Finansijska matematika - kamate i krediti - zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Svake godine otplaćuje se isti deo glavnice:
[tex]\frac{26000}{4}=6500[/tex]
Zato na početku svake od četiri godine preostali dug iznosi redom [tex]26000[/tex], [tex]19500[/tex], [tex]13000[/tex] i [tex]6500[/tex] evra. Kamata za svaku godinu iznosi [tex]3{,}6\%[/tex] duga na početku te godine:
[tex]26000\cdot 0{,}036=936; \quad 19500\cdot 0{,}036=702; \quad 13000\cdot 0{,}036=468; \quad 6500\cdot 0{,}036=234[/tex]
Ukupna kamata je
[tex]936+702+468+234=2340[/tex]
Dakle, ukupno je plaćeno [tex]2340[/tex] evra kamate.

Rešenje:
Uz godišnju složenu kamatu od [tex]6\%[/tex] svaka suma se svake godine poveća [tex]1{,}06[/tex] puta. Prvi prihod ostaje u banci [tex]2[/tex] godine:
[tex]50000\cdot 1{,}06^2=50000\cdot 1{,}1236=56180[/tex]
Drugi prihod ostaje u banci [tex]1[/tex] godinu:
[tex]50000\cdot 1{,}06=53000[/tex]
Treći prihod se ulaže na kraju treće godine i na njega se ne obračunava kamata. Ukupno:
[tex]56180+53000+150000=259180[/tex]
Dakle, na kraju treće godine u banci će biti [tex]259180[/tex] evra. Poređenja radi, kada bi se [tex]190000[/tex] evra umesto u investiciju uložilo u banku uz [tex]6\%[/tex], posle tri godine bi se dobilo samo [tex]190000\cdot 1{,}06^3=226293{,}04[/tex] evra, pa investicija donosi više od [tex]6\%[/tex] godišnje.

Rešenje:
Neka je [tex]q=1{,}028[/tex], a [tex]r[/tex] godišnja rata. Na kraju svake godine dug se množi sa [tex]q[/tex], a zatim se plaća [tex]r[/tex], pa je posle prve, druge i tako dalje do četvrte godine dug redom
[tex]37000q-r; \quad 37000q^2-rq-r; \quad\ldots; \quad 37000q^4-r\left(q^3+q^2+q+1\right)[/tex]
Posle četvrte godine kredit je otplaćen, pa je poslednji izraz jednak [tex]0[/tex]. Pošto je [tex]q^3+q^2+q+1=\frac{q^4-1}{q-1}[/tex], dobijamo
[tex]r=\frac{37000\cdot q^4(q-1)}{q^4-1}=\frac{37000\cdot 1{,}028^4\cdot 0{,}028}{1{,}028^4-1}\approx 9906{,}44[/tex]
Dakle, svaka rata iznosi približno [tex]9906{,}44[/tex] evra.

Rešenje:
Najpre prebrojimo uplate: od marta do decembra [tex]2005[/tex]. godine ima ih [tex]10[/tex], u godinama od [tex]2006[/tex]. do [tex]2015[/tex]. ima ih [tex]10\cdot 12=120[/tex], a od januara do aprila [tex]2016[/tex]. godine ima ih [tex]4[/tex]. Ukupno:
[tex]10+120+4=134[/tex]
Neka je [tex]q=1{,}004[/tex]. Svaka uplata se vrši na početku meseca i na nju se obračunava kamata i za taj mesec. Zato uplata od [tex]1[/tex]. aprila [tex]2016[/tex]. naraste na [tex]500q[/tex], uplata od [tex]1[/tex]. marta [tex]2016[/tex]. na [tex]500q^2[/tex] i tako dalje, sve do prve uplate, na koju se kamata obračunava [tex]134[/tex] meseca i koja naraste na [tex]500q^{134}[/tex]. Zbir ove geometrijske progresije je
[tex]500\left(q+q^2+\ldots+q^{134}\right)=500q\cdot \frac{q^{134}-1}{q-1}=\frac{500\cdot 1{,}004}{0{,}004}\left(1{,}004^{134}-1\right)=125500\left(1{,}004^{134}-1\right)[/tex]
Dakle, na depozitu se nalazi [tex]125500\left(1{,}004^{134}-1\right)\approx 88769{,}94[/tex] evra.

Rešenje:
Svakog meseca iznos na računu se množi sa [tex]q[/tex]. Faza štednje: uplata ima [tex]40\cdot 12=480[/tex]. Na uplatu izvršenu na kraju [tex]k[/tex]-tog meseca kamata se obračunava [tex]480-k[/tex] meseci, pa se odmah posle poslednje uplate na računu nalazi
[tex]S=100\left(q^{479}+q^{478}+\ldots+q+1\right)=\frac{100\left(q^{480}-1\right)}{q-1}[/tex]
Faza isplate: isplata ima [tex]15\cdot 12=180[/tex], svaka po [tex]P[/tex] evra. Posle [tex]n[/tex] meseci na računu je [tex]Sq^n-P\left(q^{n-1}+\ldots+q+1\right)[/tex], a posle [tex]180[/tex] meseci mora biti [tex]0[/tex]:
[tex]Sq^{180}=P\left(q^{179}+\ldots+q+1\right)=P\cdot \frac{q^{180}-1}{q-1}[/tex]
Odatle je
[tex]P=\frac{Sq^{180}(q-1)}{q^{180}-1}=\frac{100\cdot q^{180}\left(q^{480}-1\right)}{q^{180}-1}\approx 1206{,}77[/tex]
Dakle, mesečna penzija iznosi približno [tex]1206{,}77[/tex] evra (nakupljena suma je [tex]S\approx 152602{,}02[/tex] evra).