pomoću $10$ bitova i koji je od njih najveći?
Svaki bit je $0$ ili $1,$ pa ima $2^{10} = 1024$ broja, od $0$ do $1111111111_2 = 2^{10} - 1.$ Odgovor: $1024$ broja, a najveći je $1023.$
Pogledajte i: Rimski brojevi · Stepen i stepenovanje · Pravila deljivosti
