Uslovna verovatnoća i Bajesova formula - zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Neka je [tex]A[/tex] događaj „karta je šestica“, a [tex]B[/tex] događaj „vrednost karte je veća od [tex]3[/tex] i manja od [tex]8[/tex]“. Događaj [tex]B[/tex] čine četvorke, petice, šestice i sedmice, tj. [tex]4\cdot 4=16[/tex] karata, a događaj [tex]A\cap B[/tex] čine [tex]4[/tex] šestice. Sve [tex]52[/tex] karte su jednako verovatne, pa je po definiciji uslovne verovatnoće
[tex]P(A\,|\,B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{4/52}{16/52}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}[/tex]
Drugim rečima, uslov svodi prostor ishoda na [tex]16[/tex] jednako verovatnih karata, od kojih su [tex]4[/tex] šestice.

Rešenje:
Svaki od [tex]36[/tex] uređenih ishoda [tex]\left(a ; b\right)[/tex] je jednako verovatan. Neka je [tex]B[/tex] događaj „zbir je [tex]8[/tex]“, a [tex]A[/tex] događaj „tačno jedna šestica“. Događaj [tex]B[/tex] čini [tex]5[/tex] ishoda (ishod [tex]\left(4 ; 4\right)[/tex] se broji jednom):
[tex]\left(2 ; 6\right),\ \left(3 ; 5\right),\ \left(4 ; 4\right),\ \left(5 ; 3\right),\ \left(6 ; 2\right)\ \Rightarrow\ P(B)=\frac{5}{36}[/tex]
Događaj [tex]A\cap B[/tex] čine ishodi [tex]\left(2 ; 6\right)[/tex] i [tex]\left(6 ; 2\right)[/tex], pa je [tex]P(A\cap B)=\frac{2}{36}[/tex]. Po definiciji uslovne verovatnoće
[tex]P(A\,|\,B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{2/36}{5/36}=\frac{2}{5}[/tex]

Rešenje:
Neka je [tex]R[/tex] događaj „firma nudi penzijski plan“, a [tex]L[/tex] događaj „firma nudi životno osiguranje“. Tada je
[tex]P(R)=0{,}42,\quad P(L)=0{,}61,\quad P(R\cap L)=0{,}32[/tex]
Po definiciji uslovne verovatnoće
[tex]P(R\,|\,L)=\frac{P(R\cap L)}{P(L)}=\frac{0{,}32}{0{,}61}=\frac{32}{61}\approx 0{,}52[/tex]
Primetimo da je obrnuta uslovna verovatnoća drugačija: [tex]P(L\,|\,R)=\frac{0{,}32}{0{,}42}=\frac{16}{21}[/tex].

Rešenje:
Svaki od [tex]200[/tex] automobila je jednako verovatan. Neka je [tex]A[/tex] događaj „automobil je marke N“, a [tex]B[/tex] događaj „automobil je žut“. Žutih automobila ima [tex]2+3+5=10[/tex], a [tex]5[/tex] od njih su marke N:
[tex]P(B)=\frac{10}{200},\quad P(A\cap B)=\frac{5}{200}[/tex]
Prema tome,
[tex]P(A\,|\,B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{5/200}{10/200}=\frac{1}{2}[/tex]
Drugim rečima, informacija da je automobil žut svodi prostor ishoda na [tex]10[/tex] žutih automobila, a [tex]5[/tex] od njih su marke N.

Rešenje:
Neka je [tex]A_1[/tex] događaj da je prvi pokušaj uspešan, a [tex]A_2[/tex] događaj da je drugi pokušaj uspešan. Svaka od [tex]10[/tex] cifara je jednako verovatna, pa je [tex]P(A_1)=\frac{1}{10}[/tex]. Ako prvi pokušaj ne uspe (verovatnoća [tex]\frac{9}{10}[/tex]), Ivan bira među [tex]9[/tex] preostalih cifara, pa je [tex]P(A_2\,|\,\overline{A_1})=\frac{1}{9}[/tex].
Događaji [tex]A_1[/tex] i [tex]\overline{A_1}\cap A_2[/tex] su međusobno isključivi, pa je
[tex]P=P(A_1)+P(\overline{A_1})\cdot P(A_2\,|\,\overline{A_1})=\frac{1}{10}+\frac{9}{10}\cdot \frac{1}{9}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}[/tex]
Drugim rečima, Ivan proba [tex]2[/tex] od [tex]10[/tex] cifara, a tačna cifra je među njima sa verovatnoćom [tex]\frac{2}{10}[/tex].

Rešenje:
Neka je [tex]A[/tex] događaj „bar jednoj mašini je potrebna pažnja“. Suprotan događaj [tex]\overline{A}[/tex] je „nijednoj od četiri mašine nije potrebna pažnja“. Mašine rade nezavisno, pa je
[tex]P(\overline{A})=0{,}9\cdot 0{,}8\cdot 0{,}75\cdot 0{,}7=0{,}378[/tex]
Prema tome,
[tex]P(A)=1-P(\overline{A})=1-0{,}378=0{,}622[/tex]

Rešenje:
Svih [tex]10[/tex] automata proizvodi isti broj delova, pa je slučajno izabran deo proizveden na automatu prve, druge ili treće vrste (hipoteze [tex]H_1[/tex], [tex]H_2[/tex], [tex]H_3[/tex]) redom sa verovatnoćama
[tex]P(H_1)=\frac{5}{10}=0{,}5,\quad P(H_2)=\frac{3}{10}=0{,}3,\quad P(H_3)=\frac{2}{10}=0{,}2[/tex]
Ove hipoteze su međusobno isključive i obuhvataju sve slučajeve. Neka je [tex]A[/tex] događaj „deo je ispravan“; tada je [tex]P(A\,|\,H_1)=0{,}94[/tex], [tex]P(A\,|\,H_2)=0{,}9[/tex] i [tex]P(A\,|\,H_3)=0{,}85[/tex]. Po formuli totalne verovatnoće
[tex]P(A)=0{,}5\cdot 0{,}94+0{,}3\cdot 0{,}9+0{,}2\cdot 0{,}85=0{,}47+0{,}27+0{,}17=0{,}91[/tex]

Rešenje:
U drugom frižideru ima [tex]30-12=18[/tex] kutija. Neka su [tex]H_1[/tex] i [tex]H_2[/tex] događaji da je izabran prvi, odnosno drugi frižider, a [tex]A[/tex] događaj „kutija je sa sokom od jabuke“. Tada je
[tex]P(H_1)=P(H_2)=\frac{1}{2},\quad P(A\,|\,H_1)=\frac{3}{12}=\frac{1}{4},\quad P(A\,|\,H_2)=\frac{7}{18}[/tex]
Po formuli totalne verovatnoće
[tex]P(A)=P(H_1)P(A\,|\,H_1)+P(H_2)P(A\,|\,H_2)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cdot \frac{7}{18}=\frac{9}{72}+\frac{14}{72}=\frac{23}{72}[/tex]
Primetimo da odgovor nije [tex]\frac{10}{30}[/tex]: kutije nisu jednako verovatne (svaka kutija iz prvog frižidera bira se sa verovatnoćom [tex]\frac{1}{24}[/tex], a svaka kutija iz drugog sa verovatnoćom [tex]\frac{1}{36}[/tex]).

Rešenje:
Neka je [tex]p[/tex] verovatnoća da prvi strelac pogodi; drugi promašuje sa verovatnoćom [tex]1-0{,}8=0{,}2[/tex]. Tačno jedan pogodak znači „prvi pogađa, a drugi promašuje“ ili „prvi promašuje, a drugi pogađa“. Ova dva događaja su međusobno isključiva, a pucnji su nezavisni, pa u svakom slučaju množimo verovatnoće i sabiramo oba slučaja:
[tex]p\cdot 0{,}2+(1-p)\cdot 0{,}8=0{,}38[/tex]
Odatle je
[tex]0{,}8-0{,}6p=0{,}38\ \Rightarrow\ 0{,}6p=0{,}42\ \Rightarrow\ p=0{,}7[/tex]

Rešenje:
Neka je [tex]O_1[/tex] događaj „prva bombona je narandžasta“, a [tex]O_2[/tex] događaj „druga bombona je narandžasta“. Svaka od [tex]n[/tex] bombona može sa jednakom verovatnoćom biti izvučena prva, a [tex]6[/tex] od njih su narandžaste:
[tex]P(O_1)=\frac{6}{n}[/tex]
Ako je prva bombona narandžasta, ostaje [tex]n-1[/tex] bombona, od kojih je [tex]5[/tex] narandžastih, pa je
[tex]P(O_2\,|\,O_1)=\frac{5}{n-1}[/tex]
Po pravilu množenja verovatnoća, verovatnoća da su obe bombone narandžaste jednaka je
[tex]P(O_1\cap O_2)=P(O_1)\cdot P(O_2\,|\,O_1)=\frac{6}{n}\cdot \frac{5}{n-1}=\frac{30}{n(n-1)}[/tex]
Prema uslovu zadatka ova verovatnoća jednaka je [tex]\frac{1}{3}[/tex]:
[tex]\frac{30}{n(n-1)}=\frac{1}{3}\iff n(n-1)=90\iff n^2-n-90=0[/tex]
što je trebalo dokazati. (Koreni ove jednačine su [tex]n=10[/tex] i [tex]n=-9[/tex], pa je u kesici bilo [tex]10[/tex] bombona.)

Rešenje:
Neka je [tex]A[/tex] događaj „prva kuglica je bela“, a [tex]B[/tex] događaj „kuglice su različite boje“. Po pravilu množenja verovatnoća, verovatnoća da je prva kuglica bela, a druga crvena, i verovatnoća da je prva kuglica crvena, a druga bela, jednake su
[tex]\frac{5}{16}\cdot \frac{11}{15}=\frac{11}{48},\qquad \frac{11}{16}\cdot \frac{5}{15}=\frac{11}{48}[/tex]
Događaj [tex]B[/tex] nastupa na tačno jedan od ova dva načina, a [tex]A\cap B[/tex] je prvi od njih:
[tex]P(B)=\frac{11}{48}+\frac{11}{48}=\frac{11}{24},\qquad P(A\cap B)=\frac{11}{48}[/tex]
Po definiciji uslovne verovatnoće
[tex]P(A\,|\,B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{11}{48}\cdot \frac{24}{11}=\frac{1}{2}[/tex]
(Oba redosleda – prvo bela pa crvena i prvo crvena pa bela – jednako su verovatna, što objašnjava odgovor.)

Rešenje:
Svaki od [tex]220[/tex] navijača bira se sa jednakom verovatnoćom, pa je svaka uslovna verovatnoća količnik brojeva navijača:
[tex]P(X\,|\,Y)=\frac{|X\cap Y|}{|Y|}[/tex]
Iz [tex]P(L\,|\,W)=\frac{1}{2}[/tex] sledi da polovina od [tex]110[/tex] žena, tj. [tex]55[/tex], navija za Levski, pa je broj žena koje navijaju za CSKA
[tex]|W\cap C|=110-55=55[/tex]
Neka je [tex]c=|C|[/tex] broj navijača CSKA. Pošto je [tex]P(M\,|\,C)=\frac{8}{19}[/tex], žene čine [tex]1-\frac{8}{19}=\frac{11}{19}[/tex] navijača CSKA:
[tex]\frac{11}{19}\,c=55\Rightarrow c=95[/tex]
Prema tome, broj muškaraca koji navijaju za CSKA je
[tex]|M\cap C|=95-55=40[/tex]

Rešenje:
Posmatramo hipoteze [tex]H_1[/tex]: „izabrana je kocka“ i [tex]H_2[/tex]: „izabran je tetraedar“, kao i događaj [tex]A[/tex]: „dobijene su [tex]3[/tex] tačke“. Tada je
[tex]P(H_1)=\frac{4}{5},\quad P(H_2)=\frac{1}{5},\quad P(A\,|\,H_1)=\frac{1}{6},\quad P(A\,|\,H_2)=\frac{1}{4}[/tex]
Po formuli totalne verovatnoće
[tex]P(A)=\frac{4}{5}\cdot \frac{1}{6}+\frac{1}{5}\cdot \frac{1}{4}=\frac{2}{15}+\frac{1}{20}=\frac{11}{60}[/tex]
Po Bajesovoj formuli
[tex]P(H_1\,|\,A)=\frac{P(H_1)\cdot P(A\,|\,H_1)}{P(A)}=\frac{2}{15}\cdot \frac{60}{11}=\frac{8}{11}[/tex]

Rešenje:
Posmatramo hipoteze [tex]M[/tex]: „osoba je muškarac“ i [tex]W[/tex]: „osoba je žena“, kao i događaj [tex]D[/tex]: „osoba je daltonista“. Tada je
[tex]P(M)=P(W)=\frac{1}{2},\quad P(D\,|\,M)=0{,}05,\quad P(D\,|\,W)=0{,}0025[/tex]
Po formuli totalne verovatnoće
[tex]P(D)=\frac{1}{2}\cdot 0{,}05+\frac{1}{2}\cdot 0{,}0025=0{,}025+0{,}00125=0{,}02625[/tex]
Po Bajesovoj formuli
[tex]P(M\,|\,D)=\frac{P(M)\cdot P(D\,|\,M)}{P(D)}=\frac{0{,}025}{0{,}02625}=\frac{2500}{2625}=\frac{20}{21}[/tex]