Parne i neparne funkcije - zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Pošto je [tex]f[/tex] neparna, [tex]f(-x)=-f(x)[/tex] za svaki realan broj [tex]x[/tex]. Formula [tex]x^4[/tex] važi samo za [tex]x\ge 0[/tex], pa je primenjujemo za [tex]x=1[/tex]:
[tex]f(1)=1^4=1\Rightarrow f(-1)=-f(1)=-1[/tex]
(Ako bismo [tex]x=-1[/tex] zamenili direktno u [tex]x^4[/tex], pogrešno bismo dobili [tex]1[/tex].)

Rešenje:
Funkcija [tex]f[/tex] je parna ako je njen domen simetričan u odnosu na [tex]0[/tex] i [tex]f(-x)=f(x)[/tex] za svako [tex]x[/tex] iz domena.
Pošto je [tex]x^2+1\gt 0[/tex], domen je [tex]\mathbb{R}[/tex], koji je simetričan. Koristeći jednakost [tex]\sin (-x)=-\sin x[/tex], dobijamo
[tex]f(-x)=\sqrt{(-x)^2+1}\,(-\sin x)^2=\sqrt{x^2+1}\,\sin ^2 x=f(x)[/tex]
Prema tome, funkcija [tex]f[/tex] je parna.

Rešenje:
Funkcija [tex]g[/tex] je parna ako je njen domen simetričan u odnosu na [tex]0[/tex] i [tex]g(-x)=g(x)[/tex] za svako [tex]x[/tex] iz domena.
Domen čine svi [tex]x\ne \frac{\pi}{2}+k\pi[/tex], [tex]k\in\mathbb{Z}[/tex]. On je simetričan: ako je [tex]-x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/tex], onda je [tex]x=\frac{\pi}{2}+(-k-1)\pi[/tex], tj. [tex]x[/tex] i [tex]-x[/tex] se isključuju zajedno. Koristeći jednakost [tex]\operatorname{tg} (-x)=-\operatorname{tg} x[/tex], dobijamo
[tex]g(-x)=(-x)^2-(-\operatorname{tg} x)^2=x^2-\operatorname{tg} ^2 x=g(x)[/tex]
Prema tome, funkcija [tex]g[/tex] je parna.

Rešenje:
Funkcija [tex]h[/tex] je parna ako je njen domen simetričan u odnosu na [tex]0[/tex] i [tex]h(-x)=h(x)[/tex] za svako [tex]x[/tex] iz domena.
Moraju postojati [tex]\operatorname{tg} x[/tex] i [tex]\operatorname{ctg} x[/tex], tj. [tex]x\ne\frac{k\pi}{2}[/tex], [tex]k\in\mathbb{Z}[/tex]. Za takve [tex]x[/tex] imenilac nije nula:
[tex]\operatorname{tg} x+\operatorname{ctg} x=\frac{\sin ^2 x+\cos^2 x}{\sin x\cos x}=\frac{1}{\sin x\cos x}\ne 0[/tex]
Dakle, domen je [tex]x\ne\frac{k\pi}{2}[/tex], [tex]k\in\mathbb{Z}[/tex], što je simetrično u odnosu na [tex]0[/tex]. Koristeći jednakosti [tex]\sin (-x)=-\sin x[/tex], [tex]\operatorname{tg} (-x)=-\operatorname{tg} x[/tex] i [tex]\operatorname{ctg} (-x)=-\operatorname{ctg} x[/tex], dobijamo
[tex]h(-x)=\frac{-\sin x}{-\operatorname{tg} x-\operatorname{ctg} x}=\frac{\sin x}{\operatorname{tg} x+\operatorname{ctg} x}=h(x)[/tex]
Prema tome, funkcija [tex]h[/tex] je parna.

Rešenje:
Grafik je simetričan u odnosu na koordinatni početak tačno onda kada je funkcija neparna: njen domen je simetričan u odnosu na [tex]0[/tex] i [tex]f(-x)=-f(x)[/tex] za svako [tex]x[/tex] iz domena.
Za [tex]f(x)=\frac{2(x-1)}{x+1}[/tex] domen [tex]x\ne -1[/tex] nije simetričan ([tex]1[/tex] mu pripada, a [tex]-1[/tex] ne), pa funkcija nije neparna.
Za [tex]f(x)=x^3-x^2-x-1[/tex] imamo [tex]f(1)=-2[/tex] i [tex]f(-1)=-2[/tex], tj. [tex]f(-1)\ne -f(1)[/tex], pa funkcija nije neparna.
Za [tex]f(x)=2^{1-x^2}[/tex] imamo [tex]f(-x)=f(x)[/tex] i [tex]f(0)=2\ne 0[/tex], pa je funkcija parna, a ne neparna (neparna funkcija definisana u [tex]0[/tex] zadovoljava [tex]f(0)=0[/tex]).
Za [tex]f(x)=x\sqrt{1-x^2}[/tex] domen [tex]\left[-1 ; 1\right][/tex] je simetričan i
[tex]f(-x)=-x\sqrt{1-(-x)^2}=-x\sqrt{1-x^2}=-f(x)[/tex]
Dakle, ova funkcija je neparna i njen grafik je simetričan u odnosu na koordinatni početak.

Rešenje:
Domen je [tex]\mathbb{R}[/tex], koji je simetričan. Imamo
[tex]f(-x)=2^{(a-2)x^2-(a-1)x-1}[/tex]
Pošto je [tex]2^t[/tex] strogo rastuća, dve njene vrednosti su jednake samo kada su izložioci jednaki. Zato je [tex]f(-x)=f(x)[/tex] za svako [tex]x[/tex] ekvivalentno sa
[tex](a-2)x^2-(a-1)x-1=(a-2)x^2+(a-1)x-1\iff 2(a-1)x=0[/tex]
za svaki realan broj [tex]x[/tex]. Za [tex]x=1[/tex] dobijamo [tex]a=1[/tex]. Obrnuto, za [tex]a=1[/tex] je [tex]f(x)=2^{-x^2-1}[/tex], što je parna funkcija. Dakle, [tex]a=1[/tex].

Rešenje:
Za [tex]x\ge 0[/tex] imamo
[tex]f(x)=g(x)=x(x+4)(x-2)(x+2)[/tex]
i pošto su tu [tex]x+4\gt 0[/tex] i [tex]x+2\gt 0[/tex], važi [tex]f(x)=0[/tex] samo za [tex]x=0[/tex] i [tex]x=2[/tex].
Za [tex]x\lt 0[/tex] imamo [tex]-x\gt 0[/tex], a pošto je [tex]f[/tex] neparna, [tex]f(x)=-f(-x)[/tex]. Zato je
[tex]f(x)=0\iff f(-x)=0\iff -x=2\iff x=-2[/tex]
Nule [tex]-4[/tex] i [tex]-2[/tex] formule za [tex]g[/tex] ne smeju se uzeti automatski, jer ta formula daje [tex]f[/tex] samo za [tex]x\ge 0[/tex]. Na primer,
[tex]f(-4)=-f(4)=-g(4)=-4\cdot 8\cdot 12=-384\ne 0[/tex]
Dakle, rešenja su [tex]-2[/tex], [tex]0[/tex] i [tex]2[/tex], tj. jednačina ima [tex]3[/tex] rešenja.

Rešenje:
Neka je [tex]x_0[/tex] jedinstveni koren, tj. [tex]x_0[/tex] pripada domenu i [tex]f(x_0)=5[/tex]. Domen parne funkcije je simetričan u odnosu na [tex]0[/tex], pa i [tex]-x_0[/tex] pripada domenu, a zbog parnosti je
[tex]f(-x_0)=f(x_0)=5[/tex]
Dakle, i [tex]-x_0[/tex] je koren jednačine. Pošto je koren jedinstven,
[tex]-x_0=x_0\Rightarrow 2x_0=0\Rightarrow x_0=0[/tex]

Rešenje:
Domen funkcije [tex]f[/tex] je [tex]x\ne -c[/tex], a domen neparne funkcije je simetričan u odnosu na [tex]0[/tex]. Ako je [tex]c\ne 0[/tex], onda [tex]x=c[/tex] pripada domenu (jer je [tex]c\ne -c[/tex]), a [tex]-c[/tex] ne pripada, što je kontradikcija. Zato je [tex]c=0[/tex] i
[tex]f(x)=\frac{ax^2+b}{x}=ax+\frac{b}{x}[/tex]
što je neparna funkcija za sve [tex]a[/tex] i [tex]b[/tex]. Iz [tex]f(1)=a+b=2[/tex] dobijamo [tex]b=2-a[/tex]. Za [tex]x\gt 0[/tex], posle množenja sa [tex]x[/tex], uslov [tex]f(x)\ge 2[/tex] postaje [tex]p(x)\ge 0[/tex] za svako [tex]x\gt 0[/tex], gde je
[tex]p(x)=ax^2-2x+2-a=(x-1)\left(ax-(2-a)\right)[/tex]
Ako je [tex]a=0[/tex], onda je [tex]p(x)=-2(x-1)\lt 0[/tex] za [tex]x\gt 1[/tex], što je nemoguće.
Ako je [tex]a\ne 0[/tex] i drugi koren [tex]\frac{2-a}{a}\ne 1[/tex], onda je [tex]x=1[/tex] prost koren od [tex]p[/tex], pa [tex]p[/tex] menja znak u [tex]x=1[/tex] i negativan je za neko pozitivno [tex]x[/tex] blizu [tex]1[/tex], što je nemoguće. Zato je
[tex]\frac{2-a}{a}=1\Rightarrow a=1\Rightarrow b=2-a=1[/tex]
Provera: za [tex]a=b=1[/tex], [tex]c=0[/tex] funkcija [tex]f(x)=\frac{x^2+1}{x}=x+\frac{1}{x}[/tex] je neparna, [tex]f(1)=2[/tex], i za [tex]x\gt 0[/tex] je
[tex]f(x)-2=\frac{(x-1)^2}{x}\ge 0[/tex]
Dakle, jedina takva funkcija je [tex]f(x)=\frac{x^2+1}{x}[/tex].