Realna analiza - zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Posmatrajmo funkciju [tex]g(x)=f(x)-x[/tex] na [tex][0; 1][/tex]; ona je neprekidna kao razlika neprekidnih funkcija. Pošto vrednosti funkcije [tex]f[/tex] pripadaju [tex][0; 1][/tex],
[tex]g(0)=f(0)\ge 0,\qquad g(1)=f(1)-1\le 0[/tex]
Ako je [tex]g(0)=0[/tex], onda je [tex]c=0[/tex] fiksna tačka; ako je [tex]g(1)=0[/tex], onda je to [tex]c=1[/tex]. U suprotnom je [tex]g(0)\gt 0\gt g(1)[/tex], pa prema Bolcanovoj teoremi o međuvrednostima neprekidna funkcija [tex]g[/tex] ima nulu u nekoj tački [tex]c\in(0; 1)[/tex]:
[tex]g(c)=0\iff f(c)=c[/tex]