Valjak, kupa i lopta - zadaci - zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Neka su [tex]O_1[/tex] i [tex]O_2[/tex] centri sfera, a [tex]P[/tex] proizvoljna zajednička tačka dveju sfera. Pošto je [tex]PO_1=PO_2=5[/tex], tačka [tex]P[/tex] je jednako udaljena od [tex]O_1[/tex] i [tex]O_2[/tex], pa leži u ravni koja prolazi kroz središte [tex]M[/tex] duži [tex]O_1O_2[/tex] i normalna je na nju. Dakle, zajednička kružnica leži u toj ravni.
Prava [tex]O_1M[/tex] je normalna na tu ravan, tj. [tex]M[/tex] je podnožje normale iz centra [tex]O_1[/tex] na ravan kružnice. Zato je [tex]M[/tex] centar zajedničke kružnice, a [tex]MP[/tex] njen poluprečnik.
[tex]O_1M=\frac{O_1O_2}{2}=\frac{8}{2}=4[/tex]
Iz pravouglog [tex]\triangle O_1MP[/tex] ([tex]\angle O_1MP=90^{\circ}[/tex]) prema Pitagorinoj teoremi
[tex]MP=\sqrt{O_1P^2-O_1M^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3[/tex]
Poluprečnik kružnice je [tex]3[/tex] cm.

Rešenje:
Pošto je [tex]40[/tex] mm isto što i [tex]4[/tex] cm, poluprečnik osnove kutije i poluprečnik svake loptice su [tex]r=2[/tex] cm. Pet loptica postavljenih jedna na drugu imaju ukupnu visinu [tex]5\cdot 4=20[/tex] cm, jednaku visini kutije, pa tačno staju u nju.
Zapremina kutije:
[tex]V=\pi r^2h=\pi\cdot 2^2\cdot 20=80\pi[/tex]
Zapremina pet loptica:
[tex]V_1=5\cdot \frac{4}{3}\pi r^3=5\cdot \frac{32\pi}{3}=\frac{160\pi}{3}[/tex]
Nepopunjeni deo ima zapreminu [tex]V-V_1[/tex], pa je njegov udeo u zapremini kutije
[tex]\frac{V-V_1}{V}=\frac{80\pi-\frac{160\pi}{3}}{80\pi}=\frac{\frac{80\pi}{3}}{80\pi}=\frac{1}{3}[/tex]
Dakle, [tex]\frac{1}{3}[/tex] zapremine kutije ostaje nepopunjena.

Rešenje:
Neka su [tex]K[/tex] i [tex]L[/tex] središta duži [tex]AB[/tex] i [tex]CD[/tex]. U pravougaoniku je simetrala stranice [tex]AB[/tex] ujedno i simetrala stranice [tex]CD[/tex], tj. to je prava [tex]KL[/tex]. Kao simetrala tetive [tex]AB[/tex], ona prolazi kroz centar [tex]O[/tex] kružnice [tex]k[/tex].
Periferijski ugao [tex]ABC[/tex] je prav, pa je [tex]AC[/tex] prečnik kružnice [tex]k[/tex]:
[tex]AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10\Rightarrow R=\frac{AC}{2}=5[/tex]
Rotacijom kružnice oko njenog prečnika koji leži na [tex]KL[/tex] dobija se lopta poluprečnika [tex]R=5[/tex]:
[tex]V_1=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi\cdot 5^3=\frac{500\pi}{3}[/tex]
Rotacijom pravougaonika oko [tex]KL[/tex] dobija se valjak poluprečnika [tex]KB=\frac{AB}{2}=4[/tex] i visine [tex]KL=BC=6[/tex]:
[tex]V_2=\pi\cdot KB^2\cdot KL=\pi\cdot 4^2\cdot 6=96\pi[/tex]
Dakle,
[tex]\frac{V_1}{V_2}=\frac{500\pi}{3\cdot 96\pi}=\frac{125}{72}[/tex]

Rešenje:
Neka su [tex]O[/tex] i [tex]O_1[/tex] centri veće i manje osnove, a [tex]AA_1[/tex] izvodnica ([tex]A[/tex] na većoj osnovi, [tex]A_1[/tex] na manjoj). U osnom preseku četvorougao [tex]OAA_1O_1[/tex] je pravougli trapez sa [tex]OA=R[/tex] i [tex]O_1A_1=r[/tex].
Spustimo normalu [tex]A_1H[/tex] na [tex]OA[/tex]. Tada je [tex]A_1H=12[/tex] visina i [tex]AH=R-r[/tex]; iz pravouglog trougla [tex]AHA_1[/tex] po Pitagorinoj teoremi:
[tex]R-r=\sqrt{13^2-12^2}=5[/tex]
Površina omotača zarubljene kupe je [tex]S=\pi(R+r)l[/tex], pa je
[tex]\pi(R+r)\cdot 13=91\pi\Rightarrow R+r=7[/tex]
Rešavamo sistem:
[tex]\begin{cases}R+r=7\\R-r=5\end{cases}\Rightarrow R=6; \ r=1[/tex]
Poluprečnici su [tex]6[/tex] cm i [tex]1[/tex] cm.

Rešenje:
Neka je [tex]r[/tex] poluprečnik osnove, a [tex]l[/tex] izvodnica. Razvijeni omotač je kružni isečak poluprečnika [tex]l[/tex] sa centralnim uglom [tex]72^{\circ}[/tex], a dužina njegovog luka jednaka je obimu osnove:
[tex]2\pi r=\frac{72^{\circ}}{360^{\circ}}\cdot 2\pi l=\frac{2\pi l}{5}\Rightarrow l=5r[/tex]
Površina kupe jednaka je zbiru površine osnove i površine omotača:
[tex]S=\pi r^2+\pi rl=\pi r^2+5\pi r^2=6\pi r^2[/tex]
Iz [tex]6\pi r^2=6\pi[/tex] dobijamo [tex]r^2=1[/tex], tj. [tex]r=1[/tex] cm.

Rešenje:
Neka su [tex]R[/tex] i [tex]r[/tex] poluprečnici veće i manje osnove zarubljene kupe, a [tex]h[/tex] njena visina. Jedna osnova valjka je manja osnova zarubljene kupe, a druga leži u ravni veće osnove, pa valjak ima poluprečnik [tex]r[/tex] i visinu [tex]h[/tex] (rastojanje između ravni osnova).
Zapremine valjka i zarubljene kupe su
[tex]V_1=\pi r^2h,\qquad V_2=\frac{1}{3}\pi h\left(R^2+Rr+r^2\right)[/tex]
Iz [tex]V_2=7V_1[/tex]:
[tex]\frac{1}{3}\pi h\left(R^2+Rr+r^2\right)=7\pi r^2h\Rightarrow R^2+Rr+r^2=21r^2\Rightarrow R^2+Rr-20r^2=0[/tex]
Delimo sa [tex]r^2[/tex] i uvodimo smenu [tex]x=\frac{R}{r}[/tex]:
[tex]x^2+x-20=0\Rightarrow x_1=4; \ x_2=-5[/tex]
Pošto je [tex]x\gt 0[/tex], to je [tex]x=4[/tex], tj. poluprečnik veće osnove je [tex]4[/tex] puta veći od poluprečnika manje.

Rešenje:
Neka je [tex]O[/tex] centar sfere, a [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]c[/tex] dimenzije kvadra. Dve naspramne strane leže u paralelnim ravnima koje dodiruju sferu, a rastojanje od [tex]O[/tex] do tangentne ravni jednako je poluprečniku [tex]2[/tex].
Sfera je unutar kvadra, pa je tačka [tex]O[/tex] između te dve ravni i rastojanje između njih je [tex]2+2=4[/tex]. To važi za svaki od tri para naspramnih strana:
[tex]a=b=c=4[/tex]
Dakle, kvadar je kocka čija je ivica jednaka prečniku sfere, a njena zapremina je [tex]V=4^3=64[/tex] kubnih centimetara.

Rešenje:
Osni presek je jednakokraki trapez [tex]ABCD[/tex] sa osnovicama [tex]AB=2R=60[/tex], [tex]CD=2r=28[/tex] i kracima [tex]AD=BC=l[/tex] (izvodnicama), pri čemu je [tex]\angle ADC=120^{\circ}[/tex]. Pošto je [tex]AB\parallel CD[/tex], važi [tex]\angle DAB=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}[/tex].
Neka je [tex]DH\perp AB[/tex], [tex]H\in AB[/tex]. U jednakokrakom trapezu je [tex]AH=\frac{AB-CD}{2}=R-r=16[/tex], pa iz pravouglog trougla [tex]AHD[/tex] sledi
[tex]l=AD=\frac{AH}{\cos 60^{\circ}}=\frac{16}{\frac{1}{2}}=32[/tex]
Površina omotača i površine dveju osnova su
[tex]\pi(R+r)l=\pi\cdot 44\cdot 32=1408\pi,\quad \pi R^2=900\pi,\quad \pi r^2=196\pi[/tex]
Dakle, površina zarubljene kupe je
[tex]S=1408\pi+900\pi+196\pi=2504\pi[/tex]

Rešenje:
Neka je prav ugao kod temena [tex]C[/tex], kraća kateta [tex]CA=2k[/tex], duža kateta [tex]CB=3k[/tex], a osa [tex]s[/tex] prolazi kroz [tex]B[/tex] paralelno sa [tex]CA[/tex]. Tada je [tex]CB\perp s[/tex], pa su tačke [tex]C[/tex] i [tex]A[/tex] na rastojanju [tex]3k[/tex] od [tex]s[/tex]. Neka je [tex]B_1[/tex] projekcija tačke [tex]A[/tex] na [tex]s[/tex]; tada je [tex]BB_1=2k[/tex] i [tex]B_1A=3k[/tex].
Pri rotaciji kateta [tex]CB[/tex] opisuje krug sa centrom [tex]B[/tex] i poluprečnikom [tex]3k[/tex], kateta [tex]CA[/tex] opisuje omotač valjka poluprečnika [tex]3k[/tex] i visine [tex]2k[/tex], a hipotenuza [tex]AB[/tex] opisuje omotač kupe sa vrhom [tex]B[/tex], poluprečnikom osnove [tex]B_1A=3k[/tex] i izvodnicom [tex]AB=\sqrt{4k^2+9k^2}=k\sqrt{13}[/tex]. Dakle, telo je taj valjak iz kog je uklonjena kupa:
[tex]V=\pi(3k)^2\cdot 2k-\frac{1}{3}\pi(3k)^2\cdot 2k=18\pi k^3-6\pi k^3=12\pi k^3=12\pi\Rightarrow k=1[/tex]
Dakle, [tex]CA=2[/tex], [tex]CB=3[/tex], [tex]AB=\sqrt{13}[/tex]. Površinu tela čine krug, omotač valjka i omotač uklonjene kupe (druga osnova valjka je osnova uklonjene kupe, pa ne pripada površini):
[tex]S=\pi\cdot 3^2+2\pi\cdot 3\cdot 2+\pi\cdot 3\cdot \sqrt{13}=9\pi+12\pi+3\sqrt{13}\pi=(21+3\sqrt{13})\pi[/tex]

Rešenje:
Neka je [tex]r[/tex] poluprečnik osnove, a [tex]h[/tex] visina valjka. Osni presek je pravougaonik sa stranicama [tex]2r[/tex] (prečnik osnove) i [tex]h[/tex] (izvodnica); on je kvadrat, pa je [tex]h=2r[/tex]. Tada je površina omotača
[tex]S=2\pi rh=2\pi r\cdot 2r=4\pi r^2=12\Rightarrow \pi r^2=3[/tex]
Dakle, površina jedne osnove je [tex]B=\pi r^2=3[/tex] (sam poluprečnik [tex]r[/tex] nije potrebno računati), a površina valjka je
[tex]S_1=S+2B=12+2\cdot 3=18[/tex]

Rešenje:
Presecimo valjak ravnima paralelnim osnovama na [tex]4[/tex] jednaka valjka visine [tex]\frac{12}{4}=3[/tex]. Konac je ravnomerno namotan i pravi [tex]4[/tex] puna obrtaja, pa na svakom malom valjku pravi tačno jedan pun obrtaj, a četiri dela konca su jednaka.
Presecimo omotač jednog malog valjka duž izvodnice kroz početnu tačku njegovog dela konca i razvijmo ga u ravan. Dobijamo pravougaonik sa stranicama [tex]4[/tex] (obim osnove) i [tex]3[/tex] (visina). Pošto se konac ravnomerno penje dok se namotava, njegov deo postaje dijagonala tog pravougaonika. Prema Pitagorinoj teoremi njegova dužina je
[tex]\sqrt{4^2+3^2}=5[/tex]
Dakle, dužina celog konca je
[tex]4\cdot 5=20[/tex]

Rešenje:
Neka je [tex]r[/tex] poluprečnik koštice. Njen prečnik [tex]2r[/tex] jednak je debljini mesnatog dela, pa je poluprečnik trešnje [tex]R=r+2r=3r[/tex]. Odnos zapremina koštice i trešnje je
[tex]\frac{\frac{4}{3}\pi r^3}{\frac{4}{3}\pi (3r)^3}=\frac{1}{27}[/tex]
Pošto koštica i mesnati deo imaju jednaku gustinu, mase su proporcionalne zapreminama, pa je koštica [tex]\frac{1}{27}[/tex] mase svake trešnje, bez obzira na njenu veličinu. Dakle, koštice u [tex]1[/tex] kg trešanja teže [tex]\frac{1}{27}[/tex] kg i koštaju [tex]\frac{2{,}70}{27}=0{,}10[/tex] evra, tj. [tex]10[/tex] evrocenti.

Rešenje:
Neka su katete [tex]a[/tex] i [tex]b[/tex], a hipotenuza [tex]c[/tex]. Prema Pitagorinoj teoremi
[tex]c^2=a^2+b^2[/tex]
Sfera prečnika [tex]d[/tex] ima poluprečnik [tex]\frac{d}{2}[/tex], pa je njena površina
[tex]4\pi\left(\frac{d}{2}\right)^2=\pi d^2[/tex]
Dakle, površine triju sfera su [tex]\pi a^2[/tex], [tex]\pi b^2[/tex] i [tex]\pi c^2[/tex]. Množenjem Pitagorine jednakosti sa [tex]\pi[/tex] dobijamo
[tex]\pi c^2=\pi a^2+\pi b^2[/tex]
tj. površina sfere čiji je prečnik hipotenuza jednaka je zbiru površina sfera čiji su prečnici katete.